Đại số Boole
Bài tập Toán học rời rạc Bài tập chơng 6 Đại số Bool I. hàm bool 1. Chứng minh hàm f(x, y, z) = xy + yz + zx có giá trị 1 nếu và chỉ nếu có ít nhất 2 biến nhận giá trị 1. 2. Chứng minh rằng x y + y z + z x = x y + y z + z x 3. Rút gọn các biểu thức : x 0, x 1, x x, x ơx 4. Chứng minh : x y = (x+y)ơ(xy) = (x y ) + ( x y) 5. Chứng minh rằng ơF*(x 1 , ., x n ) = F(ơx 1 , ., ơx n ) 6. Có bao nhiêu hàm Bool f(x, y, z) khác nhau sao cho f( x , y , z ) = f(x, y, z) 7. Có bao nhiêu hàm Bool f(x, y, z) khác nhau sao cho f( x , y, z) = f(x, y , z) = f(x, y, z ). Các bài tập sau đây dựa trên định nghĩa tổng quát về đại số Bool nh sau : Một hệ gồm tập B bất kỳ có chứa 2 phần tử đặc biệt 0, 1, các phép toán 1 ngôi ơ , và 2 ngôi , đợc gọi là đại số Bool nếu các tính chất sau thoả với bất kỳ x, y, z B: Luật đồng nhất x 0 = x x 1 = x Luật nuốt x x = 1 x x = 0 Luật kết hợp (x y) z = x (y z) (x y) z = x (y z) Luật giao hoán x y = y x x y = y x Luật phân phối x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) 8. Chứng minh rằng trong một đại số Bool bất kỳ các tính chất sau đây luôn luôn đúng với mọi x: 1 Bài tập Toán học rời rạc Tính luỹ đẳng x x = x x x = x Luật phần bù kép ơ x = x Luật De Morgan ơ(x y) = ơx ơy ơ(x y) = ơx ơy 9. Chứng minh rằng trong đại số Bool bất kỳ mọi phần tử x đều có một phần bù x duy nhất sao cho x x = 1 và x x = 0. phần bù của 0 là 1 và ngợc lại nếu x y = 0 thì x = 0 và y = 0, nếu x y = 1 thì x = 1 và y = 1. 10. Chứng minh rằng trong đại số Bool bất kỳ đối ngẫu của một hằng đẳng thức nhận đợc bằng cách thay bởi , 0 bởi 1 và ngợc lại cũng là một hằng đẳng thức 11. Xét hệ gồm tập P(A) là tập các tập con của tập A nào đó và các phép toán giao, hợp, lấy phần bù trên P(A). Hãy bổ sung thêm định nghĩa các phần tử 0, 1 và chứng minh rằng hệ là một đại số Bool. 12. Cho M = [-l, l]. Định nghĩa các phép toán cộng, nhân và phủ định nh sau : x, y M : x + y = max(x, y); xy = min(x, y); ơx = -x Hãy bổ sung thêm định nghĩa các phần tử 0, 1 và chứng minh rằng hệ là một đại số Bool. II. biểu diễn hàm Bool 13. Chứng minh định lý về khai triển hàm Bool thành tích các tổng là đúng đắn. 14. Tìm các khai triển tổng tích và tích tổng của các hàm Bool sau : a. x + y + z b. (x + z) y c. x d. xơy 15. Tìm các khai triển tổng tích của các hàm Bool f(x, y, z) biết f = 1 nếu và chỉ nếu : a. x = 0 b. xy = 0 c. x + y = 0 d. xyz = 0 16. Chứng minh : a. ơx = x | x = x x b. xy = (x | y) | (x | y) = (x x) (y y) c. x + y = (x | x) | (y | y) = (x y) (x y) 17. Biểu diễn các hàm Bool trong 2 chỉ dùng NAND (|) hoặc NOR (). 18. Chứng minh các hệ sau là không đầy đủ : {ơ}, {}, {}, {, }. 19. Chứng minh hệ sau là đầy đủ : {0, 1, , }. 20. Chứng minh hoặc bác bỏ các hệ sau là đầy đủ {+, }, {ơ, }, {., }. 2 Bài tập Toán học rời rạc III. rút gọn các hàm bool 21. Bằng các phép biến đổi tơng đơng chứng minh rằng các biểu thức sau là tơng đơng : a. xyz + ơxyz + xơyz + xyơz b. xy + xơyz + ơxyz c. xy + z(xơy + ơxy) d. xy + xz + yz e. xy + z(x + y) 22. Giả sử một uỷ ban có 5 thành viên trong đó các thành viên a và b luôn bỏ phiếu ngợc với thành viên c. Xây dựng hàm biểu diễn kết quả bỏ phiếu theo đa số của uỷ ban đó. 23. Dùng phơng pháp Quin - McCluskey tìm dạng chuẩn tắc tối thiểu của hàm xyz + x y z + x y z + x yz + x y z . Có thể rút gọn hơn nữa dạng chuẩn tắc tối thiểu này ? 24. Dùng phơng pháp Quin - McCluskey tìm dạng chuẩn tắc tối thiểu của hàm tìm đợc trong 2. 3