Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Hải Sơn ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHƠNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Ngành: TỐN HỌC Mã số: 9460101 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2019 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Toàn TS Bùi Trọng Kiên Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 3: TS Nguyễn Huy Chiêu Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ……… Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam Mở đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) có nhiều ứng dụng kinh tế, học lĩnh vực khoa học khác Nó phát triển mạnh mẽ có hệ thống từ năm cuối thập niên 50, hai nguyên lý thiết lập: nguyên lý cực đại Pontryagin nguyên lý quy hoạch động Bellman Cho đến nay, lý thuyết ĐKTƯ phát triển theo nhiều hướng khác ĐKTƯ không trơn, ĐKTƯ rời rạc, ĐKTƯ cho phương trình vi phân thường (ODEs), ĐKTƯ cho phương trình đạo hàm riêng (PDEs), Trong thập kỉ gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu định tính cho tốn ĐKTƯ cho ODEs, PDEs đạt nhiều kết quan trọng Một kết việc đưa điều kiện tối ưu cho toán ĐKTƯ Điều kiện tối ưu bậc hai tốn ĐKTƯ cho phương trình elliptic chủ đề hấp dẫn nhà nghiên cứu Chủ đề có giá trị lý thuyết ứng dụng Các điều kiện cần bậc hai cung cấp tiêu chuẩn để loại điểm dừng không điểm cực trị, mà cịn giúp việc xây dựng điều kiện đủ cho điểm dừng điểm cực trị toán Các điều kiện đủ bậc hai đóng vai trị quan trọng giải số cho tốn tối ưu phi tuyến, phân tích thuật tốn bậc hai nghiên cứu tính ổn định ĐKTƯ Chúng ta điểm lại số kết chủ đề Đối với toán điều khiển phân tán, tức biến điều khiển tác động miền Ω không gian Rn , E Casas, T Bayen cộng đưa điều kiện cần đủ bậc hai cho toán với ràng buộc điều khiển, tức a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Ω, (1) với u biến điều khiển ràng buộc trạng thái Đặc biệt, E Casas thiết lập điều kiện đủ bậc hai cho toán điều khiển Dirichlet toán điều khiển Neumann với ràng buộc (1) hàm mục tiêu không chứa biến iu khin u Hn na, C Meyer v F Trăoltzsch đạt điều kiện đủ bậc hai cho toán Robin với ràng buộc hỗn hợp dạng tuyến tính a(x) ≤ λy (x)+u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Ω với y biến trạng thái hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Đối với toán điều khiển biên, tức biến điều khiển u tác động biên Γ , E Casas, F Trăoltzsch v cỏc cng s đưa điều kiện cần đủ bậc hai với ràng buộc điều khiển điểm, tức a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Nm 2006, A Răosch v F Trăoltzsch ó a điều kiện đủ bậc hai cho toán với ràng buộc hỗn hợp tuyến tính phía c(x) ≤ u(x) + γ (x)y (x) h.k x ∈ Γ Lưu ý kết trên, hàm a, b thuộc không gian L∞ Bởi vậy, biến điều khiển u thuộc L∞ Điều dẫn đến nhân tử Lagrange phải thuộc không gian đối ngẫu (L∞ )∗ Tuy nhiên, biết việc miêu tả không gian đối ngẫu (L∞ )∗ không hiển không gian đối ngẫu (Lp )∗ , ≤ p < ∞ Gần đây, B T Kien cộng thiết lập điều kiện cần bậc hai toán điều khiển phân tán Dirichlet với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) a.e x ∈ Ω, a, b ∈ Lp (Ω), < p < ∞ ràng buộc trạng thái Điều thúc đẩy nghiên cứu phát triển toán sau: (OP 1) : Thiết lập điều kiện cần bậc hai toán điều khiển biên Robin với ràng buộc hỗn hợp điều khiển–trạng thái dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Γ, a, b ∈ Lp (Γ), < p < ∞; (OP 2) : Đưa điều kiện đủ bậc hai toán ĐKTƯ với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái hàm mục tiêu không phụ thuộc vào biến điều khiển Giải toán (OP 1) (OP 2) mục tiêu luận án Sau điều kiện cần đủ bậc hai thiết lập, chúng so sánh với Theo J F Bonnans, khác điều kiện cần điều kiện đủ bậc hai tính chặt khơng chặt bất đẳng thức ta nói điều kiện tối ưu không cách biệt đạt Việc đưa điều kiện tối ưu bậc hai mà khơng có khoảng cách điều kiện cần điều kiện đủ tốn khó Năm 1998, J F Bonnans thiết lập điều kiện tối ưu bậc hai khơng cách biệt cho tốn ĐKTƯ với ràng buộc điều khiển hàm mục tiêu toàn phương theo biến trạng thái y biến điều khiển u Kết đưa dựa tính chất đa diện (polyhedric) tập ràng buộc lý thuyết dạng Legendre Tuy nhiên, tốn sau chưa có lời giải: (OP 3) : Tìm điều kiện tối ưu không cách biệt tốn ĐKTƯ cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điểm Giải toán (OP 3) mục tiêu thứ hai luận án Tính ổn định nghiệm tốn ĐKTƯ chủ đề quan trọng tối ưu phương pháp số Nghiên cứu tính ổn định nghiệm đánh giá tính chất liên tục ánh xạ nghiệm theo tham số, tính nửa liên tc di, na liờn tc trờn, liờn tc Hăolder, liờn tục Lipschitz Theo hướng này, xét tốn sau:  F (y, u, µ) → inf, P (µ, λ) (2) (y, u) ∈ Φ(λ), y ∈ Y, u ∈ U biến trạng thái điều khiển; µ ∈ Π, λ ∈ Λ tham số, F : Y × U × Π → R hàm mục tiêu khơng gian Banach Y × U × Π Φ(λ) tập ràng buộc (tập chấp nhận được) toán Chúng ta biết hàm mục tiêu F (·, ·, µ) lồi mạnh, tập ràng buộc Φ(λ) lồi, ánh xạ nghiệm tốn (2) đơn trị Hơn nữa, A Dontchev số điều kiện, ánh xạ nghiệm liên tục Lipschitz theo tham số Bằng việc sử dụng kĩ thuật định lý hàm ẩn, K Malanowski chứng minh ánh xạ nghiệm toán (2) hàm liên tục Lipschitz theo tham số điều kiện tối ưu bậc hai yếu ràng buộc chuẩn tắc thỏa mãn điểm tham chiếu Khi điều kiện không thỏa mãn, ánh xạ nghiệm nói chung khơng đơn trị Trong trường hợp này, phải sử dụng cơng cụ giải tích đa trị giải tích biến phân để giải tốn Năm 2012, B T Kien cộng đạt tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm cho toán ĐKTƯ chứa tham số trường hợp hàm mục tiêu lồi theo hai biến tập ràng buộc lồi Gần đây, tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm đưa B T Kien V H Nhu cho toán, mà hàm mục tiêu khơng lồi theo hai biến tập ràng buộc không lồi Chú ý tác giả xét tốn cho phương trình vi phân thường phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều khiển phân tán Từ đó, nhận thấy cần nghiên cứu toán sau: (OP 4) : Thiết lập điều kiện đủ cho ánh xạ nghiệm toán điều khiển biên chứa tham số nửa liên tục liên tục Đưa lời giải cho toán (OP 4) mục tiêu thứ ba luận án Tóm lại, mục tiêu luận án nghiên cứu điều kiện tối ưu không cách biệt tính ổn định nghiệm tốn ĐKTƯ cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điểm Cụ thể, nội dung luận án tập trung vào: (i) Thiết lập điều kiện cần bậc hai cho toán điều khiển biên với biến điều khiển thuộc Lp (Γ), ≤ p < ∞; (ii) Thiết lập điều kiện đủ bậc hai toán điều khiển phân tán tốn điều khiển biên hàm mục tiêu có dạng toàn phương theo biến điều khiển, điều kiện tối ưu không cách biệt đạt trường hợp này; (iii) Đưa điều kiện đủ bậc hai cho toán điều khiển phân tán toán điều khiển biên hàm mục tiêu độc lập với biến điều khiển u, điều kiện tối ưu không cách biệt chưa đạt trường hợp này; (iv) Đưa điều kiện đủ cho toán điều khiển biên chứa tham số cho ánh xạ nghiệm nửa liên tục liên tục theo tham số Ngồi lời nói đầu danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm bốn chương: • Chương trình bày số khái niệm kết giải tích biến phân, khơng gian Sobolev phương trình đạo hàm riêng; • Chương trình bày kết điều kiện tối ưu không cách biệt tốn điều khiển phân tán; • Chương trình bày kết điều kiện tối ưu khơng cách biệt tốn điều khiển biên Các kết Chương Chương câu trả lời cho toán (OP 1), (OP 2) (OP 3); • Chương trình bày kết tính nửa liên tục tính liên tục ánh xạ nghiệm cho toán điều khiển biên chứa tham số Đây lời giải cho tốn (OP 4) Các kết luận án nội dung ba báo công bố tạp chí SIAM Journal on Optimization, Set-Valued and Variational Analysis Optimization Các kết trình bày tại: • Hội nghị Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 11-2016 • Hội nghị Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ XV, Ba Vì, 04-2017 • Hội nghị Tính tốn Hiệu cao lần thứ 7, Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn (VIASM), 03-2018 • Đại hội Tốn học tồn quốc, Nha Trang, 08-2018 • Xê-mi-na "Tối ưu Điều khiển" Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chương Điều kiện tối ưu không cách biệt toán điều khiển phân tán Cho Ω miền bị chặn RN với N ≥ biên Γ thuộc lớp C Chúng ta xét tốn điều khiển phân tán: Tìm hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω) hàm trạng thái y ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) làm cực tiểu hóa hàm mục tiêu F (y, u) = L(x, y (x), u(x))dx, (1.1) Ω (DP ) cho − ∆y + h(x, y ) = u Ω, y=0 Γ, a(x) ≤ g (x, y (x)) + λu(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Ω, (1.2) (1.3) L : Ω ×R×R → R g : Ω ×R → R hàm Carathéodory; h : Ω ×R → R hàm liên tục thuộc lớp C biến thứ hai cho h(x, 0) = hy (x, y ) ≥ h.k x ∈ Ω y ∈ R; a, b ∈ Lp (Ω) λ = số Chúng ta giả sử p > N2 1.1 1.1.1 Điều kiện cần bậc hai Bài toán tối ưu Cho U không gian Banach E không gian Banach khả ly với không gian đối ngẫu U ∗ E ∗ tương ứng Chúng ta xét toán sau (P ) f (u) cho G(u) ∈ K, u∈U đó, K tập lồi, đóng, khác rỗng E ; G : U → E f : U → R hàm khả vi Frechét bậc hai U Kí hiệu Φad := G−1 (K ) tập ràng buộc toán (P ) Định nghĩa 1.1.1 Một hàm u¯ ∈ Φad gọi nghiệm tối ưu địa phương toán (P ) tồn ε > cho f (u) ≥ f (¯ u) ∀u ∈ BU (¯ u, ) ∩ Φad Với điểm u¯ ∈ Φad cho trước, ta nói tốn (P ) thỏa mãn điều kiện Robinson u ¯ tồn ρ > cho BE (0, ρ) ⊂ ∇G(¯ u)(BU ) − (K − G(¯ u)) ∩ BE (1.4) Trong trường hợp này, ta nói u¯ điểm quy Xét hàm Lagrange toán (P ): L(u, e∗ ) = f (u) + e∗ , G(u) với e∗ ∈ E ∗ Kí hiệu Λ(¯ u) tập gồm nhân tử e∗ ∈ E ∗ thỏa mãn ∇u L(¯ u, e∗ ) = ∇f (¯ u) + ∇G(¯ u)∗ e∗ = 0, e∗ ∈ N (K, G(¯ u)) Tập Λ(¯ u) tập lồi, khác rỗng compact yếu* E ∗ Để thiết lập điều kiện bậc hai, cần nón tới hạn u¯: C (¯ u) := {d ∈ U | ∇f (¯ u), d ≤ 0, ∇G(¯ u)d ∈ T (K, G(¯ u))} Tập K gọi đa diện z¯ ∈ K với v ∗ ∈ N (K, z¯), ta có T (K, z¯) ∩ (v ∗ )⊥ = cl[cone(K − z¯) ∩ (v ∗ )⊥ ], (v ∗ )⊥ = {v ∈ E | v ∗ , v = 0} Hơn nữa, tốn (P ) nói thỏa mãn điều kiện đa diện mở rộng mạnh (strongly extended polyhedricity) u¯ ∈ Φad tập C0 (¯ u) trù mật C (¯ u), C0 (¯ u) := {d ∈ C (¯ u) | ∇G(¯ u)d ∈ cone(K − G(¯ u))} Bổ đề 1.1.3.1 Giả sử u¯ điểm quy, mà điều kiện polyhedricity mở rộng mạnh thỏa mãn Nếu u¯ nghiệm tối ưu địa phương toán (P ), với d ∈ C (¯ u), tồn nhân tử e∗ ∈ Λ(¯ u) cho ∇2uu L(¯ u, e∗ )(d, d) = ∇2 f (¯ u)(d, d) + e∗ , ∇2 G(¯ u)(d, d) ≥ 1.1.2 Điều kiện cần bậc hai cho toán điều khiển tối ưu Cặp (¯ y, u ¯) thỏa mãn ràng buộc (1.2)–(1.3), gọi chấp nhận toán (DP ) Với cặp (¯ y, u ¯) cho trước, kí hiệu g [x], h[x], L[x], Ly [x], L[·], , thay cho g (x, y¯(x), u¯(x)), h(x, y¯(x)), L(x, y¯(x), u¯(x)), Ly (x, y¯(x), u¯(x)), L(·, y¯(·), u ¯(·)), Definition 1.1.4 Một cặp chấp nhận (¯ y, u ¯) gọi nghiệm tối ưu địa phương (DP ) tồn > cho với cặp chấp nhận (y, u) thỏa mãn y − y¯ W 2,p (Ω) + u − u¯ Lp (Ω) ≤ , ta có F (y, u) ≥ F (¯ y, u ¯) J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York Chúng ta đưa số giả thiết sau cho toán (DP ) (A1.1) L : Ω × R × R → R hàm Carathéodory thuộc lớp C (y, u), L(x, 0, 0) ∈ L1 (Ω) với M > 0, tồn số dương kLM hàm rM ∈ L∞ (Ω) cho |Ly (x, y, u)| + |Lu (x, y, u)| ≤ kLM |y| + |u|p−1 + rM (x), |Ly (x, y1 , u1 ) − Ly (x, y2 , u2 )| ≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), |u1 − u2 |p−1−j |u2 |j , |Lu (x, y, u1 ) − Lu (x, y, u2 )| ≤ kLM j=0,p−1−j>0 Lyy (x, y1 , u1 ) − Lyy (x, y2 , u2 ) ≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), Lyu (x, y1 , u1 ) − Lyu (x, y2 , u2 ) ≤ kLM (|y1 − y2 | + ε|u1 − u2 |p−1 ) với ε = < p ≤ ε = p >  = |Luu (x, y, u1 ) − Luu (x, y, u2 )| ≤ kLM < p ≤ 2, j=0,j với h.k x ∈ Ω y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, (A1.2) Hàm g liên tục thuộc lớp C biến thứ hai thỏa mãn tính chất: g (·, 0) ∈ Lp (Ω) với M > 0, tồn số Cg,M > cho gy (x, y ) + gyy (x, y ) ≤ Cg,M , gy (x, y1 ) − gy (x, y2 ) + gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 ) ≤ Cg,M |y2 − y1 | với h.k x ∈ Ω |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M (A1.3) λ = λhy [x] + gy [x] ≥ h.k x ∈ Ω λ Với u ∈ Lp (Ω), phương trình (1.2) có nghiệm yu ∈ W 2,p (Ω)∩W01,p (Ω) tồn số C > cho yu W 2,p (Ω) ≤C u Lp (Ω) Ánh xạ H : W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) × Lp (Ω) → Lp (Ω) xác định H (y, u) = −∆y + h(·, y ) − u Khi đó, H thuộc lớp C quanh (¯ y, u ¯) đạo hàm (¯ y, u ¯) cho ∇H (¯ y, u ¯) = (−∆ + hy [·], −I ), ∇2 H (¯ y, u ¯) = hyy [·] 0 ¯ Bởi vậy, hy [·] ∈ L∞ (Ω) Do đó, với u ∈ Lp (Ω), Vì p > N/2 nên y¯ = y (¯ u) ∈ C (Ω) phương trình sau có nghiệm z ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω): −∆z + hy (·, y¯)z = u Ω, z=0 Γ Điều dẫn tới toán tử A := ∇y H (¯ y, u ¯) = −∆ + hy (·, y¯) song ánh Bởi định lý hàm ẩn, tồn lân cận Y0 y¯, lân cận U0 u¯ ánh xạ ζ : U0 → Y0 cho H (ζ (u), u) = với u ∈ U0 Hơn nữa, ζ thuộc lớp C đạo hàm cho cơng thức sau Bổ đề 1.1.9 Giả sử ζ : U0 → Y0 ánh xạ điều khiển-trạng thái, xác định ζ (u) = yu Khi đó, ζ thuộc lớp C với u ∈ U0 , v ∈ Lp (Ω), zu,v := ζ (u)v nghiệm phương trình tuyến tính hóa  −∆z + h (·, y )z = v Ω, u,v y u u,v (1.11) zu,v = Γ Nói cách khác, ζ (¯ u) = A−1 Hơn nữa, với v1 , v2 ∈ Lp (Ω), zu,v1 v2 := ζ (u)(v1 , v2 ) nghiệm phương trình  −∆z u,v1 v2 + hy (·, yu )zu,v1 v2 + hyy (·, yu )zu,v1 zu,v2 = zu,v v = Γ Ω, (1.12) Đặt U = E = Lp (Ω) K := {v ∈ Lp (Ω)| a(x) ≤ v (x) ≤ b(x) h.k x ∈ Ω} Khi đó, từ Bổ đề 1.1.8, ta thấy (¯ y, u ¯) nghiệm tối ưu địa phương (DP ) u¯ nghiệm tối ưu địa phương toán dạng với toán (P ) sau đây: f (u) := F (ζ (u), u) → inf cho G(u) ∈ K, (1.13) (1.14) G(u) := g (·, ζ (u)) + λu Kí hiệu Φp := G−1 (K ) tập ràng buộc (1.13)– (1.14), tức Φp = {u ∈ Lp (Ω) | G(u) ∈ K} Định nghĩa 1.1.10 Hàm u¯ ∈ Φp gọi nghiệm tối ưu địa phương (1.13)– (1.14) tồn ε > cho f (u) ≥ f (¯ u) ∀u ∈ BU (¯ u, ) ∩ Φp Hàm Lagrange toán (1.13)–(1.14) L(u, e∗ ) = f (u)+ e∗ , G(u) = e∗ (g (·, ζ (u))+λu)dx, e∗ ∈ Lp (Ω), L(x, ζ (u), u)dx+ Ω Ω (B 1.2) Hàm ϕ : Ω × R → R hàm Carathéodory thuộc lớp C biến thứ hai, ϕ(x, 0) ∈ L1 (Ω) với M > 0, tồn số Cϕ,M > hàm ϕM ∈ L2 (Ω) cho ∂ϕ ∂ 2ϕ (x, y ) ≤ ϕM (x), (x, y ) ≤ Cϕ,M ∂y ∂y h.k x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M Hơn nữa, với > 0, tồn số δ > cho ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ (x, y1 ) − (x, y2 ) < ∂y ∂y h.k x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ (B 1.3) Hàm g : Ω × R → R hàm liên tục thuộc lớp C biến thứ hai, g (·, 0) ∈ L2 (Ω) với M > 0, tồn số Cg,M > hàm gM ∈ L2 (Ω) cho ∂ 2g ∂g (x, y ) ≤ gM (x), (x, y ) ≤ Cg,M ∂y ∂y h.k x ∈ Ω, ∀y ∈ R |y| ≤ M Hơn nữa, với M > > 0, tồn δ > cho ∂ 2g ∂ 2g (x, y1 ) − (x, y2 ) < ∂y ∂y h.k x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ (B 1.4) α, β ∈ L∞ (Ω) β (x) ≥ h.k x ∈ Ω Hơn βa ∈ L∞ (Ωa ), βb ∈ L∞ (Ωb ) (1.26) Chú ý (1.26) xảy điều kiện sau thỏa mãn: (i) a, b ∈ L∞ (Ω); (ii) u¯ ∈ L∞ (Ω); (iii) β = Dựa theo Casas, mở rộng C2 (¯ u) thành nón tới hạn sau  ≥ if x ∈ Ω , a τ C2 (¯ u) = v ∈ L (Ω) | ∇u f (¯ u), v ≤ τ zu¯,v , gy [x]zu¯,v (x)+λv (x) ≤ if x ∈ Ωb Rõ ràng C2 (¯ u) = C20 (¯ u) C2 (¯ u) ⊂ C2τ (¯ u) với τ > Định lý 1.2.4 Giả sử giả thiết (A1.3) (B 1.1) − (B 1.4) thỏa mãn tồn nhân tử e∗ ∈ L2 (Ω), φ¯ ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω) để điều kiện (1.17) (1.18) Khi đó, tồn số γ, τ > để u, e∗ )(v, v ) ≥ γ zu¯,v ∇2uu L(¯ 2 ∀v ∈ C2τ (¯ u), tồn ρ, r > cho f (u) ≥ f (¯ u) + r zu¯,u−¯u 2 11 ∀u ∈ BL2 (Ω) (¯ u, ρ) ∩ Φ2 Chương Điều kiện tối ưu không cách biệt toán điều khiển biên Cho Ω miền bị chặn RN với biên Γ thuộc lớp C 1,1 N ≥ Chúng ta xét tốn điều khiển biên: Tìm u ∈ Lq (Γ) y ∈ W 1,r (Ω) làm cực tiểu hóa hàm (BP ) cho F (y, u) = L(x, y (x))dx + Ω  Ay + h(x, y ) = Ω ∂ν y + b0 y = u Γ, (x, y (x), u(x))dσ, (2.1) Γ a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) h.k x ∈ Γ, (2.2) (2.3) L, h : Ω × R → R : Γ × R × R → R hàm Carathéodory; g : Γ × R → R liên tục; a, b ∈ Lq (Γ), a(x) < b(x) h.k x ∈ Γ, b0 ∈ L∞ (Γ), b0 ≥ 0; A toán tử elliptic bậc hai mạnh dạng N Ay (x) = Dj (aij (x)Di y (x)) + a0 (x)y (x); i,j=1 ¯ thỏa mãn aij (x) = aji (x), a0 ∈ L∞ (Ω), a0 (x) ≥ h.k x ∈ Ω, hệ số aij ∈ C 0,1 (Ω) N a0 ≡ tồn m > cho: m ξ ≤ i,j=1 aij ξi ξj ∀ξ ∈ RN với h.k x ∈ Ω ∂ν đạo hàm đối pháp tuyến liên kết với A Hơn nữa, giả sử 1 1 > > 1− N r q N 2.1 (2.4) Bài toán điều khiển tối ưu Cho Y, U, V E không gian Banach khả ly phản xạ với không gian đối ngẫu Y ∗ , U ∗ , V ∗ E ∗ Xét toán sau: Min F (y, u), (2.5) cho H (y, u) = 0, (2.6) G(y, u) ∈ K, (2.7) F : Y × U → R, H : Y × U → V , G : Y × U → E ánh xạ cho trước K tập lồi, đóng, khác rỗng E 12 Đặt Z := Y × U , Q := {z = (y, u) ∈ Z | H (y, u) = 0} Φad := Q ∩ G−1 (K ) Một cặp (¯ y, u ¯) ∈ Φad gọi nghiệm tối ưu địa phương (2.5)–(2.7) tồn > cho với (y, u) ∈ Φad , y − y¯ Y + u − u¯ U ≤ , ta có F (y, u) ≥ F (¯ y, u ¯) Với z¯ = (¯ y, u ¯) ∈ Φad cho trước, đưa giả thiết sau: (H 2.1) Các ánh xạ F, H, G thuộc lớp C quanh z¯ (H 2.2) ∇y H (¯ z ) : Y → V song ánh (H 2.3) Điều kiện quy đạt z¯, tức tồn δ > thỏa mãn ∈ int ∇G(¯ z )(T (Q, z ) ∩ BZ ) − (K − G(¯ z )) ∩ BE (2.8) z∈BZ (¯ z ,δ)∩Q (H 2.4) ∇G(¯ z )(T (Q, z¯)) = E Định nghĩa 2.1.3 Một cặp z = (y, u) gọi hướng tới hạn toán (2.5)–(2.7) z¯ = (¯ y, u ¯) điều kiện sau thỏa mãn: (i) Fy (¯ z )y + Fu (¯ z )u ≤ 0; (ii) Hy (¯ z )y + Hu (¯ z )u = 0; (iii) ∇G(¯ z )z ∈ T (K, G(¯ z )) Tập hướng tới hạn kí hiệu C (¯ z ) Hàm Lagrange toán (2.5)–(2.7) L(z, e∗ , v ∗ ) := F (z ) + v ∗ , H (z ) + e∗ , G(z ) , (2.9) z = (y, u) ∈ Z, e∗ ∈ E ∗ , v ∗ ∈ V ∗ Cho z¯ điểm chấp nhận tốn (2.5)–(2.7) kí hiệu Λ(¯ z ) ∗ ∗ ∗ ∗ tập nhân tử Lagrange (e , v ) ∈ E × V thỏa mãn ∇z L(¯ z , e ∗ , v ∗ ) = 0, e∗ ∈ N (K, G(¯ z )) Bổ đề 2.1.4 Giả sử giả thiết (H 2.1) − (H 2.3) thỏa mãn z¯ nghiệm tối ưu địa phương tốn (2.5)–(2.7) Khi đó, Λ(¯ z ) tập khác rỗng bị chặn Hơn nữa, (H 2.4) thỏa mãn Λ(¯ z ) có phần tử Khi K polyhedric G(¯ z ), có kết sau Bổ đề 2.1.5 Giả sử giả thiết (H 2.1)–(H 2.4) thỏa mãn z¯ nghiệm tối ưu địa phương tốn (2.5)–(2.7) Khi đó, tập hướng tới hạn C (¯ z ) thỏa mãn C (¯ z ) = {d ∈ Z | ∇F (¯ z )d = 0, ∇H (¯ z )d = 0, ∇G(¯ z )d ∈ T (K, G(¯ z ))} Hơn nữa, K polyhedric G(¯ z ) C (¯ z ) = C0 (¯ z ), C0 (¯ z ) := (∇F (¯ z ))⊥ ∩ Ker∇H (¯ z ) ∩ ∇G(¯ z )−1 (cone(K − G(¯ z ))) 13 Định lý 2.1.7 Cho z¯ nghiệm tối ưu địa phương toán (2.5)-(2.7) Giả sử giả thiết (H 2.1)–(H 2.4) thỏa mãn K polyhedric G(¯ z ) Khi đó, tồn (e∗ , v ∗ ) ∈ Λ(¯ z ) cho ∇2zz L(¯ z , e∗ , v ∗ )(d, d) = ∇2 F (¯ z )d2 + e∗ , ∇2 G(¯ z )d2 + v ∗ , ∇2 H (¯ z )d2 ≥ với d ∈ C (¯ z ) 2.2 Điều kiện cần bậc hai Định nghĩa 2.2.1 Cặp chấp nhận (¯ y, u ¯) gọi nghiệm tối ưu địa phương (BP ) tồn > cho với cặp chấp nhận (y, u) thỏa mãn y − y¯ W 1,r (Ω) + u − u¯ Lq (Γ) ≤ , ta có F (y, u) ≥ F (¯ y, u ¯) Chúng ta đưa số giả thiết cho tốn (BP ): (A2.1) L : Ω × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến thứ hai, L(x, 0) ∈ L1 (Ω) với M > 0, tồn số dương kLM cho |Ly (x, y )| + |Lyy (x, y )| ≤ kLM , |Ly (x, y1 ) − Ly (x, y2 )| + Lyy (x, y1 ) − Lyy (x, y2 ) ≤ kLM |y1 − y2 | với h.k x ∈ Ω y, yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, (A2.2) : Γ × R × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến (y, u), (x, 0, 0) ∈ L1 (Γ) với M > 0, tồn số dương k M hàm rM ∈ L∞ (Γ) cho | y (x, y, u)| + | u (x, y, u)| ≤ k M |y| + |u|q−1 + rM (x), | y (x, y1 , u1 ) − y (x, y2 , u2 )| ≤ k M (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), | u (x, y1 , u1 ) − u (x, y2 , u2 )| ≤ k M |y1 − y2 | + |u1 − u2 |q−1−j |u2 |j , j≥0, q−1−j>0 yy (x, y1 , u1 ) − yy (x, y2 , u2 ) ≤ k M (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), yu (x, y1 , u1 ) − yu (x, y2 , u2 ) ≤ k M (|y1 − y2 | + εq |u1 − u2 |q−1 ), | uu (x, y1 , u1 ) − uu (x, y2 , u2 )| ≤ k M |y1 − y2 | + εq j≥0, q−2−j>0 |u1 − u2 |q−2−j |u2 |j với h.k x ∈ Γ y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2, εq = < q ≤ 2, εq = q > (A2.3) h : Ω × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến thứ hai, thỏa mãn tính chất sau h(·, 0) ∈ LN r/(N +r) (Ω), hy (x, y ) ≥ 14 h.k x ∈ Ω với M > 0, tồn số Ch,M > cho hy (x, y ) + hyy (x, y ) ≤ Ch,M , hyy (x, y1 ) − hyy (x, y2 ) ≤ Ch,M |y2 − y1 | với h.k x ∈ Ω |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M (A2.4) g : Γ × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến thứ hai, g (·, 0) ∈ Lq (Γ) h.k x ∈ Γ với M > 0, tồn số Cg,M > cho gy (x, y ) + gyy (x, y ) ≤ Cg,M , gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 ) ≤ Cg,M |y2 − y1 | với h.k x ∈ Γ |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M (A2.5) b0 (x) + gy [x] ≥ h.k x ∈ Γ Xét ánh xạ H : Z → V, H (z ) = H (y, u) := (Ay + h(x, y ); ∂ν y + b0 y − u), G : Z → E, G(z ) = G(y, u) := g (., y ) + u, tập hợp K := {v ∈ Lq (Γ) | a(x) ≤ v (x) ≤ b(x) h.k x ∈ Γ} Bài toán (BP ) đưa toán sau: cho Min F (z ) (2.14) H (z ) = 0, (2.15) G(z ) ∈ K (2.16) Kí hiệu Φq := Q ∩ G−1 (K ) tập ràng buộc tốn (2.14)-(2.16), Q := {z = (y, u) ∈ Z | H (z ) = 0} Chúng ta sử dụng Định lý 2.1.6 để thiết lập điều kiện cần bậc hai cho toán (BP ) Chúng ta cần với (A2.1)–(A2.4) giả thiết (H 2.1)-(H 2.4) thỏa mãn Bổ đề 2.2.2 Giả sử giả thiết (A2.1)–(A2.4) thỏa mãn Khi F, H G thuộc lớp C Bổ đề 2.2.3 Với giả thiết (A2.3), ∇y H (ˆ y, u ˆ) song ánh với (ˆ y, u ˆ) ∈ Z Bổ đề 2.2.4 Giả sử giả thiết (A2.3)–(A2.5) thỏa mãn Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) (Điều kiện quy) Với số δ > đó, ta có 0∈ z )(T (Q, z ) ∩ BZ ) − (K − G(¯ z )) ∩ BE ] ; [∇G(¯ z∈BZ (¯ z ,δ)∩Q (ii) ∇G(¯ z )(T (Q, z¯)) = Lq (Γ) 15 (2.18) Từ Bổ đề 2.2.2–2.2.4, giả thiết (H 2.1)-(H 2.4) thỏa mãn Hàm Lagrange toán (BP ) L(z, ψ, v ∗ ) = F (z ) + v ∗ H (z ) + ψG(z ) N L(·, y )dx + = Ω (·, y, u)dσ + Γ h(·, y )v1 dx − + Ω aij (·)Di yDj v1 + a0 (·)yv1 dx Ω i,j=1 (∂ν y + b0 y − u)v2 dσ + ∂ν yv1 dσ + Γ Γ (g (·, y ) + u)ψdσ, Γ v ∗ = (v1 , v2 ) ∈ V ∗ = W 1,r (Ω) × W r ,r (Γ), ψ ∈ Lq (Γ)∗ = Lq (Γ) Trong trường hợp v1 = φ, v2 = T φ, kí hiệu L(z, ψ, φ) := L(z, ψ, v ∗ ) = (·, y, u)dσ + L(x, y )dx + Ω Γ h(·, y )φdx Ω N aij (·)Di yDj φ + a0 (·)yφ dx + + Ω (b0 y − u)T φdσ + Γ i,j=1 (g (·, y ) + u)ψdσ Γ Xét ánh xạ đa trị K : Γ ⇒ R, xác định K(x) = [a(x), b(x)] h.k x ∈ Γ Khi đó, K = {v ∈ Lq (Γ) | v (x) ∈ K(x) h.k x ∈ Γ} Đặt Γa = {x ∈ Γ | G(¯ z )(x) = g (x, y¯(x)) + u ¯(x) = a(x)}, Γb = {x ∈ Γ | G(¯ z )(x) = g (x, y¯(x)) + u ¯(x) = b(x)} Định ngĩa 2.2.6 Cặp z = (y, u) ∈ W 1,r (Ω) × Lq (Γ) gọi hướng tới hạn toán (BP ) z¯ = (¯ y, u ¯) điều kiện sau thỏa mãn: (i) ∇F z )z = Ω (Ly [x]y (x)dx + Γ ( y [x]y (x) + u [x]u(x)) dσ ≤ 0;  (¯ − N D (a (·)D y ) + a (·)y + h [·]y = Ω, i y i,j=1 j ij (ii) ∂ν y + b0 y = u Γ;  ≥ h.k x ∈ Γ , a (iii) gy [x]y (x) + u(x) ≤ h.k x ∈ Γb Kí hiệu Cq (¯ z ) tập tất hướng tới hạn Định lý 2.2.7 Giả sử giả thiết (A2.1)-(A2.5) thỏa mãn z¯ nghiệm tối ưu địa phương tốn (BP ) Khi đó, tồn cặp (φ, ψ ) ∈ W 1,r (Ω) × Lq (Γ) với r ∈ (1, NN−1 ) cho khẳng định sau đúng: (i) Phương trình liên hợp:  A∗ φ + h [·]φ = −L [·] Ω, y y (2.21) ∂ν ∗ φ + b0 φ = − y [·] − gy [·]∗ ψ Γ, A 16 A∗ tốn tử liên hợp hình thức A, N ∂νA∗ φ = aij (x)Dj φ(x)νi (x); i,j=1 (ii) Điều kiện dừng theo u: ∇u L(¯ z , ψ, φ) = u [·] −φ+ψ =0 Γ; (2.22) (iii) Điều kiện bù với ψ : ψ (x)     ≤ ≥0    = h.k x ∈ Γa , (2.23) h.k x ∈ Γb , ngược lại; (iv) Điều kiện bậc hai không âm: ∇2zz L(¯ z , ψ, φ)(y, u)2 ≥ ∀z = (y, u) ∈ Cq (¯ z ), ∇2zz L(¯ z , ψ, φ)(y, u)2 = Lyy [x]y (x)2 + φhyy [x]y (x)2 dx Ω yy [x]y (x) + +2 yu [x]y (x)u(x) + uu [x]u(x) + ψ (x)gyy [x]y (x)2 dσ Γ 2.3 Điều kiện đủ bậc hai Xét toán (BP ) cho trường hợp p = hàm mục tiêu có dạng F (y, u) := [ϕ(x, y (x)) + α(x)u(x) + β (x)u2 (x)]dσ, L(x, y (x))dx + Ω (2.30) Γ ϕ : Γ × R → R hàm Carathéodory α, β ∈ L∞ (Γ) Chú ý p > N − 1, ta có N = Ngoài ra, cần giả thiết sau (A2.2) Hàm ϕ thỏa mãn giả thiết (A2.1) với ϕ thay cho L Γ thay cho Ω Hơn nữa, tồn γ > cho β (x) ≥ γ với h.k x ∈ Γ Định nghĩa 2.3.1 Hàm F gọi thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai z¯ ∈ Φ tồn > 0, δ > cho F (z ) ≥ F (¯ z ) + δ z − z¯ với z ∈ Φ2 thỏa mãn z − z¯ Z ≤ 17 Z Định lý 2.3.2 Giả sử giả thiết (A2.1), (A2.2) , (A2.3), (A2.4) thỏa mãn, N = 2, z¯ ∈ Φ2 , tồn nhân tử φ ∈ W 1,r (Ω), ψ ∈ L2 (Γ), r ∈ (1, 2) để điều kiện (2.21)– (2.23) Định lý 2.2.7 đúng, ∇2zz L(¯ z , ψ, φ)(d, d) > 0, ∀d ∈ C2 (¯ z ) \ {0} (2.31) Khi đó, F thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai z¯ Đặc biệt, z¯ nghiệm tối ưu địa phương toán (BP ) Từ Định lý 2.2.7 2.3.2, thu điều kiện tối ưu không cách biệt trường hợp Nhận xét 2.3.4 Các kết hàm mục tiêu có dạng F (y, u) = [ϕ(x, y (x)) + α(x)u(x) + β (x)u2 (x) + α0 (x)y (x)u(x)]dσ, L(x, y (x))dx + Ω Γ α0 ∈ L∞ (Γ) Ví dụ 2.3.5 Ví dụ minh họa cách sử dụng điều kiện cần đủ bậc hai để tìm điểm cực trị Tiếp theo, đưa điều kiện đủ bậc hai cho toán (BP ) trường hợp F (y, u) cho (2.30), α(x) β (x) khơng (B 2.1) Hàm L : Ω × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến thứ hai, L(x, 0) ∈ L1 (Ω) với M > tồn số CL,M > hàm số LM ∈ L2 (Ω) cho |Ly (x, y )| ≤ LM (x), |Lyy (x, y )| ≤ CL,M , h.k x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M Hơn nữa, với > 0, tồn δ > cho |Lyy (x, y1 ) − Lyy (x, y2 )| < h.k x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ (B 2.2) Hàm ϕ thỏa mãn giả thiết (B 2.1), ϕ Γ thay L Ω, tương ứng (B 2.3) Hàm h : R → R thuộc lớp C thỏa mãn h(x, 0) = 0, hy (x, y ) ≥ h.k x ∈ Ω, ∀y ∈ R với M > 0, tồn số Ch,M > cho |hy (x, y )| + |hyy (x, y )| ≤ Ch,M h.k x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M Hơn nữa, với M > > 0, tồn số dương δ > cho |hyy (x, y1 ) − hyy (x, y2 )| < 18 h.k x ∈ Ω, với y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ (B 2.4) Hàm g : Γ × R → R hàm liên tục, thuộc lớp C biến thứ hai, g (·, 0) ∈ L2 (Γ), với M > tồn số Cg,M > cho |gy (x, y )| + |gyy (x, y )| ≤ Cg,M với h.k x ∈ Γ ∀y ∈ R thỏa mãn |y| ≤ M Hơn nữa, với M > > 0, tồn số dương δ > cho |gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 )| < với h.k x ∈ Γ với y1 , y2 ∈ R thỏa mãn |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ (B 2.5) α, β ∈ L∞ (Γ) β (x) ≥ với h.k x ∈ Γ Hơn βa ∈ L∞ (Γa ), βb ∈ L∞ (Γb ) Trong phần tiếp theo, kí hiệu · ∗ = · L2 (Ω) + · Với τ ≥ 0, xác định nón tới hạn sau: L2 (Γ) C2τ (¯ z ) = z = (y, u) ∈ Z1 | z thỏa mãn (C 2.1) − (C 2.3) (C 2.1) (C 2.2) (C 2.3) (ϕy [x]y (x) + αu(x) + 2β u¯u(x)) dσ ≤ τ y ∗ ; Ly [x]y (x)dx + Ω với Γ − N D (a (·)D y ) + a (·)y + h [·]y = i y i,j=1 j ij ∂ν y + b0 y = u  ≥ x ∈ Γ , a gy [x]y (x) + u(x) ≤ x ∈ Γb Ω, Γ; Rõ ràng, C2 (¯ z ) ⊂ C2τ (¯ z ) với τ ≥ Định lý 2.3.6 Giả sử N = 2, z¯ ∈ Φ∗ giả thiết (A2.5), (B 2.1)–(B 2.5) thỏa mãn tồn nhân tử ψ ∈ L2 (Γ) φ ∈ W 1,r (Ω), r ∈ (1, 2) để điều kiện (2.21)–(2.23) đúng, tồn số γ, τ > cho ∇zz L(¯ z , ψ, φ)(z, z ) ≥ γ y ∗ ∀z = (y, u) ∈ C2τ (¯ z ) Khi đó, tồn ρ, ε > cho F (z ) ≥ F (¯ z ) + ε y − y¯ ∗ ∀z = (y, u) ∈ BZ1 (¯ z , ρ) ∩ Φ∗ , Φ∗ := {(y, u) ∈ Z1 | (y, u) thỏa mãn (2.2) (2.3)} 19 Chương Tính nửa liên tục liên tục ánh xạ nghiệm cho toán điều khiển biên chứa tham số Cho Ω miền bị chặn R2 với biên Γ thuộc lớp C 1,1 Xét toán điều khiển tối ưu chứa tham số (P ): Xác định hàm điều khiển u ∈ L2 (Γ) ¯ làm cực tiểu hóa hàm mục tiêu hàm trạng thái tương ứng y ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) L(x, y (x), µ(1) (x))dx + F (y, u, µ) = Ω (x, y (x), u(x), µ(2) (x))dσ, (3.1) Γ cho  Ay + f (x, y ) = ∂ν y = u + λ(1) Ω, (3.2) Γ, a(x) ≤ g (x, y ) + u(x) + λ(2) ≤ b(x) h.k x ∈ Γ, (3.3) L : Ω ×R×R → R, l : Γ ×R×R×R → R, f : Ω ×R → R g : Γ ×R → R hàm; a, b ∈ L2 (Γ), a(x) < b(x) với h.k x ∈ ; (à, ) (L () ì L ()) ì (L2 (Γ))2 véc tơ tham số với µ = (µ(1) , µ(2) ) λ = (λ(1) , λ(2) ) Toán tử elliptic bậc hai A xác định Chương với N = ¯ , U := L2 (Γ), Π := L∞ (Ω) × L∞ (Γ), Λ := (L2 (Γ))2 Đặt Y := H (Ω) ∩ C (Ω) Với λ ∈ Λ, tập ràng buộc Φ(λ) := {(y, u) ∈ Y ×U |(y, u) thỏa mãn (3.2) (3.3)} Khi đó, tốn (3.1)-(3.3) viết dạng  F (y, u, µ) → inf, P (µ, λ) (3.4) (y, u) ∈ Φ(λ) Kí hiệu S (µ, λ) tập nghiệm tốn (3.1)-(3.3) P (µ, λ) ứng với (µ, λ), ¯ ) điểm tham chiếu, P (¯ ¯ ) toán gốc (¯ µ, λ µ, λ 3.1 Các giả thiết kết ¯ ) ∈ Π × Λ > Kí hiệu hz đạo hàm theo biến z hàm Cố định (¯ µ, λ cho trước h Chúng ta cần giả thiết sau: (A3.1) L : Ω × R × R → R l : Γ × R × R × R → R hàm Carathéodory cho y → L(x, y, µ(1) ) (y, u) → (x , y, u, µ(2) ) hàm khả vi Fréchet liên tục với h.k 20 x ∈ Ω, x ∈ Γ với µ(1) , µ(2) ∈ R thỏa mãn |µ(1) − µ ¯(1) (x)| + |µ(2) − µ ¯(2) (x )| ≤ Hơn nữa, với M > tồn CLM , ClM > r1M ∈ L1 (Ω), r2M ∈ L1 (Γ), r3M ∈ L∞ (Ω), r4M ∈ L∞ (Γ) cho |L(x, y, µ(1) )| ≤ r1M (x), |Ly (x, y, µ(1) )| ≤ r3M (x), | (x , y, u, µ(2) )| ≤ r2M (x ) + ClM (1 + |u|2 ), |Ly (x, y1 , µ(1) ) − Ly (x, y2 , µ(1) )| ≤ CLM |y1 − y2 |, | y (x , y, u, µ(2) )|+| u (x , y, u, µ(2) )| ≤ ClM (|y| + |u|) + r4M (x ), | y (x , y1 , u1 , µ(2) )− y (x , y2 , u2 , µ(2) )| ≤ ClM (|y1 − y2 | + δ|u1 − u2 |), | u (x , y1 , u1 , µ(2) )− u (x , y2 , u2 , µ(2) )| ≤ ClM |y1 − y2 | + |u1 − u2 | , với δ ≥ 0, h.k x ∈ Ω, x ∈ Γ, µ(1) , µ(2) , y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |µ(1) − µ ¯(1) (x)| + |µ(2) − µ ¯(2) (x )| ≤ |y|, |yi | ≤ M , i = 1, (A3.2) Hàm u → (x , y, u, µ(2) ) lồi với (x , y, à(2) ) ìR2 v |à(2) ¯(2) (x )| ≤ Hơn nữa, với M > tồn hàm aM ∈ L (Γ) bM ∈ L (Γ) thỏa mãn (x , y, u, µ(2) ) ≥ aM (x )u + bM (x ) với h.k x ∈ Γ, y, u, µ(2) ∈ R thỏa mãn |y| ≤ M , |µ(2) − µ ¯(2) (x )| ≤ (A3.3) Tồn hàm liên tục η : Γ × R3 → R ≤ θ ≤ 1, α, β > cho | u (x , y, u, µ(2) ) − u (x u (x , y, u, µ ¯(2) (x )| ≤ η (x , |y|, |µ(2) |, |µ ¯(2) (x )|)|u|θ |µ(2) − µ ¯(2) (x )|α , , y¯(x ), u, µ ¯(2) (x )) − u (x , y¯(x ), u ¯, µ ¯(2) (x )), u − u¯(x ) ≥ β|u − u¯(x )|2 với h.k x ∈ Γ, y, u, µ(2) ∈ R thỏa mãn |µ(2) − µ ¯(2) (x )| ≤ (A3.4) f : Ω × R → R g : Γ × R → R hàm Carathéodory, thuộc lớp C biến thứ hai thỏa mãn tính chất: f (·, 0) = 0, fy (x, y ) ≥ h.k x ∈ Ω, g (·, 0) = 0, gy (x , y ) ≥ h.k x ∈ Γ với M > 0, tồn số Cf M , CgM > cho fy (x, y ) ≤ Cf M , fy (x, y1 ) − fy (x, y2 ) ≤ Cf M |y1 − y2 |, gy (x , y ) ≤ CgM , gy (x , y1 ) − gy (x , y2 ) ≤ CgM |y1 − y2 |, với h.k x ∈ Ω, x ∈ Γ, y, y1 , y2 ∈ R thỏa mãn |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M Định lý sau kết chương Định lý 3.1.1 Giả sử giả thiết (A3.1)–(A3.4) thỏa mãn Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) S (µ, λ) = ∅ với (à, ) ì ; 21 ); (ii) S : Π × Λ → Y × U nửa liên tục (¯ µ, λ ¯ ) gồm phần tử S (·, ·) liên tục (iii) Nếu có thêm điều kiện S (¯ µ, λ ¯ ) (¯ µ, λ 3.2 Một số kết bổ trợ 3.2.1 Một số tính chất tập ràng buộc Bổ đề 3.2.2 Với giả thiết (A3.4), tập ràng buộc Φ(λ) tập đóng khác rỗng với λ ∈ Λ Bổ đề 3.2.3 Giả sử giả thiết (A3.4) thỏa mãn {λn } dãy hội tụ mạnh ˆ Λ Khi đó, khẳng định sau đúng: đến λ ˆ ), tồn dãy {(yn , un )}, (yn , un ) ∈ Φ(λn ) hội tụ mạnh (i) Với (ˆ y, u ˆ) ∈ Φ(λ đến (ˆ y, u ˆ) Z (ii) Với dãy {(yn , un )}, (yn , un ) ∈ Φ(λn ) , tồn dãy {(ynk , unk )} ˆ ) cho (ˆ y, u ˆ) ∈ Φ(λ ynk → yˆ unk u ˆ 3.2.2 Điều kiện cần bậc Bổ đề 3.2.5 Giả sử (¯ y, u ¯) nghiệm tối ưu địa phương toán (3.1)– (3.3) Khi đó, tồn phần tử φ ∈ H (Ω) cho khẳng định sau đúng: (i) Phương trình liên hợp:  A∗ φ + f (·, y¯)φ = L (·, y¯, µ(1) ) Ω, y y ∂n ∗ φ + gy (·, y¯)φ = y (·, y¯, u ¯, µ(2) ) − u (·, y¯, u¯, µ(2) )gy (·, y¯) Γ, A A∗ tốn tử liên hợp hình thức A (ii) Nguyên lý cực tiểu yếu: (φ(x)+ u (x, y¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))(g (x, y¯(x)) + u¯(x) + λ(2) (x)) = (φ(x) + v∈[a(x),b(x)] ¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))v u (x, y h.k x ∈ Γ (3.14) Đặt K := {v ∈ L2 (Γ)| a(x) ≤ v (x) ≤ b(x) 22 h.k x ∈ Γ} (3.15) Khi đó, từ (3.14), ta có (φ(x) + ¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))(v (x) u (x, y − g (x, y¯) − u ¯(x)) − λ(2) (x))dσ ≥ 0, Γ ¯ suy Ly (·, y¯, µ(1) ) ∈ L∞ (Ω), với v ∈ K Hơn nữa, từ giả thiết (A3.1) y¯ ∈ C (Ω) ¯ ¯, u¯, µ(2) ) − u (·, y¯, u¯, µ(2) )gy (·, y¯) ∈ L2 (Γ) Bởi vậy, ta có φ ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) y (·, y 3.3 Chứng minh kết (i) Tập S (µ, λ) khác rỗng (ii) Tính nửa liên tục S (·, ·) Chúng ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử S (·, ·) không nửa liên tục ¯ ) Khi đó, tồn tập mở W1 in Y , W2 U dãy {(µn , n )} ì , ( à, {(yn , un )} ⊂ Y × U cho  ) W1 ì W2 , à, λ   S (¯ ¯ ), (3.16) (µn , λn ) → (¯ µ, λ µn − µ Π ≤ ,     (yn , un ) S (àn , n ) \ (W1 ì W2 ), ∀n ≥ Bởi Bổ đề 3.2.3, sau chọn dãy con, giả sử yn → y¯ Y un u ¯ U ¯ ) Nếu (¯ ¯ ) un → u¯ với (¯ y, u ¯) ∈ Φ(λ y, u ¯) ∈ S (¯ µ, λ U n → +∞ (yn , un ) ∈ W1 × W2 với n đủ lớn Điều mâu thuẫn với (3.16) chứng minh hồn thành (iii) Tính liên tục S (·, ·) 3.4 Các ví dụ Trong phần này, đưa số ví dụ minh họa cho Định lý 3.1.1 Một ¯ ) gồm phần tử ánh xạ nghiệm S (·, ·) liên tục ví dụ S (¯ µ, λ ¯ ) Ví dụ cịn lại tốn gốc có nghiệm nhất, (¯ µ, λ tốn nhiễu có nhiều nghiệm ánh xạ nghiệm liên tục điểm tham chiếu 23 Kết luận chung Các kết luận án bao gồm: Các điều kiện cần bậc hai cho toán điều khiển biên với ràng buộc hỗn hợp điểm Các điều kiện tối ưu không cách biệt cho toán điều khiển phân tán toán điều khiển biên cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điểm trường hợp hàm mục tiêu có dạng tồn phương theo biến điều khiển Các điều kiện đủ bậc hai cho toán điều khiển phân tán tốn điều khiển biên cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điểm trường hợp hàm mục tiêu khơng phụ thuộc vào biến điều khiển Một tập điều kiện cho toán điều khiển biên chứa tham số khơng gian hai chiều, mà với nó, ánh xạ nghiệm nửa liên tục theo tham số trường hợp hàm mục tiêu không lồi theo hai biến tập ràng buộc không lồi Một số toán mở liên quan đến luận án tiếp tục nghiên cứu: Các điều kiện tối ưu bậc hai tính ổn định nghiệm tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng Nó chủ đề tiếp tục nghiên cứu số nhà toán học Điều kiện tối ưu khơng cách biệt tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điểm ràng buộc trạng thái Vai trò điều kiện đủ bậc hai việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho tốn điều khiển biên 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN N H Son, B T Kien and A Rosch (2016), Second-order optimality conditions for boundary control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J.Optim., 26, pp 1912-1943 B T Kien, V H Nhu and N H Son (2017), Second-order optimality conditions for a semilinear elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints, Set-Valued Var Anal., 25, pp 177-210 N H Son (2017), On the semicontinuity of the solution map to a parametric boundary control problem, Optimization, 66, pp 311-329 ... nghiên cứu định tính cho tốn ĐKTƯ cho ODEs, PDEs đạt nhiều kết quan trọng Một kết việc đưa điều kiện tối ưu cho toán ĐKTƯ Điều kiện tối ưu bậc hai toán ĐKTƯ cho phương trình elliptic chủ đề hấp... thiết (A2.1) với ϕ thay cho L Γ thay cho Ω Hơn nữa, tồn γ > cho β (x) ≥ γ với h.k x ∈ Γ Định nghĩa 2.3.1 Hàm F gọi thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai z¯ ∈ Φ tồn > 0, δ > cho F (z ) ≥ F (¯ z )... kiện cần bậc hai cho toán điều khiển biên với ràng buộc hỗn hợp điểm Các điều kiện tối ưu không cách biệt cho toán điều khiển phân tán toán điều khiển biên cho phương trình elliptic nửa tuyến