ĐA Toán 12_HSG A (07-08)-Nghệ An

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a ---------------------------------------------- Câu Nội dung Biểu điểm Câu 1: 6,0 a. (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1). 3,0 ĐK: x 0; Đặt t = x , t 0. 0,5 (1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t 2 + 3 - m = 0 <=> m = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + (2) 0,5 Xét f(t) = 2 2 2t 3t 3 t t 1 + + , t 0 ; f / (t) = 2 2 2 t 2t (t t 1) + . 0,5 f / (t) = 0 <=> t 0 t 2 = = 0,5 Bảng biến thiên t 0 2 + 0,5 f / (t) 0 + f(t) 3 2 5 3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0. 0,25 <=> 5 m 3 3 . 0,25 b. 3 sinx cosx x > ữ (1). 3,0 (1) <=> tgx.sin 2 x - x 3 > 0. Xét f(x) = tgx.sin 2 x - x 3 ; x (0; ) 2 . 0,25 f / (x) = tg 2 x + 2sin 2 x - 3x 2 . f // (x) = 2tgx. 2 1 cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3 2sin x cos x + 2sin2x - 6x. f /// (x) = 4 2 2 6 2cos x 6sin x.cos x 4cos2x 6 cos x + + 0,25 0,25 0,25 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A1 = 2 2 2 4 2cos x 6sin x 8cos x 10 cos x + + − = 6 4 2 4 8cos x 10cos x 4cos x 6 cos x − − + = 2 2 2 4 2(cos x 1) (4cos x 3) 0 cos x − + > ; x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f // (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f // (x) > f // (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f / (x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f / (x) > f / (0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 => f(x) ®ång biÕn trªn (0; ) 2 π => f(x) > f(0) = 0 , x (0; ) 2 π ∀ ∈ . 0,5 Bµi 2. 6,0 a. 3,0 x + y = 3 <=> y = 3 - x. Ta cã x 0 y 1 ≥   ≥  => x [ ] 0;2∈ . 0,5 Thay vµo P: P = x 3 + 2(3 - x) 2 + 4x(3 - x) - 5x + 3x 2 = x 3 + x 2 - 5x + 18. 0,5 XÐt f(x) = x 3 + x 2 - 5x + 18 ; x [ ] 0;2∈ ; f / (x) = 3x 2 + 2x - 5. 0,5 f / (x) = 0 <=> x 1 5 x (lo ) 3 ¹i =   −  =  0,5 Ta cã: f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20. 0,5 VËy max P 20 t min P 15 t ¹i x = 2 ; y = 1 ¹i x = 1 ; y = 2 =   =  0,25 0,25 b. 3,0 x y 2 2 sinx e (1) sin y 3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y (2) x, y 0; (3) 4 −  =    + + = − + +   π    ∈  ÷     Ta cã (1) <=> / x y sin x sin y (1 ) e e = . 0,25 XÐt f(t) = t sin t e , t 0; 4 π   ∈  ÷   . f / (t) = t 2t t t 2.cos(t ) e (cos t sin t) cos t sin t 4 0 , t (0; ) 4 e e e π + − − π = = > ∀ ∈ . 0,25 0,25 Trang / 5 - To¸n 12 THPT - B¶ng A2 => f(t) đồng biến trên 0; 4 ữ . Khi đó từ (1 / ) => x = y. 0,25 Thay vào (2) ta đợc: 2 2 3 8x 3 1 6 2x 2x 1 8x+ + = + + <=> 2 2 3( 8x 3 8x 8x 4) 8x 1+ + = <=> 3(8x - 1) = (8x - 1)( 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + ) <=> (8x - 1)( 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + - 3) = 0 <=> 2 2 8x 1 0 8x 3 8x 8x 4 3 0 (*) = + + + = 0,5 0,5 Xét phơng trình (*) ta có: 2 2 8x 3 8x 8x 4+ + + - 3 = 2 2 8x 3 2(2x 1) 2 3+ + + 3 2 3 0+ > => phơng trình (*) vô nghiệm. 0,5 Với 8x - 1 = 0 <=> x = 1 0; 8 4 ữ Vậy hệ có nghiệm 1 x 8 1 y 8 = = 0,25 0,25 Bài 3. 2,5 Với n N * , xét f(x) = x 1 x n 2008 + ; x R. f / (x) = - x ln 2008 2008 - 1 < 0 x R. => f(x) nghịch biến trên R (1). 0,25 0,25 Ta có: n n 1 1 f (n) 0 2008 1 f (n 1) 1 0 2008 + = > + = < => f(x) = 0 có nghiệm x n (n; n + 1) (2). Từ (1) và (2) => đpcm. 0,25 0,25 Ta có: x n - n = n x 1 2008 > 0 => x n > n. => 0 < x n - n < n 1 2008 . 0,25 0,25 Mặt khác: lim n 1 0 2008 = => lim(x n - n) = 0. 0,5 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A3 Khi đó lim(x n - 1 - x n ) = lim{[x n + 1 - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = 1. 0,5 Bài 4. 5,5 a. Gọi C(a; b) 2,5 S = 1 2 CH.AB (1). Ta có: AB = 2 0,25 Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 do đó: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2 = = . <=> a b 8 a b 2 = = 0,25 0,25 0,25 Toạ độ G( a 5 b 5 ; 3 3 + ) Ta có: G <=> 3(a 5) b 5 8 0 3 3 + = <=> 3a - b = 4. 0,5 TH 1 : a b 8 a 2 3a b 4 b 10 = = = = => C(-2; -10) 0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89+ + => r = 2S 3 2p 2 65 89 = + + . 0,25 TH 2 : a b 2 a 1 3a b 4 b 1 = = = = => C(1; -1) 0,25 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2+ => r = 3 2 5 2+ . 0,25 b. Xét hệ toạ độ Axy nh hình vẽ: O(R; 0). (Nếu học sinh không vẽ hình thì phải nêu rõ cách chọn hệ trục toạ độ) 3,0 0,5 Gọi M(x 0 ; y 0 ) MT = MH <=> MT 2 = MH 2 <=> OM 2 - R 2 = MH 2 <=> (x 0 - R) 2 + y 0 2 - R 2 = x 0 2 <=> y 0 2 = 2Rx 0 . => M (P): y 2 = 2Rx ; (P) có tiêu điểm F( R ;0 2 ). 0,25 0,5 0,5 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A4 A H y F O x T M(x 0; y 0 ) • XÐt ®êng trßn (C) / t©m F, b¸n kÝnh R 2 . Ta cã: 0 0 0 0 R MF x 2 MT MH x x (do x 0)  = +    = = = ≥  => MF = MT + R 2 . 0,25 0,5 => (M, MT) tiÕp xóc (C) / => (®pcm). 0,5 Chó ý: Häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Trang / 5 - To¸n 12 THPT - B¶ng A5 . S = 1 2 CH.AB (1). Ta có: AB = 2 0,25 Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5 2 do đó: (1) <=> a b 5 3 1 . . 2 a b 5 3 2 2 2. 0. 0,5 Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A3 Khi đó lim(x n - 1 - x n ) = lim{[x n + 1 - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = 1. 0,5 Bài 4. 5,5 a. Gọi C (a; b) 2,5