ĐỀ BÀI Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A n3 n2 n số nguyên tố n4 3n3 2n2 6n b) B có giá trị số nguyên n2 c) D n5 n số phương Câu (5 điểm) Chứng minh rằng: a) a b c biết abc ab a bc b ac c b) Với a b c a b4 c ab bc ca a b2 c c b a c) b c a b a c Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 b) x 8x 1 x 1 c) x2 y x y 10 với x, y nguyên dương Câu (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E, cắt BC F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh: 1 AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN Câu a) A n3 n2 n n2 1 n 1 Để A nguyên tố n n Khi A b) B n2 3n n 2 B có giá trị nguyên n2 n2 n 1(ktm) n ước tự nhiên n n (tm) Vậy với n B có giá trị nguyên c) D n5 n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 5 n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 Mà n n 1 n 1 n n (tích số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 Vậy D chia dư Do D có tận nên D số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu a) a b c ac abc c ab a bc b ac c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac 1 ac c c ac ac c abc ac b) a b c a b c ab ac bc a b c 2 ab ac bc (1) a b c a 2b a 2c b 2c a 2b a 2c b 2c 8abc a b c (Vì a b c ) ab ac bc a 2b2 a 2c b2c (2) Từ (1) (2) a b4 c ab ac bc c) Áp dụng bất đẳng thức x y xy Dấu xảy x y a b2 a b a 2 b c b c c a2 c2 a c c b2 a b a b c2 b2 c b b a2 c2 a c a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2 a b2 c c2 a c b a c b a b 2 2 c a c a c b a c b a b b Dấu " " xảy a b c Câu a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 x 300 x 300 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2 x x 1 x 1 64 x 16 x 18 x x 64 x 16 x 1 64 x 16 x 72 Đặt 64 x 16 x k Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 72,25 k 8,5 Với k 8,5 ta có phương trình : x 64 x 16 x x 1 x 1 x 1 Với k 8,5 ta có phương trình: 64 x 16 x 8 x 1 (vô nghiệm) 1 Vậy S ; 2 4 2 c) x y x y 10 x x 1 y y x 1 y x y 1 x y 3 Vì x, y nguyên dương nên x y x y x x y x y y 1 2 Phương trình có nghiệm dương x; y 3;1 Câu B A E F K O I N M D a) Vì AB / /CD SDAB SCBA (cùng đáy đường cao) SDAB S AOB SCBA S AOB hay S AOD SBOC EO AO b) Vì EO / / DC Mặt khác AB / / DC DC AC C AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / / MK N DF Kẻ đường thẳng KN đường phải dựng Chứng minh: SEDM SEFM (1) Gọi giao điểm EM KN I SIKE SIMN Từ (1) (2) suy SDEKN SKFN