DA Toan TS PBC Nghe An 09-10

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Hớng dẫn chấm thi Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm Bài 1 3,5 đ a 2,0đ 3 3 2 7 3x x+ + = ( ) 3 3 3 3 2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x + + + + + + = 0.50đ 3 9 9. ( 2)(7 ) 27x x + + = 0.25đ 3 ( 2)(7 ) 2x x + = 0.25đ ( 2)(7 ) 8x x + = 0.25đ 2 5 6 0x x = 0.25đ 1 6 x x = = ( thỏa mãn ) 0.50đ b 1,50đ Đặt 2 z y = 0.25đ Hệ đã cho trở thành 3 3 2 3 2 3 x z z x + = + = 0.25đ ( ) 3 3 3 x z z x = 0,25đ ( ) ( ) 2 2 3 0x z x xz z + + + = 0,25đ x z = (vì 2 2 3 0, ,x xz z x z+ + + > ). 0,25đ Từ đó ta có phơng trình: 3 1 3 2 0 2 x x x x = = = Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( ) ( , ) ( 1; 2), 2,1x y = 0,25đ Bài 2: 1,0 đ Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 2 0 4 8 0a a (*). 0,25đ Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x 1 x 2 ). Theo định lý Viet: 1 2 1 2 1 2 1 2 . 2 . 2 x x a x x x x x x a + = = = + 0,25đ 1 2 ( 1)( 1) 3x x = Trang: 1/3 Đề thi chính thức 1 2 1 3 1 1 x x = = hoặc 1 2 1 1 1 3 x x = = (do x 1 - 1 x 2 -1) 1 2 4 2 x x = = hoặc 1 2 0 2 x x = = Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) 0,25đ Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ Bài 3: 2,0 đ Vì BE là phân giác góc ã ABC nên ã ã ẳ ẳ ABM MBC AM MN= = 0,25đ ã ã MAE MAN = (1) 0,50đ Vì M, N thuộc đờng tròn đờng kính AB nên ã ã 0 90AMB ANB= = 0,25đ ã ã 0 90ANK AME= = , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK 0,50đ AN AK AM AE = 0,25đ AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ Bài 4: 1,5 đ Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ã ã ANM AIM= Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ã ã ANM ABC= ã ã AIM ABC = .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp 0,25đ Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB . . AM AI AI AO AM AB AO AB = = (1) 0,25đ Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO với (O) (E nằm giữa A, O). Chứng minh tơng tự (1) ta đợc: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO 2 - R 2 = 3R 2 0,25đ AI.AO = 3R 2 2 2 3 3 3 2 2 2 R R R R AI OI AO R = = = = (2) 0,25đ Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên OA.OK = OB.OC = R 2 2 2 2 2 R R R OK OA R = = = (3) 0,25đ Từ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC Vì vậy BICK là hình bình hành 0,25đ Trang: 2/3 K Bài 5: 2,0 đ a, 1,0 đ Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. Không mất tính tổng quát, giả sử A và O nằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đ Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. 0,25đ Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1 0,25đ Suy ra . 2.1 1 2 2 ABC AH BC S = < = (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh. 0,25đ b, 1,0đ Ta có: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca 2 0,25đ mà a 3 + ab 2 2a 2 b (áp dụng BĐT Côsi ) b 3 + bc 2 2b 2 c c 3 + ca 2 2c 2 a Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0 0,25đ Suy ra 2 2 2 2 2 2 P ab bc ca a b c a b c + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 ( ) P 2( ) a b c a b c a b c + + + + + + + 0,25đ Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta chứng minh đợc t 3. Suy ra 9 9 1 3 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 t t t P t t t + = + + + = P 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 0,25đ Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó Trang: 3/3 . giác ANK 0,50đ AN AK AM AE = 0,25đ AN. AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ Bài 4: 1,5 đ Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ã ã ANM AIM= Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ã ã ANM. ABM MBC AM MN= = 0,25đ ã ã MAE MAN = (1) 0,50đ Vì M, N thuộc đờng tròn đờng kính AB nên ã ã 0 90AMB ANB= = 0,25đ ã ã 0 90ANK AME= = , kết hợp với (1) ta