Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác

1 WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian dạy, ln nghiên cứu tìm tòi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, đặc biệt việc dạy học định lý Đó tơi đưa kiến thức cách tự nhiên, cách dẫn dắt bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn em thấy ý nghĩa , ứng dụng định lý; sau đưa hệ thống tập áp dụng tương thích Với phương pháp truyền thụ thấy rằng: Trước hết người dạy ln ln thỗi mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua tiết dạy thấy đạt tốt mục đích mình; học sinh tiếp thu kiến thức cách say mê, hứng thú; kiến thức em nhớ lâu vận dụng tốt trình giải khai thác tập Với lý tơi xin trình bày ví dụ điển hình để đồng nghiệp tham khảo góp ý: Tên đề tài: ”PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VÀ KHAI THÁC ĐỊNH LÝ CÔSIN TRONG TAM GIÁC” Nội dung đề tài gồm: Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý Phân tích ý nghĩa, tác dụng định lý Hệ thống tập áp dụng II Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 10 với trình độ không yếu III Phương pháp nghiên cứu Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa lớp 10; Tham khảo ý kiến đồng nghiệp IV Thời gian nghiên cứu Thí điểm suốt năm học 2009- 2010 B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý cơsin tam giác Ta biết tam giác hồn toàn xác định biết: cạnh, hai cạnh góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề; có nghĩa biết yếu tố góc cạnh góc cạnh lại xác định nào? Rõ ràng góc cạnh lại góc WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” cạnh biết có mối liên hệ! Các mối liên hệ người ta gọi hệ thức lượng giác tam giác Một hệ thức Định lý cơsin tam giác Trong mặt phẳng cho tam giác ABC · = A; ·ABC = B; ·ACB = C Kí hiệu : AB= c, AC= b, BC= a; BAC ( Kí hiệu dung cho viết) + Nếu tam giác ABC vng A, Tìm mối liên hệ cạnh? (Định lý Pitago) AB2 + AC = BC ⇔ c +b = a uuu r uuuur2 uuur2 Biến đổi biểu thức véc tơ?: AB + AC = BC Yêu cầu chứng minh biểu thức AB2 + AC2 = BC ⇔ c2 +b = a theo véc tơ uuur2 uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur2 uuur uuu r uuur BC = ( AC − AB ) = AB + AC − AB AC = AB + AC ( V ì AB AC =0) + Nếu tam giác ABC không vuông A liên hệ cạnh góc nào? uuur2 uuur uuu r uuur2 uuur uuur uuur BC = BC = AC − AB = AB + AC − AB AC = AB + AC − AB AC.CosA ( ⇔ ) a = b2 + c2 – 2.bc.cosA Tương tự tìm: b2, c2 Vậy ta có định lý sau gọi định lý côsin tam giác: Với tam giác ABC ln có : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC II Phân tích ý nghĩa, tác dụng định lý Trực tiếp định lý cho ta thấy xác định cạnh tam giác biết hai cạnh khác góc xen Hệ quả: b2 + c − a 2bc a2 + c2 − b2 CosB = 2ac a + b2 − c2 CosC = 2ab CosA = Cho ta tìm góc tam giác biết cạnh Cho phép ta xét góc tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua yếu tố cạnh tam giác Cụ thể: A nhọn ⇔ b + c > a ⇔ b2 + c2 < a2 A tù A vuông ⇔ b + c = a Từ đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thơng qua yếu tố cạnh b + c > a  2 Tam giác ABC có góc nhọn ⇔ c + a > b a + b > c  WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” b + c < a  ⇔ c + a < b2 a + b2 < c2  Tam giác ABC có góc tù 2 b + c = a  2 Tam giác ABC có góc vng ⇔ c + a = b a + b2 = c2  2 Viết công thức dạng: a = b + c − 2bcSinA.cot A ⇔ a = b + c − 4SVABC cot A b2 + c2 − a2 4S a + c2 − b2 a + b2 − c Tương tự: Co t B = ; Co t C = 4S 4S ⇔ Co t A = Đây định lý “côsin suy rộng tam giác ” cho ta mối liên hệ hệ thức lượng giác góc tam giác với cạnh diện tích Lớp tốn áp dụng rộng Ngồi sử dụng định lý, hệ kết hợp kiến thức khác giải toán hệ thức lượng tam giác, nhận dạng tam giác… Từ ý nghĩa, tác dụng định lý ta đề xuất tốn liên quan tương thích sau: III Bài tập áp dụng Bài Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5 Tính cạnh a, Cơsin góc lại Bài Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= Tìm cơsin góc có số đo lớn Bài Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3 a) Chứng minh ABC tam giác nhọn b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, n∈ N) CMR tam giác ABC có góc nhọn Bài Nhận dạng tam giác ABC biết cạnh a, b, c thõa mãn: a2, b2, c2 độ dài cạnh tam giác khác Bài WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” a = x + x +  Giả sử: b = x + (với x >1) CMR a, b, c cạnh tam giác.Tìm góc A c = x −  Bài a) Tam giác ABC tù, nhọn hay vng có : sin2A+ sin2 B= sin2C b) Cho tam giác ABC, A B hai góc nhọn thõa mãn điều kiện: Sin2A+ Sin2B = 2010 SinC CMR tam giác ABC không tù ( Tam giác ABC vuông? Cm kết hợp công thức lượng giác.) Bài Chứng minh với tam giác ABC ta có: a) a = c cosB+ b.cosC a + b2 + c2 b) bc cosA+ ab.cosC + ac.cosB = c) 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b- a) (c+ a- b) Bài Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR: CotA + CotB + CotC = R ( a + b2 + c ) abc Bài Cho tam giác ABC, M trung điểm BC · CMR: CotC − CotB = 2.Cot BMA Bài 10 Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác cho: · · · MAB = MBC = MCA =α CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot α Bài 11 · · · = α , GBC = β , GCA = γ Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, ký hiệu: GAB CMR: Cotα + Cot β + Cotγ = ( CotA + CotB + CotC ) Bài 12 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” Nhận dạng tam giác ABC biết: a = b +c −a b+c−a 3 Bài 13  b3 + c − a  a = b + c − a Nhận dạng tam giác ABC biết:  CosA.cos C =  Bài 14 CMR: a − ab + b + b − bc + c ≥ a + ac + c với a, b, c >0 Giải tập áp dụng Bài Ta có: a = b + c − 2bc.cos A = 25+ 49- 2.5.7 CosB = a + c − b 32 + 49 − 25 = = 2ac 56 CosC = a + b − c 32 + 25 − 49 = = 2ab 10 40 = 32 ⇒ a = 32 = Bài Ta có: Góc số đo lớn góc C; CosC = a + b − c + 16 − 36 −11 = = 2ab 24 24 Bài a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a cạnh lớn ⇒ A góc lớn Lại có: b a c a a3= b3+ c3 ⇔ a = b + c < b + c ⇔ b2 + c − a > suy A nhọn Vậy tam giác ABC tam giác nhọn b) Hoàn toàn tương tự a + b > c  2 Bài Vì a2, b2, c2 độ dài cạnh tam giác nên: b + c > a từ suy tam giác a + c > b2  ABC tam giác nhọn Bài a + b > c  Dễ dàng xét được: a + c > b b + c > a  với x> Suy a, b, c cạnh tam giác Ta có: a = x + x + x + x + ; b = x +4 x + , c = x − x + , bc = x + x − x − Suy ra: a = b + c + bc WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net “Phương pháp tiếp cận khai thác định lý côsin tam giác” Lại có: a = b + c − 2.bcCosA −1 ⇒ A = 120o Vậy: CosA = Bài 2 a) Áp dụng định lý Sin tam giác Ta có: sin A + sin B = sin 2C ⇔ a + b = c Suy tam giác ABC vuông C b) Dễ thấy 0