ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ ỨNG DỤNG

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: a) Những nội dung luận văn thực đưới hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hải Trung b) Mọi sưu tầm, tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm công bố c) Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Phan Trí Lý MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu .1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MA TRẬN VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN .3 1.2 ĐỊNH THỨC VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CHƯƠNG ĐỊNH THỨC WRONSKI SUY RỘNG 21 2.1 MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN 21 2.2 ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THƯỜNG 23 2.3 KHÁI NIỆM VỀ BÓ VEC TƠ VÀ BÓ DÒNG 27 2.4 ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA BÓ GRASSMANN 38 2.5 ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA BĨ GRASSMANN TRÊN CÁC DỊNG 45 2.6 HỆ TUYẾN TÍNH TRONG p1 VÀ ĐỊNH THỨC WRONSKI TRUNG GIAN 48 2.7 ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA ÁNH XẠ ĐỐI HỢP SIÊU ELIPPTIC 56 2.8 ĐỊNH THỨC WRONSKI TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ WRONSKI-SCHUBERT TÍNH TỐN 58 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD CHO ĐỊNH THỨC WRONSKI 64 3.1 SƠ LƯỢC VỀ MATHCAD 7.0 64 3.2 ỨNG DỤNG MATHCAD 7.0 CHO ĐỊNH THỨC WRONSKI 69 KẾT LUẬN .73 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Từ lâu ta biết định thức Wronski chiếm vị trí quan trọng để chứng tỏ tính nghiệm tốn Cauchy phương trình vi phân tuyến tính cấp n (ODE) Vẫn biết, chất, Wronskians định thức cấp n lập thành từ hệ nghiệm sở ODE, việc tính tốn Wronskians chưa trở nên đơn giản Với ý nghĩa với việc tìm hiểu để biết thêm tính chất thú vị, Wronskians đối tượng thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới, phải kể đến : F H Smith, C Towse, L Gatto, I Scherback Với mục đích tìm hiểu Wronskians gợi ý thầy giáo hướng dẫn – TS Lê Hải Trung, lựa chọn đề tài « Định thức Wronskian ứng dụng » cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định thức Wronski ứng dụng Lý thuyết phương trình vi phân thường - Tìm hiểu định thức Wronski mở rộng - Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 để lập trình tính tốn định thức Wronski Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Định thức ma trận - Định thức Wronski định thức Wronski suy rộng - Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 cho định thức Wrosnki Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu ma trận định thức có liên quan đến định thức Wronski phương trình vi phân tuyến tính thường Từ phân tích , nghiên cứu nội dung theo mục đích luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khao ý kiến giáo viên hướng dẫn - Trong luận văn tác giả có sử dụng kiến thức thuộc chuyên nghành : Đại số, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân thường Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia làm chương Chương – Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức định thức ma trận đại số tuyến tính làm sở cho chương sau Chương – Định thức Wronski Phần đầu chương khái niệm hệ hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, xây dựng định thức Wronski Phần thứ hai ứng dụng định thức Wronski cho phương trình vi phân thường Mối liên hệ định thức Wronski với bó Grassmann dòng hệ tuyến tính P1 định thức Wronski trung gian Chương - Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 cho định thức Wronski Chương giới thiệu phần mềm Mathcad 7.0 ứng dụng phần mềm để tính vài định thức Wrosnki CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 MA TRẬN VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN Định nghĩa 1.1 Cho m, n hai số nguyên dương Ta gọi ma trận cỡ (cấp) m �n bảng số gồm m �n số thực viết thành m hàng n cột có dạng sau: a11 � � a21 � � � am1 � số thực aij ; i  1, m; j  1, n a12 a22 am a1n � a2 n � �, � � amn � gọi phần tử ma trận, số i thứ tự hàng số j thứ tự cột phần tử aij ma trận Các ma trận cỡ m �n thường kí hiệu: Am�n ; Bm�n ; Cm�n ; ; X m�n ; Nếu không cần phân biệt cỡ ma trận ta viết tắt: A; B; C;…; X;… aij � ;� b � ; Ma trận cỡ m �n viết gọn là: � � � mn �ij � mn Ví dụ 1.1 3� � A� 2� � �là ma trận cỡ �4 � 1� � � Định nghĩa 1.2 Ma trận cỡ 1�n ( có hàng) gọi ma trận hàng Ví dụ 1.2 Ma trận B   4 ma trận hàng (cỡ 1�4 ) Định nghĩa 1.3 Ma trận cỡ m �1 (chỉ có cột) gọi ma trận cột Ví dụ 1.3 � � � � Ma trận C  � �ma trận cột (cỡ �1 ) � 6 � � � Định nghĩa 1.4 Ma trận cỡ m �n (có số hàng số cột m = n) gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử a11 ; a22 ; ; ann nằm đường chéo bảng vuông ma trận, đường chéo gọi đường chéo ma trận vng, đường chéo lại gọi đường phụ ma trận vng Ví dụ 1.4 2� � � D� 1� �, � 0� � � ma trận vuông cấp 3, đường chéo có phần tử 1, 5, đường chéo phụ có phần tử 2, 5, Định nghĩa 1.5 Ma trận vuông cấp n có phần tử nằm ngồi đường chéo ( aij  0, i �j ) gọi ma trận chéo Định nghĩa 1.6 Ma trận chéo có aii  1; i  1, n gọi ma trận đơn vị cấp n Kí hiệu I n hay En (có viết tắt I hay E) Ví dụ 1.5 0� � E3  � 0� � �là ma trận đơn vị cấp � 0 1� � � Định nghĩa 1.7 Ma trận cỡ m �n có aij  0; i, j, i  j gọi ma trận bậc thang Ví dụ 1.6 � � � � � � 0 1 0 5� 2� � ma trận bậc thang 0� � 0� Định nghĩa 1.8 Ma trận có tất phần tử không gọi ma trận khơng Ma trận khơng cỡ m �n thường kí hiệu Om�n Định nghĩa 1.9 Cho ma trận a11 a12 � � a a22 A  �21 � � am1 am � a1n � a2 n � � � � amn � Ma trận chuyển vị A ma trận có từ A cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng theo thứ tự Kí hiệu : a11 � � a AT  �12 � � a1n � a21 am1 � a22 am � �là ma trận chuyển vị A � � a2 n amn � Ví dụ 1.7 3� � 4� � � 2� � � T � � A� �có A  � 4� � 8� � � � � 8� � Định nghĩa 1.10 aij � Hai ma trận cỡ A  � � � mn B� bij � � � mn gọi nếu: aij  bij ; i, j : i  1, m; j  1, n Định nghĩa 1.11 (Phép cộng hai ma trận) aij � Cho hai ma trận cỡ m �n : A  � � � mn B� bij � � � mn Tổng hai cij � ma trận A, B ma trận C  � cỡ m �n với � � mn cij  aij  bij ; i, j : i  1, m; j  1, n Kí hiệu: C = A + B Ví dụ 1.8 2�� 1� � 11   ( 1) � � 0� � � � � � 1� 3 �  3  (3) (1)  1� 0� � � � � � � � � � 2 � 0�  (2)   � 1� � �� � �� � �� � � Tính chất 1.1 Giả sử A, B, C, ma trận cỡ, O ma trận khơng cỡ đó: i) A + B = B + A (tính giao hốn) ii) A + O = O + A = A (cộng với ma trận không) iii) A + (B + C) = (A + B) + C (tính kết hợp) aij � iv) Cho A  �  �R ; phép nhân số  với ma trận A ma � � mn cij � trận C  � với cij   aij ; i, j : i  1, m; j  1, n � � mn  aij � Kí hiệu :  A  � � � mn Ví dụ 1.9 3� � 10 � � � � � 2� 4 � � 8� � � � � �   � �� � Tính chất 1.2  ,  �R; A, B hai ma trận cỡ thì: i)  ( A  B)   A   B ii) (   ) A   A   A iii)  (  A)  ( ) A iv) 1A = A Định nghĩa 1.12 (Phép nhân hai ma trận) aij � Cho A  � cỡ m �n ma trận B   cik  nq cỡ n �q Tích A � � mn n với B ma trận C   cik  mq cỡ m �q với cik  �aijbik ; i  1, m; k  1, q Kí j 1 hiệu A.B Chú ý 1.1: Để ma trận A nhân với ma trận B số cột ma trận A phải số hàng ma trận B Ví dụ 1.10 2� � � �1   33 � � 10 � � � � � � � � � 7� �� 1� �   21   14 � � 27 16 � � � � 6� 2�   18   12 � 26 16 � � �� � � � � � � � � Tính chất 1.3 i) Các ma trận A cỡ m �n , B cỡ n �p , C cỡ p �q , ta có : A (B C) = (A B) C ii) (tính kết hợp) Cho ma trận A cỡ m �n hai ma trận B, C cỡ n �p , ta có : A (B + C) = A B + A C (tính phân phối) iii) Cho hai ma trận A, B cỡ m �n ma trận C cỡ n �p , ta có : (A + B).C = A C + B C iv) (tính phân phối) Cho E ma trận đơn vị cấp n A ma trận cỡ m �n , ta có : A E = A v) Cho E ma trận đơn vị cấp m A ma trận cỡ m �n , ta có : E A = A Chú ý 1.2 Tích hai ma trận khơng có tính giao hốn Nhưng A.B=B.A ta nói B ma trận khả hốn A ngược lại lúc A, B hai ma trận vuông cấp 1.2 ĐỊNH THỨC VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN Định nghĩa 1.13 Cho E   1, 2,3, , n ta gọi hoán vị tập E song ánh F :E �E �1 n � Kí hiệu : F : � �hay  F (1) F (2) F (n) �f (1) f (2) f (n) � Ví dụ 1.11 E    Ánh xạ f : E � E xác định : f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3 hoán vị E kí hiệu : 3� � f :� �hoặc   2� � Chú ý 1.3 Một tập E có n phần tử xác lập tất n! hoán vị khác Định nghĩa 1.14 �1 n � Cho hoán vị f : � �, ta thành lập cặp có �f (1) f (2) f (n) � thứ tự  f (i), f ( j )  , i  1, n  1; j  2, n, i  j có Cn2 cặp thứ tự Một cặp  f (i), f ( j )  gọi nghịch hoán vị :  f (i )  f ( j )  Gọi N(f) số nghịch hoán vị f (số nghịch có Cn2 cặp thứ tự  f (i), f ( j )  trên) Ví dụ 1.12 5� � Tìm nghịch hoán vị f : � Từ hoán vị ta lập � 4� � cặp thứ tự sau : (3, 2) ; (3, 1) ; (3, 5) ; (3, 4) ; (2, 1) ; (2, 5) ; 62 Bổ đề 2.2 �n � Nếu n �Z  �P có trọng số n, � � ta có hệ số trung bình  �� r n x0 x1 xr khai triển  x0  x1   xr  �n � Nếu n  ta viết � � n �0 quy ước 0!  ,  �� n� � n! � �  � 0 ! 1 ! r ! � Khi đó: Định lý 2.7 Cho  �P , cố định đẳng thức: �n � tn Wr (ur )  ��� � V   ( h) ,  n! n �0   n � � biểu thức ba số là: W (ur )(0) V (h) Mệnh đề 2.6 Công thức Giambellis cho định thức Wronski cố định W (ur )    ( h).W0 (ur ) Chứng minh Ta có: W (ur ) tỉ lệ thuận với W0 (ur ) Mặt khác: W (ur )    W0 (ur ) số   �Er hai chuổi lũy tỉ lệ tất hệ số tất lũy thừa t tỉ lệ Khi đó:   W ,0 (ur )(0) W0 (ur )(0)    (c), Theo định lý 2.7 Hệ 2.3 Công thức Pieris cho định thức Wronski suy rộng: 63 hi W (ur )  � W (ur ) tổng hợp tất phân vùng   ( 0 , 1 , , r )  i  0 �0 �1 �1 � � r �r (2.50) Hệ 2.4 Bây cho  r , d : G � X bó Grassmann, G : G (r  1, F ) F bó vec tơ r + hàng A* (G ) tạo A* ( X ) - mô đun   (ct ( r   r*,d F )) � G  * Theo Trình tự (2.21) kéo theo ct ( Sr )ct ( r )  ct (  r , d F ) , tương đương với  ct ( Sr ) Tập hợp ct ( r )  ct ( r  r*,d F )ct (Sr ) * ct ( r ,d F )  i  (1)i ci ( Sr ) ý phương trình vi phân D r 1 y  1.D r y   (1)r 1  r 1 y  (2.51) * Chúng ta biết hệ 2.2  t � Bằng cách tìm nghiệm A (G ) �Q � � � cấu xạ nhất:  : Er � A* (G ) �Q ei a  i Hệ thống ánh xạ phổ dụng (u0 , u1 , , ur ) đến vr  (0 ,1 , ,r ) , * i   (ui ) hệ quả, ánh xạ hi a ci (   r ,d F ) W (ur ) đến W (vr ) Khi ta chứng minh   (ct (   r*,d F )  W (vr ) W0 (vr ) Nói cách khác, nhóm A* ( X ) xác định với mô đun A* ( X ) tạo định thức Wronski tổng quát liên quan đến sở vr đến 64 nghiệm phương trình vi phân (2.51) Đặc biệt *   (  r*,d F�) � lớp � � �của định thức Wronski tổng quát A ( X ) kết hợp tuyến tính định thức Wronski tổng quát liên quan đến sở (2.51) vr 65 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD 7.0 CHO ĐỊNH THỨC WRONSKI 3.1 SƠ LƯỢC VỀ MATHCAD 7.0 3.1.1 Giới thiệu: Mathcad 7.0 phần mềm tốn, thực tính tốn cách đơn giản tiện lợi Các lĩnh vực áp dụng: - Giải tốn cao cấp: Tính giá trị gần xấp xỉ, rút gọn, đơn giản biểu thức, tính tích phân, đạo hàm, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, tính diện tích, thể tích, vẽ đồ thị hàm số, ma trận, khai triển chuổi, thống kê liệu, số phức… - Giải tốn lĩnh vực hóa học, đất đá, cấu trúc vật liệu, điện, phương pháp số… - Mathcad sử dụng để lập trình giải tốn phức tạp khơng tính tốn số mà tính tốn kí hiệu (symbolics) Lập trình Mathcad tổ hợp lệnh, thơng qua cấu trúc lệnh hàm Mathcad - Với phần mềm Mathcad ta giao lưu, trao đổi kinh nghiệm với người khác giới (nếu có kết nối Internet); Mathcad chuyển liệu từ sang Excel ngược lại thông qua MathConnex 3.1.2 Điều kiện cần cho Mathcad 7.0: - Máy phải cài đặt Windows - Bộ nhới Ram có dung lượng lớn 64 MB - Máy phải có ổ dĩa cứng - Màn hình Super VGA 66 Cài đặt: - Chép mathcad vào thư mục Math - Vào file Serial để copy số hiệu seri vào đệm - Nhấp đôi vào file Setup, đáp ứng yêu cầu để hoàn tất việc cài đặt 3.1.3 Khởi động Mathcad Cách 1: Nhấp đơi vào biểu tượng Mathcad hình Desktop Cách 2: Vào Start/ Programs/ MathSoft/ Mathcad Professional 3.1.4 Thoát khỏi Mathcad Cách 1: Trên menu : chọn File/Exit Cách 2: Từ bàn phím : nhấn Alt+F+X 3.1.4 Màn hình Mathcad D1: Thanh tiêu đề: tên phần mềm Mathcad Professional, tên file soạn Untitled:2, nút Minimize, Maximize, Close D2: Thanh menu: 67 Kích hoạt menu cách nhấp vào tên chức ấn Alt- ký tự đại diện, sau chọn lệnh cách nhấp vào tên lệnh gõ ký tự đại diện lệnh D3: Thanh công cụ: (Toolbar) - New, Open, Save, Print Worksheet, Print Preview, Check Spelling, Cut, Copy, Paste, Undo - Canh hàng ngang, canh hàng dọc - Chen vào hàm số - Chen vào đơn vị - Thực việc tính tốn - Liên kết với liệu nguồn khác Excel, Mathlad, Word… - Resource center: tham quan sơ lược MC, mạch nước hữu ích (Tutorial), bảng tham khảo tiện ích (Reference Table)…Help D4: Thanh định dạng: (The Format Bar) Style Font, Size, Bold, Italic, Underline, Left Align, Center Align, Right Align Nếu không xuất ta vào menu View/ Format Bar để chọn D5: The Math Palette- Bảng kí hiệu, phép tốn - Arithmetic Palette: bảng phép tính số học - Evaluation and Boolean Palette: - Graph Palette: toán tử quan hệ đồ thị - Vector and Matrix Palette: - Calculus Palette: - Programing Palette: vector ma trận phép tính đạo hàm tích phân… từ khóa để viết chương trình 68 - Greek Symbol Palette: mẫu kí tự hy lạp - Symbolic KeyWord Palette: bảng từ khóa Sybolic D6: Khu vực soạn thảo D7: Status line: Dòng tình trạng 3.1.5 Thanh Menu File: New, Open, Close, Save, SaveAs…, Collaboratory (liên hệ với người dùng MC khác giới), Internet Setup, Send (gởi mail), Print Preview, Print, Exit Edit: Undu, Redo, Cut, Copy, Paste, Paste Special (dán ảnh, tài liệu khác), Delete, Select All, Find, Replace, Goto Page…, Check Apelling…, Links…, Object View: Toolbar, Format Bar, Math Palete, Regions, Zoom, Refresh (vẽ lại hình), Aminate (tạo frame chứa ảnh, biểu thức), Playback mở cửa sổ thi hành lại aminate) Insert: Graph (đồ thị), Matrix, Function, Unit, Picture, Math Region, Text Region, Page Break, Hyperlink (New/ Erase/ Edit) (tạo, xóa, sửa siêu liên kết văn bản), Reference (Tạo trống Worksheet hành để làm việc với biến hàm worksheet khác), Component… (tạo liên kết giửa WS MC với file Excel), Object (chèn ảnh, Bitmap, equation…) Format: Number: định dạng số Equation…, Text…, Paragraph…, Style Properties: tô màu cho vùng chọn 69 Graph: định dạng cho đồ thị Color/ Annotation (User Defaut Palette/ Optimize Palette): màu sắc thích cho đồ thị Separate Region: tách rời vùng bị chồng lên Align Regions/ Across (Down): canh ngang, dọc nhiều vùng Lock Regions/ Set lock Area, Lock Area, Unlock Area: chọn vùng đặt khóa, mở khóa vùng (Khi bị khóa ta khơng thể thay đổi nội dung vùng khóa) Headers/ Footers Math: Calculate (F9): tính biểu thức chọn Calculate WorkSheet: cập nhật kết Automatic Calcualate: tự động cập nhật thay đổi biến Optimization: đánh giá, phân tích biểu thức Options/ Build- in Variables tab, Unit System Tab, Dimension Tab: chọn biến, đơn vị… Symbolics: Evaluate/ Symbolics: xuất giá trị biểu thức chọn Floating Point: xuất giá trị biểu thức dạng số thực Complex: xuất giá trị biểu thức dạng số phức Expand: Khai triển biểu thức chọn Factor: Phân tích thành nhân tử Collect: Sắp xếp theo lũy thừa tiến biến chọn Polynomial Coefficicent: Tìm hệ số đa thức Variable/ Solve: Giải phương trình Substitute: Tính biểu thức theo biểu thức Differentiate: Tính đạo hàm theo biến 70 Integrate: Tính nguyên hàm Expand to Series… khai triển chuỗi Convert to Partial Fraction: Phân tích thành tổng đa thức bất khả quy Matrix/ Transpose: chuyển vị Invert: Nghịch đảo Determinant: Định thức Transform/ Fourier/ Inverse Fourier Laplace/ Inverse Laplace Z/ Inverse z Evaluation Style…: lựa chọn vị trí đáp số bên dưới, phải đề Window: Cascade, Tile Horizontal, Tile Vertical, Arrange Icons Help: Trợ giúp 3.2 ỨNG DỤNG MATHCAD CHO ĐỊNH THỨC WRONSKI Các thao tác tính định thức: Bước 1: Tạo định thức - Trên Math: nhắp vào biểu tượng tượng Bước 2: Tạo ma trận định thức - Trên menu: chọn Insert/Matrix… - Trên Math: nhắp vào biểu tượng - Từ bàn phím: nhấn tổ hợp Ctrl+M Xuất hộp thoại Insert Matrix: , sau chọn biểu 71 Trong khung Rows chọn số dòng tương ứng Trong khung Columns chọn số cột tương ứng Chọn OK, nhập số cần thiết vào ma trân sau gõ “=” có giá trị định thức cần tìm Ví dụ 1: Tính định thức sau x x2  1.x 1) 2x x x x3 2) x 3x  x 6x x x2 x3 x4 x 3x x3  3x 3) 2 x 12 x 0 24 x x x2 x3 x4 x5 x x x3 x 4) x 12 x 20 x3  x 0 24 x 60 x 0 24 120 x ……………………………… x x x n x nx n 1  (n  1) x n n-1) 0 n! x 72 Chứng minh: (n) ( n 1)  p1 ( x) y ' p0 ( x) y  Xét phương trình: y  pn 1 ( x ) y Trên đoạn I với hàm liên tục Pj ( x) Sự tổng quát hóa đồng Abel định thức Wronski W( y1 , y2 , , yn ) nghiệm y1 , y2 , , yn phương trình là: x W( y1 , y2 , , yn )( x)  W( y1 , y2 , , yn )( x0 )e �  Pn1 ( t ) dt x0 Với x0 �I Áp dụng công thức định thức Wronski với y1  x, y2  x , , yn  x n Pn 1 ( x)   n , chọn x x0  vào định thức ta được, sử dụng cơng thức x x x n x nx n 1  W ( y1 , y2 , , yn )( x)  (n  1) x n 0 n ! x Ví dụ 2: Tính định thức e1x 1) 1e1x e1x x 2) 1e 12 e1x1 e 1x 1e 1x x 3) 1 e 13e 1x e2 x  (2  1 )e( 1  2 ) x 2 x 2 e e2 x 2 e2 x e 3 x 3 x 3 x  (3  2 )(3  1 )(2  1 )e( 1  2  3 ) x 22e2 x 32e 3 x e2 x 2 e 2 x 22 e2 x e3 x 3e3 x 32e3 x e 4 x 4 e4 x 42e4 x 23e 2 x 33e3 x 43e4 x  (4  3 )(4  2 )(4  1 )(3  2 )(3  1 )(2  1 )e( 1  2  3  4 ) x 73 ……………………………… e1x e2 x en x n n x �i x 2 e n e  �(i   j )e i1 (i  j ) i , j 1  x 2n1e2 x nn 1e n 1 x 2 x 1e n-1) 1n 1e1x n Chứng minh: Ta có: e1x e2 x en x n �i x 1 2 n 2e 2 x n e n x  e i1 1n 1 2n 1 nn 1 2n 1e2 x nn 1e n x 1e1x 1n 1e1x Lấy dòng thứ n – nhân với 1 cộng với dòng thứ n, sau lấy dòng n – nhân với 1 cộng vào dòng thứ n – , tiếp tục vây ta có: Dn   1 2 n 1n 1 2n 1 nn 1 2  1  1 2  1 n  1 2n  (2  1 ) nn 2 (2  1 ) n  1   (2  1 ) (n  1 ) 2n 2 (2  1 ) nn 2 (n  1 ) 3 3n n n  � (i   j ) i , j  2;i  j n2 n Nên: Dn  n � (   ) i , j  2;i  j i n 2n 2 3n nn  Theo giả thiết quy nạp thì: 2 2n 2 3 j 74 KẾT LUẬN Luận văn “Định thức Wronski ứng dụng” thực mục tiêu đề ra, cụ thể vấn đề sau> 1) Tìm hiểu trình bày khái niệm ma trân định thức 2) Xác định mối quan hệ định thức Wronski với phương trình vi phân tuyến tính thường 3) Ứng dụng định thức Wronski bó Grassmann hệ tuyến tính P1 4) Ứng dụng phần mềm Mathcad để tính số định thức cho hệ hàm độc lập tuyến tính Hy vọng kết đề tài tiếp tục mở rộng hồn thiện nữa, nhằm khẳng định vai trò định thức Wronski phương trình vi phân, bó vec tơ bó dòng 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Văn Đặng (2002), Mathcad 2002 giải trình tốn học, Nhà xuất trẻ [2] Nguyễn Thế Hồn – Phạm Thu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục [3] Lê Thị Bích Hồng (2008), Giáo trình lập trình tốn học, Khoa tin, Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, Nhà xuất giáo dục [5] Trần Thanh Liêm, Huỳnh Thị Phương Thảo, Trần Huỳnh Phương Trúc, Mathcad 7.0 Giải tốn phổ thơng đại hoc, Nhà xuất Đà Nẵng [6] Thái Xuân Tiên (1998), Đại số tuyến tính, Nhà xuất giáo dục [7] Lê Hải Trung (2013), Giáo trình phương trình vi phân, Khoa toán, Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Tiếng Anh [8] Letterion Gatto, Inna Scherbak, On Generlized Wronskians, submitted on 17 oct 2013 [9] Cumino, L.Gatto, A Nigro, Jets of line bundles on curves and Wronskians, J Pure Appl Algebra, 215 (2011) 1528 – 1538 [10] D Eisenbud, Transcanonical embedding of Hyperelliptic curves, J Pure and Applied Algebra 19 (1980), 77 – 83 [11] A Eremenko, A Gabrielov, Degrees of real Wronski maps, Discrete and Computa – tional Geometry, 28, 331 – 347, (2002) 76 [12] A Eremenko, A Gabrielov, The Wronski map and Grassmannians of real codimen – sion subspaces, Computational Mthods and Function Theory, 1, – 25 (2001) [13] L Gtto, Weierstrass Loci and Generalizations, I, in “Pro- jective Geometry with Applications”, E Ballico ed, Marcel Dekker, inc., 1994, 137 – 166 [14] L Gatto, I Scherback, Linear ODEs, Wronskians and Schubert Calculus, submitted [15] L Gatto, I Scherback, Universal ODE and Wronski – Schubert calculus, La Matem – atica e le sue Applicazioni, n 13, 2010 ... - Định thức Wronski định thức Wronski suy rộng - Ứng dụng phần mềm Mathcad 7.0 cho định thức Wrosnki Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu ma trận định thức có liên quan đến định. .. Phần thứ hai ứng dụng định thức Wronski cho phương trình vi phân thường Mối liên hệ định thức Wronski với bó Grassmann dòng hệ tuyến tính P1 định thức Wronski trung gian Chương - Ứng dụng phần mềm... TÍNH TRONG p1 VÀ ĐỊNH THỨC WRONSKI TRUNG GIAN 48 2.7 ĐỊNH THỨC WRONSKI CỦA ÁNH XẠ ĐỐI HỢP SIÊU ELIPPTIC 56 2.8 ĐỊNH THỨC WRONSKI TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ WRONSKI- SCHUBERT