Toàn cảnh đề thi vào lớp 10 chuyên trên toàn quốc

VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   TOÀN CẢNH ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN TRÊN TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2019-2020 Mục lục Chuyên đề 1:Căn bậc hai toán liên quan   2  Chuyên đề 2:Bất đẳng thức-min-Max   29  Chuyên đề 3:Phương trình  . 62  Chuyên đề 4:Hệ phương trình  . 104  Chuyên đề 5:Hàm số  . 131  Chuyên đề 6:Giải toán cách lập phương trình,hệ phương trình,bài tốn thực tế  . 150  Chuyên đề 7:Hình học  . 158  Chuyên đề 8:Số học   262  Chuyên đề 9:Biểu thức   304      Ngày 13/10/2019  Vũ Ngọc Thành Bản vàng Pheo- Mường So-Phong Thổ-Lai Châu  Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 1    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020     Căn bậc hai toán liên quan Chuyên đề Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020) Cho biểu thức x x 1  x   với x  0, x  25 x  25 x 5 5 x P a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P < Lời giải  5    x  15  x     x   x  55  x  x 2 x  x   2 x  10 x    x  5  x x  5  x       x 5 x  x x 1  x    x  25 x 5 5 x a) P       x  55  x  x  x  x6 x 5  59 b) P     x  x 5 x x 1 1   0 x 5 x 5 x 5 x x 5 x 5 0 x 5  x    x    x  25 Vậy  x  25 Câu (Trường chun tỉnh Bình Định vịng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: 3 3 A  2  3 2  3 Lời giải        ● 2   2  3  82 2    5  82 ●    1             10      62  3  3       3  3 3 2  3         1      1  12     10  ●    3 2    3  3   12     10  Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 2    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN   Do A       2  3  3 2   2    2  3    10  – NĂM HỌC – 2019-2020 đó:  10  20   10 10 Vậy A  Cách khác: Ta có:●  3  2  3  3 ●   2  3  62 4 62 62  62 62  4   1 62   4  1   62  2 5 5 62  2 5 5  4  20   20  40 Do đó: A             5   25  20 Vậy A  Câu (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:    B  13    20  43  24 Lời giải    B  13    20  43  24  = 91  52  28  48  = 43  24   13    = 43  24    2   13    74 3 1  = 43  24       2  3     = 35 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x , y số thực dương P  x  x  x y  y  y  y x  Chứng minh 3 x  y  x  y   P2 Lời giải Đặt a  x ; b  y  a, b   , ta có Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 3    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN   P  a  a  a 2b  b3  b  ab  a  b    a  b  1 a  b  – NĂM HỌC – 2019-2020 P  a  b   x  y  Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức x  2x  3x  38x  x   A x  4x  Lời giải Ta có x    x  2   x  4x   x  4x   x  4x    x  2x  3x  38x         x  4x  x  2x  8x  2x  10x  40x  10     A  5 Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: 1 1   1 A Lời giải Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020)    x x   : 1   với x  0, x  x  x  x x  x  x      Cho biểu thức P   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P  Lời giải a) Biến đổi x   x 1 x x  x  x 1  x 1 x   x   x  1 Biến đổi  x 1 1 x   x   x  1  x 1 x   x   x  1 x x 1 x  x 1 x 1 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 4    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   P x 1 b) P 1 2 x 1 0 x 1 x 1   x   x  x    1 x  x    x    x  TH1:    x   x  x    (không xảy ra) x   x    x  TH2:  Vậy giá trị x cần tìm  x  Câu (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A  x   x  1  x   x  1   1   x  1, x   x 1  x   x  1 a)Rút gọn biểu thức A b)Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Lời giải a) A x   x  1  x   x  1   1    x 1  x   x  1 A x  x 1  x  x 1  x      x 1  x2  4x  x 1 1   x 1  x     x2  x 1  Nếu  x  A  1 x Nếu x  A  x 1 b) - Nếu  x  khơng có giá trị ngun - Nếu x  A  x 1 + x    x  l  A + x 1   x  n Câu (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức    ( a  1)2  a 5 P   1    a 1 a a  a  a 1  a      Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 5    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Lời giải  a 5 P   a   a  1 a           a 1 a Điều kiện: a  0, a      a  1  a  1   a 1  a 1 a a Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức P  3x  16x  x 2 x 3  x 1 x 3  x 3 x 1 ( x  0, x  ) Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức P  a4 a4 a 4 : , với a  0, a  a 2 a 4 Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức A 42  62  5 Lời giải A  (  1)  (  1)    1 1   3 5 5 5 2(  3) 2 Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức  x 3x M     x  xy  y x x  y y  x y   x  1 ( x  y )  :  x  xy  y a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên Lời giải a).Điều kiện: x  0; y  0; x  y; x  Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 6    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   x M      x  y  x  x  xy  y x  xy  y ; x xy y x  x  y     x y  x   x  xy  y x  xy  y M xy  y   x  1    x y  x 1 M  b).Để M có giá trị nguyên x-1 ước Các ước nguyên 1;   x 1   x2  x   1  x0  Do ta có   x 1   x3    x   2  x  1 Vì x  0; x  nên có x = 0; x = 2; x = thỏa mãn Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức:  x 3 x  24 x 2 x   A :     , (với x  0, x  4, x  ) x  x   x   x x  x   Rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Lời giải Rút gọn biểu thức A  x 3 x 3  x  x   x  2 x  24   A :   x  x 2 x 2 x 3        A A A       x  9   x  4  x     :   x 1 x 2  x 2 x 3     x  24 x 3   :   x 1 x 2  x 2 x 3    x  24             x  24 x 1 2) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ x  24 x   25 25 25 M   x 1   x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 25  10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có x   x 1 Do M  Đẳng thức xảy   x   25  x    x  16 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 7    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   Vậy giá trị nhỏ M 8, đạt x=16 Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức sau: A   27  12  a 1 2a   , (với a  0, a  )   :  a  a  a  a  B    Lời giải A   27  12  6 2 0  a 1 2a    B   với a  0, a   :  a  a  a  a   a 1  2a      a  1  a  a ( a  1)  ( a  1)2  a ( a  1) ( a  1)( a  1) a  1  3a  Câu 16 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020)  x 1 x  1)Tìm điều kiện xác định: A  2)Rút gọn: B  12  27 3) Rút gọn: C  a 1 1 a 1 Lời giải x  1 ĐK:  x  2 B  10  3  a  ĐK:  ; C  a  1  a a  Câu 17 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chuyên Toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: A 3a  9a  a 2   1 a a 2 a 1 a 2 1)Rút gọn biểu thức A 2)Tìm giá trị a để A  Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 8    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   Lời giải 1).Điều kiện a  a  A  3( a  a  1) ( a  )( a  1) 3( a  a  1)  A  A  2) A    a 2 a 1  a   a  ( a  2)  1 a   ( a  )( a  1) ( a  )( a  1) a 1 a 1 a 1 a 1 để A   a 1 2 a 1 a  Học sinh giải phương trình tìm giá trị  a   Câu 18 (Trường chun tỉnh Hịa Bình dành cho tất thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn: A  (  3)(  3)  Lời giải a) Tìm giao (d ) với Ox, Oy A( 1; 0) B(0;-2) Vẽ đường thẳng (d ) m   m3 b) (d )  (d )    m  2 Câu 19 (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng năm 2019-2020)  a 1    a  2a a 1   a) Cho a số thực khác 1 Rút gọn biểu thức P    a 1 a 1  a 1    3  a 1 b) Cho số thực x, y , a thoản mãn x  x y  y  y x  a Chứng minh x2  y2  a2 Lời giải 2  a  1   a  1  a 1     a  1  a  a  1 2a a  1  a  2a a 1        a) Ta có P  a  a   a  12   a  12  a  1  a  a  1 a   a 1    3  a 1  a  1  a  a  1  a  12  a  1  a  a  1 2a a  2a  a     1   2  a  a  1  a  1  a  1  a  a  1 a  a  a  a  Vậy P  1 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 9    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN   b) Đặt s  x t  y đẳng thức đề viết lại thành Do s, t  nên – NĂM HỌC – 2019-2020 s3  s2t  t  t s  a s3  s2t  s s  t , t  t s  t s  t Từ ta có  s  t  s  t  a hay  s  t   a Suy s  t  a Đây kết cần chứng minh Câu 20 (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)  2x  x 1 2x x  x  x  x  x  với x  0, x  1, x   1 x x  1 x  x 1 Cho P    a) Rút gọn P b)Tìm giá trị x cho P  Lời giải  ( x  1)(2 x  1) x (2 x  1)( x  1)  x ( x  1) P  1    (1  x )(1  x ) (1  x )( x  x  1)   x 1  x( x  1)  P  1   x   x  x 1  P  (1  x )( x  x  1)  x( x  1) x  x 1 (1  x ) x   x  x x  x x 1  x  x 1 x  x 1 P x 1   x  x 1  x   3  (tháa m·n)  x  x 1     x   3  (tháa m·n) Vậy để P  x   Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức  x x  x 3  : P     (với x  )  x x  x  x  x  1 x  x  1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P  Lời giải P x 3 : x  x  x  x 1 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 10    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tam giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 Lời giải Gọi đường thẳng cho  d i , d j i, j  1;2022, i  j, A ij  A ji giao điểm đường thẳng d1 , d , d , , d 2022 ;A ij  Xét đường thẳng d n số 2022 đường thẳng cho Do khơng có ba đường thẳng đồng quy nên giao điểm A ij  n  i, j cặp đường thẳng d i ,d j không nằm d n Do số giao điểm hữu hạn nên tồn giao điểm gần d n nhất, giả sử A ij (nếu có nhiều giao điểm ta chọn giao điểm số đó) Ta chứng minh tam giác A ij A ni A nj tam giác đẹp Thật vậy, tam giác bị đường thẳng d m 2019 đường thẳng cịn lại cắt d m phải cắt hai đoạn thẳng A ij A ni , A ij A nj Giả sử d m cắt đoạn thẳng A ij A ni điểm A mi A mi gần d n A ij Điều trái với giả thiết A ij gần d n Suy ra, với đường thẳng d n tồn tam giác đẹp có cạnh nằm d n Trên đường thẳng d m ta chọn cạnh tam giác đẹp ta thu 2022 cạnh tam giác đẹp Vậy số tam giác đẹp khơng hơn: 2022 :  674 (đpcm) Câu 79 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc vịng năm 2019-2020) Bạn Bình có 19 viên bi màu xanh, 21 viên bi màu đỏ 23 viên bi màu vàng Bình thực trị chơi theo quy tắc sau: Mỗi lần Bình chọn viên bi có màu khác nhau, sơn chúng màu thứ ba (Ví dụ: Nếu Bình chọn viên bi gồm viên bi màu xanh viên bi màu đỏ Bình sơn viên bi thành màu vàng) Hỏi sau số hữu hạn lần thực trò chơi theo quy tắc trên, bạn Bình thu tất viên bi màu hay không ? Tại ? Lời giải Câu 80 (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng năm 2019-2020) Từ đa giác 15 đỉnh, chọn đỉnh Chứng minh có đỉnh số đỉnh chọn ba đỉnh tam giác cân Lời giải B2 A2 C2 C1 A3 B1 B3 A1 C3 C5 A4 B5 B4 C4 A5 Ký hiệu đỉnh liên tiếp đa giác 15 cạnh A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 , , A5 , B5 , C5 đó, ta có ngũ giác rời A1 A2 A3 A4 A5 , B1B2 B3 B4 B5 , C1C2C3C4C5 Theo nguyên lý Dirichlet đỉnh chọn có đỉnh thuộc ngũ giác kể Mặt khác ngũ giác đỉnh ba đỉnh tam giác cân Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 298    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Vậy đỉnh chọn tồn đỉnh đỉnh tam giác cân (Chú ý: Học sinh có khơng cần vẽ hình minh họa cho câu này) Câu 81 (Trường chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức P  x  3x  x  lũy thừa số nguyên tố Lời giải Nếu x  P   (thỏa mãn) Nếu x  P   (thỏa mãn) Nếu x  P  25  (thỏa mãn)    Nếu x  , giả sử x  x   q n với n   * q số nguyên tố x   q a Ta có x   x  suy  với a, b  , n  a  b  b x   q  Do đó, x2  10   x 3    10  x   x   10  x  x 3 x 3   Thử lại với x   P  500 (không thỏa mãn)   Vậy tập giá trị cần tìm x 0;1;2 Câu 82 (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020) Tìm tất cặp số nguyên tố ( , ) cho = 41 Lời giải Ta có Vì lẻ nên = 41 suy = 41 + suy Thế lẻ = + ( số nguyên dương) Thế vào (*) ta có = ( + 1) Mà số lẻ suy nguyên tố nên 20 suy chẵn = = vào (*) ta có = 49 suy = (Học sinh đốn nghiệm mà khơng lập luận khơng có điểm) Câu 83 (Trường chun tỉnh Vĩnh Phúc vịng năm 2019-2020) Tìm tất số ngun dương p, m, n thỏa mãn m p2   n , p số nguyên tố Lời giải Câu 84 (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2019-2020) Cho mãn n số nguyên dương thỏa 12n  số nguyên Chứng minh 12n   số phương Lời giải Vì 12n  số lẻ nên để 12n  số nguyên 12n   2m  1 , m   Suy ra, m m  1  3n Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 299    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   m  3u ; m   v Vì m ; m  1  nên xảy hai trường hợp  , u, v  * 2 m  v ; m   3u Nếu m  v ; m   3u v  3u  hay v2 số phương chia dư Điều khơng xảy số phương chia dư Do xảy m  3u ; m   v Ta có 12n    2m  1   4m   4v số phương (điều phải chứng minh) Câu 85 (Trường chuyên tỉnh Thái Ngun chun tốn năm 2019-2020) Tìm tất số nguyên tố p cho p  59 có sáu ước số dương Lời giải +) Với p  ta có p  59  63 Số 63 có sáu ước số dương là: 1; 3; 7; 9; 21; 63 Vậy p  thỏa mãn +) Với p  ta có p  59  68 Số 68 có sáu ước số dương là: 1; 2; 4; 17; 34; 68 Vậy p  thỏa mãn +) Với p  Khi p số tự nhiên lẻ khơng chia hết cho (vì p số nguyên tố) p chia 2 cho dư p chia cho dư Vậy p  59 chia hết cho Mà hai số nguyên tố 2 nên p  59 chia hết cho 12 p  59  12 nên p  59 có ước số dương là: 1; 2 2; 3; 4; 6; 12; p  59 Trong trường hợp p  59 có nhiều sáu ước số dương nên p  khơng thỏa mãn Tóm lại p  2; p  Câu 86 (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng năm 2019-2020) Cho tập hợp X thỏa mãn tính chất sau: Tồn 2019 tập A1 , A2 , , A2019 X cho tập A1 , A2 , , A2019 có ba phần tử hai tập Ai , Aj có phần tử chung với  i  j  2019 Chứng minh a) Tồn tập hợp tập hợp A1 , A2 , , A2019 cho giao tập hợp có phần tử b) Số phần tử X phải lớn 4039 Lời giải a) Xét tập hợp A1 có ba phần tử a , b , c Mỗi tập hợp Ai với i  2, , 2019 phải có chung với A1 phần tử Ta chia tập hợp Ai với i  2, , 2019 tạo thành ba nhóm Nhóm thứ gồm tập hợp chứa phần tử a , nhóm thứ hai gồm tập hợp chứa phần tử b nhóm thứ ba gồm tập hợp chứa phần tử c Ba nhóm tổng hợp lại có 2018 tập hợp, phải có nhóm chứa 673 tập hợp 673 tập hợp với A1 tạo thành 674 tập hợp có phần tử chung Chỉ cần lấy tập hợp chúng tập hợp thỏa mãn yêu cầu toán (Chú ý, giao bốn tập hợp khơng thể có q phần tử) b) Xét bốn tập hợp A1 , A2 , A3 , A4 có chung phần tử a Ta chứng minh tất tập hợp cịn lại có chung phần tử a Thật vậy, giả sử tồn tập hợp A khơng chứa a Khi tập A1 , A2 , A3 , A4 có chung với A phần tử (khác a ) Vì A có ba phần tử nên theo nguyên lý Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 300    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Dirichlet, có hai tập hợp chúng có chung phần tử chung với A Chẳng hạn A1 , A2 có chung phần tử b với A Nhưng lúc ta có điều mâu thuẫn A1 , A2 có chung hai phần tử a b Vậy tất tập hợp có chung phần tử a Do giao hai tập hợp có phần tử nên tất phần tử khác a cịn lại đơi khác nhau, suy A1  A2   A2019   2019   4039 Từ suy số phần tử X khơng 4039 Câu 87 (Trường chun tỉnh Bình Thuận vịng năm 2019-2020)Trong buổi tổ chức tun dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay nhau, An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi tổ chức tun dương đó? Lời giải Giả sử ngồi An n bạn An quen m bạn Số bắt tay m  n  n  n  1  m  420  n n  1  2m  840  n n  1  2n  n n  1  2m  840  n  n  840  n  29 Khi n  29 m  14 Khi n  30 n n  1  870 (loại) Vậy An quen 14 bạn Câu 88 (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho tập hợp T gồm 2019 số nguyên dương đôi khác số lớn thuộc T 4036 Chứng minh tập hợp T có hai số phân biệt mà số bội số Lời giải Mỗi số nguyên dương a viết dạng a  s.m với s  , m số nguyên dương lẻ Viết 2019 số nguyên dương cho dạng s.m số lớn 4036 nên m thuộc tập gồm 2018 số lẻ 1,3,5, , 4035 Do tập hợp T có 2019 số nguyên dương đôi khác nên theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số a, b T cho a  s.m0 ; b  p.m0 , với m0  1,3,5, , 4035 , s, p  , s  p Khi a bội b Điều phải chứng minh Câu 89 (Trường chuyên tỉnh Khánh Hòa Vòng năm 2019-2020) Cho A  20  21  22   22019 B  22020 Chứng minh rằng: A,B hai số tự nhiên liên tiếp Lời giải Có A  20  21  22   22019 2A  21  22  23   22020 Trừ vế theo vế, ta được: Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 301    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   2A  A   21  22  23   22020    20  21  22   22019   A  22020  Lại có: B  22020   (lũy thừa 2020 theo số 2) Nên: A  22020  1  Và B  A  Vậy A,B hai số tự nhiên liên tiếp Câu 90 (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng năm 2019-2020) Biết 1111 15555      tích hai số lẻ liên tiếp Tính tổng hai số lẻ 2018 chư õsố1 2018 chư õsoá5 Lời giải Viết số dạng: 1111 15555      = 1111    100 05    2018 chö õsố1 2018 chư õsố5 2018 chư õsố1 2017 chư õsố0 = 1111    3333 35  2018 chư õsố1 2017 chư õsố3 = 3333    3333 35  tích số lẻ liên tiếp 2018 chư õsố3 2017 chư õsố3 Tính tổng hai số 6666 68  2017 chư õsố6 Câu 91 (Trường chun tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Tìm số tự nhiên có chữ số dạng abcd , biết tích hai số ab cd 380 đồng thời tăng số ab thêm đơn vị giảm số cd đơn vị tích khơng đổi Lời giải ab.cd  380 Ta có  ab  cd   380     Đặt x  ab, y  cd , với x, y   10  x, y  99  xy  380  xy  380  Hệ trở thành   x  1  y  1  380 x  y   y  19  y  y  1  380  y  y  380     y  20  y  19  x  20 Vậy số cần tìm 2019 Câu 92 (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vịng năm 2019-2020) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd cho abcd  k k  * ab  cd  (các chữ số tự nhiên a, b, c, d giống nhau)   Lời giải   Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd cho abcd  k k  * ab  cd  (các chữ số tự nhiên a, b, c, d giống nhau) Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 302    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020       abcd  k k  *  k  100ab  cd  100  cd  cd  k  100  101cd  101cd  k  100  101cd   k  10  k  10  Do k  100 (vì k có chữ   k  10 101  k  10  101  k  91 số)  k  10  101 101 số nguyên tố Suy abcd  912  8281   Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 303    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Chuyên đề Biểu thức     Câu (Trường chun tỉnh Bình Dương chun tốn năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức: P   x  x  x3  x   x 2018  2019 1 1 Lời giải Ta có: x  2 1  1   2 1  2 1    1 Đặt A  x5  x  x3  x  Ta thấy: A  x  x  x  1  x  x   x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1    x  x  1 x  x  1  1 Mà x  x     2   1        1 1  Thay x  x   vào A , ta A  1 Vậy P   1 2018  2019  2020 Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vòng năm 2019-2020) Cho số thực dương a, b, c, d thỏa a b c d    Tính giá trị biểu thức b c d a 2a  6b  2019c  2020d  43 B 2a  3b  4c  5d Lời giải Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020) Cho a, b, c số thỏa mãn điều 3 kiện a  b  c  3abc a  b  c  Tính giá trị biểu thức Q  5a  6b  2019c Lời giải 3 Cho a, b, c số thỏa mãn điều kiện a  b  c  3abc a  b  c  Tính giá trị biểu thức Q  5a  6b  2019c a  b3  c3  3abc   a  b   3ab(a  b)  c3  3abc    a  b   c  3ab(a  b  c)  Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 304    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020     a  b  c    a  b  c  a  b  c   3ab(a  b  c)    a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c  ab  bc  ca   (a  b)  b  c   c  a   2  abc abc ( a  b  c  ) 3 Vậy Q    2019  2030 Câu (Trường chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện: a  b  c  Tính giá trị biểu thức: A  a  b  c   ab  c  c  1 Lời giải A  a  b3  c   ab  c  c  1   a  b  c    a  b  b  c  c  a    ab  c 1  c    1  c 1  a 1  b    ab  c 1  c    1  c  1  a 1  b    ab  c     1  c 1  a  b  ab  ab  c    1  c  1   a  b  c     1  c 1  1 1 Vậy A   Câu (Trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh vòng năm 2019-2020) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn điều kiện: abc0 1    Tính giá trị biểu thức a b c      1 M  1   1   1   a   b  c Lời giải 2 2 2 1 1  1 1 1 1 1 1 Ta có M                          2.3  a b c a b c a b c 2 2 1  1 1 1 1 1  Từ giả thiết có: 32                    a b c a b c  ab bc ca  2 2 2 2       a  b  c       1  1 1               0        abc a b c a b c a b c Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 305    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Do M   2.3  32  18 Câu (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020) Cho số thực a, b thỏa mãn a2  b2 a  b2  : a  b Đặt M  a  b2 a  b2 a  b8 a  b8  Tính N  theo M a  b8 a  b8 2 Lời giải 2 Đặt x  a , y  b M  N x  y x  y 2( x  y )   x y x y x  y2 x4  y x4  y  x4  y x4  y 2 2 2 x4  y  x  y    x  y   x2  y x2  y       x  y  x  y  x  y   x  y2 x2  y2  1M  M2 4     2 M  4M x4  y4 4M  4 x y M 4 N M2 4 4M M  24M  16   4M M 4 4M ( M  4) Câu (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020)Cho ba số thực dương a, b c thỏa mãn ab  ac  bc  Tính giá trị biểu thức T a (1  b )(1  c )  a2 b (1  c )(1  a )  b2 c (1  a )(1  b )  c2 Lời giải Ta có a2   a2 ab ac bc  a2 ac b(a c)  a(a c) b(a c)  (a b)(a c) Tương tự b   (a  b)(b  c) c   (c  b)(c  a ) Khi a b (1  b )(1  c ) 1a (1  c )(1  a ) 1b a (a  b )(b  c )(a  c )(b  c )  a (b  c ) (a  b )(a  c ) b (a  c )(b  c )(a  c )(a  b )  b(a  c ) (a  b )(b  c ) Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 306    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   c (1  a )(1  b ) 1c c (a  b )(a  c )(a  b )(b  c )  c(a  b ) (a  c )(b  c ) Vậy T  a (b  c )  b(a  c )  c(a  b )  Câu (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2019 Chứng minh a2 bc b2  ca c2  ab    a2  2019 b2  2019 c2  2019 Lời giải + Từ ab  bc  ca  2019 suy a  2019  a  ab  bc  ca   a  b  a  c  Tương tự có b  2019   b  c  b  a  , c  2019   c  a  c  b  + Vế trái đẳng thức cần chứng minh trở thành a  a2  bc b2  ca c2  ab    a  b a  c  b  c b  a  c  a c  b  bc   b  c    b  ca   c  a    c  ab   a  b   a  b  b  c  c  a  Khai triển làm gọn biểu thức tử ta kết nên có Đpcm Câu (Trường chun tỉnh Phú n Vịng năm 2019-2020) Tồn hay không ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c    ? b  ac c  ab a  bc 2019 Lời giải Giả sử tồn ba số thực a , b, c thỏa u cầu tốn Khi đó, abc   2 b  ac  0, a  bc  0, c  ab   4.1  a  b  ac  2019 b  ac  2019a b a  a c  2019a     b   c  ab  2019b  c 2b  ab  2019b Khi đó, ta có   c  ab 2019  a  bc  2019c  a c  bc  2019c    c  a  bc  2019  Suy ra, 2019  a  b  c    b a  a c    c 2b  ab    a c  bc    a  b  c  Điều mâu thuẫn với  4.1 Vậy không tồn ba số thực a, b, c thỏa yêu cầu toán Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho hai số thực a, b thỏa Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 307    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   mãn a  ab  7b  ( a  b a  b ) Tính giá trị biểu thức Q  2a  b 3a  2b  a b ab Lời giải Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  ab  7b2  ( a  b a  b ) Tính giá trị biểu thức 2a  b 3a  2b Q  a b ab a  b 3a  2b a  ab  b  3a  5ab  2b2 5a  ab  b2    a b ab a2  b2 a  b2 Vì a  ab  7b  nên ta có a  b  a  ab  7b a  b2 Q  6 a  b2 a  b2 Q       Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Thái Bình vịng năm 2019-2020) Cho số thực a, b khác thỏa 1 mãn   a b a Tính giá tri biểu thức A   b2  ab ab 3 Chứng minh rằng: (a  b  2)  (a  1)  (b  1)3  3(a  b)   Lời giải 4  Ta có: 2  a2  b2   1 A 2        a b  ab  a b  ab  1  1   A          a b  a b   ab 2 1 1 1 1 A        1  a b  ab  a b  Từ giả thiết 1    a  b  ab  ab  a  b    ( a  1)(b  1)  a b Áp dụng đẳng thức ( x  y )3  x  y  xy ( x  y ) [(a  1)  (b  1)]3  (a  1)3  (b  1)3  3(a  1)(b  1)[(a  1)  (b  1)]  (a  b  2)3  (a  1)3  (b  1)3  3[a  b  2]  (a  b  2)3  (a  1)3  (b  1)3  3(a  b)   Câu 12 (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng năm 2019-2020)Cho x; y  là hai số thỏa mãn x  y  Hãy tính A  x  y  x3  x y  x  y  y Lời giải A  x  y  x3  x y  x  y  y Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 308    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020        x  y  x y  x3  y  x  y   x2  y       x  y  x  xy  y  x  y  2 2   x  y   x  y    x  y   3xy    x  y   xy     x  y   1  3xy    xy   x  y   xy   xy   xy  Vậy A  Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Phú Thọ vòng năm 2019-2020) Cho số thực x  Tính giá trị biểu x thức P  x  x thỏa mãn x  Lời giải Từ gt => x  có 1  x  3 x  x3  hay 1    x    27 x x   3.3  27 x3 => P  x   27   18 x3 Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Thanh hóa chuyên toán năm 2019-2020)Cho số thực dương a, b, c bc ca ab khác thoã mãn 2ab  bc  2ca  Hãy tính giá trị biểu thức : A =   8a b c Lời giải Vì a, b, c khác thỏa mãn 2ab  bc  2ca   2   0 c a b Ta chứng minh x  y  z  x3  y  z  3xyz Do với 2 8 2 12        a b c a b c a b c abc Ta có: bc ac ab abc abc abc      8a b c 8a b3 c abc 8 (   ) A a b3 c abc 12 12    abc Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 309    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng năm 2019-2020) Cho x, y số thực thỏa    2 mãn điều kiện x  x  y  y   Tính giá trị biểu thức Q  x y   y x  Lời giải 2 2 2 Ta có  xy  (x  1)(y  1)  x y   y x   xy  (x  1)(y  1)  Q    Q    xy  (x  1)(y  1)      4Q  Q2  2x y  x  y   2xy (x  1)(y2  1) 2 2 2 Ta lại có Q  x (y  1)  y (x  1)  2xy (x  1)(y  1)  Q2  2x y  x  y  2xy (x  1)(y  1) Do  4Q   Q   Câu 16 (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng năm 2019-2020) Cho số a, b, c, x, y, z khác thỏa mãn điều kiện x2 y2 z x y z a b c       Chứng minh :    a b c a b c x y z Lời giải Từ điều kiện x y z    suy a b c x2 y z  xy xz yz        1  a b2 c  ab ac bc  x2 y z xyc  xzb  yza 1 Qui đồng biểu thức ngoặc    a b c abc Từ điều kiện a b c    suy xyc  xzb  yza  x y z x2 y2 z Kết luận    a b c Câu 17 (Trường chuyên tỉnh Nghệ An chuyên toán năm 2019-2020) Cho đa thức P ( x)  ax  bx  c  a   * thỏa mãn P    P    2019 Chứng minh P 10   P   số lẻ Lời giải P    P    2019 Ta có:   8ba  9b  c    36a  6b  c   2019  45a  3b  2019 1 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 310    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020   Lại có: P 10   P    100a  10b  c    29a  7b  c   51a  3b Đặt P 10   P    t  51a  3b  t   Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a  t  2019 , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có điều phải chứng minh Câu 18 (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Cho P  x  đa thức bậc n với hệ số nguyên, n  Biết P 1 P    2019, chứng minh phương trình P  x   khơng có nghiệm ngun Lời giải Giả sử phương trình P  x   có nghiệm nguyên x  a, a   Theo định lý Bézout: P  x    x  a  Q  x  với Q  x  đa thức với hệ số nguyên Ta có: P 1 P    1  a   a  Q 1 Q    2019 Do Q 1 Q    ,  a  a hai số nguyên liên tiếp, nên P 1 P   số nguyên chẵn Mà 2019 số lẻ, suy vô lý Vậy phương trình P  x   khơng có nghiệm ngun Câu 19 (Trường chun tỉnh Lâm Đồng vịng năm 2019-2020) Tính số đo góc nhọn  biết 10sin   cos   Lời giải Biến đổi đẳng thức: 6(sin   cos  )  sin   Suy được: sin   Lập luận sin   suy sin   2 Tính   450 Lưu ý: Học sinh không lập luận sin   trừ 0,25 điểm Câu 20 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020)1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: D  x  x  10 x  Lời giải D  x3  x  x  x  x   (x  1)(x  x  8) D  (x  1)(x  2)(x  4) Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng năm 2019-2020) Cho a số thực khác 1 Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 311    VŨ NGỌC THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM 2019-2020    a 1    a  2a a 1     Rút gọn biểu thức P  a 1 a 1  a 1    3  a 1 Lời giải 2  a  1   a  1  a 1     a  1  a  a  1 2a  a  1 a  2a a 1        Ta có P  a  a   a  12   a  12  a  1  a  a  1 a   a 1    3  a 1  a  1   a  a  1  a  12  a  1  a  a  1 2a a  2a  a     1  2  a  a  1  a  1  a  1  a  a  1 a  a  a  a  Vậy P  1   Địa truy cập click vào  http://www.vungocthanh1984.blogspot.com/  Trang 312    ... y  100 9  x  y   101 0  x  y   101 0  x  y  Suy 2019 x  xy  2019 y  101 0  x  y  Dấu “=” xảy x  y Tương tự 2019 y  yz  2019 z  101 0  y  z  2019 z  zx  2019 x  101 0 ... THÀNH 0367884554 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN   Do A       2  3  3 2   2    2  3    10  – NĂM HỌC – 2019-2020 đó:  10  20   10 10 Vậy A  Cách khác: Ta có:●... TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN – NĂM HỌC – 2019-2020   19    Đưa dạng T       12        12   Tính kết T = 187 Câu 29 (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN