Tác động nhóm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  HỒNG VĂN TUẤN TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  HỒNG VĂN TUẤN TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại Số Và Lý Thuyết Số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng – Năm 2017 Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Hoàng Văn Tuấn LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Hoàng Văn Tuấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính 10 CHƯƠNG TÁC ĐỘNG NHĨM 14 2.1 Tác động nhóm tập hợp 14 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 20 2.3 Tác động nhóm nhóm 23 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm 23 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÁC ĐỘNG NHÓM 25 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 25 3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm 25 3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh số kết lý thuyết nhóm 31 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính 41 3.2.1 Chứng minh Định lý nhỏ Fermat 41 3.2.2 Ứng dụng tác động nhóm đại số tuyến tính 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tác động nhóm nội dung lý thuyết nhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng khơng lý thuyết nhóm mà cịn số lĩnh vực khác toán học Trong giáo trình lý thuyết nhóm bậc đại học, nội dung tác động nhóm chưa đề cập nhiều, nhằm tìm hiểu tác động nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: Tác động nhóm ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn - Nghiên cứu tác động nhóm tập hợp, nhóm - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm, nhóm hữu hạn p - nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp nhóm - Những ứng dụng tác động nhóm Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tác động nhóm - Phân tích, khảo sát tư liệu thu thập - Tự nghiên cứu trao đổi với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau 1.1 Nhóm p – nhóm hữu hạn 1.2 Một số khái niệm kết số học đại số tuyến tính Chương 2: Tác động nhóm Chương trình bày kiến thức sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm Chương trình bày số ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, số học đại số tuyến tính 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức cấu trúc nhóm, p - nhóm số khái niệm, kết đại số làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem tài liệu [5], [7], [9], [11], [12], [13] 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.1.[9] Cho tập không rỗng G phép tốn hai ngơi G ký hiệu •, cặp (G, •) gọi nhóm (i) Với x, y, z ∈ G, (x • y) • z = x • (y • z) (ii) Tồn phần tử ký hiệu e ∈ G, gọi phần tử đơn vị, cho: x • e = e • x = x, với x ∈ G (iii) Với x ∈ G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử x−1 ∈ G cho: x • x−1 = x−1 • x = e Nếu với x, y ∈ G, x • y = y • x (G, •) gọi nhóm abel (hay nhóm giao hốn) Nếu khơng sợ nhầm lẫn với phép tốn, ta cịn nói G nhóm thay cho nhóm (G, •) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G ký hiệu |G| Nếu nhóm G khơng phải nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa 1.1.2.[7] Một nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố p gọi p - nhóm Định nghĩa 1.1.3.[9] Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊂ G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G khép kín phép lấy nghịch đảo G, tức là: • ∀x, y ∈ S, xy ∈ S • ∀x ∈ S, x−1 ∈ S Mệnh đề 1.1.4.[9] Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: (i) A nhóm X (ii) Với ∀x, y ∈ A, xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.1.5.[7] (i) Nhóm H gọi p - nhóm G H vừa nhóm G vừa p - nhóm (ii) Nhóm H gọi p - nhóm Sylow G H p - nhóm G |H| = pn lũy thừa cao p chia hết |G| Mệnh đề 1.1.6.[9] Giao họ nhóm nhóm G nhóm G Định nghĩa 1.1.7.[7] Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G chứa X, ký hiệu X X = {x1 ε1 x2 ε2 xn εn /xi ∈ X, εi = ±1, n ∈ N} Nhận xét 1.1.8.[9] X nhóm nhỏ G có chứa X Nếu X = G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G Định nghĩa 1.1.9.[9] Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a ∈ X, kí hiệu a Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ký hiệu C(n) Cn Mệnh đề 1.1.10.[7] Mọi nhóm nhóm cyclic nhóm cyclic Định nghĩa 1.1.11.[7] Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ G Nếu am = e, ∀m ∈ N∗ a gọi có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = e m gọi cấp a Cấp phần tử a ký hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = a , ord(a) = e ⇔ a = e Định nghĩa 1.1.12.[7] Cho G nhóm H nhóm G Khi với a ∈ G, tập hợp aH = {ah, h ∈ H} Ha = {ha, h ∈ H} gọi lớp kề trái lớp kề phải H G phần tử a Mệnh đề 1.1.13.[7] Hai lớp kề trái H trùng khơng có phần tử chung, lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng, lớp kề phải) Định nghĩa 1.1.14.[9] Cho G nhóm H ≤ G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái H G tập thương G H kí hiệu G/H G/H = {xH/x ∈ G} Lực lượng tập G/H lớp kề trái H G gọi số nhóm H nhóm G, ký hiệu [G : H] Định nghĩa 1.1.15.[9] Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm A G gọi nhóm chuẩn tắc G, kí hiệu A G nếu: ∀g ∈ G, ∀x ∈ A, g −1 xg ∈ A Mệnh đề 1.1.16.[9] Giả sử A nhóm nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: 34 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Với r = 1, hệ hiển nhiên Giả sử hệ với r = k − (k > 1) Ta chứng minh hệ với r = k Thật vậy, theo Định lý 3.1.2.4, ta có Z(G) = {e} p||Z(G)| nên Z(G) có phần tử g cấp p Gọi N nhóm cyclic sinh g suy |N | = p Vì N ≤ Z(G) nên N G, xét nhóm thương G/N ta có: k G/N = |G| |N | = p /p = pk−1 ¯ có cấp Theo giả thiết quy nạp, G/N có nhóm chuẩn tắc H pk−2 ¯ Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.26 ∃H ≤ G, N ⊂ H mà H/N = H Suy |H| = pk−1 H G đó, hệ với r = k Vậy hệ với r nguyên dương Hệ 3.1.2.6 Cho p số nguyên tố, đó, nhóm có cấp p2 nhóm abel Chứng minh Cho G nhóm có cấp p2 Z(G) tâm G Theo Định lý 3.1.2.4, Z(G) = {e} suy Z(G) = p Z(G) = p2 Nếu Z(G) = p, |G/Z(G)| = p (do G có cấp p2 ) Mà p nguyên tố nên G/Z(G) cyclic nên theo Mệnh đề 1.1.20 G abel Suy Z(G) = G, vô lý Vậy |Z(G)| = p2 Z(G) = G nên G abel (do Z(G) abel) Vậy G nhóm abel 35 Mệnh đề 3.1.2.7 [20] Giả sử p số nguyên tố bé chia hết cấp nhóm hữu hạn G H nhóm số p Khi H nhóm chuẩn tắc G Chứng minh Ký hiệu NG (H) = {x ∈ G/xH = Hx} nhóm chuẩn hóa H G, H nhóm chuẩn tắc NG (H) Ta có H ≤ G, NG (H) ≤ G H ⊂ NG (H) nên: [G : NG (H)] [G : H] với [G : H] = p, với p số nguyên tố Do [G : NG (H)] = [G : NG (H)] = p - Nếu [G : NG (H)] = G = NG (H) ⇒ H G - Nếu [G : NG (H)] = p suy NG (H) = H Gọi S tập tất nhóm G, G tác động S phép liên hợp: G × S → S với (g, H) → gHg −1 ta có: Với ∀x ∈ G, H ∈ S, quỹ đạo của H là: G(H) = {g ∗ H/g ∈ G} = {gHg −1 /g ∈ G} Quỹ đạo H tập tất nhóm G liên hợp với H Ta gọi T tập tất nhóm liên hợp với H ⇒ G(H) = T Nhóm ổn định H qua tác động G là: GH = {g ∈ G/g ∗ H = H} = {g ∈ G/gHg −1 = H} = {g ∈ G/gH = Hg} = NG (H) Suy |T | = |G(H)| = G/GH = G NG (H) = [G : NG (H)] = p Tác động cảm sinh đồng cấu: f : G → S(T ) với f (x) = gx ∈ S(T ), gx (K) = xKx−1 với ∀K ∈ T Với S(T ) nhóm đối xứng T , ta có: ker f = {x ∈ G/gx = 1T } ⊆ {x ∈ G/xHx−1 = H} = NG (H) suy kerf ⊆ H 36 Cho x ∈ H, K ∈ T, K = yHy −1 ta có gx (K) = xyHy −1 x−1 = yHy −1 = K Do gx = 1T , tức x ∈ kerf ⇒ H ⊆ ker f Vậy H = kerf , H G Mệnh đề 3.1.2.8 [20] Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố Nếu pk chia hết cấp G Khi G chứa nhóm cấp pk Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn có |G| = pn m, (m, p) = Gọi X tập tất tập G có pk phần tử, k < n Khi đó: |X| = = n n k Cppn m = n (pn m)! k p !.(pn m−pk )! n k p m.(p m−1).(p m−2) (p m−p +1) 1.2.3 (pk −1).pk =p n−k pk−1 m i=1 pk = i=1 pn m−i+1 i n = pn−k m (p m−1).(pn m−2) (pn m−pk +1) 1.2.3 (pk −1) pn m−i i Ta chứng minh pn−k lũy thừa lớn p chia hết |X|, tức ta chứng minh |X| pn−k+1 Thật vậy, |X| = p n−k pk−1 m i=1 pn m−i i , i p |X| pn−k+1 Nếu i = p.u, (u, i) = ∀i = (1, pk − 1) p(pn−1 m−u) pn m−i pn m−pu pn−1 m−u = = = p ⇒ |X| pn−k+1 i pu pu u Xét tác động nhóm G tập X: G×X → X với (g, H) → gH |G(Hi )| mà |X| pn−k+1 nên: Ta có |X| = i∈I ∃A ∈ X cho quỹ đạo G(A) = {gA/g ∈ G} thỏa mãn: |G(A)| pn−k+1 Đặt |G(A)| = pt m , ≤ t ≤ n − k, (m , p) = ta chứng minh |GA | = pk 37 Thật vậy, ta có: |G| = |GA |.[G : GA ] ⇒ |GA | = |G| [G : GA ] nhưng: n n−t |G(A)| = [G : GA ] nên |GA | = |G| |G(A)| = p m pt m = p m m ⇒ |GA | ≥ pk (do n − t ≥ k) Lại có GA = {g ∈ G/gA = A}, với a ∈ A GA a = {ga ∈ G/g ∈ GA } lớp ghép phải G theo nhóm GA ∀g ∈ GA gA = A nên ga ∈ A Do GA a ⊂ A Suy |GA | = |GA a| ≤ |A| = pk Ta có pk ≤ |GA | ≤ pk ⇒ |GA | = pk GA p - nhóm Vậy tồn p - nhóm GA G thỏa mãn |GA | = pk Trong mệnh đề trên, k = n ta có Định lý Sylow thứ sau Định lý 3.1.2.9 [13] (Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G tồn p - nhóm Sylow Mệnh đề 3.1.2.10 [13] Cho G nhóm hữu hạn với H K hai nhóm con, |HK| = |H|.|K| |H∩K| Chứng minh Kí hiệu S tập lớp ghép trái K G Xét tác động nhóm H tập S phép nhân h(aK) = haK với ∀h ∈ H, aK ∈ S Nhóm ổn định ứng với eK ∈ S là: HeK = {h ∈ H/heK = K} = {h ∈ H/h ∈ H} = H ∩ K Vì số nhóm ổn định phần tử eK ∈ S |H| |H∩K| Ký hiệu H(eK) quỹ đạo eK Khi H(eK) = {hH/h ∈ H} Chú ý hK có |K| phần tử hK = h K hK ∩ h K = ∅ với h, h ∈ H, hK = {hk/h ∈ H, k ∈ K} = HK h∈H số phần tử quỹ đạo H(eK) |HK| K theo Hệ 2.1.14 ta có 38 |HK| K = |H| |H∩K| Mệnh đề chứng minh Định lý 3.1.2.11 [13] (Định lý Sylow thứ hai) Cho G nhóm hữu hạn, p - nhóm G chứa p - nhóm Sylow G Chứng minh Theo Định lý 3.1.2.9 tồn p - nhóm Sylow H G, ta có |H| = pn Giả sử K p - nhóm G Do K p - nhóm nên |K| = pk với k ≤ n Ta ký hiệu G/H tập tất lớp ghép trái G theo nhóm H n Khi G/H = |G| |H| = p m/pn = m Nhóm K tác động tập G/H theo quy tắc: (k, gH) → kgH, ∀k ∈ K với gH ∈ G/H K(gH) quỹ đạo gH KgH nhóm ổn định gH Theo Hệ 2.1.14 Định lý Lagrange ta có: |K(gH)| = [K : KgH ] Mặt khác lại có: |K| = [K : KgH ].|KgH | = |K(gH)|.|KgH | Nên |K| |K(gH)| ⇒ |K(gH)| = pi , ≤ i ≤ k Vì G/H = m p nên với m = G/H = K : KgH suy tồn quỹ đạo K(gH) thỏa mãn |K(gH)| = Khi K = KgH Suy ∀k ∈ K, kgH = gH ⇒ g −1 kg ∈ H, ∀k ∈ K ⇒ g −1 Kg ⊂ H ⇒ K ⊂ gHg −1 Mà gHg −1 = |H| = pn ⇒ gHg −1 p - nhóm Sylow 39 Suy K chứa p - nhóm Sylow Định lý 3.1.2.12 [13] (Định lý Sylow thứ ba) a) Mọi p - nhóm Sylow nhóm G liên hợp với b) Gọi sp số p - nhóm Sylow phân biệt G, sp chia hết cấp G c) sp ≡ (mod p) Chứng minh a) Chứng minh p - nhóm Sylow liên hợp với Gọi H K hai p - nhóm Sylow G Tương tự chứng minh Định lý 3.1.2.11 ta có: ∃g ∈ G : g −1 Hg ⊂ K g −1 Hg = |H| = |K| = pn Suy g −1 Hg = K Vậy H K liên hợp với b) Gọi K p - nhóm Sylow G, theo (a) ta có nhóm liên hợp với K liên hợp với nên ta có sp = [G : NG (K)] Vì |K| = pn mà K ⊆ NG (K) nên NG (K) = pn m Theo Định lý Lagrange ta có: |G| = NG (K) [G : NG (K)] ⇔ pn m = pn m sp ⇒ sp |m hay sp chia hết cấp G c) Bây ta chứng minh sp ≡ (mod p) hay (sp − 1) p Gọi X tập tất p - nhóm Sylow G, ta có |X| = sp Lấy K p - nhóm Sylow G, suy K ∈ X K tác động liên hợp X theo quy tắc: k ∗ H = kHk −1 với ∀k ∈ K, H ∈ X Với ∀H ∈ X, ta có quỹ đạo H K(H) = {kHk −1 /k ∈ K} 40 Nhóm ổn định H K KH = {k ∈ K/kHk −1 = H} Vì K p - nhóm Sylow nên |K| = pn Do từ Hệ 2.1.14 Định lý Lagrange ta có: |K| = |KH | [K : KH ] ⇒ [K : KH ]|pn ⇒ [K : KH ] = pi , ≤ i ≤ n Nếu K = H K có quỹ đạo K(K) = {kKk −1 /k ∈ K} = {K} ⇒ |K(K)| = Nếu K = H |K(H)| = pi = Thật vậy, giả sử H ∈ X, |K(H)| = 1, K(H) = {kHk −1 /k ∈ K} = {H} Do kHk −1 = K, ∀k ∈ K ⇒ KH = HK, dễ dàng chứng minh HK nhóm G Theo Mệnh đề 3.1.2.10 ta có |HK| = |H|.|K| |H∩K| = p2n |H∩K| Suy HK lũy thừa p, hay HK p - nhóm Do H K p - nhóm Sylow G H ⊂ HK, K ⊂ HK nên H = HK = K (vơ lý giả thiết K = H) Như X có K thỏa mãn |K(K)| = |K(H)| = pi , ≤ i ≤ n, ∀H = K Vậy ta có sp = |X| = K(H) = H∈X K(H) + K(K) = H=K K(H) p nên suy sp ≡ (mod p) H=K K(H) +1 H=K 41 3.2 Một số ứng dụng tác động nhóm số học đại số tuyến tính 3.2.1 Chứng minh Định lý nhỏ Fermat Định lý 3.2.1.1 [7] Nếu p số nguyên tố a số nguyên bất kỳ, ap − a chia hết cho p Chứng minh Nếu a chia hết cho p rõ ràng ap − a = a(ap−1 − 1) chia hết cho p Xét trường hợp a không chia hết cho p, nghĩa a ≡ (mod p) Ta có ap − a = a(ap−1 − 1) ta cần chứng minh ap−1 ≡ (mod p) Ta thấy: p số chẵn (p = 2) −1 ≡ (mod 2), p lẻ (−1)p−1 ≡ (modp) Từ ta cần xét a > Ta xét tập hợp X = {(g1 , g2 , , gp ) : gi ∈ Z/(a), g1 + g2 + + gp = 0} Nếu ta chọn g1 , g2 , , gp−1 gp xác định phần tử đối phần tử g1 + g2 + + gp−1 Do |X| = |Z/(a)|p−1 Xét ánh xạ ∗ : Z/(a) × X −→ X (j, (g1 , g2 , , gp )) −→ j ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1+j , g2+j , , gp+j ) tác động nhóm từ Z/(a) tập X Thật vậy: 42 ∀i, j ∈ Z/(a), ∀(g1 , g2 , , gp ) ∈ X ta có (i + j) ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1+(i+j) , g2+(i+j) , , gp+(i+j) ) = (g1+i+j , g2+i+j , , gp+i+j ) = (g1+j+i , g2+j+i , , gp+j+i ) = (g(1+j)+i , g(2+j)+i , , g(p+j)+i ) = i ∗ (g1+j , g2+j , , gp+j ) = i ∗ (j ∗ (g1 , g2 , , gp )) ∀(g1 , g2 , , gp ) ∈ X, ∈ Z/(a) ta có ∗ (g1 , g2 , , gp ) = (g1 , g2 , , gp ) Theo Định lý 3.1.2.2 ta có |X| = |Z/a|p−1 ≡ |X Z/a | (mod p) Phép biến đổi tuần hồn đưa tọa độ cuối lên vị trí đầu tiên, điểm cố định X (g, g, , g) ∈ X với pg = Do |Z/a|p−1 = ap−1 ≡ |{g ∈ Z/(a) : pg ≡ (mod a)}| (mod p) Vì (p, a) = 1, nên pg ≡ (mod a) ⇔ g ≡ (mod a) Do |{g ∈ Z/(a) : pg ≡ (mod a)}| = Vậy ap−1 ≡ (mod p) Định lý chứng minh 43 3.2.2 Ứng dụng tác động nhóm đại số tuyến tính Bổ đề 3.2.2.1 Cho ma trận A đối xứng, P ma trận vuông cấp với A Khi P.A.t P ma trận đối xứng, với t P ma trận chuyển vị P Chứng minh A ma trận đối xứng ⇔ t A = A vì: t (P.A.t P ) = t (t P ).t A.t P = P.t A.t P = P.A.t P nên P.A.t P ma trận đối xứng Mệnh đề 3.2.2.2 [5] Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực R Khi ánh xạ GL(n, R) × S → S, với (P, A) → P.A.t P , xác định tác động nhóm GL(n, R) tập S Chứng minh ∀P1 , P2 ∈ GL(n, R), ∀A ∈ S ta có: (P1 P2 ) ∗ A = (P1 P2 ).A.t (P1 P2 ) = (P1 P2 ).A.(t P2 t P1 ) = P1 (P2 A.t P2 )t P1 = P1 (P2 ∗ A)t P1 = P1 ∗ (P2 ∗ A) E ∗ A = E.A.t E = A, ∀A ∈ S, E ∈ GL(n, R), E ma trận đơn vị cấp n Vậy ta có tác động nhóm GL(n, R) tập S Tương tự mệnh đề trên, ta có Mệnh đề 3.2.2.3 [12] Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực R Khi ánh xạ O(n, R) × S → S, với (P, A) → P.A.t P , xác định tác động nhóm ma trận trực giao O(n, R) tập S Mệnh đề 3.2.2.4 [5] Với ma trận đối xứng thực A, tồn ma trận P ∈ GL(n, R) cho P.A.t P có dạng chéo tức là: 44  b1  P.A.t P =  0 b2  0  bn Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử A = (aij ) ma trận đối xứng cấp n Nếu A = mệnh đề hiển nhiên Nếu A = Ta giả sử ∃aii = 0, ∀i = 1, n ⇒ aij = 0, i = j, Qij (1).A.Qji (1) ma trận có aii = Nếu a11 = aii = 0, P1i A.Pi1 ma trận có a11 = Qj1 Giả sử a11 = a = Xét j từ đến n, a1j = 0, −a −a1j A.Q1j a1j ma trận có dạng: a   a 0     A  Trong A ma trận đối xứng cấp n − Áp dụng giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 3.2.2.5 [11] Một ma trận vng A gọi chéo hóa trực giao được, có ma trận trực giao P cho P −1 AP ma trận chéo Việc tìm ma trận trực giao P cho P −1 AP ma trận chéo gọi chéo hóa trực giao ma trận vng A Định lý 3.2.2.6 [11] Điều kiện cần đủ để ma trận vng A chéo hóa trực giao A đối xứng 45 Mệnh đề 3.2.2.3 Định lý 3.2.2.6 cho ta hệ sau Hệ 3.2.2.7 Nhóm ma trận trực giao O(n, R) tác động tập ma trận đối xứng thực, thông qua tác động ma trận đối xứng thực chéo hóa trực giao Các Mệnh đề 3.2.2.2, 3.2.2.4 Hệ 1.2.19 cho ta hệ sau Hệ 3.2.2.8 Nhóm ma trận khả nghịch GL(n, R) tác động tập ma trận (đối với sở khác nhau) dạng toàn phương ω(x) không gian vectơ thực n chiều V Thông qua tác động này, biểu thức tọa độ dạng tồn phương đưa dạng tắc 46 KẾT LUẬN Luận văn "Tác động nhóm ứng dụng" thực mục tiêu đề ra, cụ thể là: Thu thập đọc hiểu tài liệu tác động nhóm, từ trình bày lại vấn đề sau: 1) Trình bày khái niệm tác động nhóm tập hợp, nhóm, với ví dụ minh họa 2) Áp dụng kết tác động nhóm để xây dựng nhóm mới, chứng minh số Định lý, kết lý thuyết nhóm 3) Áp dụng tác động nhóm để chứng minh Định lý nhỏ Fermat 4) Dùng tác động nhóm để minh họa cho tốn chéo hóa trực giao ma trận đối xứng, tốn đưa dạng tồn phương khơng gian vectơ hữu hạn chiều dạng tắc Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục hồn thiện mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tính hiệu tác động nhóm 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Bảy (2009), Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp n, n ≤ 20, Luận văn thạc sỹ khoa học - Đại học Đà Nẵng [2] G Birkhoff, S Maclane (1979), Tồng quan đại số đại, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [3] Trần Văn Hạo (1977), Đại số cao cấp, NXB Giáo dục [4] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục [5] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập đại số số học, NXB Giáo dục [6] Trần Thị Thu Hiền (2014), Luật tác động ứng dụng lý thuyết nhóm số học, Luận văn tốt nghiệp cao học, Đại học Đà Nẵng [7] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [8] S Lang (1973), Đại số (Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [9] Hoàng Xuân Sính ( 1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [10] Nguyễn Duy Thuận, Phí Mạnh Ban, Nơng Quốc Chinh (2004), Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm [11] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh ( 2008), Toán học cao cấp - Đại số hình học giải tích, NXB Giáo dục [12] Lê Anh Vũ ( 1997), Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [13] B Baumslag and B Chandler (1968), Theory and Problems of Group Theory, McGraw - Hill book company [14] Burnside, W (1897), Theory of group of finite order, Cambridge University 48 [15] Georgew.Polites (1968), An Introduction to the Theory of Group, International Textbook company [16] Kristen Walcott (2004), Application and Analysis of Burnside’s Theory, Allegheny College [17] Rotman, J.J (1995), An introduction to theory group, Springer-Verlarg TRANG WEBSITE [18] David Jao(2002), Semidirect Product Of Groups, at http://planetmath.org/semidirectproductofgroups [19] Keith Conrad, Generalized Quaternions, at http://math.uconn.edu/kconrad/blurbs/grouptheory/genquat.pdf [20] Milne J.S (2008),Group Theory (2008) at http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf [21] Patrick J Morandi, Group Actions, at http://sierra.nmsu.edu/morandi/notes/groupactions.pdf ... sở tác động nhóm tập nhóm, số tính chất kết liên quan 2.1 Tác động nhóm tập hợp 2.2 Ví dụ tác động nhóm tập hợp 2.3 Tác động nhóm nhóm 2.4 Ví dụ tác động nhóm nhóm Chương 3: Ứng dụng tác động nhóm. .. 25 3.1 Ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm 25 3.1.1 Ứng dụng tác động nhóm để xây dựng nhóm 25 3.1.2 Ứng dụng tác động nhóm để chứng minh số kết lý thuyết nhóm ... động nhóm tập hợp, nhóm - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nhóm, nhóm hữu hạn p - nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp nhóm - Những ứng dụng tác động nhóm Phương pháp