5 chủ đề + 55 đề thi vào lớp 10 môn toán 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT Ths: LÊ VĂN HƯNG & ĐẶNG THU THỦY LUYỆN TẬP SÂU VÀ CĨ CHỦ ĐÍCH CHỦ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀ 55 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MƠN TỐN A y (P ) : y = ax2 (a = 0) E F I O H D B (d) : y = mx + n (m = 0) O x C K CẬP NHẬT - CHỌN LỌC - BÁM SÁT NỘI DUNG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI √ Bám sát đề thi √ Phương pháp tư hay √ Đầy đủ lý thuyết dạng tập HÀ NỘI, 20 - 03 - 2019 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MỤC LỤC Lời nói đầu Minh họa cấu trúc đề thi vào 10 Hà Nội CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN PHỤ A Lý thuyết Các công thức biến đổi thức Cách xác định nhanh điều kiện biểu thức Các bước rút gọn biểu thức B Các dạng tập phương pháp giải Các toán rút gọn thức chứa số Dạng Tính giá trị cuả biểu thức A x = x0 11 Dạng Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức 12 Dạng So sánh biểu thức A với k 14 Dạng Tìm giá trị nguyên để x để biểu A có giá trị nguyên 15 Dạng Tìm giá trị x để biểu A có giá trị nguyên 16 Dạng Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A 18 Dạng Chứng minh biểu thức A luôn âm luôn dương 20 Dạng Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện 21 C Luyện tập tập nhiều ý hỏi D Một số câu rút gọn câu hỏi phụ đề tuyển sinh Hà Nội CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I: Giải biện luận hệ phương trình A Lý thuyết Hệ phương trình 30 Hệ phương trình khơng 30 Hệ phương trình chứa tham tham số 30 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Giải hệ phương trình 30 Dạng Giải hệ phương trình khơng 32 Dạng Giải hệ phương trình chứa tham tham số 34 C Giới thiệu câu giải hệ phương trình đề thi thức Hà Nội Phần II: Giải tốn cách lập hệ phương trình A Lý thuyết "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Phương pháp chung 40 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Tìm chữ số tự nhiên 41 Dạng Tính tuổi 42 Dạng Hình học 43 Dạng Toán liên quan đến tỉ số phần trăm 43 Dạng Tốn làm chung cơng việc 45 Dạng Bài toán liên quan đến thay đổi tích 50 Dạng Toán chuyển động 51 C Bài tập trắc nghiệm D Một số câu giải toán cách lập hệ phương trình đề thức Hà Nội CHỦ ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - ĐƯỜNG THẲNG - PARABOL A Lý thuyết Hàm số y = ax + b (a = 0) 60 Hàm số y = ax2 (a = 0) 60 Phương trình bậc hai ẩn 61 Hệ thức vi - ét ứng dụng 61 Phương trình quy phương trình bậc hai 62 Giải tốn cách lập phương trình 62 B Các dạng tập phương pháp giải Dạng Tính giá trị hàm số y = f (x) = ax2 x = x0 63 Dạng Xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số 63 Dạng Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) = ax2 (a = 0) 64 Dạng Xác định tham số 64 Dạng Tìm tọa độ giao điểm parabol đường thẳng 64 Dạng Xác định hệ số a, b, c phương trình bậc hai 64 Dạng Giải phương trình bậc hai 64 Dạng Giải biện luận phương trình bậc hai 65 Dạng Giải hệ phương trình hai ẩn gồm ẩn 65 Dạng 10 Giải hệ phương trình có hai ẩn số 65 Dạng 11 Hệ thức vi - ét ứng dụng 65 Dạng 12 Giải biện luận phương trình trùng phương 67 Dạng 13 Giải số phương trình, hệ phương trình 67 Dạng 14 Giải toán cách lập phương trình 68 Tổng hợp giải toán cách lập hệ phương trình phương trình "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Dạng 15 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc 74 Dạng 16 Tìm điểm cố định đường thẳng phụ thuộc tham số 75 Dạng 17 Tìm tham số m cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến 76 Dạng 18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 77 C Luyện tập tổng hợp D Giới thiệu số câu phương trình bậc hai đề tuyển sinh Hà Nội CHỦ ĐỀ IV: HÌNH HỌC A Kiến thức cần nhớ lớp 83 B Kiến thức cần nhớ lớp 84 C Kiến thức lớp 84 D Các dạng 98 E Phương tích giải tốn khó 105 F Kĩ thuật tư dạng hay hỏi 116 G Một số đề thi thức Hà Nội 118 H Các hình học để luyện tập phản xạ theo mơ hình 124 CHỦ ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN - MAX, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A Lý thuyết Bất đẳng thức Cô - si 127 Một số bổ đề thường dùng 127 Giải phương trình chứa thức 128 B Các dạng tập phương pháp giải Bài toán Min - Max Dạng Kĩ thuật chọn điểm rơi 128 Dạng Kĩ thuật khai thác giả thiết 130 Dạng Kĩ thuật Cô - si ngược dấu 131 Giải phương trình chứa thức Dạng Sử dụng biến đổi đại số 133 Dạng Đặt ẩn phụ 134 Dạng Đánh giá 136 C Luyện tập sâu có chủ đích ĐỀ MINH HỌA Luyện tập 15 đề thầy Lê Văn Hưng sưu tầm biên soạn 143 Luyện tập 30 đề thầy LÊ ĐỨC THUẬN chủ biên 158 Luyện tập 15 đề thi thử không chuyên đề chuyên 188 Hướng dẫn lời giải hướng tư 55 đề 203 "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội Bảng chấm điểm đề minh họa 232 Tài liệu liên tục chỉnh sửa cập nhật "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Với mong muốn tổng hợp nội dung hay bám sát theo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn THPT, giải tất tốn lớp cho em học sinh, tơi sưu tầm biên soạn tài liệu để giúp em học sinh khối có nhìn tổng quan nội dung cần học Tài liệu siêu tầm nhiều nguồn, nhiều sách với trân trọng thầy "LÊ ĐỨC THUẬN", , đề thi trường nước viết lại với ý tưởng Tài liệu tổng hợp có phân chủ đề trọng tâm có sở lý thuyết, phân dạng tập rõ ràng cụ thể, có ví dụ mẫu minh họa với cách giải theo mơ hình tư Đặc biệt 50 đề luyện tập giúp em nâng cao kĩ tốc độ làm Dù cố gắng kiểm soát nội dung viết tài liệu tránh sai sót mong nhận góp ý chân thành bạn đọc Tài liệu cập nhật chỉnh sửa để trở nên hay Xin chân thành cảm ơn!!! Ý tưởng & biên soạn LÊ VĂN HƯNG "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội MINH HỌA CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀO 10 HÀ NỘI DỰA TRÊN ĐỀ TUYỂN SINH Bài I (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức (1,0 điểm) b) Tìm giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện (0,5 điểm) c) Bài toán phụ (0,5 điểm) Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình phương trình Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình bậc hai ẩn (1,0 điểm) 2) (1,0 điểm) a) Bài toán đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm) b) Bài tốn đường thẳng, parabol, phương trình bậc hai (0,5 điểm) Bài IV (3,5 điểm) Hình học tổng hợp 1) Chứng minh tứ giác nội tiếp (hoặc chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn) (1,0 điểm) 2) Tam giác đồng dạng, , hệ thức lượng tam giác (1,0 điểm) 3) Câu hỏi vận dụng (1,0 điểm) 4) Câu hỏi vận dụng cao (0,5 điểm) Chú ý: Chứng minh phần có hình vẽ phần có điểm Bài V (0,5 điểm) Vận dụng cao 1) Bài toán Min - Max (bất đẳng thức) 2) Giải phương trình chứa thức 3) Giải hệ phương trình nâng cao "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC BÀI TỐN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CƠNG THỨC  BIẾN ĐỔI CĂN THỨC A A ≥ √ (1) A =| A |= −A A < √ √ √ (với A ≥ 0; B ≥ 0) (2) AB = √ A B A A (3) =√ (với A ≥ 0; B > 0) B √ √B (4) A2 B =| A | B (với B ≥ 0) √ √ (với A ≥ 0; B ≥ 0) (5) A B = A2 B √ √ (6) A B = − A2 B (với A < 0; B ≥ 0) √ A = (7) AB (với A.B ≥ 0; B = 0) B |B √| A A B (8) √ = (với B > 0) B B √ C A∓B C (với A ≥ A = B ) (9) √ = A − B A±B √ √ C A ∓ B C √ = (10) √ (với A ≥ 0; B ≥ 0; A = B) A−B A± B √ √ (11) A = A3 = A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC √ √ • A ⇒ ĐK: A ≥ Ví dụ: x − 2019 ⇒ ĐK: x ≥ 2019 A x + 2019 • ⇒ ĐK: B = Ví dụ: ⇒ ĐK: x = 2020 B x − 2020 A x+2 • √ ⇒ ĐK: B > Ví dụ: √ ⇒ ĐK: x > 2019 x − 2019 B  √ √  x≥0 A x • √ ⇒ ĐK: A ≥ 0; B > Ví dụ: √ ⇒ ĐK: ⇔ x > 2019 x > 2019 x − 2019 B     A ≤ x − ≤        B < x + <   x < −2 A x−1   • ⇒ ĐK:  Ví dụ: ⇒ ĐK:  ⇔   B x+2 x≥1  A ≥  x − ≥   B > x + >   √ x> a x>2 • Cho a > ta có x2 > a ⇔  √ Ví dụ: x > ⇒  x ta có x2 < a ⇔ − a < x < a Ví dụ: x2 < ⇔ −2 < x < Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1:  |A(x)| = k ⇔ A(x) =  ±k với k số 2x − = x=4 Ví dụ: |2x − 3| = ⇔  ⇔ 2x − = −5 x = −1 • Dạng tổng quát 2: |A(x)|= |B(x)| ⇔ A(x) = ±B(x)   2x − = x − x = −2 x = −2 Ví dụ: |2x − 3| = |x − 1| ⇔  ⇔ ⇔ 2x − = −(x − 5) 3x = −3 x = −1 • Dạng tổng quát 3: |A(x)| = B(x) Trường hợp 1: Nếu A(x) ≥ phương trình trở thành A(x) = B(x) Trường hợp 2: Nếu A(x) < phương trình trở thành  A(x) = −B(x)     2x − ≥ x≥         x = (thỏa mãn) x=2  2x − = x −     ⇔ Ví dụ: |2x − 3| = x − ⇔  ⇔       x< x=  2x − <    2x − = −(x − 1)  x = (thỏa mãn) Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1: |f (x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x) Đặc biệt với số k > |f (x)| < k⇔ −k < f (x) < k • Dạng tổng quát 2: |f (x)| > g(x) ⇔  f (x) > g(x) f (x) < −g(x)  f (x) > k Đặc biệt với số k > |f (x)| > k ⇔  f (x) < −k • Dạng tổng quát 3: +) |f (x)| < |g(x)| ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 +) |f (x)| > |g(x)| ⇔ [f (x)]2 > [g(x)]2 Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b khơng âm ta có: √ a + b ≥ ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Chú ý 4: Với hai số a, b ta ln có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Ví dụ 1: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x Hướng dẫn "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có A = x + Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = x TS 10 - Hà Nội 1 ≥ x = x x Vậy Amin = ⇔ x = 1 Ví dụ 2: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + x Hướng dẫn Cách giải sai: Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có B = x + Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn x ≥ 2) x 1 ≥ x = x x Vậy Bmin = ⇔ x = Gợi ý cách giải đúng: Dự đoán Bmin  nx = 1 x đạt x = Ta có B = nx + + x − nx Dấu ” = ” xảy  x=2 x 3x x + + Áp dụng bất đẳng thức Cô - si + ≥ 4 x x x x Dấu ” = ” xảy ⇔ = ⇔ x = (vì x ≥ 2) x Vậy Bmin = ⇔ x = 2 Ví dụ 3: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x + x Do ta có A = x = x Hướng dẫn 10 Dấu ” = ” xảy x = 3 x + 12 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = √ Với x ≥ x+2 Tương tự ta có C = x + 8x = + x x + x ≥ Hướng dẫn √ 16 Gợi ý: D = ( x + 2) + √ − ≥ Dấu ” = ” xảy x = x+2 Các bước rút gọn biểu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân số tối giản thì√ta hồn thành việc rút gọn x Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = +√ :√ x−9 x−3 x−3  x ≥ Điều kiện: x = √ x √ A= √ +√ :√ ( x − 3)( x + 3) x−3 x−3 "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 5: THPT Nguyễn Tất Thành - 2018 Bài I (2, điểm) √ √ √ x x+3 x+2 x+2 √ + √ : √ + Cho biểu thức A = − √ x+1 x−2 3− x x−5 x+6 1) Tìm điều kiện xác định A rút gọn A √ 18 2) Tìm giá trị x biết A = x − Bài II (1, điểm) Cho phương trình (m − 1)x2 − 2mx + m − = ẩn x Tìm m để phương trình √ có nghiệm x = − Tìm nghiệm lại √ Bài III (1, điểm) Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P ) đường thẳng d có phương trình y = mx − Tìm m để (d) (P ): 1) Cắt hai điểm phân biệt 2) Tiếp xúc 3) Khơng có điểm chung Bài IV (1,5 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Trong phòng họp ghế xếp theo hàng số ghế hàng Nếu kê bớt hai hàng hàng bớt hai ghế tổng số ghế phòng họp giảm 80 ghế so với ban đầu Nếu xếp thêm hàng hàng xếp thêm hai ghế tổng số ghế phòng họp tăng thêm 68 ghế so với ban đầu Tính số hàng ghế số ghế phòng họp lúc ban đầu Bài V (3, điểm) CHo đường tròn (O; R) Qua điểm A cố định nằm ngồi đường tròn kẻ đường thẳng d vng góc với OA Từ điểm B đường thẳng d (B không trùng với A), kẻ tiếp tuyến BA BC với (O; R) (D, C tiếp điểm) Dây CD cắt OB N , cắt OA P 1) Chứng minh tứ giác OCBD BN P A tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: OA.OP = OB.ON = R2 3) Cho CBO = 300 R = 6cm Tính diện tích tứ giác BCOD diện tích hình giới hạn cung nhỏ DC dây DC 4) Gọi E giao điểm đường thẳng AO với đường tròn (O) ((O) nằm A E) Khi B di chuyển đường thẳng d chứng minh trọng taam G tam giác ACE thuộc đường tròn cố định Bài VI (1, điểm) 1) Cho a, b, c số thực dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức S= √ √ √ a2 + 4ab + b2 + b2 + 4bc + c2 + c2 + 4ca + a2 √ 2) Giải phương trình: x3 + = 2(x2 − x + 6) "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 194 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 6: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng đợt 1) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình x2 + + √ √ x2 + x + = 2x + 3x + 2) Giải hệ phương trình   x2 + 4y = 5x + 10y + 4x2 y + 8y x = 27 Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất ước số nguyên dương phân biệt số n = (420)4 2) Với a, b, c > min(ab, bc, ca ≥ 1) Chứng minh rằng: 2 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≤ 1+ a+b 2 1+ b+c 2 1+ c+a 2 Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O với BA > BC Phân giác ngồi góc ABC cắt đường thẳng qua A song song với BC P 1) Chứng minh AP = AB 2) Tiếp tuyến qua A (O) cắt P B Q BP cắt (O) M khác B Chứng minh rằng: M A2 = M Q.M P 3) Gọi R đối xứng với Q qua AC Chứng minh góc AP R = CP B Bài IV (1, điểm) Giả sử số ngun dương n có tính chất: có tồn cách xếp a1 , a2 , , a2 n 2n số 1, 1, 2, 2, , n, n cho với k = 1, 2, , n tồn k số xếp hai số k Chứng minh n2 + n chia hết cho "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 195 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 7: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 2018 (Vòng đợt 1) Bài I (3, điểm) 1) Giải hệ phương trình   xy(x + y) = y + y + = 7x3 + x 2) Với a, b, c số thực bất kỳ, chứng minh bất biểu thức Q= c b a c b a + + a−b c−b b−c a−c c−a b−a nhận giá trị nguyên Bài II (3, điểm) 1) Xét số nguyên tố n1 < n2 < n3 < < n31 Giả sử n41 + n42 + + n431 chia hết cho 30 Chứng minh dãy số tồn số nguyên tố liên tiếp 2) Với x, y, z số thực thỏa mãn x3 + y + z − 3xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y + z Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC P điểm nằm tam giác D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB (I) đường tròn ngoại tiếp ∆DEF 1) Giả sử (I) cắt AB K khác F Trung trực DE cắt DK G Chứng minh G nằm đường thẳng d cố định P thay đổi 2) Lấy J thuộc d cho IJ//BP Chứng minh IJ BC cắt đường tròn (I) Bài IV (1, điểm) Chứng minh với hợp số n > không tồn cách xếp a1 , a2 , an số 1, 2, n cho số a1 , a1 a2 , a1 a2 a3 , a1 a2 an có số dư đơi phân biệt chia cho n "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 196 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 8: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 03 - 03 - 2018 Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ x2 + 8x + + √ x2 − = 2x + 2) Giải hệ phương trình  x2 − y + = 4x + 2y  x2 + xy + y = Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 − 2xy − x + y + = 2) Với só thực dương a, thỏa mãn a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= √ b a +√ 4−a − b2 Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC với E, F lượt hình chiếu vng góc B C lên cạnh CA, AB Gọi M , N Q trung điểm đoạn thẳng BE, CF , CA AB Đường thẳng M N cắ CA, AB K, L LF KC = 1) Chứng minh KE LB 2) Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác AKL nằm đường thẳng P Q Bài IV (1, điểm) Cho nguyên dương, số có ước nguyên tố 2, 3, Chứng minh số tồn hai số mà tích chúng bình phương số ngun "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" 197 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 9: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 07 - 04 - 2018 (Toán chung đợt 3) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ x + 2(x + √ √ 2x + 1) = x + + x 2x + 2) Giải hệ phương trình   x3 + 2xy = x3 + 3x = 4y Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất số nguyên tố cho 2p2 + số nguyên tố 2) Cho số a, b thỏa mãn a2 − b2 = Tìm giá trị nhỏ P = 2a − b Bài III (3, điểm) Cho tam giác nhọn ABC có BAC Gọi O H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 1) Chứng minh BCHO tứ giác nội tiếp √ 2) Chứng minh BH − HC = 3HO Bài IV (1, điểm) Xếp 2018 bóng đánh số từ đến 2018 lên đường tròn Với hai bóng xếp kề nhau, ta tính hiệu hai số ghi hai bóng (lấy số lớn trừ số bé) Gọi S tổng tất hiệu Tìm giá trị nhỏ S "Dạy học tốn học, khơng phải toán học" 198 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ 10: THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội - 08 - 04 - 2018 (Toán chuyên đợt 3) Bài I (3, điểm) 1) Giải phương trình √ √ √ x + + − x − + 3x − x2 = 3x − 2) Giải hệ phương trình   x3 − 9y = 18 xy(x − y) = Bài II (3, điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương m (m > 1) cho tồn số nguyên n để n2 + (n + 1)2 + chia hết cho m 2) Cho số a, b, c thỏa mãn ≤ a, b, c ≤ Chứng minh a+b+c> √ √ √ a+ b+ c Bài III (3, điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB với AD > BC Gọi (ω) đường tròn qua C tiếp xúc với AB O Gọi E giao điểm đường thẳng OD (ω) (E khác O) I giao điểm đường phân giác COD đường thẳng BD 1) Chứng minh BCIF tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp ∆OCE Bài IV (1, điểm) Xét tập S = {1, 2, 3, , 9, 10, 11} Chứng minh với cách chia tập S thành hai tập ln tồn ba phần tử a, b, c thuộc tập cho a + b = c "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 199 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ KIỂM TRA 01 Bài I (2, điểm) √ √ x x 3x + với x ≥ 0; x = +√ − Cho biểu thức A = √ x−9 x+3 x−3 1) Chứng minh A = √ x+3 2) Tính giá trị biểu thức A x = 16 3) Tìm giá trị lớn P Bài II (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m2 Tính diện tích khu vườn ban đầu Bài III (2, điểm) 1 + =2 x−2 y−3 1) Giải hệ phương trình   + = 10 x−2 y−3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 đường thẳng (d): y = (2m−6)x−m+13    với m tham số a) Chứng minh (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm A, B (d) (P ) Tìm tất giá trị m để x21 x2 + x22 x1 = 2020 Bài IV (3, điểm) Cho đường tròn (O), BC dây (BC < 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc M I, M H, M K xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM , IK P , giao điểm CM , IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIM K, CIM H nội tiếp Chứng minh M I = M H.M K Chứng minh P Q ⊥ M I Bài V (0, điểm) Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: √ a + 2b + √ √ b + 2c + c + 2a ≤ "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 200 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ KIỂM TRA 02 Bài I (2, điểm) √ √ √ x+1 1− x 15 − x √ với x ≥ 0; x = 25 +√ :√ B = Cho biểu thức A = x −√ 25 x+5 x−5 1+ x x 1) Chứng minh A = √ x+1 2) Tính giá trị biểu thức A x = 400 3) Tìm số thực x để P = A − B có giá trị nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Hai vòi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể? Bài III (2, điểm)  −3  + = −2 √ y − x − 1) Giải hệ phương trình 11   √ − =2 x−1 y−1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + m + với m tham số a) Chứng minh (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt b) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm A, B (d) (P ) Tìm tất giá trị m để |x1 − x2 | = Bài IV (3, điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường tròn (A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB(C không trùng với A B) Từ điểm C kẻ CD vng góc với AB, CE vng góc với M A, CF vng góc với M B (D ∈ AB, E ∈ M A, F ∈ M B Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC BF 1) Chứng minh tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh hai tam giác CDE CF D đồng dạng 3) Chứng minh tia đối CD tia phân giác góc ECF 4) Chứng minh đường thẳng IK song song với đường thẳng AB Bài V (0, điểm) Cho a > 0, b > thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + b + 1 + 2 a b "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 201 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội ĐỀ KIỂM TRA 03 Bài I (2, điểm) √ √ √ x−2 x−1 x−2 − B = √ với x ≥ 0; x = Cho biểu thức A = x+3 4−x x+2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 2) Rút gọn biểu thức P = A.B 3) Tìm x để (6x + 18).P ≥ x + Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị đơn vị Nếu viết thêm chữ số vào hai chữ số cho số lớn số cũ 460 đơn vị Bài III (2, điểm)    + =2 y−2 1) Giải hệ phương trình x −   − =1 x−5 y−2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P ): y = x2 đường thẳng (d): y = 3x − m + với m tham số a) Tìm m để (d) tiếp xúc với Parabol (P ) b) Tìm m để (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x21 = x2 + Bài IV (3, điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kì, vẽ M I vng góc với AB, M K vng góc với AC (I ∈ AB, K ∈ AC) 1) Chứng minh tứ giác AIM K nội tiếp đường tròn 2) Vẽ M P vng góc với BC (P ∈ BC) Chứng minh M P K = M BC 3) Chứng minh M I.M K = M P 4) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích M I.M K.M P đạt giá trị lớn Bài V (0, điểm) Cho a > 0, b > 0, c > thỏa mãn a2 + b2 + c2 = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a2 a b c + + + bc b + ca c + ab "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 202 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI CỦA 55 ĐỀ LỜI GIẢI BỘ 15 ĐỀ CỦA THẦY HƯNG ĐỀ SỐ 01 Bài IV C M D E F A O B 1) Ta có CA = CM DM = DB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên AC + BD = CM + DM = CD 1 2) Ta có COD = COM + M OD = AOM + M OB = AOB = 900 2 3) Ta có ∆COA ∼ ∆ODB (g - g) AB ⇒ AC.BD = OA.OB = 4) Với OC = 2R, OM = R Ta chứng minh √ M CO = 30 R R ⇒ M OC = 600 ⇒ EM = OM.sin600 = , OE = OM.cos60 = , Sxq = 2π.M E.OE = 2 √ π.R2 3πR (đvdt) V = π.M E OE = (đvtt) Bài V Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1 √ √ Biến đổi giả thiết ta có x + y = x + + y + Đặt Q = x + y Q = x + y ≥ 0, mặt khác Q2 = Q + + (x + 1)(y + 1) ⇒ Q2 ≥ Q + ⇒ Q2 − Q − ≥ ⇒ (Q + 1)(Q − 2) ≥ ⇒ Q ≥ (vì Q ≥ 0) Vậy Pmin = + 2020 = 2022 Dấu ” = ” xảy x = 3, y = −1 Sử dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có: (x + 1)(y + 1) ≤≤ x + y + = Q + √ √ √ ⇒ Q2 ≤ 2Q + ⇒ − ≤ Q ≤ + ⇒ Q ≤ + (do Q ≥ 0) √ √ √ 1+ Vậy Pmax = 2020 + + = 2021 + Dấu xảy x = y = "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 203 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội LỜI GIẢI BỘ 30 ĐỀ ĐỀ SỐ 01 Bài IV C D E B A O H ĐỀ SỐ 02 Bài IV I N D A M 600 B O E C K ĐỀ SỐ 03 Bài IV "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 204 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội K F N I C O B H d A M E ĐỀ SỐ 04 Bài IV A N O G M B H I E C ĐỀ SỐ 05 Bài IV "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 205 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H C TS 10 - Hà Nội M E K O A B I D ĐỀ SỐ 10 Bài IV I D K M C E A O N F O B ĐỀ SỐ 11 Bài IV "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 206 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội M O B C I N A P Q ĐỀ SỐ 23 Bài IV D C Q N I K A P O B H M "Dạy học tốn học, khơng phải tốn học" 207 Ths: Lê Văn Hưng & Đặng Thu Thủy Phone: 035.849.4609 Facebook: CLB Toán T & H TS 10 - Hà Nội "KIẾN THỨC CỦA CHÚNG TA CHÍNH LÀ CÁI MIỆNG GIẾNG MIỆNG GIẾNG CÀNG TO THÌ ĐÀO GIẾNG ĐƯỢC CÀNG SÂU" —– CHÚC CÁC EM ÔN THI TỐT —– TÀI LIỆU SẼ LUÔN ĐƯỢC CẬP NHẬT & CHỈNH SỬA ĐỂ PHÙ HỢP VỚI CÁC NĂM —– TO BE CONTINUED —– "Dạy học toán học, khơng phải tốn học" 208 ... có x x+1+x A= √ √ :√ √ x( √x + 1) √ x( x + 1) √ x x( x + 1) √ A= √ √ x(√ x + 1) x + + x x A= √ x+1+x √ x b) Ta có: A = √ = √ x+1+x 1+ √ + x x √ √ 1 Xét biểu thức mẫu: + √ + x ≥ x √ + = (áp... Hướng dẫn √ x+2 √ x+ x+1 √ √ b) Cách 1: Với √ x > 0, x = 1√⇒ x + x + > x + > x+2 x+2 √