đường thẳng song song với mặt phẳng

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ SONG SONG §3 Đường thẳng song song với mặt phẳng Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 3 đờng thẳng song song với mặt phẳng A. Tóm tắt lí thuyết 1. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng Cho đờng thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đờng thẳng và mặt phẳng ta có ba trờng hợp sau: a. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: a (P) = a // (P). b. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: a (P) = {A} a cắt (P) tại A. c. Đờng thẳng a và mặt phẳng (P) có 2 điểm chung phân biệt, tức là: a (P) = {A, B} a (P). Định nghĩa : Một đờng thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. điều kiện để một đờng thẳng song song với một mặt phẳng Định lí 1 : Nếu đờng thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đờng thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P). Tức là, với a (P) thì nếu: a // d (P) a // (P). 3. tính chất Định lí 2 : Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a. Tức là, nếu: 2 P a(P) = a // (P) a P a(P) = {A} a cắt (P) a A P a(P)={A, B} a(P) a A B P a d a Q d P = d)P()Q(a )P//(a a // d. Hệ quả 1 : Nếu một đờng thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đờng thẳng nào đó trong mặt phẳng. Hệ quả 2 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đờng thẳng đó. Tức là: = a//)Q( a//)P( d)Q()P( d // a. Định lí 3 : Nếu a và b là hai đờng thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng Phơng pháp áp dụng Để chứng minh đờng thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đờng thẳng a chứa trong (P). Chú ý: Nếu a không có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và nhận a làm giao tuyến của (P) và (Q). Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ABD và M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG song song với mặt phẳng (ACD). Giải Gọi N là trung điểm AD, khi đó: GN BG = 2 = MC BM MG // CN (ACD) MG // (ACD). 3 P a Q d C A D B N G M Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. a. Gọi O và O lần lợt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b. M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABD và ABF. Chứng minh MN song song với (CDEF). Giải a. Trong BDF có OO' là đờng trung bình nên: OO' // DF (ADF) OO' // (ADF). Trong ACE có OO' là đờng trung bình nên: OO' // CE (BCE) OO' // (BCE). b. Gọi I là trung điểm của AB, ta có: 3 1 IE IN ID IM == MN // DF (CEF) MN // (CEF). Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 và G 2 theo thứ tự là trọng tâm ABD và ACD. Chứng minh G 1 G 2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD). Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Trong ABD, ta có ngay: 3 2 AK AG 1 = và 3 2 DM DG 1 = . Trong ACD, ta có ngay: 3 2 AI AG 2 = và 3 2 DN DG 2 = . Từ đó, ta lần lợt có: AK AG 1 = 3 2 AI AG 2 = G 1 G 2 // KI (BCD) G 1 G 2 // (BCD). DM DG 1 = 3 2 DN DG 2 = G 1 G 2 // MN (ABC) G 1 G 2 // (ABC). Cách 2: Gọi E là trung điểm của AD. Trong ABD, ta có ngay: 3 2 BE BG 1 = . Trong ACD, ta có ngay: 4 A B C I K D M N G 1 G 2 A B D C E G 1 G 2 C A B D M N O' O E E F I 3 2 CE CG 2 = . Từ đó, ta có: BE BG 1 = 3 2 CE CG 2 = G 1 G 2 // BC Vì BC thuộc (BCD) và (ABC) nên G 1 G 2 // (BCD) và G 1 G 2 // (ABC). Ví dụ 4: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các cạnh AB, CD. Gọi P là trung điểm của SA. a. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD). b. Chứng minh rằng SB song song với (MNP). c. Chứng minh rằng SC song song với (MNP). d. Gọi G 1 và G 2 theo thứ tự là trọng tâm ABC và SBC. Chứng minh G 1 G 2 song song với (SAD). Giải a. Trong hình bình hành ABCD, ta có MN là đờng trung bình, do đó: MN // BC (SBC) MN // (SBC). MN // AD (SAD) MN // (SAD). b. Trong SAB, ta có MP là đờng trung bình, do đó: SB // MP (MNP) SB // (MNP). c. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: = Px)MNP()SAD( MN//AD )MNP(MNvà)SAD(AD Kx // AD // MN. Giả sử Px cắt SD tại Q, suy ra Q là trung điểm SD. Trong SCD, ta có NQ là đờng trung bình, do đó: SC // NQ (MNP) SC // (MNP). Cách 2: Gọi O là trung điểm MN, suy ra O là trung điểm AC. Trong SAC, ta có OP là đờng trung bình, do đó: SC // OP (MNP) SC // (MNP). d. Gọi K là trung điểm SB. Ta có: 3 2 CK CG 1 = và 3 2 CM CG 2 = 5 S C A D B M K G 1 G 2 S C A D B M N P Q x O G 1 G 2 // MK. (1) Mặt khác, trong SAB, ta có MK là đờng trung bình, do đó: MK // SA. (2) Từ (1) và (2) suy ra: G 1 G 2 // SA (SAD) G 1 G 2 // (SAD). Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lợt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có . JC JB ID IA = a. Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định. b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trớc (tức điểm M thoả = )MJ.kIM . Giải a. Dựng JH // AB, H AC. (1) Nhận xét rằng: HC HA = ID IA JC JB = HI // CD. (2) Gọi là mặt phẳng chứa AB và song song với CD, suy ra là mặt phẳng cố định và (HIJ) // . b. Giải sử (HIJ) cắt BD tại K, dễ thấy HIKJ là hình bình hành. Qua M kẻ PQ song song với AB (P HI và Q JK). Ta có: AP BQ = E và EM AB = F. Nhận xét rằng: MJ MI PH PI EC ED == = k E là điểm chia CD theo tỉ số k. MJ MI MQ MP FB FA == = k F là điểm chia AB theo tỉ số k. Vậy, tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k là đoạn EF với E, F lần lợt là điểm chia CD và AB theo tỉ số k. Vấn đề 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thiết diện song song với một đờng thẳng cho trớc Phơng pháp áp dụng 1. Tìm phơng giao tuyến bằng định lí 2 hoặc định lí 3. 6 A B D J C K I H M P Q E F 2. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đờng thẳng cho trớc theo phơng pháp đã biết. Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) và hai đờng thẳng song song a, b. Chứng tỏ rằng nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b. Giải Vì a song song với b nên a và b đồng phẳng. Giả sử: a (P) = {M} (a, b) (P) = Mx. Trong mặt phẳng (a, b) vì a song song với b và a cắt Mx tại M nên b cũng sẽ cắt Mx tại N. Vậy, ta đợc b (P) = {N}. Nhận xét: Trong lời giải trên, chúng ta đã sử dụng kết quả của tính chất thừa nhận 5 (Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng), cụ thể "Trong mặt phẳng cho a //b thì nếu c cắt a cũng sẽ cắt b". Ví dụ 2: (Bài 28/tr 60 Sgk): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Giải Thiết diện đợc xác bằng cách: Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Mx song song với BD, Mx cắt AC và AD theo thứ tự tại I và N. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ My song song với SA, My cắt SB tại R. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ Iz song song với SA, Iz cắt SC tại Q. Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Nt song song với SA, Nt cắt SD tại P. Khi đó, ngũ giác MNPQR là thiết diện cần dựng. Ví dụ 3: (Bài 26/tr 59 Sgk): Cho tứ diện ABCD. Có thể hay không cắt tứ diện bằng một mặt phẳng để: a. Thiết diện là hình thang ? b. Thiết diện là hình bình hành ? c. Thiết diện là hình thoi ? Giải a. Thiết diện có thể là hình thang, cụ thể nếu mặt phẳng chứa MN (với M AB và N AC) và song song với AD. 7 A B C D M N F E A B C D O S R M N I P Q Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau: Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F. Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt BD tại F. Từ đó, suy ra: NE // MF MNEF là hình thang. b. Thiết diện có thể là hình bình hành, cụ thể nếu mặt phẳng đi M (với M AB) song song với AD và BC. Khi đó, thiết diện đợc xác định nh sau: Trong (ABC) kẻ Mt song song với BC và cắt AC tại N. Trong (ABD) kẻ Mx song song với AD và cắt BD tại F. Trong (ACD) kẻ Ny song song với AD và cắt CD tại E. Khi đó, từ cách dựng ta suy ra MF // NE. (1) Mặt khác, ba mặt phẳng (MNEF), (ABC) và (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN, BC, EF và MN // BC nên MN // EF. (2) Từ (1) và (2) suy ra thiết diện MNEF là hình bình hành. c. Thiết diện có thể là hình thoi, cụ thể với thiết diện đợc dựng nh trong câu b). Khi đó, để MNEF là hình thoi điều kiện là: MN = MF. (*) Ta có: BC MN = AB AM MN = AB BC.AM . (3) AD MF = AB BM MF = AB BM.AD . (4) Khi đó, điều kiện (*) trở thành: AB BC.AM = AB BM.AD BM AM = BC AD . Vậy, mặt phẳng (P) đi qua điểm M (với M AB sao cho BM AM = BC AD ) song song với AD và BC sẽ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang có đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b. Mặt bên SAD là tam giác đều. là mặt phẳng qua 8 A B C D M N F E điểm M trên cạnh AB và song song với SA và BC, cắt CD, SC, S B lần lợt tại N, P, Q. a. Chứng minh MNPQ là hình thang cân. b. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AM, (0 < x < b). Tính giá trị lớn nhất của diện tích. Giải a. Ta lần lợt có: )SAB(MQ )SAB(SA //SA MQ // SA. )SBC(PQ )ABCD(MN //BC MN // PQ // BC. Nhận xét rằng: SA MQ = BS BQ BA BM = = CS CP CD CN = = SD NP SDSA = MQ = NP. Vậy, thiết diện MNPQ là hình thang cân. b. Giả sử AB cắt CD tại I, ta có: AD // = 2 1 BC AD là đờng trung bình của IBC do đó IA = AB = b và: = BC MN IB IM = ABIA AMIA + + = b2 xb + MN = b )xb(a + . Trong SBC, ta có: b x AB AM SB SQ BC PQ === PQ = b ax2 . Trong SAB, ta có: SA MQ = b xb AB BM = MQ = b )xb(a . Xét hình thang cân MNPQ, hạ đờng cao QH, ta có: QH = 22 MHMQ = 2 2 2 PQMN MQ = b2 )xb(a3 . 9 N < M Q P H S B C D A M N Q P I S MNPQ = 2 1 (MN + PQ).QH = 2 2 b4 a3 (b + 3x)(b x). Ta biến đổi: S MNPQ = 2 2 b4 a3 . 2 2 3 b 3x 3 b4 2 2 b4 a3 . 3 b4 2 = 3 a 2 . Vậy (S MNPQ ) Max = 3 a 2 , đạt đợc khi 3x 3 b = 0 x = 3 b . Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC. Gọi K và N lần lợt là trung điểm của SA và BC, M là điểm nằm giữa S và C. a. Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K, song song với AB và SC thì đi qua điểm N. b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (KMN). Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giải a. Gọi (P) là mặt phẳng qua K, song song với AB và SC, ta có: Mặt phẳng (Q) chứa AB và song song với SC. Mặt phẳng (R) chứa SC và song song với AB. Khi đó, ba mặt phẳng (P), (Q), (R) song song với nhau sẽ chắn trên hai cắt tuyến BC và SA các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ, cụ thể: AS BC SK CN AK BN == SK AK CN BN = = 1 BN = CN N là trung điểm BC. b. Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu M là trung điểm SC thì thiết diện là hình bình hành MNPK với P là trung điểm AB. Và hiển nhiên khi đó KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau. Trờng hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm SC thì ta thực hiện: Nối KM cắt AC tại D. Nối ND cắt AB tại P. Khi đó, tứ giác MNPK là thiết diện cần dựng. Goi {O} = KN MP, nhận xét rằng: d(M, (P)) = d(S, (P)), d(P, (P)) = d(A, (P)), d(S, (P)) = d(A, (P)), suy ra: 10 S A C B K N M P D O S A C N P B K M . đờng thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đờng thẳng nào đó trong mặt phẳng. Hệ quả 2 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với. là mặt phẳng qua K, song song với AB và SC, ta có: Mặt phẳng (Q) chứa AB và song song với SC. Mặt phẳng (R) chứa SC và song song với AB. Khi đó, ba mặt