Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến GTLN – GTNN của hàm số

NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị = Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn ( Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y f= = ( x ), y f u ( x) khoảng, đoạn = số y Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = f ( x) , y NHĨM TỐN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ) f (u ( x )) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ) ( ( ) y= f ( x + b ) , y= f u ( x ) + b , y= f ( x + a + b ) , y= f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) + b , y = f ( u ( x ) ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f ( u ( x ) + a ) + b khoảng, đoạn ( ) ( ) y = f ( x ) + b , y = f u ( x ) + b , y = f ( x + a ) + b , y = f u ( x ) + a + b khoảng, đoạn PHẦN II: Xác định GTLN, NN so sánh giá trị hàm số thơng qua tích phân so sánh diện tích hình phẳng Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, NHĨM TỐNVD – VDC Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x ) khoảng, đoạn 10 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số y= f ( x + a + b ) khoảng, đoạn 11 Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm = số y f ( x ) + b khoảng, đoạn 12 Các dạng khác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Câu Biết hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  4x  hàm số đoạn [ 0; 2] Hàm số y = f   có tổng giá trị lớn nhỏ  x +1  A M + m B 2M + m C M + 2m D M + 2m Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = NHÓM TOÁN VD – VDC = hàm số y f= ( x ) , y f ( u ( x ) ) khoảng, đoạn −4 x + 4x ′ x ∈ 0; , Ta có: g x = ( ) [ ] 2 x2 + x + ( ) g ′ ( x ) = ⇔ x = ∈ [ 0; 2] Bảng biến thiên: NHĨM TỐNVD – VDC Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ≤ g ( x ) ≤ Do đó: Hàm số y = f ( x ) liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2] hàm số y = f  g ( x )  liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn [ 0; 2]  4x  Vậy tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f   M + m  x +1  Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Khi hàm số = y f ( − x ) đạt GTLN 0;  A f ( ) C f ( 2) B f (1) D f ( ) Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Đặt t= − x , từ x ∈ 0;  , ta có t ∈ [ 0; 2] Trên [ 0; 2] hàm số y = f ( t ) nghịch biến Do max f ( t ) = f ( ) [0;2] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Biết f ( x ) = Tìm giá trị lớn hàm số g ( x ) đoạn [ −3; − 1] A −2 B ax + b g ( x ) = f ( f ( x ) ) cx + d NHĨM TỐN VD – VDC Câu D − C Lời giải Chọn B TCĐ x =− a =0⇔a =0 c d =⇔ c =−d c Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên Khi đó= f ( x) NHĨM TỐNVD – VDC Từ hình vẽ ta có: TCN y = d = x ) f ( f ( x= ⇒ g (= )) −dx + d − x + − b =1 ⇔ b = d ( d ≠ ) d −x +1 = x − +1 −x +1 TXĐ hàm g ( x ) Dg =  \ {0} ⇒ hàm số g ( x ) xác định [ −3; −1] g′( x) = , với ∀x ∈[ −3; − 1] x2 g ( −3) =, g ( −1) = Vậy max g ( x ) = [ −3; −1] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Câu Cho x , y thoả mãn 5x + xy + y = 16 hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi  x2 + y2 −  2 M , m giá trị lớn nhỏ P = f   Tính M + m  x − y − xy +  −1 O x −2 A M + m2 = B M + m2 = C M + m2 = 25 D M + m2 = NHĨM TỐN VD – VDC y Lời giải Chọn A Ta có: t = x2 + y2 − 8x + y − 16 3x − xy + y = = x − y − xy + 8x − y − 16 xy + 2.16 18x − xy + y TH1: Xét y = ⇒ t = ⇒ f ( t ) = m ∈ ( 0; −2 ) 3u − 6u + Xét g ( u )= ; g ' ( u )= 18u − 4u + Ta lại có: lim = = g ( u ) lim g (u) u →+∞ u →−∞ Từ bảng biến ta có ≤ g ( u ) ≤ 96u2 − 96u ( 18u − 4u + ) NHĨM TỐNVD – VDC x x   − + y y 3u − u + x TH2: Xét y ≠ ⇒ t =   Đặt u = , ta có: t = 18u2 − 4u + y x x 18   − + y y u = ; g ' ( u )= ⇔  u = 1 Từ lập bảng biến thiên ta có 3 ⇒0≤t≤ 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng: max P = 0; P = −2  3 0 ;   2  3 0 ;    Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m GTLN – GTNN hàm số g ( x ) f  ( sin x + cos x )  = NHĨM TỐN VD – VDC Vậy M + m2 = Tổng M + m A B C D Lời giải Chọn C Ta có sin x + cos x = − sin 2 x, ∀x ∈  1 ≤ − sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇒ ≤ ( sin x + cos x ) ≤ 2 NHĨM TỐNVD – VDC Vì ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈  ⇔ =  M max g= ( x ) f= (1)  Dựa vào đồ thị suy  ⇒ M +m= = ( x ) f= ( 2) m g= Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g = ( x ) f ( x3 + x − 1) + m Tìm m để max g ( x ) = −10 [0;1] A m = B m = −12 C m = −13 D m = Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chọn C Đặt t ( x )= x + x − với x ∈ [ 0;1] Ta có t ′ ( x= ) x + > 0, ∀x ∈ [0;1] NHĨM TỐN VD – VDC Suy hàm số t ( x ) đồng biến nên x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ −1; 2] max  f ( t ) + m  =+ m Từ đồ thị hàm số ta có max f ( t ) =⇒ [ −1;2] [ −1;2] −10 ⇔ m = −13 Theo yêu cầu toán ta cần có: + m = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Giá trị lớn hàm số y = f ( 2sin x ) ( 0; π ) A C B D Lời giải Chọn C NHĨM TỐNVD – VDC Đặt t = 2sin x Với x ∈ ( 0; π ) t ∈ ( 0; 2] Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có max f ( 2sin = x ) max = f ( t ) f= ( 2) ( 0;2] ( 0;π ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên dạng Hàm số y = f (2sin x) đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đề đúng? A m = −2 M B M = 2m C M + m = D M + m = Lời giải Chọn A Ta có: −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −2 ≤ 2sin x ≤ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số = t 2sin x ⇒ t ∈ [ −2; 2] Với Khi đó: NHĨM TỐN VD – VDC = M max f = = f ( t ) ( 2sin x ) max [ −2;2] m = f ( 2sin x ) = f ( t ) = −4 [ −2;2] Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập  có bảng biến thiên sau Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f ( x − x ) đoạn =  7  − ;  Tìm khẳng định sai khẳng định sau M A M m > 10 B C M − m > > m D M + m > Lời giải 5 25  7 t x − x Ta có x ∈  − ;  ⇔ − ≤ x − ≤ ⇔ ≤ ( x − 1) ≤ Đặt = 2  2 21  21  nên t ∈  −1;  ⇔ −1 ≤ ( x − 1) − ≤ 4   21  = y f ( t ) , t ∈  −1;  Xét hàm số 4  Từ bảng biến thiên suy= ra: m min= 2, M f (t ) = f (1) =  21  t∈ −1;  4  M  21  max= f ( t ) f= >   5⇒  21  4 m  t∈ −1;    Câu 10 Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c xác định liên tục  có bảng biến thiên sau: Giá trị nhỏ hàm số y  f x  3 đoạn  0;2 A 64 B 65 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C 66 D 67 Trang NHĨM TỐNVD – VDC Chọn B NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Lời giải Chọn C NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số có dạng f x   ax  bx  c Từ bảng biến thiên ta có:   f 0    c3     c    f        b  2  f x   x  2x  a  b  c          a b        f     a      x   0;2  x   3;5 Trên đoạn 3;5 hàm số tăng, f x  3  f 3  66  0;2 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −2; 4] có bảng biến thiên sau Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g ( x )= f ( cos x − 4sin x + 3) C D NHĨM TỐNVD – VDC Giá trị M − m A B −4 Lời giải Chọn A Ta có: cos x − 4sin = x + 3cos x + ⇒ g= , đặt t 3cos x + 1, với x ∈  ⇒ t ∈ [ −2; 4] ( x ) f ( 3cos x + 1) = Từ bảng biến thiên suy max f ( t ) = 3; f ( t ) = −1 [ −2;4] [ −2;4] Suy M = max g ( x ) = max f ( t ) = 3; m = g ( x ) = f ( t ) = −1  [ −2;4] Vậy M − m =  Câu 12 Cho hàm số f ( x ) = ax5 + bx + cx + dx + ex + n [ −2;4] ( a, b, c, d , e, n ∈  ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên (đồ thị cắt Ox điểm = f ( x ) ; m f ( x ) và= 2) Đặt M max [ −3;2] [ −3;2] T= M + m Khẳng định sau đúng? có hồnh độ −3; −1; https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số B T = f ( −3) + f ( ) 1 C T f   + f ( ) = 2 1 D T f   + f ( ) = 2 Lời giải Chọn A 1  Ta có f ' ( x= e 5a ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) (Vì phương trình ) 5ax + 4bx3 + 3cx + 2dx += 2  f ' ( x ) = có nghiệm −3; −1; 2) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên f ( x ) NHĨM TỐNVD – VDC Từ bảng biến thiên ⇒ a < Suy bảng biến thiên f ( x ) :  f= ( −2 ) f ( ) ; f= ( −3) f ( 3)  Vì hàm số f ( x ) hàm số chẵn ⇒    1 f   f − 2 =  2   1 +) f ( 3) − f   = 2 ∫ f ' ( x ) dx = 1 11125a  f ( 0) NHĨM TỐN VD – VDC 1  +) f ( ) − f ( ) = −23a > 5a ∫ ( x + 3)( x + 1)  x −  ( x − ) dx = ∫0 f ' ( x ) dx = 2  (2) Từ (1) (2) ⇒ M = max f ( x ) = f ( −2 ) = f ( ) ; m = f ( x ) = f ( −3) [ −3;2] [ −3;2] Vậy T = M + m = f ( −3) + f ( ) Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau Gọi M giá trị lớn hàm số= y g (= x ) f ( − x ) [ 0;3] Mệnh đề sau đúng? A M = f ( ) B M = f ( 3) C M = f (1) D M = f ( ) NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Chọn C Ta có g ′ ( x ) = − f ′ (3 − x ) 3 − x =−1  x =4 g′ ( x ) = ⇔ − f ′ (3 − x ) = ⇔  ⇔ 3− x = = x 3 − x < −1 x > g′ ( x ) > ⇔ f ′ (3 − x ) < ⇔  ⇔ 3 − x > x < g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( − x ) > ⇔ −1 < − x < ⇔ < x < Từ ta có bảng biến thiên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 ... VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Dạng 2: Cho đồ thị, BBT hàm số y = f ( x ) , tìm GTLN, GTNN hàm số ( ) = y f= ( x ) , y f u ( x ) khoảng, đoạn Cho hàm số y = f ( x) liên. .. NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Vậy M = f (1) Câu 14 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục  có đồ thị hình vẽ GTLN, GTNN tương ứng M m hàm số T  M ... Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến GTLN, GTNN hàm số Chọn C Đặt t ( x )= x + x − với x ∈ [ 0;1] Ta có t ′ ( x= ) x + > 0, ∀x ∈ [0;1] NHÓM TOÁN VD – VDC Suy hàm số t ( x ) đồng