ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MƠN TỐN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: ( điểm ) Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a b2 1, a b4 Tính giá trị biểu thức P a2018 b2018 Câu 2: ( điểm ) Giải phương trình: x x Câu 3: ( điểm ) Hình bên gồm hình vng giống hệt nhau, hình vng có diện tích cm2 Các điểm A, B, C, D đỉnh hình vng Điểm E nằm đoạn CD cho AE chia hình vng thành hai phần có diện tích Tính độ dài đoạn CE Câu 4: ( điểm ) 1) Cho hai số thực x , y Chứng minh 1 x2 1 y x 1 y 2) Các số A; B; C; D; A C; B C; A D; B D tám số tự nhiên khác từ đến Biết A số lớn số A, B, C, D Tìm A Câu 5: ( điểm ) 1) Cho nửa đường trịn O đường kính AB 4cm Góc DAB 30 cung DB phần đường tròn tâm A Tính diện tích phần tơ đậm 2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vng góc với I Đường thẳng qua I vng góc AD cắt cạnh BC N Đường thẳng qua I vng góc BC cắt cạnh AD M Chứng minh AB CD 2MN ABCD hình thang Câu 6: ( điểm ) Một ô tô dự định từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi v km / h vận tốc ô tô tăng thêm 20% đến B sớm dự định Tuy nhiên sau 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự định 48 phút Tính quãng đường hai thành phố LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MÔN TỐN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1: ( điểm ) 2 4 Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a b 1, a b Tính giá trị biểu thức P a2018 b2018 a b2 1 a 2b a a 4 1 4a 4a 2a a b2 2 4 Ta có a b Do P a Bài 2: 1009 2a 2b2 b2 1009 1009 1 2 1009 1 2 1008 ( điểm ) Giải phương trình: 5 x 3 x ĐKXĐ: 3 x Bình phương vế phương trình ta được: 5 x 5 x x 3 3 x 36 5 x x 3 19 3x Với ĐK: 3 x 19 Ta có phương trình 16 x x 3 19 3x 25x2 146 x 121 x 1 25x 121 121 ( thỏa mãn điều kiện) 25 121 Vây phương trình có tập nghiệm S 1; 25 x hay x Bài 3: ( điểm ) Hình bên gồm hình vng giống hệt nhau, hình vng có diện tích cm2 Các điểm A, B, C, D đỉnh hình vng Điểm E nằm đoạn CD cho AE chia hình vng thành hai phần có diện tích Tính độ dài đoạn CE Mỗi hình vng có diện tích cm2 nên hình vng nhỏ có cạnh cm 1 S AOE SOBMC S9hinhvuong 9.4 cm2 2 22.2 11 OA.OE 22 OE cm ( OA 4.2 8cm ) Vậy CE OE OC Bài 4: 11 cm ) 2 ( điểm ) 2 1) Cho hai số thực x , y Chứng minh x y x y Ta có x y x y x y x y x xy x x x y xy y x 1 xy y ( bất đẳng thức đúng) Vậy x y x y 2) Các số A; B; C; D; A C; B C; A D; B D tám số tự nhiên khác từ đến Biết A số lớn số A, B, C, D Tìm A Ta có tổng số: A B C D 36 A B C D 12 (1) Mà B C D A Hơn A A B C D 12 A Nếu A B, C, D 1; 2;3 B C D Điều mâu thuẫn (1) Nếu A B, C, D 1; 2;3; 4 1 B C D Do B, C, D 1; 2; 4 Do A D A C bé nên C, D B Nếu C 1, D A C B D vô lý Nếu C 2, D A D B C vô lý Do A 6, suy B, C, D 1; 2;3; 4;5 Từ (1) ta có B C D Do B, C, D 1; 2;3 Hơn A D, A C nên C, D , suy B Với C 1, D hay C 2, D thỏa mãn yêu cầu đề Vậy A Bài 5: ( điểm ) 1) Cho nửa đường tròn O đường kính AB 4cm Góc DAB 30 cung DB phần đường tròn tâm A Tính diện tích phần tơ đậm 2 2Sphần trắng Sphần trắng SOAE Squạt OBE S phần tô đậm Snửa hình tròn Squaït 2 4 2 2 3 2 ABD 2) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vng góc với I Đường thẳng qua I vng góc AD cắt cạnh BC N Đường thẳng qua I vuông góc BC cắt cạnh AD M Chứng minh AB CD 2MN ABCD hình thang B K N A C I F O M D Gọi K giao điểm MI BC Gọi F trung điểm BD Ta có: BIK KIC (cùng phụ với IBK ) MDI KIC ( góc nội tiếp chắn AB O ) BIK MDI mà BIK MID (2 góc đối đỉnh) nên MDI MID MID cân M MI MD MAI MIA MAI cân M MI MA mà MI MD MI MA M trung điểm AD 1 Ta có MF AB; NF DC 2 2.MF 2.NF 2MN MF NF MN M , F , N AB CD 2MN nên mà thẳng hàng Từ suy AB // CD nên ABCD hình thang Bài 6: ( điểm ) Một ô tô dự định từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi v km / h vận tốc tơ tăng thêm 20% đến B sớm dự định Tuy nhiên sau 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự định 48 phút Tính quãng đường hai thành phố 48 (giờ) 60 Gọi s km quãng đường hai thành phố A B s Đổi đơn vị : 48 phút Nếu vận tốc ô tơ tăng thêm 20% đến B sớm dự định nên ta s s s có phương trình: v 1 v v 20% Sau 120 km với vận tốc v , ô tô tăng thêm 25% đến B sớm dự 120 s 120 s định 48 phút nên ta có phương trình: (2) s v 25%v v s v v 60 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: s 360 120 s 120 s v 25%v v s Vậy quãng đường hai thành phố A B 360 km ...LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS MƠN TỐN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1: ( điểm ) 2 4 Cho hai số a , b thỏa điều kiện: a b 1, a b