Một số bài tập đại số đại cương có lời giải giúp bạn đọc dễ dàng hơn trong việc tiếp cận với bộ môn trừu tương với đa số các bạn sinh viên.Qua đây hi vọng các bạn sẽ có thêm nguồn tài liệu bổ ích cho môn học này. Chúc các bạn học tốt
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Chương 1 Xét tập hợp số nguyên tập * số tự nhiên khác Gọi S quan hệ * xác định (a, b) S (c, d) ad = bc Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng phần tử: (0; 1), (-1; 1); (1; 2) Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + (a; b) * ta có: ab = ba (a; b)S (a; b) (tính phản xạ) + (a; b),(c; d ) * thỏa mãn: (a; b)S (c; d ) ad bc cb da (c; d )S (a; b) (tính đối xứng) * + (a; b),(c; d );(e; f ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f ) ad bc a c e af be (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu) b d f cf de S quan hệ tƣơng đƣơng b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện) (0; b) : b C (1;1) (a; b) : (a; b) S (1;1) (a; b) : a b (b; b) : b C (1;2) (a; b) : (a; b) S (1;2) (a; b) : a.2 b (a;2a) : a C (0;1) (a; b) * : (a; b) S (0;1) (a; b) * : a * * * * * * * Giả sử C quan hệ hai xác định tập hợp số nguyên Z cặp (x, y) với x, y nguyên x + y chẵn Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng phần tử: -1; 1; Đáp án Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + x , ln có: x x x chẵn xCx (tính phản xạ) + x, y mà xCy x y chẵn y x chẵn yCx (tính đối xứng) + x, y, z mà xCy, yCz x y, y z chẵn x y z chẵn Mà 2y chẵn x z chẵn xCz (tính bắc cầu) C quan hệ tƣơng đƣơng b) Áp dụng a ( chọn lớp đại diện) C (1) x : x 1 2 { x lẻ} C (1) x : x 1 2 { x lẻ} C (2) x : x 2 2 { x chẵn} Cho X không gian ba chiều thông thƣờng O điểm cố định X Trong X-{O} ta xác định quan hệ S nhƣ sau: PSP’ O, P, P’ thẳng hàng (cùng thuộc đƣờng thẳng) Chứng minh: a) S quan hệ tƣơng đƣơng X-{O} b) Xác định lớp tƣơng đƣơng Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + P X {O} ta ln có O, P, P thẳng hàng PSP (tính phản xạ) + P, P ' X {O} mà PSP’ O, P, P’ thẳng hàng O, P’, P thẳng hàng nên P’SP (tính đối xứng) + P, P ', P '' X {O} mà PSP’ P’SP’’ O, P, P’ thẳng hàng O, P’, P’’ thẳng hàng O, P, P’’ thẳng hàng PSP’’ (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ tƣơng đƣơng b) P X {O} , ta có: C ( P) P ' X {O}: P ' SP {P ' X {O} cho O, P, P’ thẳng hàng} = đƣờng thẳng OP - {O} Vậy lớp tƣơng đƣơng đƣờng thẳng qua O (loại điểm O) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Giả sử ƒ đơn ánh từ tập hợp X đến tập hợp số tự nhiên N S quan hệ X xác định nhƣ sau : xSx’ ƒ(x) ƒ(x’) a) Chứng minh S quan hệ thứ tụ toàn phần b) S có phải quan hệ thứ tự tốt không? Tại sao? Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu) + x X , talncó : f ( x) f ( x) xSx (tính phản xạ) f ( x) f ( y ) + x, y X , mà xSy, y Sx f ( x) f ( y ) f ( y ) f ( x) Do f đơn ánh nên x = y (tính phản đối xứng) f ( x) f ( y ) + x, y, z X , mà xSy, y Sz f ( x) f ( z ) xSz f ( y) f ( z) (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ thứ tự f ( x) f ( y ) xSy + x, y X f ( x), f ( y ) f ( y ) f ( x) ySx Vậy S quan hệ thứ tự toàn phần b) Nêu định nghĩa quan hệ thứ tự tốt ( Nếu quan hệ thứ tự tồn phần tử tối đại tối tiểu) A X f ( A) Do quan hệ thứ tự tốt nên tồn n0 f ( A) x0 A : f ( x0 ) n0 f ( x0 ) f ( x) x A x0Sx x A x0 phần tử tối tiểu A Vậy S quan hệ thứ tự tốt Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Cho ánh xạ : E F xét quan hệ R tập E xác định nhƣ sau: xSx’ (x) = (x’) a) Chứng minh S quan hệ tƣơng đƣơng b) Xét trƣờng hợp E = F = ( tập hợp số nguyên), (x) = x2 x Xác định lớp tƣơng đƣơng S Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + x E : ( x) ( x) xSx (tính phản xạ) + x, y E mà xSy ( x) ( y) ( y) ( x) ySx (tính đối xứng) ( x) ( y ) + x, y, z E mà xSy, ySz ( x) ( z ) xSz ( y ) ( z ) (tính bắc cầu) Vậy S quan hệ tƣơng đƣơng E b) Với : , x x C ( x) y : ySx y : ( x) ( y ) y : x y y : x y x, x Vậy lớp tƣơng đƣơng : {0},{1, 1},{2, 2} Với N tập hợp số tự nhiên Trên N N, định nghĩa quan hệ nhƣ sau: (a,b) S (c, d) a + d = b+c a) Chứng minh S quan hệ tƣơng đƣơng b) Xác định lớp tƣơng đƣơng (0, 3), (5,8), (8,3) Đáp án a) Kiểm tra theo định nghĩa ( tc phản xạ, đối xứng, bắc cầu) + (a; b) ta có: a + b = b+ a (a; b)S (a; b) (tính phản xạ) + (a; b),(c; d ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d ) a d b c c b d a (c; d )S (a; b) (tính đối xứng) + (a; b),(c; d );(e; f ) thỏa mãn: (a; b)S (c; d );(c; d )S (e; f ) a d b c a+f b e (a; b) S (e; f ) (tính bắc cầu) c f d e Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 S quan hệ tƣơng đƣơng b) C (0;3) (a; b) : (a; b) S (0;3) ( a; b) : a b (a; a 3) : a C (5;8) (a; b) : (a; b) S (5;8) ( a; b) : a b 5 (a; a 3) : a C (8;3) (a; b) : (a; b) S (8;3) ( a; b) : a b 8 (a; b) : a b 5 (b 5; b) : b Giả sử ƒ : X → Y ánh xạ, A B hai phận X, C D hai phận Y Chứng minh: a) ƒ(A∪ B ) = ƒ(A) ∪ ƒ(B) b) ƒ - 1(C ∪ D ) = ƒ - 1(C) ∪ ƒ - 1(D) Đáp án a) y f ( A B) x A B : y f ( x) x A : y f ( x) y f ( A) y f ( A) f ( B) x B : y f ( x) y f ( B) f ( A B) f ( A) f ( B) Chứng minh tƣơng tự ta có: f ( A) f ( B) f ( A B) Vậy f ( A) f ( B) f ( A B) b) x f 1 (C D) f ( x) C D x f 1 (C ) f ( x) C x f 1 (C ) f 1 ( D) f ( x) D x f ( D) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1 ( D) Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Vậy f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Giả sử ƒ : X → Y ánh xạ, A B hai phận X, C D hai phận Y Chứng minh: a) ƒ(A∩ B ) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B) b) ƒ - 1(C ∩D ) = ƒ - 1(C) ∩ ƒ - 1(D) Đáp án a) y f ( A B) x A B : y f ( x) x A : y f ( x) y f ( A) y f ( A) f ( B) x B : y f ( x) y f ( B) f ( A B) f ( A) f ( B) b) x f 1 (C D) f ( x) C D 1 f ( x) C x f (C ) x f 1 (C ) f 1 ( D) 1 f ( x) D x f ( D) f 1 (C D) f 1 (C ) f 1( D) Chứng minh tƣơng tự ta có: f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Vậy f 1 (C ) f 1 ( D) f 1 (C D) Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y g, g’ : U → X Chứng minh: a) Nếu ƒ đơn ánh ƒg = fg’ g = g’ b) Nếu với g, g’, với U mà ƒg = g’ kéo theo g = g’ ƒ đơn ánh Đáp án a) x U , ta có: fg ( x) fg '( x) f ( g ( x)) f ( g '( x)) Do f đơn ánh nên g ( x) g '( x) x U g g ' b) Giả sử f không đơn ánh x1 x2 X : f ( x1 ) f ( x2 ) Xét U = {1; 2} ánh xạ: g :U X x1 g ' :U X x1 x2 x1 Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Ta có: fg (1) f ( x1 ) fg '(1) f ( x1 ) fg (2) f ( x2 ) fg '(2) f ( x1) f ( x2 ) fg fg ' theo giả thiết g = g’ Nhƣng theo ta có g g ' (Mâu thuẫn) Vậy f đơn ánh 10 Cho A, B hai phận tập hợp X Chứng minh công thức Đờ moóc - găng: a) X - (A ∪ B) = (X - A) ∩ (X - B), b) X - (A ∩ B) = (X - A) ∪ (X - B) Đáp án a) x X ( A B) x X x X x X A x A x ( X A) ( X B) x A B x B x X B X ( A B) ( X A) ( X B) x ( X A) ( X B) x X x X A x X x A x X ( A B) x X B x B x A B ( X A) ( X B) X ( A B) Vậy X ( A B) ( X A) ( X B) b) x X ( A B) x X x X x X x X A x A x A x ( X A) ( X B) x X x A B x X B x B x B X ( A B) ( X A) ( X B) Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 x ( X A) ( X B) x X x X x X A x A x X x A x X ( A B) x A B x X B x X xB x B ( X A) ( X B) X ( A B) Vậy X ( A B) ( X A) ( X B) 11 Giả sử S quan hệ tƣơng đƣơng X a ∈ X C(x) lớp tƣơng đƣơng x quan hệ tƣơng đƣơng S Chứng minh: a) C(x) b) Nếu xSy C(x) = C(y) c) Với hai phần tử x y, ta có C(x)∩C(y) = ∅ C(x) = C(y) Đáp án a) Vì S quan hệ tƣơng đƣơng nên xSx x C ( x) C ( x) 0.5 b) z C ( x) zSx zSy z C ( y ) mà xSy C ( x) C ( y ) + Chứng minh tƣơng tự, ta có: C ( y) C ( x) Vậy C ( x) C ( y) c) x, y X , ta có trƣờng hợp sau: x có quan hệ S với y, nghĩa xSy C ( x) C ( y) x khơng có quan hệ S với y C ( x) C ( y) Thật vậy, giả sử C ( x) C ( y) z C ( x) C ( y) z C ( x) zSx xSz xSy Mâu thuẫn với x khơng có quan hệ S z C ( y ) zSy với y Trên , định nghĩa quan hệ “ ” nhƣ sau: + 12 0.5 x x ' ( x; y ) ( x '; y ') y y' a) Chứng minh “ ” quan hệ thứ tự b) Quan hệ có quan hệ thứ tự tồn phần khơng? Tại sao? Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 Đáp án a) + ( x, y) , ta ln có: x x ( x; y ) ( x; y ) (tính phản xạ) y y + ( x, y),( x ', y ') mà ( x; y) ( x '; y ') ( x '; y ') ( x; y) thì: x x ' x ' x x x ' ( x, y ) ( x ', y ') (tính phản đối xứng) y y ' y y ' y ' y 1.5 + ( x, y),( x ', y '),( x '', y '') mà ( x; y) ( x '; y ') ( x '; y ') ( x ''; y '') x x ' x '' x x '' ( x, y) ( x '', y '') (tính bắc cầu) y y ' y '' y y '' Vậy quan hệ thứ tự b) Quan hệ quan hệ thứ tự tồn phần (1;2),(2;1) không so sánh đƣợc với 13 0.5 Trên , định nghĩa quan hệ đồng dƣ mod 5: Hai số nguyên m, n gọi đồng dƣ mod ( kí hiệu m n(mod5) ) m - n chia hết cho Kí hiệu: m n(mod5) m n5 a) Chứng minh quan hệ quan hệ tƣơng đƣơng b) Tìm lớp tƣơng đƣơng Đáp án a) + m : m m 05 m m(mod5) (tính phản xạ) + m, n : m n(mod5) m n5 n m5 n m(mod5) (tính đối xứng) + m, n, p : m n(mod5) n p(mod5) m n m p5 m p(mod5) (tính bắc cầu) n p5 Vậy quan hệ quan hệ tƣơng đƣơng b) m m 5k i, i 0,4 m i 5k m i5 m i(mod5), i 0,4 Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh 1.5 0.5 Page GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 14 Vậy lớp tƣơng đƣơng C (i) 5k i, k , i 0, Giả sử ƒ : X → Y g : Y → Z hai ánh xạ h = g.ƒ ánh xạ tích ƒ g Chứng minh: a) Nếu h đơn ánh ƒ đơn ánh b) Nếu h đơn ánh f toàn ánh g đơn ánh b) Nếu h tồn ánh g tồn ánh Đáp án a) x1, x2 X : f ( x1) f ( x2 ) g ( f ( x1)) g ( f ( x2 )) h( x1) h( x2 ) Do h đơn ánh nên x1 x2 0.5 Vậy f đơn ánh b) y1, y2 Y : g ( y1 ) g ( y2 ) Do f toàn ánh nên: x1, x2 X : y1 f ( x1 ), y2 f ( x2 ) g ( f ( x1)) g ( f ( x2 )) h( x1) h( x2 ) Do h đơn ánh nên x1 x2 y1 y2 0.5 Vậy g đơn ánh c) z Z , h g f : X Z toàn ánh x X : z h( x) ( g f )( x) g ( f ( x)) Đặt y f ( x) Y : g ( y) z Vậy g toàn ánh 15 Cho ba ánh xạ ƒ : X → Y h, h’ : Y → Z Chứng minh rằng: a) Nếu ƒ toàn ánh hƒ = h’ƒ h = h’ b) Ngƣợc lại với h, h’, với Z mà hƒ = h’ƒ kéo theo h = h’ ƒ tồn ánh Đáp án a) y Y , f toàn ánh nên x X : y f ( x) Đồng thời từ hf h ' f hf ( x) h ' f ( x) h( y) h '( y) y Y Vậy h = h’ b) Giả sử f khơng tồn ánh y0 Y : f 1 ( y0 ) Xét Z = {1; 2} ánh xạ: Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 10 GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 a b b) + Giả sử A ƣớc A Khi đó: b a c d a b c B A, B , B : A B b a d d c ac bd ac bd ad bc (*) ad bc ac bd ad bc d c a 0, b Nếu ( Det ( A) 0) , từ (*) c 0, d ( A ƣớc 0) a 0, b Nếu a 0, b : bc ac b 0 ac bd a (*) a b Det ( A) (đpcm) bc d a d bc a Cho hai tập hợp: A a b : a, b , B a bi : a, b với phép cộng phép nhân thông thƣờng Chứng minh rằng: a) (A, +, ) vành vành số thực b) (B, +, ) vành vành số phức Đáp án a) ) Kiểm tra tiên đề quan trọng vành 00 2 A A x a1 b1 + x, y A (a1, b1, a2 , b2 ) x a b 2 xy (a1a2 2b1b2 ) (a1b2 a2b1 ) A x y (a1 a2 ) (b1 b2 ) A Vậy A vành vành số thực b) 0i B B x a1 b1i + x, y B (a1, b1, a2 , b2 ) x a2 b2i Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 26 GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 xy (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1 )i B x y (a1 a2 ) (b1 b2 )i B Vậy B vành vành số thực Cho tập hợp X = với hai phép toán: (a1, b1 ) + (a 2, b2 ) = (a1+ a2, b1 + b2) (a1, b1 ) (a 2, b2 ) = (a1a2, b1b2) a) Chứng minh X vành giao hốn, có đơn vị b) Hãy tìm tất ƣớc không vành Đáp án a) ) Kiểm tra tiên đề quan trọng vành + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: (a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a3, b3 ) (a1 a2 , b1 b2 ) (a3, b3 ) (a1 a2 a3 , b1 b2 b3 ) ( a1, b1) (a2 a3 , b2 b3 ) (a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a3, b3 ) + (a, b) , ta có: (a, b) (0,0) (a 0, b 0) (a, b);(0,0) (a, b) (0 a,0 b) (a, b) Suy (0, 0) phần tử trung hòa phép + + (a, b) , ta có: (a, b) (a, b) (a a, b b) (0,0) (a, b) (a, b) (a a, b b) (0,0) (-a, -b) phần tử đối (a, b) + (a, b),(c, d ) : (a, b) (c, d ) (a c, b d ) (c a, d b) (c, d ) (a, b) Phép + có tính chất giao hốn Vậy ( , ) nhóm Abel + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: (a1, b1).(a2 , b2 ).(a3, b3 ) (a1a2 , b1b2 ).(a3, b3 ) (a1a2a3 , b1b2b3 ) ( a1, b1).(a2a3 , b2b3 ) (a1, b1 ). (a2 , b2 ).(a3, b3 ) Vậy ( ,.) nửa nhóm + (a1, b1 ),(a2 , b2 ),(a3, b3 ) , ta có: Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 27 GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 (a1, b1) (a2 , b2 ).(a3, b3 ) (a1 a2 , b1 b2 ).(a3, b3 ) (( a1 a2 )a3 ,(b1 b2 )b3 ) ( a1a3 a2a3, b1b3 b2b3 ) (a1, b1 ).(a2 , b2 ) (a1, b1 ).(a3, b3 ) Tƣơng tự ta có phép nhân phân phối phép cộng Phép có tính chất giao hốn có phần tử đơn vị (1, 1) Vậy ( , ,.) vành giao hốn có đơn vị b) Ƣớc không là: (a,0),(0, b) (a, b 0) Giả sử X vành có tính chất sau đây: x2 = x với x X Chứng minh rằng: a) x = - x với x X b) X vành giao hốn c) Nếu X vành khơng có ƣớc 0, có nhiều phần tử , X miền nguyên Đáp án a) x X , ta có: ( x)2 ( x)( x) x x Mặt khác theo giả thiết ( x)2 x x x b) x, y X , ta có: ( x y)2 x y X vành nên: ( x y )2 ( x y )( x y ) ( x y ) x ( x y ) y x yx xy y x yx xy y Do x yx xy y x y y x xy xy y x yx Vậy X vành giao hoán c) Giả sử x, y X , x , ta có: xy x y x( xy) Do X khơng có ƣớc khơng nên y xy , tƣơng tự ta có: y yx Vậy x phần tử đơn vị X Do X gồm có hai phần tử {0, đơn vị e} nên X miền nguyên Giả sử X miền nguyên, mX mx : x X idean X ( m ) n cấp phần tử đơn vị e nhóm cộng X Chứng minh: a) n số nguyên tố b) Mọi phần tử khác khơng x X có cấp n Giảng Viên: Nguyễn Tiến Thịnh Page 28 GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐAI CƢƠNG CHƢƠNG 1,2,3 c) X mX X m bội n X mX {0} m bội n Đáp án a) n cấp phần tử đơn vị e nhóm cộng X nên n số nguyên dƣơng nhỏ cho ne = Giả sử n số nguyên tố, n = n1.n2 (1 < n1, n2