Bài giảng kỹ thuật điện tử số Đại số boolean va đại số algebra

1 ðại số Boole ðại số logic Nguyễn Quốc Cường – 3I 2 Nội dung • Giới thiệu • Các tiên ñề trong ñại số logic • Các ñịnh lý • Nguyên lý của tính ñối ngẫu (duality) • Cách biểu diễn hàm logic 3 Tài liệu tham khảo • Digital Design: Principles & Practices – John F Wakerly – Printice Hall 4 Giới thiệu • 1854 nhà toán học Anh, Gorge Boole (1815- 1864) phát minh ra hệ thống ñại số chỉ có hai giá trị • Năm 1938, tại Bell Lab, Claude E. Shannon ñã chỉ ra cách áp dụng ñại số Boole vào phân tích và mô tả các mạch sử dụng rơle (còn gọi là switching algebra), và cũng ñược áp dụng cho các phân tích mạch số hiện nay. 5 Tiên ñề • Tiên ñề 1: (A1) X = 0 if X ≠ 1 (A1’) X = 1 if X ≠ 0 • Tiên ñề 2: (ñịnh nghĩa toán tử ñảo) (A2): If X = 0 then X’ = 1 (A2’): If X = 1 then X’ = 0 Toán t ử “ ‘ “ là toán t ử ñả o hay bù (m ộ t s ố ký hi ệ u khác c ủ a toán t ử ñả o: ) Tuy nhiên vi ệ c s ử d ụ ng ‘ th ườ ng ñượ c s ử d ụ ng trong các ngôn ng ữ l ậ p trình HDLs) ~ , X X 6 • Tiên ñề 3 , 4 và 5 :ðịnh nghĩa các toán VÀ và HOẶC logic: Toán tử AND sử dụng ký hiệu · Toán tử OR sử dụng ký hiệu + Tất cả các hệ thống logic ñều có thể mô tả và phân tích dựa trên 5 tiên ñề trên 7 Ký hiệu các phần tử logic trên sơ ñồ 8 ðịnh lý cho một biến Việc chứng minh các ñịnh lý này có thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn (vì số giá trị của các biến chỉ có 0 và1 nên rất dễ áp dụng phương pháp quy nạp) 9 cho 2 và ba biến Chú ý: ñể thuận tiện thường viết X · Y thay cho ( X · Y ) 10 Cho n biến ðể chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp hữu hạn: • chứng minh ñúng với n = 2 • giả thiết ñúng với n = i, chúng minh ñúng với n = i+1 11 Nguyên lý ñối ngẫu • Các ñịnh lý hay ñồng nhất thức trong ñại số logic sẽ luôn ñúng nếu thay 0 và 1 tráo ñổi cho nhau và ñồng thời · và + cũng ñược tráo ñổi cho nhau. • Hàm ñối ngẫu: – Cho hàm logic F(X 1 ,X 2 ,…,X n , + , · , ’) – Hàm ñố i ng ẫ u c ủ a F ñượ c ñị nh ngh ĩ a là hàm có cùng d ạ ng bi ể u th ứ c v ớ i các toán t ử · và + ñượ c ñổ i ch ỗ cho nhau F D (X 1 ,X 2 ,…,X n , + , · , ’) = F(X 1 ,X 2 ,…,X n , · , + , ’) + và · ñổi chỗ 12 Nguyên lý ñối ngẫu và ñịnh lý DeMorgan [F(X 1 ,X 2 ,…,X n )]’ = F D (X 1 ’ , X 2 ’ ,…,X n ’ ) F(X 1 ,X 2 ,…,X n ) = [F D (X 1 ’ , X 2 ’ ,…,X n ’ )]’ (ñịnh lý DeMorgan) 13 Biểu diễn hàm logic thông qua bảng Bảng sự thực (không bao gồm hàng ROW), tuy nhiên thường ñược sử dụng ñể chỉ giá trị tổ hợp của các biến 14 15 Một số khái niệm • H ệ s ố ch ữ (literal): là m ộ t bi ế n ñơ n , ho ặ c ph ầ n bù c ủ a nó. Ví d ụ : X, Y, X’, • S ố h ạ ng tích (product term): là m ộ t literal ho ặ c tích logic c ủ a nhi ề u literal Ví d ụ : Z’, X ¢ Y, X’ ¢ Y ¢ Z’ • Bi ể u th ứ c t ổ ng c ủ a các tích: là m ộ t t ổ ng logic c ủ a các s ố h ạ ng tích • S ố h ạ ng t ổ ng (sum term): là m ộ t literal ho ặ c t ổ ng logic c ủ a nhi ề u literal Ví d ụ : X’, X+Y+Z’ • Bi ể u th ứ c tích c ủ a các t ổ ng: là tích logic c ủ a các s ố h ạ ng t ổ ng 16 • M ộ t s ố h ạ ng chu ẩ n (normal term): là m ộ t s ố h ạ ng tích ho ặ c t ổ ng mà trong ñ ó không có bi ế n nào xu ấ t hi ệ n h ơ n m ộ t l ầ n • Ví d ụ các s ố h ạ ng không chu  n: • X + Y + X’, Y ¢ X ¢ X’ ¢ Z • Ví d ụ các s ố h ạ ng chu ẩ n: • X + Y, X ¢ Y ¢ Z • minterm n bi ế n: là m ộ t s ố h ạ ng tích chu ẩ n c ủ a n literal • maxterm n bi ế n: là s ố h ạ ng t ổ ng chu ẩ n c ủ a n literal 17 18 • Minterm: có thể ñược ñịnh nghĩa là số hạng tích ứng với một hàng của bảng chân lý sao cho tích ñó bằng 1 • Maxterm: có thể ñược ñịnh nghĩa là số hạng tổng ứng với một hàng của bảng chân lý sao cho tổng ñó bằng 0 19 20 Biểu diễn hàm qua minterm và maxterm • Hàm logic có thể biểu diễn dưới dạng: – canonical sum: t ổ ng c ủ a các minterm ứ ng v ớ i các hàng c ủ a b ả ng chân lý mà t ạ i ñ ó giá tr ị hàm b ằ ng 1 – canonical product: tích c ủ a các maxterm ứ ng v ớ i các hàng c ủ a b ả ng chân lý mà t ạ i ñ ó giá tr ị hàm b ằ ng 0 . 1 ðại số Boole ðại số logic Nguyễn Quốc Cường – 3I 2 Nội dung • Giới thiệu • Các tiên ñề trong ñại số logic • Các ñịnh lý • Nguyên lý của tính ñối ngẫu. hệ thống ñại số chỉ có hai giá trị • Năm 1938, tại Bell Lab, Claude E. Shannon ñã chỉ ra cách áp dụng ñại số Boole vào phân tích và mô tả các mạch sử dụng rơle (còn gọi là switching algebra) , và. và HOẶC logic: Toán tử AND sử dụng ký hiệu · Toán tử OR sử dụng ký hiệu + Tất cả các hệ thống logic ñều có thể mô tả và phân tích dựa trên 5 tiên ñề trên 7 Ký hiệu các phần tử logic trên sơ ñồ 8 ðịnh