CÔNG THỨC GIẢI QUYẾT bài TOÁN tìm MIN THẦY QUANG THIỆN

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của lần lượt của z... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z.. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z.. Giá trị nhỏ nhất

CÔNG THỨC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM MIN – MAX

TRONG SỐ PHỨC Bài toán 1 : Tìm max, min của z thỏa mãn z x yi k   Khi đó k x2y2   z k x2y2

Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của z , biết rằng số phức z thảo mãn điều kiện z  1 i 1

A : 2 1 B :  2 1 C : 2 1 D : 3 2 2

Hướng dẫn giải Đáp án C

Khi đó từ z  1 i 1 có : x 1,y1,k1

Áp dụng công thức k x2y2    z z 1 1 12 2  2 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của số phức là : 2 1

Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của lần lượt của z

A : 2 2 1,2 2 1  B : 2 1, 2 1  C : 2, 1 D : 2 3 1,2 3 1 

Bài 3 : Tìm số phức z sao cho z 3 4i 5, gọi z là số phức có modun lớn nhất Tổng phần thực và phần ảo o

của z o bằng

Bài 4 : Tìm số phức z sao cho z 3 1i đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 : Trong các số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 5, gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của z Tính M +

m bằng

Đáp án

Bài toán 2 : Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2 a a( 0) Tìm max – min của w z z  3 trong đó

1; ;2 3

z z z là các số phức cho trước

Khi đó : 2 2

w

z   z   z   z

Lưu ý : nhiều khi đề bài yêu cầu tìm min – max của z nghĩa là z3 0

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn 3 3 2 1 2 3

1 2 2

i z i i

 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  3 3i Tính M.m bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

Áp dụng công thức trên với 1 3 3 2 , 1 2 , 3 3 ,2 3 3

1 2 2

i

i



Khi đó : M.m = 24

Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của z , biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

3 2

i z i

Bài 3 : Cho số phức z thỏa mãn 1 2 1

1

i z i

 , đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số

phức z Khi đó m iM bằng

A : 2 3 78 9 13

26 13

z    i B : z 2 2i

26 13

z    i D : z 2 2i

Bài 5 : Tìm GTNN của z biết z thỏa mãn 4 2 1 1

1

i z i



 

Bài 6 : Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  1i z 1 7i  2 Tìm max z

Đáp án

Bài toán 3 : Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2  z z z1  2 K với

1 2 3

z a bi

z c di

z x yi

  



 



  



Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của z Khi đó :  

1

4

2 4

z z

a b

 



Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z   1 z 1 4, gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

số phức z Khi đó M.m bằng

Hướng dẫn giải Chọn B

Áp dụng công thức trên với : z11,z21,k  4 m min 3;M max 2  M m 2 3

Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn 2 2 4

  , gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của số phức z Khi đó M.m bằng

Bài 3 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   4 z 4 10 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tìm v m4i  2 Mi

Bài 4 : Cho số phức z thỏa mãn z   3 z 3 10 Giá trị nhỏ nhất của z là

Bài 5 : Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z   2 z 2 4 2 Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M và m là điểm

biểu diễn của z và z Tính giá trị lớn nhất của diện tich tam giác OMN

Đáp án

Bài toán 4 : Cho số phức z thỏa mãn z z o k

z

  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z Khi đó :

z

 

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z 4i 2

z

  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M + m bằng

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn  1i z 2 1 2i  2 z Tìm GTLN, GTNN của T  z bằng

A : 5, 5 B : 10, 10 C : 1 2 10 , 1 2 10   D : 1 1 2 10, 1   1 2 10 Chọn D

Bài toán 5 : Phương trình  E : x22 y22 1

a b 

Cho số phức z thỏa mãn z c z c   2a Tìm GTLN, GTNN của P z z  o

Hướng dẫn giải Tính b2a2c2

Lập phương trình chính tắc của Elip :  E :x22 y22 1

a b  với z c z c   2a

Rút y theo x dạng y b a2 x2

a

Thay vào P ta được : 2  2 2 2 2

, ; ,

b

a

           

Dùng chức năng TABLE của máy tính tìm GTLN và GTNN của hàm P2P

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z   2 z 2 6 Tìm GTLN, GTNN của P z  1 3i

Hướng dẫn giải

Ta có : a3,c 2 b25

Phương trình chính tắc của Elip :

2

5

2 2

3

P  x   x   f x

Bấm TABLE của hàm số f x  với x  3;3 được GTLN, GTNN của P2P

Bài toán 6 : Cho số phức z thỏa mãn z z  1 z z2 2 , 2a a z z  1 2 Tìm GTLN, GTNN của

o

P z z  với đặc điểm nhận dạng 1 2

2

o

z z

z  

Hướng dẫn giải

Tính 2 1 2 1 2

2

z z

c z z   c 

Tính b2a2  c2 b a2c2 MaxP a MinP b ; 

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i z   2 i 8 Tìm GTLN, GTNN của P 2 1 2z  i

Hướng dẫn giải

P

2

A z  i

2

o

z   i z       i z i

2

MaxA MinA MaxP MinP

Bài toán 7 : Cho số phức z thỏa mãn z z  1 z z2 Tìm Min T  z z o

Hướng dẫn giải

Ý nghĩa hình học : Điều kiện z z  1 z z2 thực chất là phương trình đường thẳng

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn của z , A là điểm biểu diễn của z1 và B là điểm biểu diễn của z2thì giả thiết tương đương với MA = MB hay M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB Gọi I là điểm biểu diễn của z o thì TIM

 ,

T d I d

I

- Lưu ý : Không phải phương trình nào cũng có dạng z z  1 z z2 cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường tròn hay đường thẳng ta nên gọi z x yi  rồi thay vào phương trình

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z   1 i z 2i Tìm GTNN của z

A : 1 B : 2 C : 2 D : 1

2 Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi z x yi thì M x y ; là điểm biểu diễn của z Từ giả thiết ta có : z   1 i z 2i    x y 1 0 d

Vậy M di chuyển trên  d ta có :  

   2 2

0 0 1 1 ,

2

1 1

z OM d O d     

 

Bài 2 : Cho số phức z có z thỏa mãn z 3 i z   1 3ilà một số thực

Tìm giá trị nhỏ nhất của T   z 1 i

A : 1 B : 2 C : 3 2 D : 2 2

Bài 3 : Tìm số phức z có z nhỏ nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn z  2 i z

5 10

5 10

5 10

5 10

z  i

Bài 4 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện v   z i 2i là một số thuần ảo Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 3

z  i

A : 8 5

85

64

17 5 Bài 5 : Trong các số phức thỏa mãn z   z 3 4i , số phức có modun nhỏ nhất là :

A : z 3 4i B : z  3 4i C : z3/ 2 2 i D : z3/ 2 2 i

Bài 6 : Trong các số phức sau thì số nào thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z 2i Tìm số phức có modun bé nhất

là

A : z 2 i B : z 3 i C : z 2 2i D : z 1 3i

Bài 7 : Cho các số phức z thỏa mãn ,w z 3 2i  z 3 ,wi   1 i z3 Giá trị nhỏ nhất của w là

A : 1

6

Đáp án Bài 2 : C Bài 3 : A Bài 4 : A Bài 5 : D Bài 6 : C Bài 7 : C

Bài toán 8 : Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z z1 1' R z z, 2 2'  z z2 3' trong đó z z z cho trước Tìm 1', ,2' 3'

GTNN của T  z z1 2

Phương pháp

Ý nghĩa hình học : Gọi M, N là các điểm biểu diễn

của z z1, 2 Giả thiết z z1 1' R tương đương với M

thuộc đường tròn tâm I bán kính R Giả thiết

z z  z z tương đương với N thuộc đường

tròn ( C ) và N thuộc (d) sao cho MN ngắn nhất

Từ hình vẽ ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của MN

bằng minT d I d  ,  R

Bài 1 : Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 5 5 và z2 1 3i  z2 3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của

T  z z

Hướng dẫn giải

Min

N

M

d (C )

Chọn C

Gọi M, N là các điểm biếu diễn z z1, 2 Giả thiết z1 5 5 tương đương với M thuộc đường tròn tâm

 5;0 , 5

I  R

Giả thiết z2 1 3i  z2 3 6i tương đương với điểm N thuộc đường thẳng d x:8 6y35 0

Vậy min  ,   15 5 5

MN d I d  R  

Bài 2 : Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 4 3i 2 và z2 2 3i  z2 1 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của

T  z z

A : 23 34 2

34  B : -1 C : 34 D : 34 2

Đáp án A

Bài toán 9 : Cho số phức z thỏa mãn z z o R Tìm GTLN của P a z z  1 b z z 2 biết rằng

z z  k z z k  a b

Áp dụng công thức : 2    2

2

b

k

Bài 1 : Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 Tìm GTLN của T    z 1 z 2 i

Hướng dẫn giải Chọn A

Áp dụng công thức với z o 1,z1 i z, 2 2 ,i k1,R 2  T 4 MaxT 4

Bài 2 : Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm Max của T   z z 3 6i