Định Lý Côsin

Bµi to¸n: Cho tam gi¸c ABC nh­ h×nh vÏ: 1. AC – AB = ? §¸p ¸n: 1. AC – AB = BC 60595857565554535251504948474645444342414039383736353433323130292827262524232221201918171615141312111009080706050403020100 A B C Em h–y cho biÕt: 2. BC 2 =(AC – AB) 2 = AC 2 + AB 2 – 2 AC. AB 2. BC 2 = ? A B Ng­êi ta muèn ®o kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®iÓm A vµ B nh­ h×nh vÏ. nh­ng kh«ng thÓ ®Õn trùc tiÕp ®­îc do v­íng hå n­íc A B Người ta muốn đo khoảng cách giữa 2 điểm A và B như hình vẽ. nhưng không thể đến trực tiếp được vì ở hai đỉnh núi 1. Bài toán: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí theo 2 hướng như hình vẽ. Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa? 6 0 0 4 0 K m / h 3 0 K m / h Định lý côsin §Þnh lý c«sin 2 2 2 2 ( - ) - 2 .BC AC AB AC AB AC AB= = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ 2 2 2 a = b +c - 2.b.c.CosA Kh¸i qu¸t bµi to¸n trªn: Ta xÐt tam gi¸c ABC cã: BC=a; AB=c; AC=b Khi ®ã ta cã: 2. §Þnh lý C«sin: Trong tam gi¸c ABC bÊt kú víi BC=a; AB=c; AC=b ta cã: b 2 = a 2 +c 2 – 2.a.c.CosB c 2 = a 2 +b 2 – 2.a.b.CosC a 2 = b 2 +c 2 – 2.b.c.CosA A B C a c b Định lý côsin Ví dụ 1: Hy vận dụng định lý Côsin vừa tìm được để tìm lời giải bài toán đo khoảng cách giữa 2 điểm B và C không đến trực tiếp được như hình vẽ: Giải: Trong tam giác ABC áp dụng định lý Côsin ta có: AC 2 +AB 2 2.AB.AC.CosA 1 5 2 5 3 0 0 Thay số: BC 2 = 25 2 + 15 2 2.25.15.Cos 30 0 => BC = 525 BC 2 = B C A Ví dụ vận dụng Định lý côsin Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có a=2bCosC. Hy chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. Giải: Theo định lý Côsin ta có: c 2 = a 2 +b 2 2.a.b.CosC Theo giả thiết: => CosC = a 2b => c 2 = a 2 - b 2 2.a.b. a 2b c 2 = b 2 Vậy tam giác ABC cân với b=c Ví dụ vận dụng Định lý côsin Bài toán: Giả sử tam giác ABC vuông tại A và có các cạnh tương ứng là a, b và c. Hy viết biểu thức liên hệ giữa các cạnh theo định lí Côsin. Giải: Theo định lý Côsin ta có: a 2 = b 2 +c 2 2.b.c.CosA Các hệ quả A B C a b c => a 2 = b 2 +c 2 2.b.c.Cos90 0 => a 2 = b 2 +c 2 Đây chính là định lý Pi-ta-go Vậy định lý Pi-ta-go là trường hợp đặc biệt của định lý Côsin Định lý côsin Từ định lý Côsin ta suy ra các hệ quả: Các hệ quả 2 2 2 2 b c a CosA bc + = 2 2 2 2 a c b CosB ac + = 2 2 2 2 a b c CosC ab + = Nhận xét: - Khi A là góc nhọn => CosA > 0 => b 2 +c 2 > a 2 - Khi A là góc vuông => CosA = 0 => b 2 +c 2 = a 2 - Khi A là góc tù => CosA < 0 => b 2 +c 2 < a 2 Định lý côsin Ví dụ: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: áp dụng các hệ quả để giải các bài toán Giải: Theo hệ quả ta có: 2 2 2 2 CosA CosB CosC a b c a b c abc + + + + = 2 2 2 2 CosA b c a a abc + = 2 2 2 2 CosB a c b b abc + = 2 2 2 2 CosC a b c c abc + = 2 2 2 2 CosA CosB CosC a b c a b c abc + + + + = Cộng vế với vế của các đẳng thức này với nhau ta có điều cần chứng minh [...]... =B 2 2 b Điều phải chứng minh 2 2 4 2 Tổng kết Qua nội dung đã học các em cần : Hiểu được cách chứng minh định lý Côsin Vận dụng được định lý Côsin trong tính toán Hiểu được các trường hợp đặc biệt của định lý Côsin Bài tập về nhà: Các bài 1, 2 và 3 Biết cách suy ra các hệ quả của định lý Côsin SGK Vận dụng được các kiến thức về véc tơ khi học bài ... 2a=7cm, và m 2 = 2( a + b Hyc + c2 ) a2 ) b 2 b=8cm và c=6cm ) tính 2 2 ma = c ; mb = ABC có 4 độ 4 đường trung tuyến ma của tam giácđ cho 4 dài A Giải: Gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lý Giải: c Côsin vào tam giác AMB ta có: Đây a 2 thức tính độ dài các 2 2 a2 chính làacông 2 2 2(49 + 64) đường 2 2 a 36 ma = c 2( ữ+ cc ) CosB = c trong a.c.CosB + b trung tuyến + 2 2 tam giác ma = = . Đây chính là định lý Pi-ta-go Vậy định lý Pi-ta-go là trường hợp đặc biệt của định lý Côsin Định lý côsin Từ định lý Côsin ta suy ra các hệ quả: Các hệ. định lý Côsin Vận dụng được định lý Côsin trong tính toán Hiểu được các trường hợp đặc biệt của định lý Côsin Biết cách suy ra các hệ quả của định lý