034_Đề HSG Toán 9_Đà Nẵng 2017-2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A   11   11 18  11 Câu 2: (1,5 điểm)  x2 x  x 1 với x  ; x #1    : x x  x   x  x x   Rút gọn A chứng minh A  Cho biểu thức A   Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y  mx  2m 1 ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Câu 4: (2 điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x  x    x  x     x2  2x  y  b) Tìm tất  x, y, z  thỏa mãn  y2  y  z  x  y  z 1 x 1  Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Câu 6: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC  , ABC  1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  Tiếp tuyến B đường tròn  O  cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC  AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C  O  cắ BG F Chứng minh rằng: EAG  FAG LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A   11   11 18  11     A  11  11 18  11  11     11 49  11 18  11 A  11   11 2  (1,5 điểm) Câu 2:  x2 x  x 1 Cho biểu thức A   với x  ; x #1    :  x x 1 x 1  x  x  x Rút gọn A chứng minh A  + Rút gọn A  x2 x  x 1 A      :  x x 1 x 1  x  x  x  A     x  1 1 x   x   :   x   x  1 x   x   x  1 x   x    x2 x  x 1 x    A    A  Với x  ; x #1     x x  x   x  x   x x 1    x 1 x  + Chứng minh A  Xét hiệu A   x  x 1 x   x 1 x A x  2x  x   x 1 x  A Câu 3:   2    x 1 x 1 x   với x  ; x #1 2 0  A 3 (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y  mx  2m 1 ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H Gọi H ( x0 ; y0 ) điểm cố định qua d m với m H ( x0 ; y0 )  dm với m Ta có: y0  mx0  2m   y0    x0  2 m  x    x0  2   Vậy H (2; 1)  y0    y0  1 b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m h A,dm   m   2m   m 1 3 m2  m 1 Do (  m  1   m2  1   ) m 1 m 1 Dấu “ = ” xảy m  1 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn m  1 Câu 4: ( điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x4 x2 2  x6 x2 7   x2  2x  y  y2  y  z b) Tìm tất  x, y, z  thỏa mãn   x  y  z 1 x 1  a) ĐK x  x4 x2 2  x6 x2 7     x2 2  x2 3 x2 2    x2 3  7  x2 2 x2 3    x   x    2 x      7(loai )  x  11 ( t/m) b)  x  x  y (1)  ( I) y  y  z (2)    x  y  z   x   0(3) Thay (1) (2) vào (3) ta có: x  x2  x  y  y   x 1    x  1   y  1   x  1  x   2 Vế trái  ; Vế phải = nên dấu xảy khi:  x 1   x 1    y 1   y  1 Suy z  1 Vậy ( x, y, z)  (1, 1, 1) Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Gọi chiều rộng chiều dài ruộng hình chữ nhật x ; y với ( x  ; y  ) Nếu giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi nên ta có pt  x 1  y  2  xy (1) Nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng nên ta có pt x   y   x  y  (2) Thế (2) vào (1) ta có:  y  8  y  2  y  y    y  16 ; x  Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 ) Câu 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC  , ABC  1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp ( AEC  CFA  900 ) Nên: EAC  CFE ( Cùng chắn cung EC ) FAC  FEC ( Cùng chắn cung FC) DAC  BCA ( so le trong) Suy ra: BAC CFE (g.g) BC AC CE AC   FE   AC.sin 300   CE FE BC Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp  O  Tiếp tuyến B đường tròn  O  cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC  AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C  O  cắ BG F Chứng minh rằng: EAG  FAG a) Ta có: BAC  CBD ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) ABC  BCD ( so le trong)  ABC BCD (g.g)  AB BC  BC  AB.CD (1)  BC CD b) Qua A kẻ tiếp tuyến C với  O  cắt đường thẳng qua B song song với AC I, Cắt AF j Nối AE cắt CD H Chứng minh được: BC  AC.BI (2) Từ (1) (2) ta có: AB BI (3)  AC CD AN FN CN Lại có: AC JI    JB FB IB Do AN  NC  JB  IB (4) AP EP BP Tương tự: AB FI    CH EC CD Do AP  BP  CD  CH (5) AB.CD  AC.BI  Từ (3),(4),(5) ta có: AB BJ AB AC    AC CH BJ CH Suy ra: ABJ ACH (c.g.c) AHC  BJA  JAB  HAC  EAB  FAC ...LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A   11   11 18  11     A  11  11 18  11