Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 06/07/2009( buổi chiều) Câu I: (2,0 điểm) 1/ Giải phơng trình : 2.(x 1) = 3 - x 2/ Giải hệ phơng trình: 2 2 3 9 y x x y = + = Câu II: (2,0 điểm) 1/ Cho hàm số y = f(x) = 2 1 2 x . Tính f(0) ;f( 2 ) ; f( 1 2 ); f(- 2 ) 2/ Cho phơng trình (ẩn x) : x 2 2(m + 1).x + m 2 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = x 1 x 2 + 8 . Câu III: (2,0 điểm) 1/ Rút gọn biểu thức: A = 1 1 1 : 1 2 1 x x x x x x ữ ữ + + + + với x > 0 và x 1 2/ Hai ô tô cùng xuất phát từ A đế B, ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai mỗi giờ 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đờng AB là 300km. Câu IV: (3,0 điểm). Cho đờng tròn (O), dây AB không đI qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M ( M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN ( K thuộc AN). 1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn. 2. Chứng minh : MN là phân giác của góc BMK. 3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm cuat HK và BN. Xác định vị trí của điểm M để ( MK.AN + ME.NB ) có giá trị lớn nhất. Câu V: (1,0 điểm) Cho x, y thoả mãn : 3 3 2 2x y y x+ = + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x 2 + 2xy - 2y 2 +2y + 10 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: . Đề thi chính thức Đáp án và biểu điểm Câu I: (2đ) 1/ Phơng trình có nghiệm là x = 5 3 2/ Hệ PT có nghiệm là : 1 3 x y = = Câu II: (2đ) 1/ y = f(x) = 2 1 2 x . Tính f(0)= 0 ;f( 2 ) = - 2 ; f( 1 2 )= 1 8 ; f(- 2 ) = -1 2/ + Để PT có nghiệm ' 0 m -1 + Theo vi ét 1 2 2 1 2 2( 1) . 1 x x m x x m + = + = thay vào hệ thức x 1 2 + x 2 2 = x 1 x 2 + 8 . Ta tìm đợc m = - 4 + 17 ( Thoả mãn), m = - 4 - 17 ( loại) Câu III: ( 2 đ) 1/ Rút gọn : A = 1 1 1 : 1 2 1 x x x x x x ữ ữ + + + + = 2 1 1 : ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x ữ ữ + + + = 2 1 1 : ( 1) ( 1) x x x x x ữ ữ + + = ( 1)x x + 2/ Gọi vận tốc của ô tô thứ hai là x ( x > 0; đơn vị km/h) Thì vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 10 ( km/h) Thời gian xe thứ nhất là 300 10x + (h); Thời gian xe thứ hai là 300 x (h); Theo bài ta có PT 300 300 1 10x x = + . Giải PT ta đợc x = 50 (t/m) ; x = - 60 ( loại) Vậy vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h Thì vận tốc của ô tô thứ nhất là x + 10 = 60 ( km/h) Câu IV: (3đ) 1/ Ta có MH AB (gt) và MK AN ã 0 90MKA = và ã 0 90MHA = 4 điểm M, K, A, H thuộc 1 đờng tròn. 2/ Ta có : ã ã HAN KMH= (1) ( Cùng bù 2 góc bằng nhau) ã ã HAN NMB= (2) ( Góc nội tiếp cùng chắn cung NB) Từ 1 và 2 ã ã KMH NMB= Điều phải c/m 3/ Ta có AHN đồng dạng MKN AH AN MK MN = MK.AN = AH.MN (1) Ta lại chứng minh đợc: tứ giác MHEB nội tiếp ME BN 1 1 . . . . 2 2 S HB MN ME BN MNB = = BH.MN = ME.BN (2) Từ (1) và (2) MK.AN + ME.NB = AH.MN + BH.MN = AB.MN (*) Để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất khi AB.MN lớn nhất, mà AB không đổi MN lớn nhất MN là dây đi qua tâm O, mặt khác MN AB Điểm M nằm chính giữa của cung nhỏ AB. Câu IV: (1đ) Từ x, y thoả mãn : 3 3 2 2x y y x+ = + . Điều kiện x -2 ; y -2 + Nêú x > y thì 2 2x y+ > + và x 3 > y 3 - y 3 > - x 3 3 3 2 2x y y x+ > + ( Mâu thuẫn) . Vậy x > y loại + Nêú x < y thì 2 2x y+ < + và x 3 < y 3 - y 3 < - x 3 3 3 2 2x y y x+ < + ( Mâu thuẫn) . Vậy x < y loại + Nếu x = y thì 2 2x y+ = + và x 3 = y 3 - y 3 = - x 3 3 3 2 2x y y x+ = + thoả mãn. Vậy x = y thì 3 3 2 2x y y x+ = + Thay y = x vào biểu thức B ta đợc B = x 2 + 2x + 10 = ( ) 2 1 9 9x + + Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 Khi x + 1 = 0 x = -1 y = -1 H K M N E B A Sở Giáo dục và đào tạo Hải Dơng Đề thi chính thức Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (buổi chiều) (Đề thi gồm có: 01 trang) Cõu 1(2.0 im): 1) Gii phng trỡnh: x 1 x 1 1 2 4 + + = 2) Gii h phng trỡnh: x 2y x y 5 = = Cõu 2:(2.0 im ) 1. Rỳt gn biu thc: A = 2( x 2) x x 4 x 2 + + vi x 0 v x 4. 2. Mt hỡnh ch nht cú chiu di hn chiu rng 2 cm v din tớch ca nú l 15 cm 2 . Tớnh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht ú. Cõu 3: (2,0 im) Cho phng trỡnh: x 2 - 2x + (m 3) = 0 (n x) 1. Gii phng trỡnh vi m = 3. 2. Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x 1 , x 2 v tha món iu kin: x 1 2 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 Cõu 4:(3 im) Cho tam giỏc MNP cõn ti M cú cnh ỏy nh hn cnh bờn, ni tip ng trũn ( O;R). Tip tuyn ti N v P ca ng trũn ln lt ct tia MP v tia MN ti E v D. a) Chng minh: NE 2 = EP.EM b) Chng minh t giỏc DEPN k t giỏc ni tip. c) Qua P k ng thng vuụng gúc vi MN ct ng trũn (O) ti K ( K khụng trựng vi P). Chng minh rng: MN 2 + NK 2 = 4R 2 . Cõu 5:(1,0 im) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: A = 2 6 8 1 x x + -----------Ht---------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: . Lêi G iải Câu I. a, x 1 x 1 1 2(x 1) 4 x 1 x 1 2 4 − + + = ⇔ − + = + ⇔ = − .Vậy tập nghiệm của phương trình S= { } 1− b, x 2y x 2y x 10 x y 5 2y y 5 y 5 = = = ⇔ ⇔ − = − = = . Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5) Câu II. a, với x ≥ 0 và x ≠ 4. Ta có: 2( 2) 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) 1 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x A x x x x x x x − − + − − + = + = = = − + + − + − + b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0 ⇒ Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm) Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 . Giải ra tìm được :x 1 = -5 ( loại ); x 2 = 3 ( thỏa mãn ) . Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm. Câu III. a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x 2 - 2x ( 2) 0x x ⇔ − = ⇒ x = 0 hoặc x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình S= { } 0;2 b, Để PT có nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thì ' 0 4 0 4 (*)m m∆ > => − > => < . Theo Vi-et : 1 2 1 2 2 (1) 3 (2) x x x x m + = = − Theo bài: x 2 1 - 2x 2 + x 1 x 2 = - 12 => x 1 (x 1 + x 2 ) -2x 2 =-12 ⇒ 2x 1 - 2x 2 = -12 ) ( Theo (1) ) hay x 1 - x 2 = -6 . Kết hợp (1) ⇒ x 1 = -2 ; x 2 = 4 Thay vào (2) được : m - 3 = -8 ⇒ m = -5 ( TM (*) ) Câu IV . a, ∆ NEM đồng dạng ∆ PEN ( g-g) 2 . NE ME NE ME PE EP NE => = => = b, · · MNP MPN= ( do tam giác MNP cân tại M ) · · · ( ùng )PNE NPD c NMP = = => · · DNE DPE = . Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DEvà cùng nhìn DE dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp . H E D F I P O N K M c, ∆ MPF đồng dạng ∆ MIP ( g - g ) 2 . (1) MP MI MP MF MI MF MP => = => = . ∆ MNI đồng dạng ∆ NIF ( g-g ) 2 IF .IF(2) NI NI MI MI NI => = => = Từ (1) và (2) : MP 2 + NI 2 = MI.( MF + IF ) = MI 2 = 4R 2 ( 3). · · NMI KPN= ( cùng phụ · HNP ) => · · KPN NPI= => NK = NI ( 4 ) Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5) . Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm . Câu V . + C¸ch 1(Líp 8 )Ta cã: A = 2 2 2 2 2 2 6 8 2 8 8 2( 1) 2( 2) 2 2 1 1 1 x x x x x x x x − − + − + − = = − ≥ − + + + VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ - 2 khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Ta cã: A = 2 2 2 2 2 2 6 8 8 8 2 8( 1) 2(2 1) 8 8 1 1 1 x x x x x x x x − − − − + + − + = = + ≤ + + + VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A lµ 8 khi 2x +1 = 0 ⇔ x = 1 2 − + C¸ch 2: (Líp 9,10) 2 2 6 8 x 8 6 0 (1) 1 x A A x A x − = <=> + + − = + +) A =0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0 x= 2 3 +)A ≠ 0 thì (1) phải có nghiệm ' ∆ = 16 - A (A - 6) ≥ 0 2 8A <=> − ≤ ≤ . → GTLN cña A = 8 ⇔ x = 1 2 − . Vµ GTNN cña A = -2 ⇔ x = 2 . . tô thứ nhất là x + 10 ( km/h) Thời gian xe thứ nhất là 300 10x + (h); Thời gian xe thứ hai là 300 x (h); Theo bài ta có PT 300 300 1 10x x = + . Giải PT. Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2009 2 010 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)