034 đề HSG toán 8 thanh oai 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học : 2014-2015 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (6,0 điểm)   x3   x2 1) Cho biểu thức A    x:  x   1 x  x  x  x  1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A  2) Giải phương trình: x4  30 x2  31x  30  Câu (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  xy  x  y  2) Chứng minh m  m  a  không số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: A   x  1   x  3   x  1  x  3 4 2 Câu Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Tính tổng HD HE HF   AD BE CF b) Chứng minh : BH BE  CH CF  BC c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM  CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho: 2n3  n2  7n   2n  1 ĐÁP ÁN Câu 1) a) Với x  1;1thì A   x3  x  x 1  x 1  x  : 1 x 1  x  1  x  x   x 1  x  1  x  1  x  x  x  1 x  1  x  : : 1  x 1  x  1  x  1  x  x   1  x .1  x  1 x b) Với x  1thì A   1  x  1  x   (1) Vì  x  với x nên 1 xảy  x   x  2) x  30 x  31x  30    x  x  1  x  5 x    * 1  Vì x  x    x     0x 2  x   *   x  5 x       x  6 Câu x2  xy  x  y   x  x   y  x  5 (2) x2  x   y (vì x  không nghiệm   ) x5  y   x  1  x5 Vì x, y nguyên nên x  ước  x  1;1;3; 3 hay x 4;6;8;2 x y 8 Vậy nghiệm phương trình  x; y    2;0  ;  4;0  ;  6;8 ; 8;8 2) m  a    a  4a     2a    a   2a  a   2a  2   a  2a  1  1  a  2a  1  1   a  1  1  a  1  1    Vì  a  1  1a,  a  1  0a nên giá trị nhỏ thừa số thứ 2 a  1 Giá trị nhỏ thừa số thứ hai a  Còn trường hợp khác tích  a  Vậy ngồi  m  phân tích thành tích hai thừa số lớn a    nên m số nguyên tố Câu Đặt a  x  1, b   x ta có: a  b  A  a  b   ab    a  b   4a 2b 2 2   a  b   2ab   4a 2b    2ab   4a 2b   2  8a 2b  16ab  16   ab  1   Dấu "  " xảy  a  b  ab   a  b   x  Vậy giá trị nhỏ A x  Câu A E F H N M B C D O a) Trước hết chứng minh Tương tự ta có: Nên HD S HBC  AD S ABC HE S HCA HF S HAB  ;  BE S ABC CF S ABC HD HE HF HD HE HF S HBC  S HCA  S HAB   1    1 AD BE CF AD BE CF S ABC b) Trước hết chứng minh BDH Và CDH BEC  BH BE  BD.BC CFB  CH CF  CD.CB  BH BE  CH CF  BC. BD  CD   BC (dfcm) c) Chứng minh AEF Và CDE ABC  AEF  ABC CAB  CED  CBA  AEF  CED Mà EB  AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự : DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC , ta có OMH  ONC  c.c.c   OHM  OCN (1) Mặt khác ta có OCH cân O nên OHC  OCH (2) Từ 1   ta có: OHC  OCH  HO phân giác góc BHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Câu 2n3  n2  7n    n2  n    2n  1  Để 2n3  n2  7n  2n  1thì 2n  hay 2n  1là Ư    2n   5  n  2  2n   1  n     2n   n     2n   n  Vậy n2;0;1;3 2n3  n2  7n  2n 