Tuyen Tap DE & DA HSG Huyện Krông Pắc

Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2003 - 2004 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: (5điểm) Hai máy bay bay trên cùng một tuyến đường từ sân bay A đến sân bay B , một máy bay bay hết 2 giờ 20 phút , máy bay kia bay hết 2 giờ 30 phút . hỏi vận tốc trung bình của mỗi máy bay , biết rằng trung bình cứ 1 phút thì máy bay này bay nhanh hơn máy bay kia 1 km Bài 2: (5điểm) Cho phương trình : 2 x px q 0+ + = (1) 1/ Gọi α và β la hai nghiệm của phương trình (1) . Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là : 2 ( )α + β và 2 ( )α −β 2/ Cho thêm phương trình 2 x r x s 0+ + = (2) và giả sử p > 0 , r > 0, pr 2(q s)≥ + thì ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm . Bài 3: (4điểm) Chứng minh rằng nếu 4 số dương x, y, z, t thoả mãn hai trong ba hệ thức sau thì cũng thoả mãn hệ thức còn lại . (1) x z y t = (2) 2 2 2 x y z= + (3) 2 2 2 1 1 1 t y z = + Bài 4: (4điểm) Cho tam giác ABC . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB ; D là một điểm bất kỳ trên BC . Điểm P nằm trên BF sao cho DP CFP . Điểm Q nằm trên CE sao cho DQ BEP . Đoạn PQ cắt BE ở R và cắt CF ở S . Chứng minh : PQ RS 3 = . Bài 5: (2điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng : 3 3 3 3 (a b c) a b c 24abc+ + ≥ + + + = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = 1 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2005 - 2006 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: (5điểm) Cho biểu thức : P = 2 x x 2x x 1 x x 1 x + + + − − + a) Rút gọn P . Tìm x để P = 2 . b) Giả sử x > 1 . Chứng tỏ rằng : P P 0− = . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2: (5điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện : 2 2 2 2 2 2 a b c (a b) (b c) (c a)+ + = − + − + − a) Tính a b c+ + . Biết rằng ab bc ca 9+ + = . b) Chứng minh rằng : Nếu c a≥ ; c b≥ thì c a b≥ + . Bài 3: (5điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm giữa hai điểm A và B . Trong cùng một nữa mặt phẳng bờ AB . Kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB . Trên Ax lấy điểm C , tia vuông góc với IC tại I cắt By tại D . a) Chứng minh : AC DB IA IB=. . . b) 3 điểm A, B, C cố định . Xác định vị trí của I để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất . Bài 4: (5điểm) Cho hình vuông ABCD . Kẻ tam giác đều ABE ở bên ngoài hình vuông ABCD. Gọi r 6 3= là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE . a) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và tam giác ABE. Tính đoạn nối tâm OO’. = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = 2 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2006 - 2007 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: (4điểm) a) Chứng minh đẳng thức : 2 2 2 2 1 a 1 a a a b ab 1 b (ab 1) + + = + − + + với b 0 ; ab -1≠ ≠ b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x(y 3) 5y 36− + = Bài 2: (5điểm) a) Giải hệ phương trình : x y z 6 10 2 4x 3y 2z 1  = =  − −   + − = −  b) Các nghiệm của phương trình : 2 x px q 1 0+ + + = ; (q 1)≠ − là hợp số . Chứng minh : 2 2 p q+ là hợp số . Bài 3: (4điểm) Trên một đường tròn ta lấy 1000 điểm rồi đánh số thứ tự theo cùng một chiều từ 1 cho đến 1000 . Bắt đầu từ số 1 , cứ 15 số ta đánh dấu một số , tức là đánh dấu các số 1 ; 16 ; 31 ; ……. Tiếp tục quá trình này qua một số vòng cho đến khi số 1 được đánh dấu lần thứ hai . Hỏi trước lúc đó còn lại bao nhiêu số không bị đánh dấu ? Bài 4: (4điểm) Trên xe ô tô đang chạy , B nhìn qua cửa kính và thấy M đang đi ngược chiều với chiều của ô tô . Sau khi chạy thêm nữa phút , ô tô dừng lại và đã vượt qua M , B xuống ô tô và đuổi theo M . Nếu vận tốc của B bằng 1/8 vận tốc của ô tô và gấp 3 lần vận tốc của M thì sau bao lâu B đuổi kịp M . Biết rằng ô tô , B và M đều di chuyển với vận tốc đều . Bài 5: (3điểm) Cho tamgiác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh rằng nếu ba đường phân giác của tam giác ABC đều nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác ABC nhỏ hơn 1 . = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = 3 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2007 – 2008 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: (3,5 điểm) Chứng minh rằng phân thức : 2 2 2 2 2 2 (x a)(1 a) a x 1 A (x a)(1 a) a x 1 + + + + = − − + + không phụ thuộc vào x và có nghĩa với mọi x, a . Bài 2: (3,5 điểm) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện : xy yz xz 1+ + = . Hãy tính : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) A x y z 1 x 1 y 1 z + + + + + + = + + + + + . . . Bài 3: (4điểm) Hai đội bóng bàn của hai trường THCS thi đấu với nhau . Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu với mỗi đấu thủ của đội kia một trận . Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và số đấu thủ của ít nhất một trong hai đội là số lẽ . Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đối thủ . Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , cạnh góc vuông b , c ; M là một điểm trên cạnh BC sao cho · BAM = α . Chứng minh rằng : bc AM b cos c sin = α + α. . Bài 5: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đường tròn (O) , C thuộc đường tròn (O’)) . a) Tính · BAC . b) Tính BC . c) Gọi D là giao điểm CA với đường tròn tâm O (D A)≠ . Chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng . d) Tính BA , CA . Bài 6: (1 điểm) Tìm các cặp số tự nhiên (x ; y) sao cho : 1 1 1 x y p + = với p là số nguyên tố . ---------- Hết ---------- 4 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2008 - 2009 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức : 15 x 11 3 x 2 2 x 3 P(x) x 2 x 3 1 x x 3 − − + = + − + − − + a) Tìm giá trị của x để 1 P(x) 2 = . b) So sánh P(x) với 2 3 . Bài 2: (6,0 điểm) 1/ Giải phương trình : 3 2 x(x 5) 2 x 5x 2 2+ = + − − 2/ Cho hệ phương trình với tham số a : (a 1)x y a 1 x (a 1)y 2 + − = +   + − =  a) Giải hệ phương trình với a = 2. b) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên. c) Tìm các giá trị nguyên của a để nghiệm của hệ phương trình thoả mãn. điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c với a c,b c 0.> > > Chứng minh rằng : c(a c) c(b c) ab− + − ≤ Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D, cắt đường tròn (O) ở E. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. a) Chứng minh: AE vuông góc với KM. b) Đặt góc BAC bằng α . Gọi S là giao điểm của KD và AC. Chứng minh: KM AD.sin= α . c) So sánh AKEM S với ABC S Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Giả sử (O’) là đường tròn đi qua trung điểm M,N của các cạnh AB,AC . Gọi I là điểm đối xứng của (O) qua (O’). Chứng minh rằng AI vuông góc với BC. ---------- Hết ---------- 5 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2008 - 2009 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN : 150 Phút Bài 1: a) 15 x 11 3 x 2 2 x 3 P(x) x 2 x 3 1 x x 3 − − + = + − + − − + ; Đ/k : x 0 v xµ 1≥ ≠ +Rút gọn : 15 x 11 3 x 2 2 x 3 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1) P(x) ( x 1)( x 3) x 1 x 3 ( x 1)( x 3) − − + − − − + − + − = − − = − + − + − + 15 x 11 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3 ( x 1)( x 3) 5x 7 x 2 (5x 7 x 2) ( x 1)(5 x 2) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) − − − + + − + − + = − + − + − − − + − − − = = = = − + − + − + 2 - 5 x x + 3 + 1 P(x) 2 = (với x 0 v xµ 1≥ ≠ ) 2 5 x 1 1 4 10 x x 3 11 x 1 x 2 11 x 3 − ⇒ = ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = ⇒ + 1 x = 121 (TMĐK) Vậy với 1 x 121 = thì 1 P(x) 2 = b) Xét hiệu 2 2 5 x 2 17 x P(x) 0 3 3 x 3 3( x 3) − − − = − = ≤ + + (Do x 0 x 0≥ ⇒ ≥ ) Vì 2 P(x) 0 3 − ≤ ⇒ ≤ 2 P(x) 3 (với x 0 v xµ 1≥ ≠ ). Bài 2: 1/ 3 32 2 2 x(x 5) 2 x 5x 2 2 (x 5x 2) 2 x 5x 2 4 0+ = + − − ⇔ + − − + − + = (1) Đặt 3 2 2 3 x 5x 2 t x 5x 2 t (*)+ − = ⇒ + − = ; Pt (1) trở thành : 3 t 2t 4 0− + = 3 2 2 2 2 (t 4t) (2t 4) 0 t(t 2 ) 2(t 2) 0 t 2 0 t 2 (t 2)(t 2t 2) 0 t 2 v 1 t 2t 2 0 « nghiÖm, v× '= 0 ⇔ − + + = ⇔ − + + = + = = −   ⇔ + − + = ⇒ ⇒ ⇒ = −   ∆ − < − + =   Thay t 2= − vào (*) ta có : 2 2 x 5x 2 8 x 5x 6 0+ − = − ⇔ + + = (2) ; Giải Pt (2) được : 1 2 x 2 v x 3µ = − = − Vậy Pt đã cho có tập nghiệm: { } S = -2 ; - 3 2/ (I) (a 1)x y a 1 (1) x (a 1)y 2 (2) + − = +   + − =  6 Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak a) Với a = 2 thì Hpt (I) là : 5 5 x x 3x y 3 4x 5 4 4 x y 2 y 2 x 5 3 y 2 y 4 4   = =   − = =     ⇔ ⇔ ⇔     + = = −     = − =     Vậy: Với a = 2 thì Hpt (I) có nghiệm duy nhất :    ÷   5 3 (x ; y) = ; 4 4 b) (I) (a 1)x y a 1 (1) x (a 1)y 2 (2) + − = +   + − =  Từ (1) y (a 1)(x 1) (*)⇒ = + − ; Thay vào (2) được : 2 2 a 1 x (v a a íi 0) + = ≠ . Thay vào (*) ta được : 2 a 1 y a + = . + Nếu a = 0 thì Hpt (I) trở thành: x y 1 x y 2 − =   − =  Hệ này vô nghiệm. Vậy : +Với a = 0 thì Hpt (I) vô nghiệm. +Với a 0 ≠ thì Hpt (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) =    ÷   2 2 2 a + 1 a +1 ; a a * Trong trường hợp ( a 0≠ ) Hpt (I) có nghiệm duy nhất; Trước hết ta tìm x Z∈ : + 2 2 2 a 1 1 x 1 a a + = = + ; Để x Z∈ thì 2 a phải là ước nguyên dương của 1 (do a 0 2 0 a≠ ⇒ > ) 2 a 1 a 1⇒ = ⇒ = ± +Với a = 1 thì Hpt (I) có nghiệm (x ; y) = (2 ; 2) Z∈ +Với a = 1− thì Hpt (I) có nghiệm (x ; y) = (2 ; 0) Z∈ Vậy : với a = ±1 thì Hpt (I) có nghiệm nguyên. c) Cách 1: Với a 0 ≠ ; Đặt P = x + y = 2 2 a 1 a + + 2 a 1 a + = 2 2 a a 2 a + + Biểu thức P nhận giá trị m ⇔ Pt ẩn a sau đây có nghiệm : 2 2 a a 2 m a + + = (1) Do a 0 ≠ nên Pt (1) 2 2 2 ma a a 2 0 (m 1)a a 2 0⇔ − − − = ⇔ − − − = (2) +Trường hợp m = 1 thì Pt (2) có nghiệm a = -2 (*) +Trường hợp ≠m 1 thìPt (2) có nghiệm 0 1 8(m 1) 0 8m 7 0⇔ ∆ ≥ ⇒ + − ≥ ⇔ − ≥ ⇒ ≥ 7 m 8 +Nếu 7 m = 8 (tức 0 ∆ = ) thì Pt (2) có nghiệm : 1 1 7 2(m 1) 2 1 8 = = = −   −  ÷   a -4 (**) Từ (*) và (**) ⇒ P min = 7 8 khi a = -4 Cách 2: Đặt P = x + y = 2 2 a 1 a + + 2 a 1 a + = 2 2 a a 2 a + + (với a 0 ≠ ) 7 2 1 P I M K S E D C B A O Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak 2 2 2 2 2 2 2 2 8a 8a 16 a 8a 16 7a (a 4) 7 7 8 8 8a 8a 8a 8a + + + + + = = + = + ≥ (với a 0 ∀ ≠ ) ⇒ P min = 7 8 khi a = -4 Bài 3: Với a c,b c 0.> > > Ta có : [ ] 2 2 2 2 2 c(a c) c(b c) ab c(a c) 2 c (a c)(b c) c(b c) ab c ab ac bc c 2c (a c)(b c) 0 c b(a c) c(a c) 2c (a c)(b c) 0 c 2c (a c)(b c) (a c)(b c) 0 − + − ≤ ⇔ − + − − + − ≤ ⇔ + − − + − − − ≥ ⇔ + − − − − − − ≥ ⇔ − − − + − − ≥ 2 c (a c)(b c) 0   ⇔ − − − ≥   (*) ; Do Bđt (*) luôn đúng nên Bđt đã cho được chứng minh. Bài 4: a) Xét 2 tam giác vuông AKD và AMD có : ¶ ¶ 1 2 A A= (gt) ; AD là cạnh huyền chung. AKD AMD⇒ =V V (cạnh huyền – góc nhọn) AK AM⇒ = ⇒ AKMV cân tại A, nên đường phân giác AE cũng chính là đường cao ⇒ ⊥ AE KM . b) Có · BAC = α (gt) + · · 0 AKD AMD 180 AKDM+ = ⇒W nội tiếp (I; AD 2 ) · · MKS DAS= (=1/2 sđ ¼ DM của (I)) +Xét 2 tam giác KSM và ASD có: · · MKS DAS= ; S $ chung KS KM KSM ASD AS AD ⇒ ⇒ =V V +Xét tam giác vuông AKS ,ta có : KS KM sin AS AD α = = ⇒ KM = AD.sinα c) Ta có : 2.S ABC = AC.AB. sin α (1) (Công thức tính diện tích tam giác nhọn) + KM AD.sin = α (c/m trên) ⇒ 2.S AKEM = AE.KM = AE. AD.sin α (2) (Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc) +Xét 2 tam giác ACD và AEB có : ¶ ¶ 1 2 A A= (gt) ; · · ACD AEB= (=1/2 sđ » AB của (O)) AC AD ACD AEB AC.AB AE.AD AE AB ⇒ ⇒ = ⇒ =V V AC.AB.sin AD.AE.sin ⇒ α = α (3) Từ (1) , (2) và (3) ⇒ 2.S AKEM = 2.S ABC ⇒ S AKEM = S ABC 8 Q O' O M A B N C I H P K Q K P I O' H N M C B A O Trường THCS Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak Bài 5: *Nếu AB = AC hay ABCV cân tại A .Khi đó A,O,O’,I đều nằm trên đường trung trực của MN và BC IA BC ⇒ ⊥ *Nếu AB ≠ AC +(O’) đi qua 2 điểm M,N nên O’ nằm trên đường trung trực của đoạn MN. +Vẽ đường tròn (O’; O’I). Vì O’I = O’O (gt) O⇒ ∈ (O’; O’I) +Gọi P là giao điểm của IA với đường tròn (O’). Ta có · 0 IPO 90= (góc nội tiếp chắn ½ (O’)) hay · 0 APO 90= (1) +Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCV ; MA = MB, NA = NC (gt) OM AB, ON AC⇒ ⊥ ⊥ · · 0 AMO ANO 90⇒ = = (2) Từ (1) và (2) · · · 0 APO AMO ANO 90⇒ = = = +Các điểm M,P,N cùng nhìn đoạn AO dưới một góc không đổi bằng 90 0 . ⇒ 5 điểm A,M,P,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO (quỹ tích cung chứa góc 90 0 ) +Tâm của đường tròn này là giao điểm K của AO với đường trung trực O’Q của MN. (K) KA KO R⇒ = = ; có O’I = O’O (gt) ⇒ O’K là đường trung bình của IAOV ⇒ IA //O’K ; mà O’K ⊥ MN (t/c đường trung trực) IA MN ⇒ ⊥ . +Mặt khác: MA = MB, NA = NC (gt) nên MN là đường trung bình của ABCV ⇒ MN //BC ; IA MN ⊥ (c/m trên) ⇒ ⊥IA BC (đpcm) Chú ý : Có 2 trường hợp hình vẽ : + O’ và điểm A nằm cùng phía đối với MN. + O’ và điểm A nằm khác phía đối với MN. (Cả 2 trường hợp đều chứng minh như trên nên chỉ cần chứng minh 1 trường hợp ) ---------- Hết ---------- 9 . Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2003 - 2004 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN :. Hoàng Văn Thụ Giáo Viên : Trần Văn Đào ÊaKuăng – Krông Pắc - DakLak ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN KRÔNG PẮC NĂM HỌC : 2005 - 2006 MÔN : TOÁN 9 THỜI GIAN :