SKKN giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực image marked

Chuyên đề: Phương pháp giải phương trình hệ phương trình không mẫu mực A/ Đặt vấn đề: Trong trình học Toán, em học sinh gặp toán mà đầu đề lạ, không bình thường, toán giải trực tiếp quy tắc, phương pháp quen thuộc Những toán thường gọi không mẫu mực, có tác dụng không nhỏ việc rèn luyện tư Toán học thường thử thách ®èi víi häc sinh c¸c kú thi HSG, thi vào cấp 3, lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay không mẫu mực, phụ thuộc vào trình độ người giải Toán Tôi xin đưa số phương pháp giải số phương trình hệ phương trình không mẫu mực, với phương pháp giúp đỡ em học sinh luyện tập làm quen với phương trình hệ phương trình không mẫu mực để từ biết cách tư suy nghĩ trước phương trình hệ phương trình không mẫu mực khác B Giải vấn đề I Phần I: Phương trình Phương trình ẩn: Với phương trình ẩn có phương pháp thường vận dụng là: Đưa phương trình tích, áp dụng bất đẳng thức chứng minh nghiệm đưa hệ phương trình a Phương pháp đưa phương trình tích * Các bước: - Tìm tập xác định phương trình - Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x).g(x).h(x) = (gọi phương trình tích) Từ suy f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = phương trình quen thuộc Nghiệm phương trình tập hợp nghiệm phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = thuộc tập xác định - §«i dïng Èn phơ thay thÕ cho mét biĨu thức chứa ân đưa phương trình dạng tích (với ẩn phụ) Giải phương trình với ẩn phụ, từ tìm nghiệm phương trình cho - Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạngđể đưa phương trình dạng quen thuộc mà ta biết cách giải *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x 10 x 21  x   x   §K: x ≥ -3 x  10 x  21  x   x    ( x  3)( x  7)  x   x     x  ( x   3)  2( x   3)   ( x   3)( x   2)   x7 3  x7 3    x    x   Vì vế dương nên ta cã: x     x    x  2(TM )  x 1(TM ) Vậy tập hợp nghiệm phương trình S = 1;2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = TXĐ: x R Giải 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 =  3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) =  (2x + 3) (3x - 9) = 2 x    x 3    x     x   Vậy tập nghiệm phương trình S = ;2 Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; áp dụng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 TX§: R x       x   3 x    x  x   3 x    3  3( x  x  1)(3 x  2)( x  x  1)  2  x  x   (1)   3 x   (2)  x  x   (3)  Gi¶i (1): x2 - x - =  = + = > 0, Pt cã nghiÖm x1  1 1 ; x2  2 Gi¶i (2): 3x - =  x  Gi¶i (3): x2 - 4x + =  ’ = - = > 0, Pt cã nghiÖm x1   3; x   VËy tËp nghiƯm cđa phương trình là:  ; ; ;2  ;2     S=  VÝ dô 4: Giải phương trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TX§: R   x   x   x  ( x  8)  36  ( x  x  12)( x  x  32) 36(*) Đặt y = x2 + 4x - 12  x  x  32  y 20 Phương trình (*) trở thành: y ( y  20)  36  y  20 y  36   ( y  18)( y  2)   y  18   y  18  y    y   x  x  12  18(1)   x  x  12  2(2) Gi¶i (1) ta cã: x  x  12  18  x  x  30  '   30  34  Ph­¬ng trình có nghiệm phân biệt: x1 34 ; x  2  34 Gi¶i (2) ta cã: x  x  12   x  x  14  '   14  18  Phương trình có nghiệm phân biệt: x1  18  2  x  2  18  2  VËy tËp nghiệm phương trình là: S = 34 2; 34  2;3  2;3  2 Ví dụ 5: Giải phương trình: (x + 2)4 + x4 = 82 Đặt y = x + (x + 2)4 + x4 = 82  (y + 1)4 + (y - 1)4 = 82  y4 + 6y2 - 40 = Đặt y2 = t  t2 + 6t - 40 =  ’ = + 40 = 49 > 0, Pt cã nghiƯm ph©n biƯt t1 = -3 + = 4; t2 = -3 - = -10 (lo¹i)  y2 = 4,  y =  Víi y =  x + =  x = Víi y = -2  x + = -2  x = -3 VËy tËp nghiƯm cđa phương trình là: S = {1;-3} Chú ý: Phương trình d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c số) đặt ẩn phụ y = x + ab , phương trình đưa vỊ d¹ng dy4 + ey2 + g = (d, e, g số) Ví dụ 6: Giải phương trình 1 1  x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 1 1     ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 §K: x  -4; x  -5; x  -6; x  -7 1 1 1       ( x  4) ( x  5) ( x  5) x  x  x  18 1    ( x  4) x  18  18( x  7)  18( x  4)  ( x  4)( x  7)   x  11x  26    x  13 x     x  13   x  13  x    x Thoả mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = {-13; 2} b Phương pháp áp dụng bất đẳng thức *Các bước: - Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x)  a (a lµ h»ng sè) - NghiƯm cđa phương trình giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a g(x)=a - Biến đổi phương trình dạng h(x)=m (m số), mà ta có h(x) m h(x) m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy - áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x x  x  10 x  14   x  x  3( x  1)   5( x  1)    ( x  1) : x  R 3( x  1)    x  1     Mµ:   x  1  Nªn ta cã: (x+1)2 =  x = -1 VËy nghiệm phương trình x = -1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 11  x  x  13  x  x     ( x  3)   ( x  3)   ( x  2)    Mµ: ( x  3)2   ( x  3)2   ( x  2)2       ( x  3)  Nên dấu =xảy x Điều xảy Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x  3,5  ( x  x  2)( x  x  5) Ta cã: x  x   ( x  1)   x  x   ( x  2)   x  x  3,5  ( x  x  2)  ( x  x 5) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho sè d­¬ng ( x  x  2);( x  x  5) ta cã: ( x  x  2)  ( x  x  5)  ( x  x  2)( x  x  5) VËy x  3x  3,5  ( x  x  2)( x  x  5) DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi: ( x  x  2)  ( x  x  5)  2x  3 x Vậy nghiệm phương trình x= Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 13  x  x   x  x    x  12 x  33  áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho sè : a    b c  d  (ac  bd ) Dấu xảy khi: a.d=b.c Víi a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta cã: 2         2  32  x  x   x  x     x  x   x  x     2 13  x  x   x  x    x  12 x  33     Dấu xảy chØ khi: 3( x  x  6)  2( x  x  7)  x  x  18  x  x  14  x2  5x   a  b  c  1   c a Ph­¬ng tr×nh cã nghiƯm: x1  1; x2   Vậy nghiệm phương trình x1 1; x2 c Phương pháp chứng minh nghiệm *Các bước giải: số phương trình ta thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng sau tìm cách chứng minh nghiệm chúng không nghiệm khác *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 3x 9(1) Giải: +) x=0 nghiệm phương trình (1) +) Nếu x ta cã: x   2x 3  3x  203  30  Do ®ã x nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm phương trình (1) x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 10 x  x (2); Víi x > Gi¶i: +Ta nhận thấy x=1 nghiệm phương trình(2) +Với x>1 ta cã : x x  1x  2 x  x nªn x  x  ®ã 2 10 x  x  100   10 x  x  x x Vậy x>1 nghiệm phương tr×nh +Víi 0