16 BO DE + D AN VAO LOP 10

Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm §Ị C©u1 : Cho biĨu thøc  x3 −1  x +  x(1 − x )  + x  − x : A=  x −  x +  x −    a, Ruý gän biÓu thức A b , Tính giá trị biểu thức cho x= c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình: Với x ;1 +2  ( x − y) + 3( x − y) =   x + y = 12 b Giải bất phơng trình: x − x − x − 15 x= ± +2 +2 17 Câu : a)Đặt x-y=a ta ®ỵc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4  ( x − y) + 3( x − y) = Tõ ®ã ta cã   x + y = 12  x− y = * (1)  x + y = 12  x− y = −4 * (2)  x + y = 12 Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Su tm Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 ã Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 ã Xét 2m-10=> m 1/2 ta có , ∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) m − m +1 = 2m −1 2m − 1 (-1,0)=> -1<  >0  =>  2m − =>m E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK O hay điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK b ∠ BCF= ∠ BAF Mµ ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 Ta cã ∠ BKF= ∠ BEF Mµ BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vuông ABED)=> ∠ BKF=450 V× ∠ BKC= ∠ BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B Đề Bài 1: Cho biÓu thøc: P = ( )  x x −1 x x +   x − x +       x − x − x + x :  x −1     a,Rót gän P b,T×m x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) cã nghiƯm ©m A C Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm b.T×m m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mÃn x x2 =50 Bài 3: Cho phơng tr×nh: ax2 + bx + c = cã hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiƯm d¬ng phân biệt t1 t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa: A = 501 + x +y xy Đáp án Bài 1: (2 điểm) §K: x a, Rót gän: P = b P = ≥ 0; x ≠ ( x( x − 1) x − z : x( x − 1) x −1 x +1 =1 + x −1 ) P= x Để P nguyên x −1 =1 ⇒ x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = ⇒ x = x −1 = ⇒ x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= {0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ∆ = ( 2m + 1) − m + m − ≥    x1 x2 = m + m − >  x + x = 2m + <     ∆ = 25 >  ⇔  (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −  m< −  x −1 ( x − 1) = x +1 x −1 Tài liệu ơn thi tốn vo lp 10 ( m 2) b Giải phơng trình: Sưu tầm −( m +3) =50 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − =  − 1+  m1 =  ⇔ m = − 1− 2 Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0 V× x1> => 1   c   + b + a = x1 x   x1 ct2 + bt + a = 0; t1 = Chøng tá x1 lµ mét nghiệm dơng phơng trình: Vì x2 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 v× x2> nªn c 1  1    + b.  + a = x  x   ơng trình ct2 + bt + a = ; t2 = điều chứng tỏ x2 nghiệm dơng ph- x2 Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiệm dơng phân biệt t1 ; t2 t1 = x1 ; t2 = x b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 = x1 + x1 ≥2 t2 + x2 = Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 x2 + x2 ≥2 Bµi A a Giả sử đà tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên Q CH AB BH ⊥ AC => BD ⊥ AB vµ CD ⊥ AC H Do đó: ABD = 900 ACD = 900 Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O O P C B Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng tròn tâm O D Ti liu ụn thi toỏn vo lp 10 Su tm tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nªn ∠ APB = ∠ ADB nhng ∠ ADB = ∠ ACB nhng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: APB = ACB Mặt khác: AHB + ∠ ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = ∠ DAB ®ã: ∠ PHB = ∠ DAB Chøng minh t¬ng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD vµ ∠ PAQ = ∠ 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhÊt  AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay  AD lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O Đề Bµi 1: Cho biĨu thøc: P = x ( x + y )(1 − y ) − y x + y) ( ) x +1 − ( xy )( x +1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) a) Chøng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng trình : x + y + z =  1 1  + + =1 x y z  xy + yz + zx = 27 Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc víi Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tm đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R Bµi 5: Cho 1 1 + + = x y z x +y +z tháa m·n : x, y , z R HÃy tính giá trị biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10) Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x(1 + *) Rót gän P: P = = = = = ( ( x ) − y (1 − x + ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( ( x + x + y ( )( )( y 1+ x − )( )( ( x + x 1− y +x− y ) − xy ) (1 + y y x ≥ ; y ≥ ; y ≠1 ; x + y ≠ ) ) xy + y − xy x + ) (1 − y ) x y ( y ) ) )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + y 1+ x 1− VËy P = x + x + xy − b) P = ⇔ ( ⇔ x1+ ( ⇔ )( xy − ) ( y − x −1 + y ) =2 = x + xy − y y ) y +1 =1 y =1 Ta cã: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m – ⇔ x2 + mx + m = (*) Vì phơng tr×nh (*) cã ∆ = m − 4m + = ( m − 2) + > m nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung phơng trình : x2 + mx + m = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m < Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm x + y + z = (1)  1 1 Bµi :  + + = (2) x y z  xy + yz + xz = 27 ( 3)  §KX§ : x ≠ , y ≠ , z ≠ ⇒ ( x + y + z ) = 81 ⇔ x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 81 ⇔ x + y + z = 81 − ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z = 27 ⇒ x + y + z = ( xy + yz + zx ) ⇒ 2( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = ( x − y ) =  ⇔ ( y − z ) = ( z − x ) =  x = y  ⇔ y = z  z = x ⇔ x= y= z Thay vµo (1) => x = y = z = Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Q Bµi 4: a) XÐt ABM NBM Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) N nên :AMB = NMB = 90o M điểm cung nhỏ AC C nªn ABM = MBN => BAM = BNM M => BAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiÕp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB) A O => MCN = MNC ( cïng b»ng góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M b) XÐt ∆ MCB vµ ∆ MNQ cã : MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) ∠ BMC = ∠ MNQ ( v× : ∠ MCB = ∠ MNC ; ∠ MBC = ∠ MQN ) => ∆ MCB = ∆ MNQ (c g c) => BC = NQ XÐt tam giác vuông ABQ có AC BQ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( −1) R Bµi 5: Tõ : => 1 1 + + = x y z x +y +z => x x +y x + y +z −z + =0 xy z( x + y + z ) + 1 + − =0 y z x +y +z B Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm   ⇒ ( z + y )  xy + z ( x + y + z )  =0     zx + zy + z + xy  ⇒ ( x + y )  xyz ( x + y + z )  =    ⇒ ( x + y )( y + z ) ( z + x ) = Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = Đề Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ ®èi xøng víi ®êng th¼ng d qua ®êng th¼ng y = x lµ: A.y = x + ; B.y = x - ; C.y = H·y chọn câu trả lời x - ; D.y = - 2x - 2) Mét h×nh trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình lại kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C 3; b×nh TØ số bán D kết khác Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) T×m giá trị lớn A = x + y Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, ®iĨm M di ®éng gãc xAy cho MA MB = Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vuông góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung điểm cđa MN b) Chøng minh tỉng MA + NA kh«ng đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hớng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời Ti liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bài : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho sè chÝnh ph¬ng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( x + y )2 = x + y + xy = + xy (1) Ta cã: x+y ≥ xy => > xy (Bất đẳng thức Cô si) (2) Từ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + Max A2 = x = y = xy MB MD D A = MA AD =2 => MD = 2MD (0,25 ®iĨm) XÐt ba ®iĨm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính - Dựng D tia Ax cho AD = AB AB M C Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Su tm M giao điểm DC đờng tròn (A; AB) Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA A => AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi c) Ta cã IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định Đề N C I K O M D Bµi Cho ba sè x, y, z tho· m·n ®ång thêi : x2 + y + = y + z + = z + 2x + = Tính giá trị biểu thức : A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bµi 2) Cho biÓu thøc : M = x − x + y + xy − y + 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình :  x + y + x + y = 18    x ( x + 1) y ( y + 1) = 72  Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D a.Chứng minh : AC BD = R2 b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực d¬ng Chøng minh r»ng : ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a Bµi 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC Bài Từ giả thiết ta có : Hớng dẫn gi¶i B Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm C©u a) f(x) = x − x + = ( x − 2) = x − Suy f(-1) = 3; f(5) = b)  x − = 10 f ( x) = 10 ⇔  ⇔ x − = − 10  c) A=  x = 12 x = −8  x −2 f ( x) = x − ( x − 2)( x + 2) x+2 Víi x > suy x - > suy A= Víi x < suy x - < suy A=− x+2 C©u  x( y − 2) = (x + 2)( y − 4)   (x − 3)(2 y + 7) = (2x − 7)( y + 3)  xy − 2x = xy + y − 4x − ⇔  2xy − y + 7x − 21 = 2xy − y + 6x − 21  x − y = −  x = -2 ⇔ ⇔   x+ y =  y = C©u 3a) Ta cã: A= = = =  x x +1 x −1       x −1 − x −1  :  x +    x   x −1    ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1)    +  ( x − 1)( x + 1) − x −  :  x −1     x − x +1 x −1   x − x + x   :  −  x −1 x −1   x −1      x − x +1 − x +1 x −1 : x x −1 x   x −1   Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 − x +2 = b) A = => 2− x x Sưu tầm x −1 =3 : x = x −1 => 3x + x C©u − x +2 -2=0 x −1 ⋅ x −1 = x 2− x x => x = 2/3 P A E B O H C a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) b) nên theo định lý Ta let ¸p dơng cho tam gi¸c CPB ta cã EH CH = PB CB ; (1) Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC ∆ POB Do ®ã: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH = ( R − AH.CB AH.CB ) 2PB 2PB ⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 ⇔ AH = = Sưu tầm 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 2 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R d − R 2.R d − R = 4(d − R ) + 4R d2 Câu (1đ) Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 > (2m - 1)2 - (m - 1) > Tõ ®ã suy m ≠ 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiÕt ta cã: 2m −  x1 + x = −   m−  ⇔  x x =   3x1 − 4x = 11   13 - 4m   x1 =  7m −   x1 = 26 - 8m   13 - 4m 7m −  − 26 - 8m = 11 Giải phơng trình 13 - 4m 7m − −4 = 11 26 - 8m ta đợc m = - m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta cã: Víi m = - hc m = 4,125 phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt t Đề 10 Câu I : Tính giá trị cđa biĨu thøc: A= 3+ + 5+ + 7+ + .+ 97 + 99 3333 35   B = 35 + 335 + 3335 + +   99 sè Câu II :Phân tích thành nhân tử : 1) X2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2 Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Su tm Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q a) Chøng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP MQ C©u 5: Cho P = x 4x + x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức đáp án C©u : 1) A = = 1 1 + + + .+ 3+ 5+ 7+ 97 + 99 ( − + − + − + .+ 99 − 97 )= ( 99 − )     35 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  = 99 sè =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) ( 102 -1 +103 10101 −10    +165   27   198 + B= 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ 1) Ta cã : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm a b +2abcd+c d ≤ a b + a d +c b +c d ≤ a2d2 - 2cbcd+c2b2 ≤ (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = xÃy ad=bc 2) áp dụng đẳng thức trªn ta cã : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) ≤ (x2 + y2) (1 +16) => 2 x2 + y2 ≥ 25 17 2 2 => 4x2 + 4y2 ≥ 2 2 100 dÊu 17 2 = x·y x= 17 20 , y = 17 (2đ) Câu : 5® Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = gãc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=> DM MP = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB CI IA ∆ MPD ®ång d¹ng víi ∆ ICA => (1) Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA Do ®ã ∆ DMQ ®ång d¹ng víi ∆ BIA => DM MQ = => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA Tõ (1) vµ (2) ta suy MP MQ =1 Câu Để P xác định : x2-4x+3 ≥ vµ 1-x >0 Tõ 1-x > => x < Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có : (x-1) < (x-3) < từ suy tÝch cđa (x-1)(x-3) > VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã : P= x − 4x + 1− x = ( x −1)( x − 3) 1−x = 3x Đề 11 Câu : a Rút gọn biểu thức A = 1+ b Tính giá trị tæng 1 + a ( a + 1) B = 1+ Víi a > 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 100 C©u : Cho pt x − mx + m − = m a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ b Gäi x1 , x hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN bt P= x1 x2 + x1 + x2 + 2( x1 x + 1) 2 Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 C©u : Cho x ≥ 1, Sưu tầm y ≥1 Chøng minh 1 + ≥ 2 + xy 1+ x 1+ y Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH AB (H AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB D Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi ®êng trßn Chøng minh MA AH AD = BD BH MB Híng dÉn C©u a Bình phơng vế A= a2 + a +1 a( a + 1) (Vì a > 0) c áp dơng c©u a A =1 + 1 − a a +1 9999 = 100 100 ∆≥0 ∀ m ⇒ B = 100 − C©u a : cm B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:  x1 + x2 = m   x1 x2 = m − ⇒P= 2m + (1) T×m ®k ®Ỵ pt (1) cã nghiƯm theo Èn m2 + ≤ P ≤1 ⇒ GTLN = − ⇔ m = −2 GTNN = ⇔ m = ⇒− C©u : Chun vÕ quy ®ång ta ®ỵc x( y − x ) y( x − y ) M b®t ⇔ (1 + x )(1 + xy ) + (1 + y )(1 + xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( xy 1) xy Câu 4: a - Kẻ thêm đờng phụ - Chứng minh MD đờng kính (o) o E' F E F' D A B H I Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Sưu tầm => b Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1 HF = H2 AH AD HE.h1 MA ⇒ = BD BH HF h2 MB ⇔ ∆HEF (1) ∞ ∆DF ' E ' ⇒ HF h2 = HE.h Thay vµo (1) ta cã: MA AH AD = BD BH MB C©u 1: Cho biĨu thøc D = §Ị 12  a+ b a + b + 2ab  a + b  +   : 1 + + ab   − ab ab a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2 c) Tìm giá trị lớn D 2 Câu 2: Cho phơng trình x2- mx + 2− m2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoà m·n 1 + = x1 + x x1 x Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân gi¸c AI, biÕt AB = c, AC = b, Chøng minh r»ng AI = 2bc.Cos b +c α ˆ A = α(α = 90 ) (Cho Sin2 α = 2SinCos ) Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho NA NB Vễ vào đờng tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c NAB Chøng minh tø gi¸c ABMI néi tiÕp c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Su tm HÃy tính giá trị của: B= xy zx xyz + + z y x Đáp án a Câu 1: a) - Điều kiện xác định cđa D lµ  b ≥  ab ≠  - Rót gän D D= D=  a + 2b a   a + b + ab   :  − ab    − ab  a a +1 b) a = 2+ VËy D = = 2( + = ( + 1) ⇒ a = + 1 +2 3 −2 = 4− +1 c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có a a +1 D Vậy giá trị D Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) x + x − = ⇔ x + 2x − = 2  x1 = − − 10 ⇒  x2 = − + 10 b) Để phơng trình có nghiệm ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ m + 4m − ≠ ( ) + Để phơng trình có nghiệm kh¸c  m1 ≠ − − *  ⇒  m2 ≠ − +  ⇔ 1 + + = x + x ⇔ ( x + x )( x x − 1) = ⇔ 2 12 x1 x2  x1 + x2 =   x1x2 − = * ( ) Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Sưu tầm  m=  2m =  ⇔  ⇔  m −= − 19  m + 8m − =   m −= + 19 Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = Câu 3: + S ABI = m = −4 − 19 α AI cSin ; 2 A α + S ∆AIC = AI bSin ; 2 + S ∆ABC = bcSinα; S ∆ABC = S ∆ABI + S ∆AIC ⇒ bcSinα = AISin ⇒ AI = C©u 4: b) a α (b + c) bcSinα = α Sin (b + c) ) ) ⇒ QA = QB α 2bcCos b+c α 2 B α ˆ ˆ a) N1 = N Gäi Q = NP Suy Q cố định I b C c (O) ˆ ˆ A1 = M ( = A2 ) Tứ giác ABMI nội tiếp c) Trên tia đối cđa QB lÊy ®iĨm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF ABF vuông A B = 45 ⇒ AFB = 45 ˆ ˆ L¹i cã P1 = 45 ⇒ AFB = P1 ⇒ Tø gi¸c APQF néi tiÕp ⇒ ˆ ˆ APF = AQF = 90 2 ˆ ˆ Ta cã: APF + APM = 90 + 90 M1,P,F Thẳng hàng Câu 5: Biến đổi B = xyz N A = 180  1  + + x y z  M I 1 P  =2  =  = xyz  xyz  Q F B Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tm Đề 13 Bài 1: Cho biểu thức A = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   1 − x −1÷   x − 4( x − 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = cã nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài : Cho số dơng x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn x2 + y2 ≥ x3 + y4 Chøng minh: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y ≤ Tài liệu ụn thi toỏn vo lp 10 Su tm Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mÃn x ≠   x − 4( x − 1) ≥   x + 4( x − 1) ≥   x − 4( x − 1) > ⇔ x ≠ x ≥   x ≥ x ≠  ⇔ x > vµ x ≠ KL: A xác định < x < x > b) Rót gän A A= ( x − − 1)2 + ( x − + 1)2 x − x −1 ( x − 2)2 x −1 −1 + x −1 +1 x − x −2 x −1 Víi < x < A= 1− x A= Víi x > A= x −1 KÕt luËn Víi < x < th× A = Víi x > th× A = 1− x x −1 Bµi 2: a) A B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có d¹ng y = ax + b A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sö M (x, 0) ∈ xx’ ta cã MA = ( x − 5)2 + (0 − 2)2 MB = ( x − 3)2 + (0 + 4)2 ∆MAB c©n ⇒ MA = MB ⇔ ( x − 5)2 + = ( x − 3)2 + 16 ⇔ (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng Ta lại có: m = 0; < loại Ti liệu ơn thi tốn vào lớp 10 m = th× ∆ = = nhËn m ≥ th× 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ ∆ - (2m2 - 2m - 5) < ∆ < ∆ + 4m + ⇔ m4 - 2m + < ∆ < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < ∆ < (m2)2 ∆ kh«ng phơng Vậy m = giá trị cần tìm Su tm Bài 4: A F E » · · a) EAD = EFD(= sd ED) (0,25) » B · · FAD = FDC(= sd FD ) (0,25) · · · · mµ EDA = FAD ⇒ EFD = FDC (0,25) D ⇒ EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) » ằ b) AD phân giác góc BAC nên DE = DF 1 à ẳ ằ ằ à sđ ACD = s®( AED − DF ) = s® AE = s® ADE 2 · · · · ®ã ACD = ADE vµ EAD = DAC ⇒ ∆DΑΕ ∼ ∆ADC (g.g) » 1 · ¼ » ẳ ằ à à à Tơng tự: sđ ADF = sd AF = sd ( AFD − DF ) = (sd AFD − DE ) = sd ABD ⇒ ADF = ABD 2 ®ã ∆AFD ~ →ΑΒ (g.g c) Theo trªn: + ∆AED ~ ∆ΑDB AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AB AD ⇒ ⇒ AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + ≥ ⇒ 2y3 ≤ y4 + y2 ⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 ≤ x2 + y3 ®ã x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ ⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x2 + y2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ (y - 1)(y3 -1) ≥ C Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Sưu tầm x -x -x+1+y -y-y +1≥0 ⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒x+y≤2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y ≤ §Ị 14 C©u 1: x- 4(x-1) + x+ 4(x-1) cho A= (1- ) x - 4(x-1) x-1 a/ rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 tho· m·n mét ®iỊu kiƯn sau: a/ NghiƯm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 4: tìm max biểu thức: x2+3x+1 x2+1 Câu 5: Từ đỉnh A hình vuông ABCD kẻ hai tia t¹o víi mét gãc 45 Mét tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM hớng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x2 x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 A= x-2 ( (x-2) x-1 + x- 2 x- = x-1 x-1 x- -1 + = x-2 b/ Để A nguyên x- ớc dơng vµ ) x-1 2 = x-1 Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm * x- =1 x=0 loại * x- =2 th× x=5 vËy víi x = th× A nhËn giá trị nguyên Câu 2: Ta có x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt vµchØ m≤-7-4 vµ m≥-7+4 (*) a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoà m·n (*) b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2) x1x2 =-m+6 (3) giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mÃn (*) Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 2 3m -1≠-2 3m ≠-1 m=±1/2 m=±1/2 ∀m *Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0 3m -1= -2 m=1/2 Vô nghiệm Không có giá trị m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với x(vì x2+10) x2+3x+1 gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiÖm *y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 -2 ≤ y0 ≤ VËy: ymin=-2 vµ y max=4 Câu 5: A Giải a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới góc 450 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc FQE = ∠ ABE =1v chøng minh t¬ng tù ta cã ∠ FBE = 1v ⇒ Q, P, C cïng n»m trªn đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân AE AQ = AF = AB B M P E Q (1) D t¬ng tù ∆ APF ⇒ (y0-1)2≤ suy vuông cân (2) F C Ti liu ụn thi tốn vào lớp 10 Sưu tầm tõ (1) vµ (2) ⇒ AQP ~ AEF (c.g.c) S AEF = ( )2 hay SAEF = 2SAQP S AQP c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ ∠ APD= ∠ CPD ⇒ ∠ MCD= ∠ MPD= ∠ APD= ∠ CPD= ∠ CMD MD=CD MCD MPD=600 mà MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã ∠ APB=450 MAB=600-450=150 Đề 15 Bài 1: Cho biểu thức M = x −9 x −5 x + + x +1 x −3 + x +3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)tìm x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà mÃn Chứng ming r»ng: 2x + y + z + x + 2y + z + x + y + z =4 ≤1 x + y + 2z b Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: B = x − x + 2006 x2 (víi x ≠ ) ˆ Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xAy = 45 Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn APQ b S AEF = S Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết CPD = CMD Bài 5: (1đ) Cho ba số a, b , c kh¸c tho· m·n: 1 + + =0 a b c đáp án Bài 1:M = a.§K x −9 x −5 x + + x +1 x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x −3 + x +3 2− x 0,5® ; H·y tÝnh P = ac bc ac + + c2 a2 b2 ... +4 )+1 ] +2 [(x 2+5 x +4 )-1] = (x 2+5 x +3 )(x 2+5 x +7 ) 3) a10+a 5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1 )+ a3(a2 +a+1 )+ (a2 +a+1)-a7(a2... 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x 2+5 x +4 )(x2 + 5x+6)-3= [x 2+5 x +4 ][(x2 + 5x+4 )+2 ]-3 = (x 2+5 x +4 )2 + 2(x 2+5 x +4 )-3=(x 2+5 x +4 )2 - 1+ 2(x 2+5 x +4 )-2 = [(x 2+5 x +4 )-1][(x 2+5 x +4 )+1 ]... = = 1 1 + + + .+ 3+ 5+ 7+ 97 + 99 ( − + − + − + .+ 99 − 97 )= ( 99 − )     35 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  = 99 sè =33 +2 +3 3 3+2 +3 33 3+2 + .+ 333 3 3+2 = 2.99 + ( 3 3+3 3 3+3 33 3+ +3 33 33)