Bài tập trắc nghiệm phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng có đáp án

www.thuvienhoclieu.com PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP BIẾN HÌNH A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để điểm thuộc mặt phẳng M mặt phẳng xác định điểm M′ Kí hiệu thuật ngữ: P F Gọi tập hợp điểm mặt phẳng phép biến hình : F :P→P M → M′= F ( M ) M′ M F M M′ - Điểm gọi ảnh điểm qua phép biến hình , điểm tạo ảnh điểm Η H′ M′ M ∈Η Η - Nếu hình ( gồm điểm ảnh ) gọi anh qua F phép biến hình - Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Tích hai phép biến hình G F M M′ M F Cho hai phép biến hình Gọi điểm mặt phẳng ảnh qua , G M ′′ M′ ảnh qua G G.F M ′′ M F Ta nói, ảnh tích hai phép biến hình Ký hiệu M ′′ = G ( F ( M ) ) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com PHÉP TỊNH TIẾN A Lý thuyết Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ r v Phép biến hình biến điểm gọi phép tịnh tiến theo vectơ • • • r v r v Tvr M thành điểm M′ cho uuuuur r MM ′ = v r v Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , gọi vectơ tịnh tiến uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v Ta có: Phép tịnh tiến theo vecto – khơng phép đồng ur v Tính chất: ur v ur v Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M ′N ′ = MN từ suy M,N thành hai điểm M ′, N ′ uuuuur uuuu r M ′N ′ = MN , ur v Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, đường tròn thành đường tròn có bán kính STUDY TIP Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Biểu thức tọa độ: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com r v = ( a; b ) , M ( x; y ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ Khi phép tịnh tiến theo vectơ x ' = x + a  r  r v : Tv ( M ) = M' ( x '; y ') y' = y + b có biểu thức tọa độ: B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN DẠNG CÁC BÀI TỐN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất phép tịnh tiến Xác định ảnh điểm, hình qua phép tịnh tiến Tìm quĩ tích điểm thơng qua phép tịnh tiến Ứng dụng phép tịnh tiến vào tốn hình học khác Ví dụ 1: Kết luận sauuu ur làr sai? uur (A) = B Tur ( A) = B ⇔ AB = u TuAB A B uuu r uuuu r uur ( M ) = N ⇔ AB = MN T0r ( B) = B T2 uAB C C Lời giải: Đáp án D uuuu r uuur uur ( M ) = N ⇔ MN = AB T2 uAB Ta có Vậy D sai STUDY TIP uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ⇔ MM ′ = v Định nghĩa phép tịnh tiến: r r Tv ( M ) = M '; Tv ( N ) = N ' Ví dụ 2: Giảusử Mệnh đề sau uuuuur uuuu r uuuusai? ur uuuur M ' N ' = MN MM ' = NN ' A B MM ' = NN ' MNM ' N ' C D hình bình hành Lời giải: Đáp án D Theo tính chất phép tịnh tiến đáp án A, B, C MNM ' N ' khơng theo thứ tự đỉnh hình bình hành nên D sai d1 d2 d1 d2 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng cắt Có phép tịnh tiến biến thành A Không B Một C Hai D Vô số Đáp án A Lời giải: Do phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nên d1 d2 khơng có phép tịnh tiến biến thành www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com M,N AD, DC Gọi trung điểm Phép tịnh tiến theo INC AMI vectơ sau biến tam giác thành Ví dụ 4: Cho hình vng A uuuu r AM ABCD tâm B I uur IN uuur AC C Lời giải: Đáp ánuuu Du r uur uur uuur ( ∆AMI ) = ∆INC MN = AI = IC ⇒ TuMN Ta có ABCD I Ví dụ 5: Cho hình bình hành tâm Kết luận sau sai? uur ( D ) = C uuur ( B ) = A TuAB TCD TuAIur ( I ) = C A B C Lời giải: Đáp án D D D uuuu r MN TuIDur ( I ) = B uur uur TuIDur ( I ) = I ' ⇔ II ' = ID ⇔ I ' ≡ D Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến theo hướng xác định ( C) ( C) O AB ∆ A Ví dụ 7: Cho đường tròn có tâm đường kính Gọi tiếp tuyến điểm uuu r AB ∆ Phép tịnh tiến theo vectơ biến thành: ( C) ∆ A Đường kính đường tròn song song với ( C) B B Tiếp tuyến điểm www.thuvienhoclieu.com Trang ( C) www.thuvienhoclieu.com AB song song với O ∆ D Đường thẳng song song với qua Lời giải: Đáp án B C Tiếp tuyến uur ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′ //∆, ∆′ TuAB Theo tính chất phép tịnh tiến nên tiếp tuyến đường tròn ( C) B điểm ( O, R ) B, C A BD Ví dụ 8: Cho hai điểm cố định đường tròn thay đổi đường tròn đó, ∆ ABC H đường kính Khi quỹ tích trực tâm là: BC ∆ABC A A Đoạn thẳng nối từ tới chân đường cao thuộc BC B Cung tròn đường tròn đường kính uur TuHA ( O, R ) O′ R C Đường tròn tâm bán kính ảnh qua uuu r TuDC ( O, R ) O' R D Đường tròn tâm , bán kính ảnh qua Lời giải: Đáp án D AD //CH AH //DC BD ⇒ ADCH Kẻ đường kính hình bình hành(Vì vng góc với umột đường thẳng) uur uuur uuu r ( A) = H ⇒ AH = DC ⇒ TuDC uuu r TuDC ( O, R ) O' H R Vậy thuộc đường tròn tâm , bán kính ảnh qua ( C) A, B ABCD I Ví dụ 9: Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động đường tròn Khi DC M quỹ tích trung điểm cạnh : ′ TuKIuur , K (C ) ( C) BC A đường tròn ảnh qua trung điểm www.thuvienhoclieu.com Trang B đường tròn www.thuvienhoclieu.com ( C′) C đường thẳng ảnh BD D đường tròn tâm I ( C) qua TuKIuur , K trung điểm AB bán kính ID Lời giải: Đáp án B AB ⇒ K trung điểm cố định u u u r u u u r TKI ( I ) = M ⇒ M ∈ ( C ′ ) = TKI ( ( C ) ) Ta có Gọi K DẠNG XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp Xác định ảnh điểm qua phép tịnh tiến - Sử dụng biểu thức tọa độ r v ∆′ ∆ Xác định ảnh đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ A, B A′, B′ ∆ ∆′ Cách Chọn hai điểm phân biệt , xác định ảnh tương ứng Đường thẳng cần tìm A′, B′ đường thẳng qua hai ảnh Cách Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng phương với Cách Sử dụng quỹ tích M ( x; y ) ∈ ∆, Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) M ′ ∈ ∆′ Với ′ ′ x = x + a x = x − a   x, y  y′ = y + b  y = y′ − b ∆ ∆′ Từ biểu thức tọa độ ta phương trình ta phương trình Xác định ảnh hình (đường tròn, elip, parabol…) M ( x; y ) Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) M′ - Sử dụng quỹ tích: Với điểm thuộc hình , thuộc ảnh ’ hình - Với đường tròn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính sử dụng quỹ tích www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com A ( 3; −3) Oxy A′ A Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Tìm tọa độ diểm ảnh qua phép r v = ( −1;3) tịnh tiến theo véctơ A′ ( 2; −6 ) A′ ( 2;0 ) A′ ( 4;0 ) A′ ( −2;0 ) A B C D Lời giải: Đáp án B  x = x A + xvr x ′ = uuur r ⇔  A′ ⇔ A ⇒ A′ ( 2;0 ) Tvr ( A) = A′ ( x A′ y A′ ) ⇔ AA′ = v  y A′ = y A + yvr  y A′ = Ta có STUDY TIP  x′ = x + a   y′ = y + b Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: Oxy M ′ ( −4; ) M′ M Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm , biết ảnh qua phép tịnh tiến r v = ( 1; −5 ) M theo véctơ Tìm tọa độ điểm M ( −3;5 ) M ( 3;7 ) M ( −5;7 ) M ( −5; −3 ) A B C D Lời giải: Đáp án C uuuuur r Tvr ( M ) = M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM ′ = v Ta có:  xvr = xM ′ − xM  xM = xM ′ − xvr  x = −5 ⇔ ⇔ ⇔ M ⇒ M ( −5;7 )  yM =  yvr = yM ′ − yM  yM = yM ′ − yvr ′ M ( −5; ) M ( −3; ) Oxy M Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm điểm ảnh cảu qua phép r r v v tịnh tiến theo véctơ Tìm tọa độ véctơ r r r r v = ( −2;0 ) v = ( 0; ) v = ( −1;0 ) v = ( 2;0 ) A B C D Lời giải: Đáp án D  x r = x M ′ − xM  xvr = r uuuuur r ⇔  v ⇔ ⇒ v = ( 2;0 ) r r r ′ ′ Tv ( M ) = M ( xM ′ ; yM ′ ) ⇔ MM = v  yv =  yv = yM ′ − yM Ta có: r M ( 0; ) , N ( −2;1) v = ( 1; ) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm véctơ Ơ Phép tịnh r ′ ′ M , N M , N v M ′N ′ tiến theo véctơ biến thành hai điểm tương ứng Tính độ dài M ′N ′ = M ′N ′ = M ′N ′ = M ′N ′ = A B C D Lời giải: Đáp án A www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Tvr ( M ) = M ′ ⇒ MN = M ′N ′ =  Tvr ( N ) = N ′ ( −2 − ) + ( − 2) = Ta có STUDY TIP Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm A ( 2; ) B ( 5;1) C ( −1; −2 ) Oxy ∆ABC Ví dụ Trong u mặt phẳng tọa độ , cho biết , , Phép tịnh tiến theo uur ∆ABC ∆A′B′C ′ G′ ∆A′B′C ′ BC véctơ biến thành tương ứng điểm Tọa độ trọng tâm là: G ′ ( −4; −2 ) G′ ( 4; ) G′ ( 4; −2 ) G′ ( −4; ) A B C D Lời giải: Đáp án A uuur G 2;1 BC = ( −6; −3) ( ) ∆ABC Ta có tọa độ trọng tâm ; uur  xG′ = xG + xuBC  xG ′ = −4 uuuu r uuur ⇔  ⇔ ⇒ G′ ( −4; −2 ) uur uur ( G ) = G ′ ( x ; y ) ⇔ GG ′ = BC TuBC  yG′ = yG + yuBC  yG′ = −2 G′ G′  STUDY TIP G ∆ABC G′ ∆A′B′C ′ Phép tịnh tiến biến trọng tâm thành trọng tâm Oxy ∆′ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đườn thẳng ảnh đường thẳng r v = 1; − ( ) ∆ : x + y −1 = qua phép tịnh tiến theo véctơ ′ ′ ′ ∆ : x + 2y = ∆ : x + 2y −3 = ∆ : x + y +1 = ∆′ : x + y + = A B C D Lời giải: Đáp án A Cách 1: A ( 1; ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ Chọn B ( −1;1) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( B ) = B′ ( 0;0 ) ∈ ∆′ Chọn ⇒ ∆′ A′B′ đường thẳng đường thẳng r ′ A 2; − n = ( 1; ) ( ) ′ ∆ Đường thẳng qua có véctơ pháp tuyến có phương trình là: ∆′ :1( x − ) + ( y + 1) = ⇔ x + y = STUDY TIP Hai đường thẳng phương có hai véctơ pháp tuyến phương Cách Tvr ( ∆ ) = ∆′ ⇒ ∆′, ∆ x + 2y + m = ∆′ hai đường thẳng phương nên có dạng A ( 1; ) ∈ ∆ ⇒ Tvr ( A) = A′ ( 2; −1) ∈ ∆′ ⇒ m = Chọn ∆′ : x + y = Vậy phương trình www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Cách 3: Sử dụng quỹ tích M ( xM ; yM ) ∈ ∆ ⇔ xM + yM − = ( 1) Lấy  x′ = x M +  x = x′ − Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ∈ ∆′ ⇔  ⇔ M  y ′ = yM −  yM = y ′ + Ta có ( 1) ( x′ − 1) + ( y′ + 1) − = ⇔ x′ + y ′ = Thay vào ta ∆′ : x + y = Vậy Nhận xét: Độc giả sử dụng cách tỏ có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác ( C′) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , tìm phương trình đường tròn ảnh cảu đường tròn r 2 v = ( 1; ) Tvr ( C ) : x + y − 2x + y − = qua với 2 ( x + 2) + y = ( x − 2) + y2 = A B 2 2 x + y − 2x − = 2x + y − 8x + = C D Lời giải: Đáp án B Cách 1: Theo tính chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính I ( 1; −2 ) ( C) R= Ta có: đường tròn có tâm , bán kính Tvr ( I ) = I ′ ( 2;0 ) Suy ra: I ′ ( 2;0 ) ( C′) R′ = R = Vậy đường tròn có tâm , bán kính có phương trình: 2 ( x − 2) + y = Cách 2: Sử dụng quỹ tích: M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ Tvr ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) Gọi  x′ = x +  x = x′ − ⇒ ⇔  y′ = y +  y = y′ − ( C) x, y Thế vào phương trình đường tròn , ta có: 2 2 ( x′ − 1) + ( y ′ − ) − ( x′ − 1) + ( y ′ − ) − = ⇔ ( x′ ) + ( y′ ) − x′ − = ( C′) : ( x − 2) + y2 = Vậy Study Tip ( x − a) + ( y − b) = R2 I ( a; b ) R có tâm bán kính I ( a; b ) x + y − 2ax − 2by + c = R = a + b2 − c Phương trình đường tròn có tâm bán kính Phương trình đường tròn www.thuvienhoclieu.com Trang Ví dụ Cho vectơ r v = ( a; b ) www.thuvienhoclieu.com y = f ( x ) = x3 + x + r v cho tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận y = g ( x ) = x − 3x + x − P = a +b đồ thị hàm số Tính P=3 P = −3 P = −1 P=2 A B C D Lời giải: Đáp án A g ( x ) = f ( x − a ) + b ⇔ x − x + x − = ( x − a ) + ( x − a ) + 1 + b   Từ giả thiết ta có: ⇔ x − 3x + x − = x − 3ax + ( a + 1) x − a − 3a + + b Đồng thức ta được: Study Tip a = ⇒ P = a+b =3  b = ⇔ Đồng thức đa thức hệ số đa thức tương ứng A ( −5; ) C ( −1;0 ) B = Tur ( A ) , C = Tvr ( B ) Oxy Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm , Biết r r r r T C u +v u +v A Tìm tọa độ vectơ để thực phép tịnh tiến biến điểm thành điểm ( −6; ) ( 2; −4 ) ( 4; −2 ) ( 4; ) A B C D Lời giải: Đáp án C uuu r r Tur ( A ) = B ⇔ AB = u Ta có: uuur r Tvr ( B ) = C ⇔ BC = v uuur uuu r uuur r r AC = AB + BC = u + v Mà uuur r r Tur +vr ( A) = C ⇔ AC = u + v = ( 4; −2 ) Do đó: Study Tip Ta có sơ đồ tổng quát: A ( −2;1) Oxy OABC B Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình bình hành với điểm , điểm thuộc ∆ : 2x − y − = C đường thẳng Tìm quỹ tích đỉnh ? x − y − 10 = A Là đường thẳng có phương trình www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Ta có: Khi uuur uuuur AG = AM ⇒ G = V  ( M )  A, ÷  3 M di động đường tròn đường tròn ( O) qua phép vị tự ( O; V R −a 2 ) G chạy đường tròn ( O′ ) ảnh 2  A, ÷  3 Câu 10: Đáp án B Ta có: V R′  C, ÷  R V R′  C, ÷  R Từ ( 1) ( I ) = D ⇔ CD = R′ CO R ( O ) = O′ ⇔ CO′ = R′ CI R ( 1) ( 2) điểm cung CD′ CO = ⇒ OI€ O′D ⇒ OI ⊥ AB ⇒ I ( 2) ⇒ CD CI Câu 11: Đáp án A Ta dự đoán V   M) =I CI  ( C; mà M nắm đường tròn ÷ CM  ( O) ⇒ I nằm đường tròn ( O1 ) = V C ; CI  ( O )   ÷ CM  Ta cần chứng minh CI CM theo R R′ www.thuvienhoclieu.com Trang 87 AB www.thuvienhoclieu.com Ta có CM CI + IM IM = = 1+ CI CI CI ⇒ V R′  C, ÷  R + R′  mà IM IB BM AB R CI R′ = = = = ⇒ = CI IN CN AC R′ CM R + R′ (M) =I DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉ VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Câu 1: Đáp án C uuur uuu r ′ ′ ′ V( O ;−2) ( A ) = A ⇔ OA = −2OA ⇒ A ( −2; ) Câu 2: Đáp án D uur uu r  x′ − = V( I ,2) ( A ) = A′ ⇔ IA′ = IA ⇔  ⇒ A ( −1;5 )  y′ + = Câu 3: Đáp án B V P ) = P′;V 1 (  O ,− ÷ 3  Q ) = Q′;V 1 (  O ,− ÷ 3  R ) = R′ ⇒ 1 ( tọa Nên tọa độ trọng tâm ∆P′Q′R′  1  0; ÷  9 Đáp án D Giả sử không thỏa mãn  uuur uuur 5 = k  k = V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  ⇒ ⇒ 1 = −k  k = −1 Câu 6: Đáp án A Giả sử uuur uuu r −1 = 2k V( A,k ) ( B ) = C ⇔ AC = k AB ⇔  ⇒k =− 2 = k ( −4 ) Câu 5: độ điểm  O,− ÷ 3   −2   1  4 P′ 1; ÷; Q′  − ; − ÷; R′  − ; ÷    3  3 Câu 4: ⇒ k ∈∅ Đáp án C V( I ,−2) ( d ) = d ′ ⇒ d€ d ′ Chọn điểm nên d′ có dạng 2x + y + c =  x′ = M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( I ;−2) ( M ) = M ′ ( x; y ) ∈ d ′ ⇒   y ' = −2 d ′ :10 − + c = ⇒ c = Vậy Câu 7: Câu 8: d ′ : 2x + y + = Đáp án D Tương tự câu ⇒ d ′ : x − y + 10 = Đáp án A www.thuvienhoclieu.com Trang 88 vào d : x − y − = ⇒ d€ d ′ Chọn Do Câu 9: www.thuvienhoclieu.com  x ′ = 2k M ( 2;0 ) ∈ d ⇒ V( O ,k ) ( M ) = M ′ ( x′; y ′ ) ⇒   y′ = M ′ ∈ d ′ ⇒ 2.2k − − = ⇔ k = Đáp án C Đường tròn ( C) có tâm bán kính I ( 1; −2 ) R=  x ′ = −2 ⇒ V( O ,−2) ( I ) = I ′ ( x′; y′ ) ⇒  ⇒ I ′ ( −2; )  y′ = ⇒ đường tròn Câu 10: Đáp án C Đường tròn Bán kính ( C) có tâm Đường tròn ( C1 ) ( C2 ) Câu 12: Đáp án A Đường tròn Đường tròn có tâm I V( I ,k ) ( ( C1 ) ) có tâm R ′ = k R = uur uu r  x′ = −3 I ( 8;1) : V( I ,−2) ( J ) = J ′ ( x′; y′ ) ⇔ IJ ′ = −2 IJ ⇒  ⇒ J ′ ( −3;8 )  y′ = R′ = k R = ⇒ Câu 11: Đáp án A Đường tròn Gọi ( C ′) : ( x + ) + ( y − ) = 20 Bán kính phương trình ( C ′ ) : ( x − 3) bán kính I1 ( 1;3) I ( 4;3) vị + ( y − ) = 20 R2 = tự uur uur R = ( C2 ) ⇒ V( I ,k ) ( I1 ) = I , k = = ⇔ II = II1 ⇒ I ( −2;3) R1 ( C) ( C′) có tâm có tâm ⇒ I ≠ I ′, R ≠ R′ ⇒ I ( 3;3) bán kính I ′ ( 10;7 ) k=− phép vị R=3 bán kính tỉ số vị tự R1 = bán kính tâm R′ = 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 89 tự www.thuvienhoclieu.com uuuu r uuur V( O1 ,k ) ( I ) = I ′ ⇔ O1 I ′ = kO1I với O1 ( x; y ) tâm vị tự 36    x − 10 = − ( x − 3)  x = ⇔ ⇒  x − = − ( y − 3)  y = 27   Vậy  36 27  O1  ; ÷  5  www.thuvienhoclieu.com Trang 90 www.thuvienhoclieu.com PHÉP ĐỒNG DẠNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa Một phép biến hình M ′, N ′ F gọi phép đồng dạng tỉ số tương ứng ln có Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số - Phép vị tự tỉ số k k ( k > 0) với hai điểm M,N ảnh M ′N ′ = kMN k =1 phép đồng dạng tỉ số k - Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng Tinh chất Phép đồng dạng tỉ số : k a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toán thứ tự chúng b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc d) Biến đường tròn bán kính thành đường tròn bán kính R k R STUDY TIP a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác b) Phép đồng dạng biến đa giác n ABC cạnh thành đa giác n A′B′C ′ biến trọng tâm, trực tâm, thành tương ứng tam giác A′B′C ′ cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh Hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B CÁC DẠNG BÀI TỐN VỀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Ví dụ 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng ln đồng dạng B Hai đường tròn ln đồng dạng C Hai hình vng ln đồng dạng D Hai hình chữ nhật ln đồng dạng Đáp án D Lời giải: www.thuvienhoclieu.com Trang 91 www.thuvienhoclieu.com Với hai hình chữ nhật ta chọn cặp cạnh tương ứng tỉ lệ chúng chưa đã Vì khơng phải lúc tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật thành hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật có tâm Gọi trung điểm ABCD I H , K , L, J AD, BC , KC , IC A JLKI Tứ giác đồng dạng với tứ giác sau đây? IHCD B ILJH C JLBA D ALJH Đáp án A Lời giải: Tứ giác IHDC hình thang vuông Ta thấy đồng dạng với IHDC JLKI theo tỉ số Ví dụ 3: Mệnh đề sau đúng? A Phép đồng dạng tỉ số phép dời hình k =1 B Phép đồng dạng tỉ số C Phép đồng dạng tỉ số D Phép đồng dạng tỉ số k = −1 k =1 k =1 phép đối xứng tâm phép tịnh tiến phép vị tự tỉ số k =1 Đáp án A Khi k =1 Ví dụ 4: Cho dạng Lời giải: phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên phép dời hình ∆ABC F biến có đường cao ∆HBA thành A Phép đối xứng tâm H AH , H nằm Biết BC AH = 4, HB = 2, HC = Phép đồng hình thành hai phép biến hình nào? ∆HAC F phép vị tự tâm H tỉ số k= B Phép tịnh tiến theo uuu r phép vị tự tâm tỉ số k = H BA C Phép vị tự tâm D Phép vị tự tâm H H tỉ số tỉ số k −2 k =2 phép quay tâm H góc quay góc ( HB, HA) phép đối xứng trục www.thuvienhoclieu.com Trang 92 www.thuvienhoclieu.com Đáp án C Lời giải: Ta có V( H ,2) Q( H ;ϕ ) dạng hợp thành Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với V( H ,2 ) Oxy, liên tiếp phép vị tự tâm biến ϕ = ( HB, HA ) Q( H ;ϕ ) cho điểm tỉ số O biến ∆HBA M ( 2; ) thành B thành A ∆HAC thành C, F phép đồng Hỏi phép đồng dạng có cách thực phép quay tâm k= A thành điểm sau đây? A B 2; − 2;1 ( ) ( ) C ( −1; ) O góc quay −90° D se biến điểm M ( 1; ) Đáp án A Lời giải: Ta có V   uuuur M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇔ OM ′ = 1 ( O; ÷ 2 r uuuu OM ⇒ M ′ ( 2; −1)  x′′ = y′ = Q( O;−90°) ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒  ⇒ M ′′ ( 2; −1)  y′′ = − x′ = −1 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y = cách thực llieen tiếp phép vị tự tâm đường thẳng A tỉ số k = −2 phép đối xứng trục Oy B 2x + y = C 4x − y = D 2x + y − = Đáp án A Lời giải: Ta có: ⇒ d′ V( O;−2) ( d ) = d ′ ⇒ d ′ Pd có dạng: se biến thành đường thẳng sau đây? d −2 x − y = O thỏa mãn phép đồng dạng có 2x − y + c = www.thuvienhoclieu.com Trang 93 www.thuvienhoclieu.com Chọn N ( 1; ) ∈ d : V( O;−2) ( N ) = N ′ ( −2; −4 ) ∈ d ′ ⇒ −4 + + c = ⇒ c = + phương trình đường thẳng Qua phép đối xứng trục Oy d ′ : 2x − y = :Đ oy ( d ′ ) = d ′′ Suy phương trình ảnh d ′′ cần tìm là: −2 x − y = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2) + ( y − 2) = cách thực liên tiếp phép vị tự tâm 900 A C se biến ( C) O tỉ số k= Hỏi phép đồng dạng có phép quay tâm O góc quay thành đường tròn sau đây? ( x − 2) + ( y − 2) = ( x + 2) + ( y − 1) = 2 B .D ( x + 1) ( x − 1) + ( y − 1) = + ( y − 1) = Đáp án D Lời giải: Gọi V 1  O; ÷  2 ( ( C ) ) = ( C′) Ta lại có Q O;900 ( nên đường tròn C ′ = C ′′ ) (( )) ( ) ( C′) có tâm có bán kính I ′ ( 1;1) bán kính tâm R′′ = R′ = I ′′ ( x′′; y′′ ) xác định  x′′ = − y ′ = −1 ⇒ I ′′ ( −1;1)  ′′ ′ y = x =  Vậy phương trình đường tròn ( C ′′) là: ( x + 1) C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1: Mệnh đề sau đúng? A Phép dời hình phép đồng dạng, tỉ số B Phép vị tự tỉ số C Phép vị tự tỉ số k + ( y − 1) = k = −1 phép đồng dạng với tỉ số k ≠0 phép đồng dạng tỉ số k −k www.thuvienhoclieu.com Trang 94 www.thuvienhoclieu.com D Phép đồng dạng phép dời hình với Câu 2: Câu 3: II “ Mỗi phép đồng dạng phép dời hình” III “ Thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng” A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I III Giả sử phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác Giả sử biến trung F F ABC A1 B1C1 A C AM ∆A1 B1C1 ∆A1 B1C1 ∆ABC ABCD BA A C Đường tròn tâm D D Cho hai đường tròn ( I; R) A Câu 6: , F thành k =2 B1 ∆A1B1C1 D AC = AB tỉ số 2, Gọi Q Mệnh đề sau đúng? tam giác cân ∆A1B1C1 ∆A1B1C1 tam giác vuông phép quay tâm phép hợp thành F bán kính bán kính ( I; R) với hai đường tròn d V A góc quay C1 ϕ = ( AB, AC ) biến đường tròn tâm B Q F thành đường tròn sau đây? A Đường tròn tâm thẳng A1M B tam giác vng Cho hình chữ nhật bán kính thành đường cao tam giác V phép vị tự tâm Câu 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? I “ Mỗi phép vị tự tỉ số phép đồng dạng tỉ số ” k k tuyến Câu 4: k ≠0 O Gọi DB DC B Đường tròn tâm D Đường tròn tâm ( I ′; R ) V tiếp xúc phép vị tự tâm phép hợp thành Đd ( I ′; 2R ) B ABCD tự trung điểm tỉ số k Với giá trị A bán kính CA bán kính AC đường thẳng tiếp xúc O d , Đ phép đối xứng qua đường k F biến ? Cho hình vng V( O ;k ) O C k = −2 tâm O C k=− D (điểm đặt theo chiều kim đồng hồ) AB, BC , CD, DA Gọi V phép vị tự tâm www.thuvienhoclieu.com O tỉ số k= A′, B′, C ′, D′ k= Q Trang 95 theo thứ phép www.thuvienhoclieu.com quay tâm O góc quay π − Phép biến hình quay phép vị tự Khi qua A Đoạn Câu 7: D′B′ trọng tâm O C Đoạn Trên cạnh AB là: CA lấy điểm phép biến hình nào? A Phép tịnh tiến theo uuur phép V GD ( B ;−1) B Phép C Phép D Phép V phép Q O ;−1080 ( Phép đồng dạng với tỉ số A Câu 9: A′C ′ B′D′ D Đoạn BD cho uu r uur r Gọi G IA + IB = I phép đồng dạng biến thành Khi hợp hai ∆ABD F F ∆AGI ∆COD 3  A; ÷  2 Câu 8: tâm ABCD xác định hợp thành liên tiếp phép ảnh đoạn thẳng F B Đoạn Cho hình bình hành F k Q G ;1080 ( ) phép ) 1  B; ÷  2 phép V V Q G ;−1080 ( 3  A; ÷  2 ) hình hình ban đầu? B C D Phóng to hình chữ nhật kích thước theo phép đồng dạng tỉ số k =3 hình có diện tích là: A 60 đơn vị diện tích B 180 đơn vị diện tích C 120 đơn vị diện tích D 20 đơn vị diện tích Câu 10: Cho đồng dạng với theo tỉ số Chọn câu sai: ∆ABC ∆A′B′C ′ k A B C D k k k k tỉ số hai trung tuyến tương ứng tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số hai góc tương ứng tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng Câu 11: Cho hình vng , thuộc cạnh , chân đường vng góc hạ từ đến AB H B ABCD P PC Phép đồng dạng viến A P ∆BHC thành Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) ∆PHB Khi ảnh B C www.thuvienhoclieu.com B D là: Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) Trang 96 www.thuvienhoclieu.com C H Q ( Q ∈ BC ; BQ = BH ) D P C Câu 12: Mệnh đề sau đúng? A Mọi phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với B Mọi phép đồng dạng biến hình vng thành hình vng C Tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật (khơng phải hình vng) thành hình vng D Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác có diện tích Câu 13: Trong hệ trục tọa độ , cho điểm Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự tâm Oxy M ( 1; ) I ( 1; ) A tỉ số k =2 phép quay tâm B ( 2; −1) Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ (2 Oxy 2; A d góc quay ) I ( 1; −2 ) tỉ số B 2x − y − = qua phép vị tự tâm Oxy , cho điểm tỉ số I ( 4; ) Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ se biến đường tròn Oxy ( C) D (2 2; − ) Phép đồng dạng phép thực phép quay tâm O k = −3 góc quay π se biến + ( y + ) = 16 C O 2x − y − = Phép đồng dạng phép thực liên tiếp phép đối xứng qua trục , cho đường tròn D 2x − y + = d : x − 2y + = D ( 12;13) ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = tỉ số B D se biến Phép đồng dạng O góc quay gốc tọa độ) O x2 + y + x + y + = ( x − 2) www.thuvienhoclieu.com M ( 18;1) phép quay tâm k = −2 thành đường tròn sau đây? ( x2 + y − x − y − = ( x + 2) k =3 M ( 0;1) phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm thành điểm có tọa độ: ( 2; 2 ) d : x + 2y = C x + 2y − = thành điểm sau đây? A B ( 16;5 ) ( 14;9 ) C M thành đường thẳng sau đây? Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ A se biến π C , cho đường thẳng liên tiếp qua phép vị tự tâm đường thẳng O + ( y − ) = 16 Trang 97 1800 www.thuvienhoclieu.com Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2) = tỉ số I ( 1; −1) k= Phép đồng dạng phép tịnh tiến theo se biến đường tròn thành đường tròn có phương trình: r C ( ) v = ( 3; ) A C ( x − 4) + ( y − 4) = ( x + 4) + ( y + 4) = B D D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án C Câu 2: Đáp án C Câu 3: Đáp án D Theo tính chất phép đồng dạng A1M Câu 4: ∆A1B1C1 + ( y − 4) = ( x − 1) + y2 = đường trung tuyến tam giác cân A1 Vì ∆A1B1C1 ∆ABC , theo giả thiết cân A Đáp án B V( A;2) ( B ) = B1 ; Q( A;ϕ ) ( B1 ) = C Qua Qua Câu 5: lại đường cao nên A1M ( x − 4) biến đường tròn tâm V( A;2 ) Q( A;ϕ ) biến đường tròn tâm B B1 bán kính bán kính BA B1 A thành đường tròn tâm thành đường tròn tâm B1 C bán kính bán kính B1 A CA Đáp án A Ta có: Đ ′ d ( ( I ) ) = ( I1 ) ; V( O ;2 ) ( ( I1 ) ) = ( I ) Vậy k =2 www.thuvienhoclieu.com Trang 98 www.thuvienhoclieu.com Câu Đáp án C Ta có: Q biến π  O; ÷  4 B′, D′ thành B1 , D1 : B1 D1 = B′D′ B1 , D1 nằm đường thẳng qua AC V O ; ( B1 ) = B2 ;V O ; ( D1 ) = D2 ⇒ OB2 = 2OB1 , OD2 = 2OD1 ⇒ B2 D2 = 2B1D1 = B ′D ′ = AC ( ) ( ) Câu Đáp án C - Phép V 3  A; ÷  2 - Phép Q O ;−1800 ( ∆AOB ) = ∆COD ( Câu ( ∆AGI ) = ∆AOB ) Đáp án A Đáp án B Qua phép đồng dạng tỉ số ⇒ k =3 ta cạnh tương ứng hình chữ nhật 12 15 Diện tích hình chữ nhật ảnh là: 12.15 = 180 Câu 10 Đáp án C Câu 11 Đáp án A Câu 12 Đáp án B Câu 13 Đáp án B Ta có: uuuu r uuur  x′ = V( I ;2) ( M ) = M ′ ( x; y ) ⇔ IM ′ = IM ⇒  ⇒ M ′ ( 3; −1)  y ′ = −1 www.thuvienhoclieu.com Trang 99 www.thuvienhoclieu.com  +  x′′ =  Q π  ( M ′ ) = M ′′ ( x′′; y′′ ) ⇒   O; ÷  y′′ = −  4  2 =2 2 ⇒ M ′′ 2; 2 = 2 ( ) Câu 14 Đáp án C Ta có: có dạng: x + 2y + c = V( I ;3) ( d ) = d ′ ⇔ d ′ Pd ⇒ d ′ Chọn M ( 2; −1) ∈ d ⇒ V( I ;3) ( M ) = M ′ ( x′; y′ ) ⇒ M ′ ( 4;1) ∈ d ′ ⇒ + + c = ⇒ c = −6 ⇒ d′ : x + y − = Có Q π  O; ÷  4 ( d ′) = d ′′ Gọi N ( x′; y ′ ) ∈ d ′ ⇒ Q   Thế vào phương trình Vậy phương trình  x′′ = − y  x = y′′ ⇒  y ′′ = x  y = − x′′ ′ ′′ ′′ ′′ π( N ) = N ( x ;y ) ⇒  O; ÷ 2 d ′′ : y′′ − x′′ − = d ′′ : x − y + = Câu 15 Đáp án C Ta có: uuuu r uuur ′ ′ ′ V( I ;−3) ( M ) = M ( x; y ) ⇔ IM = −3IM ⇒ M ( 16;5 ) Đ ′ ′′ ′′ ′′ d( M ) = M ( x ;y ) ⇒ d trung trực M ′M ′′ ⇒ M ′M ′′ có dạng: 2x + y + c = M′ ⇒ c = −37 ⇒ M ′M ′′ : x + y − 37 = Gọi ⇒ H trung điểm tọa độ H Câu 16 Đáp án D Đường tròn M ′M ′′ nghiệm hệ ( C) có tâm J ( 1; ) 2 x + y − 37 = ⇒ H ( 14;9 ) ⇒ M ′′ ( 12;13)  x − y + =  bán kính V( O;−2) ( J ) = J1 ( x′; y′ ) ⇒ J1 ( −2; −4 ) ⇒ Phương trình ( C1 ) : ( x + ) R=2 , bán kính R1 = R = + ( y + ) = 16 www.thuvienhoclieu.com Trang 100 qua www.thuvienhoclieu.com Q O ;1800 ( J1 ) = J ( x′′; y ′′ ) ⇒ J ( 2; ) ( , bán kính ) Vậy phương trình đường tròn cẩn tìm là: Câu 17 Đáp án B Đường tròn V   ( C) có tâm uur J ) = J1 ⇔ IJ1 = 1 ( I; ÷ 3 J ( 1; ) R2 = R1 = ( x − 2) bán kính + ( y − ) = 16 R=3 ur IJ ⇒ J1 ( 1;0 ) , R1 = R = 3 , bán kính uuuur r R2 = Tvr ( J1 ) = J ⇒ J1 J = v ⇒ J ( 4; ) Vậy đường tròn ảnh qua hai phép V 1 I; ÷  3 Tvr là: ( x − 4) + ( y − 4) = www.thuvienhoclieu.com Trang 101 ... Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép. .. TuAG Đáp án B Ta có Tuuur ( A) = B  AB uur ( O) = C ⇒ Tuuur ( ∆AOF ) = ∆BCO TuAB AB  uur ( F ) = O TuAB Câu 10 Đáp án D Ta có nên đáp án D sai TuIAur ( I ) = A Câu 11 Đáp án A Từ hình. .. v Câu 2: có vơ số phép tịnh tiến biến đường thẳng thành Đáp án B Khi r r : Đường tròn có tâm biến đường tròn thành I Tvr v=0 ( C) ( C) Câu 3: Đáp án B Khi r r có phép tịnh tiến biến hình vng