Động lực học các hệ chất điểm

O Ạ I H Ọ N C G Q U U Y Ễ N Ố C O V Ă N I A H H À N Ộ I I Ệ U ĐỘNGLực HỌC • • t CÁC HỆ CHẤT ĐIỂM ■ G D G HA NỘI NHÀ XUẤT BÀN ĐẠI Q U Ố C GIA HÀ NỘI • HỌC • • ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI • • • KHOA CÔNG NGHỆ HỆ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO NGÀNH VẬT LÝ KỸ THUẬT L D L A N D A U , E M L IF S H IT Z N G U Y Ễ N V Ă N H IỆ U DỘNG LỰ C HỌC • * ế C Á C H Ệ C H Ấ T D IỂ M NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI L Ờ I N Ó I D À U T r o n g c h c m g tr ìn h đ o t o c h ấ t lư ợ n g c a o c ủ a K h o a C ô n g n g h ệ Đ i h ọ c Q u ố c g i a H nội s in h v iê n đ ợ c h ọ c x o n g n h ữ n g k iến th ứ c b ản v sờ v ề to n học v v ậ t lý tr o n g h n ă m đ ầ u , th n h th từ n ă m t h ứ b a t r c ó n h iều th i g ia n để h ọ c n h ữ n g k iến th ứ c c h u y ê n n g n h h iện đ i T h e o c h n g t r ìn h đ ó Cơ h ọ c lý t h u y ế t đ ợ c h ọ c t r o n g h ọ c k ỳ II n ẵ m t h ứ n h ấ t , Đ i ệ n đ ộ n g l ự c h ọ c , C h ọ c l ợ n g t v V ậ t lý th ố n g kê đư ợ c h ọ c x o n g tr o n g n ă m th h a i, lồn g g h é p v i ch n g t r ìn h V ậ t lý đ i c n g V i k in h n g h iệ m t ự học c ủ a c h ín h b ả n t h â n m ìn h , m n h d n s m đ a v o ch n g trìn h g iả n g d y n h ữ n g k iến t h ứ c h iện đ i đ ể g iú p c h o sin h v iê n có k h ả n ă n g tiế p c ậ n v i n h ữ n g th n h tự u m i c ủ a V ậ t lý h ọ c n g a y từ đ a n g học đại h ọ c, m đ ầu b ằ n g v iệ c g iả n g d y n h ữ n g n ộ i d u n g c h ủ y ế u c ù a C h ọc lý t h u y ế t n g a y t n m t h ứ n h ấ t T r o n g n h ữ n g n ă m t h n g đ ầ u tiên c ủ a c u ộ c đờ i n g h iê n c u k h o a học c ủ a m ìn h tơi đ ã h ọc s c h c ủ a L D Landau E M L ifsh itz N h ữ n g nội d u n g r ấ t h ấ p d ẫ n m tô i đ ã h ọc đư ợ c tr o n g c c cu ố n sách đ ó c ù n g vớ i c c h trìn h b y n g ắ n gọn v ch ín h x c c ủ a L D L a n d a u v E M L ifs h itz d ã m tô i s a y m ê n g h iê n c ứ u V ậ t lý lý th u y ế t T u y k h ô n g đ ợ c trự c tiế p n g h e L D L a n d a u v E M L ifs h itz g iả n g b ài, s o n g tô i l u ô n t ự c ả m t h ấ y đ ó l l h a i n g i t h ầ y c ủ a m ì n h V i l ò n g m o n g m u ố n t r u y ề n c ả m c h o h ọ c t r ò n g ỡ n g m ộ c ủ a m ìn h đối vớ i L D L a n d a u v E M L ifsh itz , d ự a h ẳ n v o s c h c ủ a h a i Ô n g so n g iả n g Tập g iản g “ Đ ộ n g lự c h ọ c c c h ệ c h ấ t đ i ể m ” n y soạn d ự a th e o c u ố n C h ọ c v c u ố n L ý t h u y ế t tr n g t r o n g b ộ s c h V ậ t lý lý t h u y ế t c ủ a L D L a n d a u v E M L ifs h itz Đ ể p h ù h ợ p vớ i sư l n g g h é p v o c h n g t r ì n h V ậ t l ý đ i c c m g t ô i v i ế t lạ i m ộ t s ố b i g i ả n g , c c b i g i ả n g c ò n lạ i đ ợ c t r í c h n g u y ê n v ă n t c u ố n C h ọ c T ô i h y v ọ n g r ằ n g c u ố n s c h c ũ n g l t i l iệ u t h a m k h ả o c ó í c h đ ố i vớ i s in h v iê n n g n h V ậ t lý c c t r n g đ i h ọ c T ô i xin ch â n th n h c m cm Đ i h ọ c Q u ố c g i a H N ộ i v Khoa C ô n g n g h ê đ ã t a o d i ề u k i ê n t h u â n lơi c h o t ô i t h c h i ê n c h n g t r ì n h đ o tạ o c h ấ t lư ợ n g c a o v x in c h â n t h n h c m n H ội đ n g K h o a h ọ c T ự n h iên đ ã g iú p đ ỡ v ề k in h p h í đ ể x u ấ t b ả n c u ố n s c h n ày Hà Nội tháng năm 2002 Viên sĩ N g u y ễn V ăn Hiêu IV M Ụ C LỤ C T ran g Lời nói dầu iii C h om g I Nhừng phương trình định luật Cơ học i I Nguyên lý tác dụng cực trị II P h n g trìn h L a g r a n g e III C c đ ịn h lu ật b to n Đ ịn h lu ật b o to n n ă n g lư ợ n g to n p h ầ n Đ ịn h lu ậ t b ả o to n x u n g lư ợ n g to n p h ầ n 10 Định luật bảo toàn mơmen xung lượng tồn phần 12 IV T ín h đồng d ạn g học 14 V C c p h n g trìn h H a m ilto n 18 C h x r t m g I I M ộ t số to n cụ th ể c ủ a C học 22 I Hệ hai hạt với tương tác phụ thuộc khoảng cách 22 K h ố i lư ợ n g th u g ọ n 22 C h u y ể n đ ộ n g tro n g trirờ n g xu yên tâm B i toán K e p le r II S ự r ã v v a c h m c ủ a c c h t 23 29 35 S ự rã h t 35 S ự v a c h m đ n tín h c ủ a c c h t 40 S ự tán x c ủ a c c h t C ô n g th ứ c R u th e r fo r d 41 III C h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t h ệ q u y c h iế u k h ô n g q u n t ín h 44 IV N hữ ng dao dộng nhỏ 49 V D ao d ộ n g tự d o m ô t ch iều 49 D a o động cư ỡ ng 54 D ao đ ộ n g c ủ a h ệ có n h iều b ậ c t ự d o 59 D a o động củ a nhữ ng p h ân tử 67 D ao động tắt dần 69 C sờ c ủ a th u y ế t tư n g đối 75 C h n g III I P h é p b i ế n đ ổ i L o r e n t z 75 II C c h ệ q u ả c ủ a p h é p b iế n đổi L o r e n t z 79 III C h ọc tư n g đổi tín h 85 rv 89 K h n g g ia n b ố n ch iề u M in k o w s k i Đáp số tậ p VI 96 Chưcmg I N H Ữ N G P H Ư Ơ N G T R ÌN H V À D ỊN H L U Ậ T C BẢN CỦA C H Ọ C I N gu yên lý tá c dung cưc tri X é t hệ N c h ấ t đ iể m m a n g c c k h ố i lư ợ n g t c c t ọ a đ ộ r i , r , , r j v p h ụ t h u ộ c th i g i a n p h ần có tư n g G iả sử th ế n ă n g hạt u (rj ,r 2, , có tọ a độ r ữ, T iv, a t) = c ủ a c c t ọ a độ v th i g ia n 1,2, , N ỞU(r , r 2, , tn , í) F “ = Ta to àn t c vớ i n g o i tr n g v tư n g t c g iữ a c c c h ấ t đ iể m vớ i Iih a u m ô t h m L ự c t c d ụ n g lê n v có * , (1) ký hiệu r rv = Q dra -T - dt ’ Trv = “ d2ra dt Đ ộ n g n ă n g t o n p h ầ n c ủ a h ệ (2 ) Đ ịn h lu ật th ứ hai c ủ a N e w to n đư ợ c v iế t sa u — ỠU(ri,r2, ,rjv;0 o í ^ _ o , 2, Ớ T (ỵ ? N (3) L i g i ả i c ủ a h ệ p h o rn g t r ì n h ( ) x c đ ị n h n h ữ n g q u ỹ đ o r a ( í ) c ủ a c c c h ấ t đ iể m N h ữ n g g iá tr ị (íi)= r £ , r Q(í2 ) = r f c ủ a c c h m v e c t r Q (í) c c t h i đ i ể m t\ 2, 1 (4) < í 2) x c đ ịn h t ọ a đ ộ c ủ a c c đ iểm đ ầ u v c c đ iể m cu ố i c ủ a c c q u ỹ đ o T a làm b iến th iê n c c Ta (t) hàm n h n g lư ợ n g v c ù n g bé c(í), * « ( * ) -*■ r L ( = Ta{t) + r a (í) (5) Đ ộ n g n ă n g to n p h ầ n r ( r i , r , , r j v ) b iến th iê n n h s a u < T (ri,r2 , • • ,r jv ) ^ ^ wigTotfiYgc Ct = ỵ , m ± r a ot d ^ ^^ ^ ^ m»rQra a at D ù n g p h n g trìn h (3) t a có - £ maraSra = £ a gi^ ị - — Ot a = oo, E — *• oo V —►c Hạt có khối lượng nghỉ khác khơng có vận tốc với giá trị gần giá trị vận tốc ánhsáng, khơng bao già có vận tốc với giá trị giá trị vận tốc ánh sáng Trái lại, hạt có khối lượng nghi khơng (và lượng hửu hạn) phải chuyển động với vận tốc có giá trị giá trị vận tốc ánh sáng hệ quy chiếu Trong trường hợp đặc biệt lượng xung lượng có hệ thức E = cp (28) B ài tầ p Một hạt có khối lượng m i vận tốc V va chạm với hạt đứng yên có khối lượng m , sau hai hạt hợp lại thành hạt có khối lượng M chuyển động với vận tốc V Tìm M V Một hạt có khối lượng M đứng yên bị rã thành hai hạt có khối lượng mi m 2- Xác định lượng E \ E hai hạt, sinh sau rã Chứng minh điện từ tự hấp thụ photon phát photon (khối lượng nghỉ photon khơng) Điều có mâu thuẫn với hiệu ứng quang diện hay không? 88 Positron e* electron e~ hai hat có mơt khối lưong m có điện tích trái dấu Khi e+ va chạm với e~ xẩy hủy cặp e+e~ thành photon Chứng minh hai hạt e+ e~ tự hùy cặp để biến thành photon, hủy cặp để biến thành hai hay nhiều photon T ìm lượng tối thiểu E mịn mà positron e+ phải có để hủy cặp electron e~ sinh hai hạt có khối lượng M lớn khối lượng m e + e~ nhiều lần hai trường hợp: a) E lectro n e~ b a n đầu đ ứ n g yên b) Electron e~ chuyển động ngược chiều với positron e+ có lượng lượng positron e+ (trong máy gia tốc có hai chùm giao nhau) IV K h ô n g g ia n b ố n c h iề u M in k o w s k i Trong thuyết tương đối không gian thời gian liên hệ mật thiết với phụ thuộc vào hệ quy chiếu Ta xem không gian thời gian tạo thành không gian bốn chiều mà vectơ tọa độ có bốn thành phần x = ct, X\ = X, x = y, x3 = z (29) Khác vái không gian Euclide ba chiều mà chiều dài vectơ đại lượng bất biến phép quay, đại lượng bất biến biến đổi Lorentz tổ họp song tuyến tính x\ + xị + x ị x ị = xỊ + x\ + x ị —c2t mà ta ký hiệu (z,x) = gl“'x llx^, (30) với tenxo- metric ợ**" có thành phần (31) 89 Khơng gian bốn chiều với tenxơ metric g ^ môt không gian giả Euclide, gọi không gian Minkowski Đặt X* = g ^ X v, (32) nghĩa x° = —ct, X2 = y, X = X, X3 = z, (33) ta viết (x,x) = (34) Cơng thức biến đổi ngược lại (32) biểu diễn thành phần XMqua thành phần xạ — Rõ ràng thức ọ I/ có giá trị giống G iữa hai tenxơ có hệ ^ g vX = (36) Đại lưạng bốn thành phần gọi vectơ tọa độ hiệp biến, đại lượng bốn thành phần XMgọi vectơ tọa độ phản hiệp biến Biến đổi Lorentz viết dạng tổng quát sau Xụ, * Xp — CLpXy ( 37) Mọi đại lưcmg bốn thành phần Ap biến đoi giống bốn thành phần vecta tọa độ hiệp biến, nghĩa biến đổi sau A l l - * A ’lt = a"A„ (38) trongphép biến đổiLorentz, gọi vectơhiệp biến không gian Minkowski.Vectơ phản hiêp biếntirơng ứng đại lượng bốn thành phần A^ với = g^Av (39) Dễ thử lại công thức biến đổi Lorentz vectơ phản hiệp biến x ụ, A M = g ^ a f a v Z 1' (40) 90 va A = g ^ a px gpvA (41) \ Cho hai vectơ hiệp biến A p , B Mtrong không gian Minkowski ký hiệu hai vectơ phản hiệp biến tương ứng , f ì Ta định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ bốn chiều sau (A, D ) = g ^ A ^ B u = = g ^ A 'íB \ (42) A u (43) Đặc biệt {A, A) = g ^ A ^ A u = T rong p h é p biến đổi Lorentz (37) t h n h p h ầ n A ụ biến đổi th e o công t h ứ c (38), đại lư ợ n g [A, A) th ì b ấ t biến ự , A ' ) = (A ,A ) (44) Cho hai vectơ bốn chiều với thành phần Aự Bụ ,, hai biến đổi theo công thức (38) phép biến đổi Lorentz Vì {A, B) = ~[[A + B ,A + B) - {A - B, A - J3)j ta suy tích vơ hướng ( A , ) bất biến phép biến đổi Lorentz = (45) nghĩa g^A^Bl = g ^ a y uA x B p = gxpA xB p Vì thành phần A\ Bp tùy ý ta suy công thức = gx" (46) ĐÓ điều kiện mà hệ số biến đổi Lorentz (37) phải thỏa mãn Dùng tính chất hệ số ta đào ngược lại công thức (38) (41) biểu diễn thành phần Aịị qua thành phần A'n thành phần A M qua thành phần A lfl T a có a^Ax = A '^ = a ịg ^A ^ g pẢ \ = a í g ^ A ^ T suy = gxPaịgvtlA,ll (47) Ap = ap uA'ự (48) Biết công thức biến đổi Lorentz (37) (40) thành phần vectơ tọa độ, ta thiết lập công thức biến đổi Lorentz Ở Ở toán tủ' đao hàm riêng -T— ——- theo thành phần ƠXM Ta có x ^ _ dxv dx^ dx'p d d d dxu ’ _ dx^_ dx'p dx'^ d dxw Theo cơng thức có dạng (47) (48) x u xu, Xu — gupaxg V ta có Do — Qf /u dxu —9vpa \ dx’ụ dxv d x* So sánh hệ thúx (49) (50) với hệ thửc (41) (38) cô ng t h ứ c biến đổi c ủ a t h n h p h ầ n c ú a moi v e c t h i ê p biến ò p h ả n h i ê p biến , t a k ết lu ận r ằ n g t o n t —— c ác t h n h p h ầ n ỜXp Q c ủ a m ộ t v e c t p h ả n hi ệp bi ến ký h i ệ u