Tiet 1 + 2 + 3 Chu De - Menh De - Tap Hop.doc

Tuần : 1 + 2 + 3 Ngày soạn : 04/09/2006 Chủ đề 1 : MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HP I. Các dạng toán : Nhằm củng cố lại kiến thức trọng tâm về tập mệnh đề và tập hợp : 1- Xác đònh mệnh đề toán học . 2- Điều kiện cần và điều kiện đủ . 3- Chứng minh đònh lý bằng phương pháp phản chứng . 4- Xác đònh các tập hợp . 5- Các phép toán trên tập hợp . 6- Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp . II. Phương pháp: Từ các đònh nghóa và tính chất đã nêu trong phần lý thuyết, GV xây dựng cho học sinh phương pháp giải . III. Hệ thống bài tập : * Tiết tự chọn 1 : Gồm hai dạng toán 1. Xác đònh mệnh đề toán học . 2 . Điều kiện cần và điều kiện đủ . Bài 1 : Nêu mệnh đề phủ đònh của các mệnh đề sau và xác đònh mệnh đề đúng sai : a) A : “ PT x 2 -2x + 2 = 0 vô nghiệm ” b) B : “ 124 là một số chính phương ” c) C : “ Tứ giác ABCD là một hình thang” d) ∀ x ∈  , x > x 2 . e) ∀ x ∈ , n 2 + 1 không chia hết cho 3. f) ∃ n ∈ , n 2 + 1 chia hết cho 8. k) ∀ n∈  * ,1 + 2 + . + n không chia hết cho 11. h) ∀ x ∈  , x 2 + x + 1> 0. Bài 2 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các đònh lý sau : a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng nhau . b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân . d) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao . Bài 3 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các đònh lý sau : a) Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau : b) Nếu a = b thì a 2 = b 2 c) Nếu một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì số đó phải có dạng 4k +1 (k ∈ ¥ ) . d) Nếu m, n là hai số nguyên dương sao cho m 2 + n 2 là một số chính phương thì tích m.n chia hết cho 12 . * Hướng dẫn trả lời Bài 1 : Câu f) : Mệnh đề sai Mệnh đề phủ đònh là : “ 2 n , n 1 không chia hết cho 8∀ ∈ +¥ ” . Đây là một mệnh đề đúng Thật vậy : Vì n ∈ ¥ nên n nhận giá trò chẵn hoặc lẻ, khi đó 2 2 1 n k k n k =  ∈  = +  ¥ Như vậy n 2 +1 = 4k 2 +1 hoặc 4k 2 +4k+2 nên khi chia cho 8 sẽ dư 1 hoặc 2 . Câu i) : Mệnh đề sai, chẳng hạn chọn n = 1 1 Chú ý : ( ) 1 1 2 3 . 2 n n n + + + + + = Bài 2: a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là chúng bằng nhau . b) Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau . c) Để một hình thang là hình thang cân, điều kiện đủ là hai đường chéo của nó bằng nhau. d) Điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC vuông góc với BC là tam giác đó cân tại A . Bài 3 : a) Tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để tứ giác T là hình thoi . b) a 2 = b 2 là điều kiện cần để a = b . c) Để một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì một điều kiện cần là số đó phải có dạng 4k +1 (k ∈ ¥ ) . d) Cho m, n là hai số nguyên dương . Điều kiện cần để m 2 +n 2 là một số chính phương là tích m.n chia hết cho 12 . * Tiết tự chọn 2 : Gồm hai dạng toán 3 - Chứng minh đònh lý bằng phương pháp phản chứng . 4 - Xác đònh các tập hợp . Bài 1: Bằng phương pháp phản chứng hãy chứng minh các đònh lý sau : 2 2 ) , chia hết cho 3 n chia hết cho 3 b) , chia hết cho 6 n chia hết cho 6 c) Nếu a+b<2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1 d) Nếu x -1 và y -1thì x+y+xy 1 e) Cho các số a x n x n ∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ⇒ ≠ ≠ ≠ − ¥ ¥ n1 2 n1 2 n1 2 . , , ., . là trung bình cộng của chúng a= : ít nhất một trong các số , , ., sẽ lớn hơn hay bằng a a a a thực a a a a a a Gọi n CMR + + + Bài 2 : Viết dưới dạng liệt kê các phần tử của các tập hợp sau : ( ) ( ) { } { } { } 2 3 2 / 2 3 1 3 2 0 / 5 / 3 với k và -4<x<12 A x x x x x x B n n C x x k = ∈ − + − + = = ∈ ≤ = = ∈ ¡ ¢ ¢ Bài 3 : Tìm tất cả các tập con của tập X sao cho { } { } 1;2 1;2;3;4;5X⊂ ⊂ Bài 4 : Viết các tập sau dưới dạng chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó : { } { } 4;0;4;8;12 B= 1;4;7;10;13;16A = − * Hướng dẫn trả lời Bài 1 : Câu a) Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n có dạng : n = 3k +1 ; n = 3k + 2 với k ∈ ¢ , dẫn đến điều trái với giả thuyết . Câu b) Tương tự câu a) Câu c) Giả sử cả a và b đều lớn hơn bằng 1, dẫn đến a + b 2≥ ( trái với giả thuyết) Câu d) Giả sử x+ y +xy = -1, phân tích dẫn đến x = -1 hoặc y =-1 (trái với giả thuyết) Câu e) Ta giả sử n1 2 , , .,a a a đều nhỏ hơn a , từ đó dẫn đến kết quả a < a (vô lý) 2 Bài 2 : Câu a) Giải các phương trình 2 3 2 2 3 1 0 và 3 2 0x x x x x− + = − + = để tìm x . Câu b) Ta có 5 5 5n n≤ ⇔ − ≤ ≤ Câu c) Từ x = 3k và -4<x<12 ta tìm được { } 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3k ∈ − Bài 4 : + x thuộc tập A thì x có dạng x = 4k, với k ∈ ¢ + x thuộc tập B thì x có dạng x = 3k+1, với k ∈ ¢ * Tiết tự chọn 3 : Gồm hai dạng toán 5-Các phép toán trên tập hợp . 6-Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp . Bài 1 : A B ; A B ; A\B tập và biểu diễn trên trục số của các tập này :Tìm ∪ ∩ [ ] ( ) [ ) ( ] { } { } { } + = − ∞ ∈ ≤ ∈ ∈ <¡ ¡ ¡ ¡ * ) 4 ;5 B = 0 ; 6 ) A = - ; 3 B = -1 ; 5 ) A = x / -3<x 10 và B = x / x>2 ) A = và B = x / x 1 a A b c d Bài 2 : { } { } ) tập / 2< x 3 . Hãy biểu diễn tập A thành hợp của hai khoảng . ) tập / x 2 . Hãy biểu diễn tập B thành hợp của hai khoảng . a Cho A x b Cho B x ≥ = ∈ < = ∈ ¡ ¡ Bài 3 : Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Nếu A B thì A B=A ; A B=B ; A\B= b) A ; A = A c) A B ) A B a A A C A B C d C A C B C ⊂ ∩ ∪ ∅ ∪ = ∪∅ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ * Hướng dẫn trả lời Bài 1 : ( ] ( ) ( ) ( ) c) A = -3;10 B= 2 ; + d) A = 0 ;+ B= -1 ; 1Câu Câu∞ ∞ Qua đó biểu diễn trên trục số và kết luận . Bài 2 : ( ) ( ) [ ) ( ] 2;3 3; 2 2; ; 2A B= ∪ − − = +∞ ∪ −∞ − Bài 3 : Để chứng minh tập A = B ta chứng minh : (tức là ) (tức là ) A B x A x B B A x B x A    ⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈ ⊂ ∀ ∈ ⇒ ∈ VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 1: CMR : “Với n là số nguyên, nếu 5n + 1 là một số chẵn thì n là một số lẻ” . Bài giải mẫu: Giả sử 5n + 1 là một số chẵn và n cũng là một số chẵn . Khi đó vì n − chẵn ⇒ n = 2k , * k ∈ ¥ ⇒ 5n + 1 = 10k + 1 là một số lẻ. Điều này mâu thuẩn với giả thiết . Do đó n phải là một số le û  Bài 2: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n 2 không chia hết cho 4 thì n là một số lẻ” . Bài 3: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5” . Bài 4: CMR : “Nếu phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu” Bài 5: CMR : “Nếu a.b.c ≠ 0 thì có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm : ax 2 + 2bx + c = 0; bx 2 + 2cx + a = 0; cx 2 + 2ax + b = 0” Bài 6: CMR : “ 2 là số vô tỉ ” Bài giải mẫu: 3 Giả sử 2 là số hữu tỉ ⇒ m n * m 2 = , với m, n và tối giản n ∈ ¥ Với m n 2 = ⇒ m 2 = 2n 2 ⇒ m 2 là số chẵn ⇒ m là số chẵn ⇒ m = 2k , với k ∈ * ¥ Từ m 2 = 2n 2 ⇒ 4k 2 = 2n 2 ⇒ n 2 = 2k 2 ⇒ n 2 làmột số chẵn ⇒ n là một số chẵn ⇒ n = 2l, với l ∈ * ¥ ⇒ m 2k = chưa tối giản . Điều này mâu thuẩn giả thiết. n 2l Vậy 2 là số vô tỉ  Bài 7: CMR : “Nếu các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện sau : a + b + c > 0 (1) ab + bc + ca > 0 (2) thì a > 0, b > 0, c > 0 abc > 0 (3)      ” Bài giải mẫu: Giả sử ba số a, b, c không đồng thời là các số dương . Vậy ∃ ít nhất một số không dương. Do a, b, c có vai trò như nhau không giảm tổng quát ta giả sử : a ≤ 0 thay vào (3) ta được a 0 bc 0 <   <  Thay vào (2) ⇒ a(b + c) > − bc > 0 ⇒ b + c > 0 . Như vây ta có : a 0 b c 0 <   + <  ⇒ a + b + c < 0 . Điều này mâu thuẩn với giả thiết (1) ⇒  Bài 8: CMR : a) “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1” . b) “Nếu ∆ ABC không phải là một ∆ đều thì ∆ ABC có một góc trong nhỏ hơn 60 0 ”. c) “Nếu x ≠ − 1 và y ≠ − 1 thì x + y + xy ≠ −1” . Bài 9: CMR : “ ( ) Nếu a, b, c 0 ; 1 thì có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai :∈ 1 1 1 a(1 - b) > (1) ; b(1 - c) > (2) ; c(1 - a) > (3) 4 4 4 ” Bài giải mẫu: Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng. Khi đó nhân vế theo vế (1),(2),(3) ta được : a.(1 − a).b.(1 − b).c.(1 − c) > 1 64 (*) . Ta có: x(1 − x) = − x 2 + x = − (x 2 − x) = − [x 2 − 2 1 2 x + 1 4 − 1 4 ] = − 2 1 1 x 2 4     − −    ÷       = 1 1 1 x , x 4 2 4 2   − − ≤ ∀ ∈  ÷   ¡ Vậy ∀ x ∈ (0 ; 1) thì 0 < x(1 − x) ≤ 1 4 . Do đó : 1 a(1 - a) > (4) 4 1 b(1 - b) > (5) 4 1 c(1 - c) > (6) 4          Nhân vế theo vế (4), (5), (6) ta được : a.(1 − a).b.(1 − b).c.(1 − c) ≤ 1 64 (**) . Rõ ràng bất đẳng thức (**) mâu thuẩn với bất đẳng thức (*). Do đó cả ba đẳng thức (1), (2), (3) không thể đồng thời đúng. Vậy có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên sai .  4 VẤN ĐỀ 2: TẬP HP 1. Tập hợp và phần tử: Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học . a ∈ A (phần tử a thuộc tập hợp A); b ∉ A (phần tử b không thuộc tập hợp A) . 2. Các cách xác đònh tập hợp : a) Liệt kê các phần tử : Ví dụ: E = {a, b, c} b) Nêu tính chất đặt trưng của các phần tử : Ví dụ: E = {x / x có tính chất α} 3. Tập con của một tập hợp − tập hợp bằng nhau và tập rỗng : A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A . Tập rỗng : là tập không có phần tử nào : ∅ Chú ý : ∅ ⊂ A , ∀ tập A . 4. Các phép toán về tập hợp : A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} (giao của hai tập hợp) A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} (hợp của hai tập hợp) A \ B = {x / x ∈ A ∨ x ∉ B} (hiệu của hai tập hợp) { } A E C E x A E \ A = x / x (phần bù của A trong E) với A E= ∈ ∧ ∉ ⊂ BÀI TẬP VỀ TẬP HP Bài tập 1: Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và tập hợp ⊂ của tập hợp E là : A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4; 6; 8} . Tìm E E E E E C C C A B) C CA , B , ( , A B∪ ∩ . Bài tập 2: Cho tập hợp A = {x ∈ ¢ − 4 ≤ x < 3}, B = {x x = 2k, với k ∈ ¥ }. Tìm A ∪ B và A ∩ B và biểu diễn các tập đó trên trục số . Bài tập 3: Cho A = { x ∈ ¡ / x − 1 > 3} và B = { x ∈ ¡ / x + 2 < 3} . Tìm A ∩ B . Bài tập 4: Xác đònh tập hợp A ∩ B và A ∪ B và biểu diễn các tập đó trên trục số trong các trường hợp sau . Biết : 1. A = {x ∈ ¡  x ≥ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≤ 5} 2. A = {x ∈ ¡  x ≥ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≥ 5}. 3. A = {x ∈ ¡  x ≤ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≤ 5} 4. A = {x ∈ ¡  x ≤ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≥ 5}. 5. A = {x ∈ ¡  x ≥ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≤ 3} 6. A = {x ∈ ¡  x ≤ 1}, B = {x ∈ ¡  x ≥ 3}. 7. A = [1 ; 3], B = (2 ; + ∞ ) 8. A = (−1 ; 5), B = [0 ; 6) . Bài tập 5: Xác đònh tập hợp A ∪ B, B ∪ C, A ∩ C và B ∪ C và biểu diễn các tập đó trên trục số trong các trường hợp sau . Biết : a) A = [0 ; 4], B = (1 ; 5), C = (− 3 ; 1] , b) A = (− ∞ ; 2], B = [2 ; + ∞ ), C = (0 ; 3) . Bài tập 6: Cho hai nửa khoảng (− 1 ; 3] và [2 ; 4). Tìm C (A B) C (A B) và ∪ ∩ ¡ ¡ . Bài tập 7: Cho hai nửa khoảng (− 2 ; 1] và [1 ; 3). Tìm A ∪ B, A ∩ B và E C A . Bài tập 8: Cho A = { x ∈ ¡ − 3 ≤ x < 1} và B = { x ∈ ¡ / x > 2}. Tìm A ∩ B, A ∪ B, C A, C B ¡ ¡ Bài tập 9: CMR : Với hai tập hợp A, B bất kì ta có : (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Bài tập 10: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. Bài tập 11: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) Bài tập 12: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) Bài tập 13: CMR : Với ba tập hợp A, B, C bất kì ta có : (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C) Bài tập 14: Cho số thực a < 0. Điều kiện cần và đủ để hai khoảng (− ∞ ; 9a) và ; 4 a   + ∞  ÷   có giao khác rỗng là : (A) 2 3 − < a < 0 ; (B) 2 3 − ≤ a < 0 ; (C) 3 4 − < a < 0 ; (D) 3 4 − ≤ a < 0 . 5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ? Giải thích ? 1) ∀ n ∈ * ¥ , n 2 + n + 1 là một số nguyên tố .  đúng ;  sai 2) ∀ x ∈ ¢ , x 2 ≥ x .  đúng ;  sai 3) ∃ x ∈ ¡ , 2 2x 1 x 1 > +  đúng ;  sai 4) ∃ x ∈ ¤ , 2 3x 2 x 1 + ∈ + ¢  đúng ;  sai 5) ∀ n ∈ ¥ , n 2 + 1 không chia hết cho 3 .  đúng ;  sai 6) ∀ n ∈ ¥ , n 2 + 1 chia hết cho 4 .  đúng ;  sai Câu 2: Cho các câu sau : a) Thành phố Hồ Chí Minh ở Miền Bắc b) Sông Cửu Long chảy qua thủ đô Hà Nội c) Hãy trả lời câu hỏi này ! d) Chiều nay bạn có rãnh không ? e) 3x + 5 = 14 f) ∀ x ∈ ¡ , x 2 + x + 1 > 0 . Số câu là mệnh đề trong các câu trên là: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Câu 3: Cho mệnh đề “∀ x ∈ ¡ , x 2 − x + 1 > 0” . Mệnh đề phủ đònh của mệnh đề trên là: (A) ∀ x ∈ ¡ , x 2 − x + 1 < 0 ; (B) ∀ x ∈ ¡ , x 2 − x + 1 ≤ 0 ; (C) ∃ x ∈ ¡ mà x 2 − x + 1 > 0 ; (D) ∃ x ∈ ¡ , x 2 − x + 1 ≤ 0 . Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào không là đònh lí : (A) ∀ n ∈ ¥ , n 2 M 6 ⇒ n M 6 ; (B) ∀ n ∈ ¥ , n 2 M 3 ⇒ n M 3 ; (C) ∀ n ∈ ¥ , n 2 M 9 ⇒ n M 9 ; (D) ∀ n ∈ ¥ , n M 5 ⇒ n có chữ số tận cùng là 5. Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là mệnh đề đúng : (A) ∀ x ∈ ¡ , x > − 3 ⇒ x 2 > 9 ; (B) ∀ x ∈ ¡ , x > 3 ⇒ x 2 > 9 ; (C) ∀ x ∈ ¡ , x 2 > 9 ⇒ x > 3 ; (D) ∀ x ∈ ¡ , x 2 > 3 ⇒ x 2 < − 3 . Câu 6: Cho tập A = {− 1 ; 0 ; 1; 2}. Khi đó ta có : (A) A = [−1 ; 3) ∩ ¥ ; (B) A = [−1 ; 3) ∩ ¢ ; (C) A = [−1 ; 3) ∩ * ¥ ; (D) A = [−1 ; 3) ∩ ¤ . Câu 7: Cho đoạn A = [ − 4 ; 7] và tập B = (− ∞ ; −2) ∪ (3 ; + ∞ ). Khi đó A ∩ B là : (A) [− 4 ; − 2) ∪ (3 ; 7] ; (B) [− 4 ; 2) ∪ (3 ; 7); (C) (− ∞ ; 2] ∪ (3 ; + ∞ ] ; (D) (− ∞ ; − 2) ∪ (3 ; + ∞ ]. Câu 8: Cho hai tập hợp A = {x ∈ ¡  x + 3 < 4 + 2x} và B = {x ∈ ¡  5x − 3 < 4x − 1} Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là : (A) 0 và 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2 (E) không có phần tử nào . Câu 9: Cho các nửa khoảng A = ( − ∞ ; − 2] ; B = [3 ; + ∞ ) và khoảng C = (0 ; 4) Khi đó tập (A ∪ B) ∩ C là : (A) { x ∈ ¡ 3 ≤ x ≤ 4 } ; (B) { x ∈ ¡  x ≤ − 2 hoặc x > 3 }; (C) { x ∈ ¡ 3 ≤ x < 4 }; (D) { x ∈ ¡  x < − 2 hoặc x ≥ 3 }. Câu 10: Cho các nửa khoảng A = (− 2 ; 2] ; B = (− 1 ; + ∞ ) và 1 2   − ∞  ÷   C = ; .Khi đó giao A ∩ B ∩ C là (A) 1 x 1 x 2   ∈ − ≤ ≤     ¡ (B) 1 x 2 x 2   ∈ − ≤ ≤     ¡ ; (C) 1 x 1 x 2   ∈ − < ≤     ¡ ; (D) 1 x 1 x 2   ∈ − < <     ¡ . 6 . hoặc 4k 2 +4 k +2 nên khi chia cho 8 sẽ dư 1 hoặc 2 . Câu i) : Mệnh đề sai, chẳng hạn chọn n = 1 1 Chú ý : ( ) 1 1 2 3 . 2 n n n + + + + + = Bài 2: a) Điều. được : a. (1 − a).b. (1 − b).c. (1 − c) > 1 64 (*) . Ta có: x (1 − x) = − x 2 + x = − (x 2 − x) = − [x 2 − 2 1 2 x + 1 4 − 1 4 ] = − 2 1 1 x 2 4    