DE VA DAP AN THI VAO 10

Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán ( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề ) Đ1 Bài 1( 2 điểm): Cho biểu thức : A= a1 1 a1 1 a1 42a 3 2 + + a. Rút gọn A b. Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2 (2,5 đ ): Cho phơng trình : x 2 -2(m+2)x +m+1 = 0 (x là ẩn, m là tham số ) a. Giải phơng trình khi m= 2 3 b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. c. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm các giá trị của m để : x 1 ( 1- 2x 2 )+ x 2 (1- 2x 1 )=m 2 Bài 3 (2 điểm) Dân số xã X hiện nay có 10000 ngời . Ngời ta dự đoán sau hai năm dân số xã X là 10404 ngời . Hỏi trung bình hàng năm dân số xã X tăng bao nhiêu phần trăm? Bài 4 ( 3 điểm) Cho đờng tròn (o, r) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BD (E B , E D ). EC cắt AB ở M , EA Cắt CD ở N . a. Hai tam giác AMC và ANC có quan hệ với nhau thế nào ? Tại sao ? b. Chứng minh: AM. CN = 2 r 2 . c. Giả sử AM = 3 MB . Tính tỉ số ND CN . Bài 5 ( 1 điểm ) Tìm tất cả các cặp số (x; y ) thoả mãn phơng trình sau : 5x - 2 x ( 2+y ) + y 2 +1 = 0 1 đáp án Đ.t. tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán H1 Bài 1: a. Rút gọn (1 đ) Biểu thức A xác định với : 0 a 1 0,25 đ A= ( )( ) ( ) 2 2 aa1a1a1 42a +++ + - ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 aa1a1a1 aa1a1 aa1a1a1 aa1a1 +++ +++ +++ ++ A = 2 aa1 2 ++ 0,75 đ b. Biểu thức A có giá trị lớn nhất khi 1+a+a 2 có giá trị nhỏ nhất 0,25 đ Vì a 0 nên 1+a+a 2 1 mẫu của biểu thức A có giá trị nhỏt nhất là 1. 0,5 đ Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 0,25 đ Bài 2 : (2,5đ) a.(0,5đ): Thay m = - 2 3 vào phơng trình ta đợc : x 2 - 2(- 2 3 + 2)x + 2 3 + 1 = 0 2x 2 + 2x 1 = 0 Vì / = 3 nên x 1 = 2 31 + ; x 2 = 2 31 b. (1đ): Phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 tức là : m + 1 < 0 m < -1 0,75 đ Vậy với m < -1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. 0,25 đ c. (1đ) : Tìm giá trị m của phơng trình đã cho để có : x 1 ( 1 2x 2 ) + x 2 ( 1-2x 1 ) = m 2 x 1 2x 1 x 2 + x 2 2x 1 x 2 = m 2 ( x 1 + x 2 ) 4x 1 x 2 = m 2 (1) 0,25 đ Theo Vi et thì x 1 + x 2 = a b =2(m+2) x 1 x 2 = a c = m + 1 nên (1) có dạng : 2(m + 2 ) - 4( m +1 ) =m 2 0,25đ 2m + 4 4m - 4 = m 2 m 2 +2m =0 m( m +2 ) =0 m =0 hoặc m = - 2 0,25 đ Vậy với m = 0 hoặc m =- 2 thì > 0 phơng trình đã cho Có 2 nghiệm x 1 , x 2 0,25 đ 2 Bài 3 (2 điểm) Gọi tỉ số phần trăm tăng dân số hàng năm của xã X hàng năm là 100 x (x >0) Dân số xã X hiện nay có 10 000 ngời thì sau 1 năm dân số sẽ là: 10 000 + 100 x . 10 000 = 10 000 + 100 x (ngời) Sang năm thứ 2 dân số xã X sẽ là : 10 000 + 100 x + 100 x .(10 000 + 100 x ) =10 000 +200 x +x 2 (ngời) 0,5 đ sau 2 năm dân số xã X là 10 404 ngời nên có phơng trình 10 000 + 200 x + x 2 = 10 404 x 2 + 200 x - 404 = 0 0,5 đ Giải phơng trình đợc x 1 =2 ; x 2 =- 202 (loại) Sau khi thử lại có kết quả : Dân số xã X hàng năm tăng 2% 0,25đ Bài 4 : (3đ) -Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận a, Vì AB CD nên cung AD= cung DB = cungBC = cung AC Số đo NAC= 2 1 số đo( cung EB + cung BC) Số đo AMC=số đo (cung EB + cung AC) NAC = AMC 0,25đ Số đo CAN = 2 1 số đo cung AD = 2 1 số đo cung BC = 2 1 số đo cung MAC 0,25đ Vậy AMC ANC vì có hai cặp góc tơng ứng bằng nhau 0,5đ b, Vì AMC ANC nên AN AC AC AM = AM.CN = AC 2 0,5đ Theo đing lý PiTa Go trong vuông AOC ta có AC 2 =OA 2 +OC 2 Hay AC 2 =2r 2 0,25đ Vậy AM. CN = 2r 2 0,25đ c, Ta có AM+MB = 2r Mà AM = 3MB Nên 4MB = 2r MB = 2 1 r AM = r 2 3 0,25đ 3 A E B D M C O N CN = AM r 2 2 CN = r 3 4 0,25đ Vì CN +ND = 2r nên ND = 2r - r 3 4 = r 3 2 0,25đ Vậy 2 = ND CN 0,25đ Bài 5 : Phơng trình : 5x -2 x (2+ y)+ y 2 +1 =0 4x - 4 x +1 +y 2 -2 x .y +x = 0 (2 x - 1) 2 + (y - x ) 2 =0 (1) 0,25đ Vế trái của (1) là tổng của hai biểu thức không âm, nên mỗi biểu thức phải bằng 0 Vây (1) = = 0 012 xy x = = 2 1 4 1 y x 0,5đ Vậy cặp số phải tìm là: ( 4 1 ; 2 1 ) 0,25đ 4 Đề thi tuyển sinh p.t.t.h. chuyên Môn: toán ( Học sinh làm bài 180 phút- không kể thời gian giao đề ) Đ3 Bài I (2điểm) a) Trong mọi cặp nghiệm của phơng trình : x 2 - yx 2 +2xy y + 7 = 0 Hãy tìm cặp nghiệm (x ,y) mà y có giá trị nhỏ nhất. b)Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức : x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S = x + y +1. Bài II (1,5điểm)Giả sử hệ phơng trình sau có nghiệm : =+ =+ =+ baycx acybx cbyax Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Bài III)(2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn (O), có đờng cao AN và CK (N thuộc BC, K thuộc AB). Đờng tròn qua 3 điểm B,K,N cắt đờng tròn(O) tại điểm thứ hai M. Gọi P là trung điểm của AC . Chứng minh rằng PM MB. Bài IV)(3 điểm) Cho đờng tròn(O,R) và điểm P cố định nằm trong (O). Qua P vẽ 2 cát tuyến APB và CPD vuông góc với nhau(A,B,C,D thuộc đờng tròn(O)). a)Chứng minh rằng AC 2 +BD 2 không đổi. Từ đó suy ra PA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 không đổi. b)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng khi hai cát tuyến APB và CPD quay quanh P và vuông góc với nhau thì điểm I luôn nằm trên một đờng tròn cố định. Bài V) (1,5điểm)Giải phơng trình : 56328631142 2242 ++=+++ xxxxxx 5 hớng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán H3 Bài I a)(1đ) x 2 - yx 2 +2xy y + 7 = 0 0,25đ (1 y)x 2 + 2xy y + 7 = 0 (*) i) y = 1 x= -3 ii) y 1 Xem (*) là phơng trình ẩn x + Tính = y 2 (1-y)(-y+7) 0 y 7/8 . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất : y = 7/8 0,5đ +Thay vào (*) tính đợc x = - 7 0,25đ Kết luận :( x = -7 ; y =7/8) là cặp nghiệm mà y có giá trị nhỏ nhất. b)(1đ) +Hệ thức có thể viết nh sau : 0,25đ (x 2 +y 2 + 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4 = - y 2 + Từ đó suy ra : (x 2 +y 2 + 1+2xy +2x +2y) + 5(x+ y+1) + 4 0 S 2 + 5S + 4 0 hay 4 S -1 0,5đ +Từ đây : S đạt giá trị nhỏ nhất S = - 4 khi x = - 5 ; y = 0 S đạt giá trị lớn nhất S = - 1 khi x = - 2 ; y = 0 0,25đ Bài II (1,5đ) +Giả sử (x 0 , y 0 , z 0 ) là nghiệm củahệ phơng trình =+ =+ =+ b(3)aycx a(2)cybx c(1)byax 00 00 00 Nhân cả hai vế của từng phơng trình với lần lợt c 2 , a 2 , b 2 ta có : =+ =+ =+ 3 0 2 0 2 3 0 2 0 2 3 0 2 0 2 byabxcb aycaxba cybcxac 0,5đ Cộng từng vế các phơng trình trên ta có x 0 (ac 2 +a 2 b+b 2 c) +y 0 (bc 2 +a 2 c+ab 2 ) = a 3 +b 3 +c 3 (1) +Nhân từng vế của (1) ,(2) ,(3) lần lợt với ab ,bc , ac ta có 6 =+ =+ =+ abccyaxac abcybccxb abcyabbxa 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0,5đ Cộng từng vế 3 phơng trình trên ta có x 0 (ac 2 +a 2 b+b 2 c) +y 0 (bc 2 +a 2 c+ab 2 ) = 3abc (2) 0,5đ +Từ (1) và (2) a 3 +b 3 +c 3 = 3abc Bài III.(2điểm) Giải AH BC(H là trực tâm ABC) và DC BC nên AH // DC (1) (0,5đ) Chứng minh tơng tự :CH //AD (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) tứ giác ADCH là hình bình hành mà P là trung điểm của BC nên P cũng là trung điểm của HD. (0,25đ) * Gọi I là tâm đờng tròn đờng kính BH .Ta có OI là đờng trung bình của tam giác BHD OI //HD hay OI //HP (0,5đ) Mặt khác MB là dây cung chung của hai đờng tròn(I) và (O) (0,25đ) OI MB và do đó HP MB Ta có HP MB và HM MB nên P,H,M thẳng hàng (0,25đ) PM MB Bài 4: 7 A D K H P M I 0 C B N C I A B H K O E D Giải: a)(1,5đ)Vẽ đờng kính BE của (O) . EAB = 90 0 (Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Chứng minh ACDE là hình thang cân AC = DE. (0,5đ) DEB vuông tại D, theo định lý Pitago ta có DE 2 +BD 2 = BE 2 Do đó AC 2 +BD 2 = 4R 2 không đổi. (0,5đ) PAC vuông tại P nên PA 2 + PC 2 = AC 2 (0,5đ) PBD vuông tại P nên PB 2 + PD 2 = BD 2 Cộng từng vế ta có PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = AC 2 +BD 2 = 4R 2 b)1,5 điểm OI là đờng trung bình của tam giác EBC nên OI = 1/2 EC PI là trung tuyến của PBC vuông tại P nên PI = 1/2 PBC CEB vuông tại C nên EC 2 + BC 2 = EB 2 = 4R 2 Do đó IO 2 +IP 2 = 1/4EC 2 + 1/4BC 2 = R 2 (0,25đ) Gọi K là trung điểm của PO vẽ IH PO, H PO các tam giác HPI,HKI,HIO vuông tại H Do đó : OI 2 = IH 2 + OH 2 ,IP 2 = IH 2 + HP 2 , IK 2 =IH 2 + HK 2 OI 2 + IP 2 2IK 2 =OH 2 + HP 2 2 HK 2 = 222 2) 2 () 2 ( HKHK OP HK OP ++ = 22 2 2 2 2. 4 . 4 HKHKHKOP OP HKHKOP OP ++++ = 2 2 OP (0,5đ) Từ OI 2 + IP 2 2IK 2 = 2 2 OP và OI 2 + IP 2 = R 2 R 2 - 2IK 2 = 2 2 OP IK 2 = ) 2 ( 2 1 2 2 OP R IK = ) 2 ( 2 1 2 2 OP R = 22 2 2 1 OPR không đổi (0,5đ) 8 K cố định vì P,O cố định nên I thuộc đờng tròn (K , 22 2 2 1 OPR ) cố định. (0,25đ) Bài V (1,5đ) Giải phơng trình : 56328631142 2242 ++=+++ xxxxxx 28631142 242 +++ xxxx 25)12(39)12(2 242 +++++= xxxx 0,5đ 853259 =+=+ 0,25đ 563 2 ++ xx = -3(x 2 2x +1) +8 8 0,5đ Dấu bằng xảy ra khi = = 0)1( 0)1( 22 2 x x x =1 0.25 đ ( Ghi chú : HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.) 9 . hàng năm là 100 x (x >0) Dân số xã X hiện nay có 10 000 ngời thì sau 1 năm dân số sẽ là: 10 000 + 100 x . 10 000 = 10 000 + 100 x (ngời) Sang năm thứ. X sẽ là : 10 000 + 100 x + 100 x . (10 000 + 100 x ) =10 000 +200 x +x 2 (ngời) 0,5 đ sau 2 năm dân số xã X là 10 404 ngời nên có phơng trình 10 000 + 200