Tác động nhóm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG VĂN TUẤN TÁC ĐỘNG NHÓM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – 2017 Cơng trình hồn thành Đại học Đà Nẵng Người hướng dẫn Khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: …………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………… Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày … tháng … năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tác động nhóm nội dung lý thuyết nhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng khơng lý thuyết nhóm mà số lĩnh vực khác tốn học Trong giáo trình lý thuyết nhóm bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều, nhằm tìm hiểu tác động nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: Tác động nhóm ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn - Nghiên cứu tác động nhóm tập hợp, nhóm - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm, nhóm hữu hạn p - nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp nhóm - Những ứng dụng tác động nhóm Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tác động nhóm - Phân tích, khảo sát tư liệu thu thập - Tự nghiên cứu trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau 1.1 Nhóm p – nhóm hữu hạn 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính Chương 2: Tác động nhóm Chương trình bày kiến thức sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Cho tập khơng rỗng G phép tốn hai ngơi G ký hiệu •, cặp (G, •) gọi nhóm (i) Với x, y, z ∈ G, (x • y) • z = x • (y • z) (ii) Tồn phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi phần tử đơn vị, cho x • e = e • x = x, với x ∈ G (iii) Với x ∈ G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử x−1 ∈ G cho x • x−1 = x−1 • x = e Nếu với x, y ∈ G, x • y = y • x (G, •) gọi nhóm abel (hay nhóm giao hốn) Nếu khơng sợ nhầm lẫn với phép tốn, ta nói G nhóm thay cho nhóm (G, •) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G ký hiệu |G| Nếu nhóm G khơng phải nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa 1.1.2 Một nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố p gọi p - nhóm Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊂ G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G khép kín phép lấy nghịch đảo G, tức là: • ∀x, y ∈ S, xy ∈ S • ∀x ∈ S, x−1 ∈ S Mệnh đề 1.1.4 Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: (i) A nhóm X (ii) Với ∀x, y ∈ A, xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.1.5 (i) Nhóm H gọi p - nhóm G H vừa nhóm G vừa p - nhóm (ii) Nhóm H gọi p - nhóm Sylow G H p - nhóm G |H| = pn lũy thừa cao p chia hết |G| Định nghĩa 1.1.7 Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G chứa X, ký hiệu X X = {x1 ε1 x2 ε2 xn εn /xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N} Định nghĩa 1.1.9 Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a ∈ X, kí hiệu a Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ký hiệu C(n) Cn Mệnh đề 1.1.10 Mọi nhóm nhóm cyclic nhóm cyclic Định nghĩa 1.1.11 Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ G Nếu am = e, ∀m ∈ N∗ a gọi có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = e m gọi cấp a Cấp phần tử a ký hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = a , ord(a) = e ⇔ a = e Định nghĩa 1.1.12 Cho G nhóm H nhóm G Khi với a ∈ G, tập hợp aH = {ah, h ∈ H} Ha = {ha, h ∈ H} gọi lớp kề trái lớp kề phải H G phần tử a Mệnh đề 1.1.13 Hai lớp kề trái H trùng khơng có phần tử chung, lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng, lớp kề phải) Định nghĩa 1.1.14 Cho G nhóm H ≤ G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái H G tập thương G H kí hiệu G/H G/H = {xH/x ∈ G} Lực lượng tập G/H lớp kề trái H G gọi số nhóm H nhóm G, ký hiệu [G : H] Định nghĩa 1.1.15 Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm A G gọi nhóm chuẩn tắc G, kí hiệu A G nếu: ∀g ∈ G, ∀x ∈ A, g −1 xg ∈ A Mệnh đề 1.1.16 Giả sử A nhóm nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: (i) A nhóm chuẩn tắc (ii) xA = Ax với x ∈ G Khi A nhóm chuẩn tắc G, lớp kề trái, lớp kề phải A gọi lớp kề A G Mệnh đề 1.1.17 Cho G nhóm Ký hiệu Z(G) = {a ∈ G : ax = xa, ∀x ∈ G} Khi Z(G) nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm tâm nhóm G Mệnh đề 1.1.18 Nếu H nhóm chuẩn tắc nhóm G G/H với phép nhân (xH).(yH) = (xy)H, với ∀x, y ∈ G lập thành nhóm Định nghĩa 1.1.19 Nhóm G/H gọi nhóm thương nhóm G theo nhóm chuẩn tắc H Mệnh đề 1.1.20 Cho G nhóm H nhóm Z(G) Khi đó, G/H nhóm cyclic G nhóm abel Định lý 1.1.21 (Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn H nhóm Khi |G| bội |H| Hệ 1.1.22 Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Hệ 1.1.23 Mọi nhóm có cấp số nguyên tố nhóm cyclic sinh phần tử bất kì, khác phần tử trung lập nhóm Nhận xét 1.1.24 Cho G nhóm hữu hạn H nhóm nhóm G Khi đó: |G| = |H|.[G : H] Giả sử K H nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân) Trên tập hợp tích G = H × K = {(h, k)/h ∈ H, k ∈ K} ta định nghĩa luật hợp thành sau: (h1 , k1 )(h2 , k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ); (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K Dễ dàng kiểm tra lại G phép toán lập nên nhóm, có phần tử đơn vị e = (eH , eK ) phần tử nghịch đảo (h, k) (h, k)−1 = (h−1 , k −1 ) Định nghĩa 1.1.25 Nhóm G = H × K xây dựng gọi tích trực tiếp hai nhóm H K Mệnh đề 1.1.26 Nếu K nhóm chuẩn tắc G L nhóm G/K G có nhóm H chứa K cho L = H/K Nếu L nhóm chuẩn tắc G/K H nhóm chuẩn tắc G Ngoài ra, H1 /K = H/K, với H1 H nhóm chứa K G H1 = H Mệnh đề 1.1.27 Cho A nhóm G Khi đó: CG (A) = {c ∈ G/ca = ac, ∀a ∈ A} nhóm G NG (A) = {n ∈ G/nA = An} nhóm củaG Định nghĩa 1.1.28 Ta gọi CG (A) NG (A) nhóm tâm hóa nhóm chuẩn hóa A G Định nghĩa 1.1.29 Hai nhóm S T nhóm G gọi liên hợp có phần tử g ∈ G cho g −1 Sg = T , g −1 Sg = {g −1 sg/s ∈ S} Định nghĩa 1.1.30 Cho X tập, ký hiệu S(X) tập gồn tất song ánh từ X đến X Tập S(X) với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng tập X hay nhóm phép X Đặc biệt, tập X = {1, 2, 3, , n} nhóm đối xứng X ký hiệu Sn Mỗi s ∈ Sn biểu diển sau: n s = s(1) s(2) s(n) Mệnh đề 1.1.31 Sn nhóm hữu hạn, Sn = n! Định nghĩa 1.1.32 Giả sử G G nhóm (với phép toán nhân) Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm nếu: ϕ(x.y) = ϕ(x)ϕ(y); ∀x, y ∈ G Mệnh đề 1.1.33 Giả sử ϕ : G → G đồng cấu nhóm Khi đó: (i) ϕ chuyển đơn vị G thành đơn vị G , tức là: ϕ(1G ) = 1G (ii) ϕ chuyển nghịch đảo phần tử x ∈ G thành nghịch đảo phần tử ϕ(x) ∈ G , tức là: ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 Định nghĩa 1.1.34 Cho ϕ : G → G đồng cấu nhóm Ta ký hiệu: Kerϕ = {x ∈ G/ϕ(x) = 1G } = ϕ−1 (1G ) Imϕ = {ϕ(x) ∈ G , x ∈ G} = ϕ(G) Kerϕ Imϕ gọi hạt nhân ảnh đồng cấu ϕ Định nghĩa 1.1.35 Một đồng cấu nhóm đồng thời đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) gọi đơn cấu (tương ứng tồn cấu, đẳng cấu) nhóm Mệnh đề 1.1.36 Nếu ϕ : G → G đồng cấu nhóm kerϕ Imϕ nhóm tương ứng G G Mệnh đề 1.1.38 Giả sử G nhóm Gọi Aut(G) tập hợp tất đẳng cấu nhóm từ G vào Khi đó, Aut(G) nhóm phép hợp thành ánh xạ Định nghĩa 1.1.39 Nhóm Aut(G) xác định gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G Mệnh đề 1.1.40 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp nhóm cyclic cấp Nếu C4 = a Aut(C4 ) có hai phần tử xác định bảng sau: Aut(C4 ) i d = α1 α2 α(a) a a3 ord(α) 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 Giả sử a, b số nguyên Ta nói a đồng dư b modulo m (a − b)|m, với m ∈ N∗ Khi a đồng dư b modulo m ta viết: a ≡ b (mod m) Nếu a không đồng dư b modulo m, ta viết: a ≡ b (mod m) Định nghĩa 1.2.2 Một ma trận vuông gọi khơng suy biến có định thức khác Mệnh đề 1.2.4 Ký hiệu GL(n, R) tập gồm tất ma trận vuông cấp n không suy biến, với phần tử số thực R Tập GL(n, R) với phép hợp thành phép nhân hai ma trận lập thành nhóm Định Nghĩa 1.2.6 Một ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng chuyển vị nó, tức t A = A Nói cách khác, ma trận A = aij m×n đối xứng aij = aji , ∀i, j = 1, 2, , n Định nghĩa 1.2.7 Một ma trận vuông không suy biến A gọi ma trận trực giao chuyển vị nghịch đảo nó, nghĩa ma trận A trực giao t A.A = A.t A = E, với E ma trận đơn vị Mệnh đề 1.2.8 Ký hiệu O(n, R) tập gồm tất ma trận trực giao cấp n trường số thực R Tập O(n, R) nhóm với phép hợp thành phép nhân hai ma trận, gọi nhóm ma trận trực giao Định nghĩa 1.2.10 Giả sử V không gian vectơ trường K Ánh xạ ϕ : V × V → K gọi dạng song tuyến tính khơng gian vectơ V điều kiện sau thỏa mãn với vectơ x, x , y, y thuộc V phần tử λ thuộc K ta có 10 ta gọi hệ thức dạng tắc dạng tồn phương ω(x) Nhận xét 1.2.16 Ma trận dạng toàn phương có biểu thức tọa độ có dạng tắc ma trận chéo Mệnh đề 1.2.17 Cho ω(x) dạng tồn phương khơng gian vectơ n chiều V Khi V tồn sở, để sở biểu thức tọa độ ω có dạng tắc (và ma trận ω sở ma trận chéo) Định nghĩa 1.2.18 Cho ω dạng tồn phương khơng gian vectơ n chiều V Việc tìm V sở để sở biểu thức tọa độ ω có dạng tắc, gọi đưa dạng tồn phương dạng tắc Hệ 1.2.19 Mọi dạng tồn phương khơng gian vectơ hữu hạn chiều đưa dạng tắc 11 CHƯƠNG TÁC ĐỘNG NHĨM Chương trình bày kiến thức sở tác động nhóm lên tập lên nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp Định nghĩa 2.1.1 Cho G nhóm tập hợp X = ∅ Ta gọi tác động nhóm G tập X ánh xạ ∗ : G × X −→ X (g, x) −→ g ∗ x thỏa mãn hai điều kiện: (i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X với e phần tử đơn vị (ii) ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X : (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x) Tập X với tác động nhóm G X gọi G – tập Bổ đề 2.1.2 Cho X G – tập, ánh xạ Tg : X → X với x → Tg (x) = g ∗ x song ánh, nói cách khác Tg phép tập X Mệnh đề 2.1.3 Cho X G – Tập, ánh xạ T : G → S(X) với T (g) = Tg đồng cấu từ nhóm G vào nhóm S(X) phép tập X Mệnh đề 2.1.4 Cho G nhóm, X tập Mỗi đồng cấu nhóm ϕ : G → S(X) xác định tác động G tập X Định Nghĩa 2.1.5 Một tác động nhóm G tập X gọi trung thành đồng cấu T : G → S(X), với T (g) = Tg đơn cấu Mệnh đề 2.1.6 Cho tác động nhóm G tập X, x ∈ X Khi đó: Gx = {g ∈ G/g ∗ x = x} nhóm G Định nghĩa 2.1.7 Cho tác động nhóm G tập X (i) Tập S ⊂ X gọi ổn định tác động G nếu: ∀g ∈ G, x ∈ S ⇒ gx ∈ S 12 Nếu S tập ổn định tác động G cảm sinh tác động G tập S (ii) Với x ∈ X, nhóm Gx gọi nhóm ổn định phần tử x (dưới tác động G) (iii) Với x ∈ X, tập Gx = {g ∗ x/g ∈ G} X gọi quỹ đạo x tác động G Rõ ràng Gx tâp ổn định tác động G (iv) Phần tử x ∈ X gọi ổn định tác động nhóm G Gx = {x} Hệ 2.1.10 Cho G nhóm, X G – Tập, đó: (i) Gx = ∅, ∀x ∈ X (ii) Gx = Gy Gx ∩ Gy = ∅, ∀x, y ∈ X (iii) X = Gx hợp rời rạc quỹ đạo với I tập số x∈I Mệnh đề 2.1.12 Cho G nhóm, X G – tập x ∈ X Kí hiệu G/Gx tập lớp ghép trái nhóm ổn định Gx Khi ánh xạ f : G/Gx → Gx, với f (gGx ) = gx đẳng cấu G - tập Hệ 2.1.13 Cho nhóm G tác động bắc cầu tập X x ∈ X, f : G/Gx → X với f (gGx ) = gx đẳng cấu G - tập Hệ 2.1.14 Nếu nhóm G tác động tập X hữu hạn, (i) x ∈ X, |Gx| = [G : Gx ] G (ii) |X| = |Gxi | = i∈I i∈I Gxi = (G : Gxi ) i∈I 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp Ví dụ 2.2.1 Cho G nhóm Với g ∈ G, xét ánh xạ ∗ : G × G −→ G (g, x) −→ g ∗ x = gxg −1 Khi G tác động liên hợp Thật vậy, (i) e ∈ G, ∀x ∈ G : e ∗ x = exe−1 = x 13 (ii) ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ G : (g1 g2 ) ∗ x = (g1 g2 ) x(g1 g2 )−1 = (g1 g2 ) x g2 −1 g1 −1 = g1 g2 x g2 −1 g1 −1 = g1 g2 xg2 −1 g1 −1 = g1 (g2 ∗ x) g1 −1 = g1 ∗ (g2 ∗ x) - Quỹ đạo x ∈ G tác động G Gx = {g ∗ x : g ∈ G} = {gxg −1 : g ∈ G} - Nhóm ổn định x qua tác động G Gx = {g ∈ G : g ∗ x = x} = {g ∈ G : gxg −1 = x} = {g ∈ G : gx = xg} = CG (x) với CG (x) nhóm tâm hóa {x} 2.3 Tác động nhóm nhóm Định nghĩa 2.3.1 Cho G H hai nhóm ta nói nhóm H tác động nhóm G tồn đồng cấu nhóm ϕ từ H vào Aut(G) Khi đó, đồng cấu ϕ gọi tác động nhóm H nhóm G Nhận xét 2.3.2 (i) Tác động ϕ không thiết đẳng cấu Đặc biệt, ϕ tác động tầm thường, nghĩa ϕ(h) = idG , với h ∈ H Qua tác động tầm thường, nhóm tác động G (ii) Xét tác động H lên G xác định ϕ : H → Aut(G) Với h ∈ H, ϕ(h) tự đẳng cấu G Ta ký hiệu ảnh phần tử g ∈ G qua tự đẳng cấu ϕ(h) hg Khi đó, tác động H G cho ánh xạ ϕ(h) : g → hg xác định với h ∈ H thỏa mãn điều kiện sau: ϕ(h) tự đồng cấu G (h1 · h2 ) · g = h1 (h2 g), ∀h1 , h2 ∈ H, ∀g ∈ G 1H · g = g, ∀g ∈ G 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Ví dụ 2.4.1 Cho G H hai nhóm chuẩn tắc nhóm L cho H ⊂ NL (G) Phép liên hợp phần tử h H cảm sinh tự đẳng cấu ϕ(h) H Khi ϕ tác động H G 14 Thật vậy, xét ánh xạ ϕ : H −→ Aut(G) h −→ ϕh với ϕh : G → G xác định g → ϕh (g) = hgh−1 Ta có: ϕ(h ◦ h )(g) = (hh )(g)(hh )−1 = h(h g(h )−1 )h−1 [ϕ(h) ◦ ϕ(h )](g) = ϕ(h) ◦ ϕ(h )(g) = ϕ(h)(h g(h )−1 ) = h(h g(h )−1 )h−1 Suy ϕ(h ◦ h ) = ϕ(h) ◦ ϕ(h ) ϕ đồng cấu từ H vào Aut(G), ϕ tác động H G 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHĨM Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm Bổ đề 3.1.1.1 Cho G H hai nhóm ϕ tác động H G Khi tập hợp {(g, h)|g ∈ G, h ∈ H} với phép toán xác định (g, h)(g , h ) = (gϕ(h)(g ), hh ) tạo thành nhóm, ký hiệu G ϕ H Định nghĩa 3.1.1.2 Nhóm G ϕ H xác định Bổ đề 3.1.1.1 gọi tích nửa trực tiếp nhóm G với nhóm H xác định đồng cấu ϕ Nhận xét 3.1.1.3 a Nếu ϕ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp G tích trực tiếp G × H ϕ H b Nếu G H hai nhóm giao hốn ϕ đồng cấu tầm thường G ϕ H nhóm giao hốn c Nếu G H hai nhóm hữu hạn |G ϕ H| = |G| × |H| d Mỗi tác động ϕ nhóm H nhóm G xác định nhóm G ϕH Sau ví dụ ứng dụng tác động nhóm để xây dựng số nhóm Ví dụ 3.1.1.4 Xét hai nhóm cyclic G H sau G∼ = C4 = a|a4 = = {1, a, a2 a3 } H∼ = C2 = b|b2 = = {1, b} Ta có Aut(C4 ) = {1, α} với α xác định α(a) = a−1 , ∀a ∈ G Có hai đồng cấu từ H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(G) 16 ϕ : H → Aut(G) với → 1, b → α đồng cấu tầm thường: e : H → Aut(G) với b → idG Với đồng cấu tầm thường e : H → Aut(G), theo Nhận xét 3.1.1.3 thì: G e H =G×H ∼ = C4 × C2 Với đồng cấu ϕ : H → Aut(G), ta có nhóm G ϕ H Đồng thời ta có (a, 1H )2 = (a2 , 1H ), (a, 1H )4 = (1G , 1H ), (1G , b)2 = (1G , 1H ), suy (a, 1H )4 = (1G , b)2 = (1G , 1H ) Hơn nữa: (a, 1H )−1 = (a−1 , 1H ), (1G , b)−1 = (1G , b), (1G , b)(a, 1H )(1G , b)−1 = (1G ϕ(b)(a), b)(1G , b) = (α(a), b)(1G , b) = (a−1 ϕ(b)(1G ), bb) = (a−1 α(1G ), 1H ) = (a, 1H )−1 Dễ dàng kiễm chứng hai ánh xạ sau β : G −→ G ϕ H a −→ (a, 1H ) γ : H −→ G ϕ H b −→ (1G , b) hai đơn cấu nhóm Đồng a = (a, 1H ) b = (1G , b), ta bab−1 = a−1 Vậy, nhóm G G ϕ H có biểu diễn ϕ H = {a, b|a4 = b2 = 1, bab−1 = a−1 } Nhóm đẳng cấu với nhóm D4 3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh số kết lý thuyết nhóm Định lý 3.1.2.1 (Nhúng nhóm vào nhóm đối xứng) Mọi nhóm G (hữu hạn hay vơ hạn) đẳng cấu với nhóm phép phần tử G Nói cách khác, có đơn cấu nhóm G → S(G) từ nhóm G vào nhóm đối xứng tập G 17 Chứng minh Xét ánh xạ ∗ : G × G −→ G (g, x) −→ g ∗ x = g.x Khi đó, G tác động phép tịnh tiến trái, thật vậy: (i) ∀g1 g2 ∈ G, ∀x ∈ G : (g1 g2 ) ∗ x = (g1 g2 ).x = g1 (g2 x) = g1 ∗ (g2 ∗ x) (theo tính chất kết hợp phép nhân) (ii) e ∗ x = e.x = x, ∀x ∈ G (theo tính chất phần tử đơn vị) Theo Mệnh đề 2.1.3 tác động cảm sinh đồng cấu nhóm T : G −→ S(G) g −→ T (g) = Tg Hơn nữa, T đơn cấu, thật vậy: ∀g, g ∈ G : giả sử T(g) = T(g’) ta chứng minh g = g Ta có: g = g.e = g ∗ e = T (g)(e) = T (g )(e) = g ∗ e = g e = g , với e ∈ G phần tử đơn vị ⇒ T đơn cấu Định lý chứng minh Định lý 3.1.2.2 Cho G p - nhóm tác động tập hữu hạn X (khác rỗng) Ký hiệu X G = {x ∈ X : gx = x, ∀g ∈ G} tập tất phần tử ổn định qua tác động G X Khi |X| ≡ |X G | (mod p) Chứng minh Gx = X G Theo Hệ 2.1.10, ta có X = x∈X Gx , T x∈T tập đại diện quỹ đạo có nhiều phần tử Đồng thời theo Hệ 2.1.14, |X| = X G + [G : Gx ] x∈T Mặt khác, G p - nhóm |G| = pn , theo Hệ 2.1.14, ∀x ∈ G |Gx| = [G : Gx ], suy |Gx| | |G| ⇔ [G : Gx ]| |G| ⇒ [G : Gx ] = pm , m < n, ∀x ∈ G Do |X| ≡ X G (mod p) 18 Định lý chứng minh Định lý 3.1.2.4 Cho G p - nhóm hữu hạn khơng tầm thường Khi G có tâm Z(G) khơng tầm thường Chứng minh G p - nhóm hữu hạn khơng tầm thường nên |G| = pn , n > ⇒ |G| ≡ (mod p) Xét tác động nhóm G phép liên hợp ∗ : G × G −→ G (g, x) −→ gxg −1 Với x ∈ G ta có: Gx = {gxg −1 /g ∈ G} Gx = {g ∈ G/gxg −1 = x} = {g ∈ G/gx = xg} = CG (x) |G| = |Z(G)| + (G : CG (x) x Với tổng lấy theo đại diện x quỹ đạo mà x ∈ / Z(G) Mặt khác theo Mệnh đề 2.1.6 Gx ≤ G nên theo Định lý Lagrange ta có |Gx | = pk , k ≤ n, đó: n [G : Gx ] = G/Gx = |G| |Gx | = p pk = pn−k ⇒ [G : Gx ] ≡ (mod p) Ta có: |G| ≡ (modp) [G : Gx ] ≡ (modp) suy |Z(G)| ≡ (mod p) hay |Z(G)| chia hết cho p |Z(G)| chứa p phần tử, Z(G) = {e} Mệnh đề 3.1.2.7 Giả sử p số nguyên tố bé chia hết cấp nhóm hữu hạn G H nhóm số p Khi H nhóm chuẩn tắc G Mệnh đề 3.1.2.8 Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố Nếu pk chia hết cấp G Khi G chứa nhóm cấp pk Định lý 3.1.2.9 (Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G tồn p - nhóm Sylow 19 Mệnh đề 3.1.2.10 Cho G nhóm hữu hạn với H K hai nhóm con, |HK| = |H|.|K| |H∩K| Định lý 3.1.2.11 (Định lý Sylow thứ hai) Cho G nhóm hữu hạn, p - nhóm G chứa p - nhóm Sylow G Chứng minh Theo Định lý 3.1.2.9 tồn p - nhóm Sylow H G, ta có |H| = pn Giả sử K p - nhóm G Do K p - nhóm nên |K| = pk với k ≤ n Ta ký hiệu G/H tập tất lớp ghép trái G theo nhóm H n Khi G/H = |G| |H| = p m/pn = m Nhóm K tác động tập G/H theo quy tắc: (k, gH) → kgH, ∀k ∈ K với gH ∈ G/H K(gH) quỹ đạo gH KgH nhóm ổn định gH Theo Hệ 2.1.14 Định lý Lagrange ta có: |K(gH)| = [K : KgH ] Mặt khác lại có: |K| = [K : KgH ].|KgH | = |K(gH)|.|KgH | Nên |K| |K(gH)| ⇒ |K(gH)| = pi , ≤ i ≤ k Vì G/H = m p nên với m = G/H = K : KgH suy tồn quỹ đạo K(gH) thỏa mãn |K(gH)| = Khi K = KgH Suy ∀k ∈ K, kgH = gH ⇒ g −1 kg ∈ H, ∀k ∈ K ⇒ g −1 Kg ⊂ H ⇒ K ⊂ gHg −1 Mà gHg −1 = |H| = pn ⇒ gHg −1 p - nhóm Sylow Suy K chứa p - nhóm Sylow Định lý 3.1.2.12 (Định lý Sylow thứ ba) a) Mọi p - nhóm Sylow nhóm G liên hợp với b) Gọi sp số p - nhóm Sylow phân biệt G, sp chia hết cấp G 20 c) sp ≡ (mod p) Chứng minh a) Chứng minh p - nhóm Sylow liên hợp với Gọi H K hai p - nhóm Sylow G Tương tự chứng minh Định lý 3.1.2.11 ta có: ∃g ∈ G : g −1 Hg ⊂ K g −1 Hg = |H| = |K| = pn Suy g −1 Hg = K Vậy H K liên hợp với b) Gọi K p - nhóm Sylow G, theo (a) ta có nhóm liên hợp với K liên hợp với nên ta có sp = [G : NG (K)] Vì |K| = pn mà K ⊆ NG (K) nên NG (K) = pn m Theo Định lý Lagrange ta có: |G| = NG (K) [G : NG (K)] ⇔ pn m = pn m sp ⇒ sp |m hay sp chia hết cấp G c) Bây ta chứng minh sp ≡ (mod p) hay (sp − 1) p Gọi X tập tất p - nhóm Sylow G, ta có |X| = sp Lấy K p - nhóm Sylow G, suy K ∈ X K tác động liên hợp X theo quy tắc: k ∗ H = kHk −1 với ∀k ∈ K, H ∈ X Với ∀H ∈ X, ta có quỹ đạo H K(H) = {kHk −1 /k ∈ K} Nhóm ổn định H K KH = {k ∈ K/kHk −1 = H} Vì K p - nhóm Sylow nên |K| = pn Do từ Hệ 2.1.14 Định lý Lagrange ta có: |K| = |KH | [K : KH ] ⇒ [K : KH ]|pn ⇒ [K : KH ] = pi , ≤ i ≤ n Nếu K = H K có quỹ đạo K(K) = {kKk −1 /k ∈ K} = {K} ⇒ |K(K)| = 21 Nếu K = H |K(H)| = pi = Thật vậy, giả sử H ∈ X, |K(H)| = 1, K(H) = {kHk −1 /k ∈ K} = {H} Do kHk −1 = K, ∀k ∈ K ⇒ KH = HK, dễ dàng chứng minh HK nhóm G Theo Mệnh đề 3.1.2.10 ta có |HK| = |H|.|K| |H∩K| = p2n |H∩K| Suy HK lũy thừa p, hay HK p - nhóm Do H K p - nhóm Sylow G H ⊂ HK, K ⊂ HK nên H = HK = K (vơ lý giả thiết K = H) Như X có K thỏa mãn |K(K)| = |K(H)| = pi , ≤ i ≤ n, ∀H = K Vậy ta có sp = |X| = K(H) = H∈X K(H) + K(K) = H=K K(H) p nên suy sp ≡ (mod p) K(H) + H=K H=K 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính 3.2.1 Chứng minh Định lý nhỏ Fermat Định lý 3.2.1.1 Nếu p số nguyên tố a số nguyên bất kỳ, ap − a chia hết cho p Chứng minh Nếu a chia hết cho p rõ ràng ap − a = a(ap−1 − 1) chia hết cho p Xét trường hợp a không chia hết cho p, nghĩa a ≡ (mod p) Ta có ap − a = a(ap−1 − 1) ta cần chứng minh ap−1 ≡ (mod p) Ta thấy: p số chẵn (p = 2) −1 ≡ (mod 2), p lẻ (−1)p−1 ≡ (modp) Từ ta cần xét a > Ta xét tập hợp X = {(g1 , g2 , , gp ) : gi ∈ Z/(a), g1 + g2 + + gp = 0} 22 Nếu ta chọn g1 , g2 , , gp−1 gp xác định phần tử đối phần tử g1 + g2 + + gp−1 Do đó: |X| = |Z/(a)|p−1 Xét ánh xạ ∗ : Z/(a) × X −→ X (j, (g1 , g2 , , gp )) −→ j ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1+j , g2+j , , gp+j ) tác động nhóm từ Z/(a) tập X Thật vậy: ∀i, j ∈ Z/(a), ∀(g1 , g2 , , gp ) ∈ X ta có (i + j) ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1+(i+j) , g2+(i+j) , , gp+(i+j) ) = (g1+i+j , g2+i+j , , gp+i+j ) = (g1+j+i , g2+j+i , , gp+j+i ) = (g(1+j)+i , g(2+j)+i , , g(p+j)+i ) = i ∗ (g1+j , g2+j , , gp+j ) = i ∗ (j ∗ (g1 , g2 , , gp )) ∀(g1 , g2 , , gp ) ∈ X, ∈ Z/(a) ta có ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1 , g2 , , gp ) Theo Định lý 3.1.2.2 ta có |X| = |Z/a|p−1 ≡ |X Z/a | (mod p) Phép biến đổi tuần hồn đưa tọa độ cuối lên vị trí đầu tiên, điểm cố định X (g, g, , g) ∈ X với pg = Do đó: |Z/a|p−1 = ap−1 ≡ |{g ∈ Z/(a) : pg ≡ (mod a)}| (mod p) Vì (p, a) = 1, nên pg ≡ (mod a) ⇔ g ≡ (mod a) Do đó: |{g ∈ Z/(a) : pg ≡ (mod a)}| = Vậy : ap−1 ≡ (mod p) Định lý chứng minh 23 3.2.2 Ứng dụng tác động nhóm đại số tuyến tính Mệnh đề 3.2.2.2 Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực R Khi ánh xạ GL(n, R) × S → S, với (P, A) → P.A.t P , xác định tác động nhóm GL(n, R) tập S Chứng minh ∀P1 , P2 ∈ GL(n, R), ∀A ∈ S ta có: (P1 P2 ) ∗ A = (P1 P2 ).A.t (P1 P2 ) = (P1 P2 ).A.(t P2 t P1 ) = P1 (P2 A.t P2 )t P1 = P1 (P2 ∗ A)t P1 = P1 ∗ (P2 ∗ A) E ∗ A = E.A.t E = A, ∀A ∈ S, E ∈ GL(n, R), E ma trận đơn vị cấp n Vậy ta có tác động nhóm GL(n, R) tập S Tương tự mệnh đề trên, ta có Mệnh đề 3.2.2.3 Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực R Khi ánh xạ O(n, R) × S → S với (P, A) → P.A.t P xác định tác động nhóm ma trận trực giao O(n, R) tập S Mệnh đề 3.2.2.4 Với ma trận đối xứng thực A, tồn ma trận P ∈ GL(n, R) cho P.A.t P có dạng chéo tức là:  b1 0 P.A.t P =  0 b2  0  bn Định nghĩa 3.2.2.5 Một ma trận vuông A gọi chéo hóa trực giao được, có ma trận trực giao P cho P −1 AP ma trận chéo Định lý 3.2.2.6 Điều kiện cần đủ để ma trận vng A chéo hóa trực giao A đối xứng Mệnh đề 3.2.2.3 Định lý 3.2.2.6 cho ta hệ sau Hệ 3.2.2.7 Nhóm ma trận trực giao O(n, R) tác động tập ma trận đối xứng thực, thông qua tác động ma trận đối xứng thực chéo hóa trực giao 24 Các Mệnh đề 3.2.2.2, 3.2.2.4 Hệ 1.2.19 cho ta hệ sau Hệ 3.2.2.8 Nhóm ma trận khả nghịch GL(n, R) tác động tập ma trận (đối với sở khác nhau) dạng toàn phương ω(x) không gian vectơ thực n chiều V Thông qua tác động này, biểu thức tọa độ dạng toàn phương đưa dạng tắc KẾT LUẬN Luận văn "Tác động nhóm ứng dụng" thực mục tiêu đề ra, cụ thể là: Thu thập đọc hiểu tài liệu tác động nhóm, từ trình bày lại vấn đề sau: 1) Trình bày khái niệm tác động nhóm tập hợp, nhóm, với ví dụ minh họa 2) Áp dụng kết tác động nhóm để xây dựng nhóm mới, chứng minh số Định lý, kết lý thuyết nhóm 3) Áp dụng tác động nhóm để chứng minh Định lý nhỏ Fermat 4) Dùng tác động nhóm để minh họa cho tốn chéo hóa trực giao ma trận đối xứng, tốn đưa dạng tồn phương khơng gian vectơ hữu hạn chiều dạng tắc Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tính hiệu tác động nhóm ... sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm. .. H vào Aut(G), ϕ tác động H G 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHĨM Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm. .. động nhóm Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính