UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1990 - 1991 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 1: Bài 1: a) Phân tích thành nhân tử: x 4 + 2000x 2 + 1999x + 2000. b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, biết a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0. Hỏi tam giác đó là tam giác gì?. Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 và khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 luôn luôn có số dư là1. b) CMR: A = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y 4 là số chính phương. Bài 3: a) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p 2 + q 2 + r 2 cũng là số nguyên tố. b) CMR: Phân số 13 2 24 3 ++ + nn nn tối giản * Nn ∈∀ Bài 4: Giải phương trình: ) 2 4 1 2 1 =++++ xxxa )( ) 4 4 11 xxb +=+ Bài 5: Giải hệ phương trình: a) =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx b) =++ =++ .27 27 222 zyx zxyzxy Bài 6: Tìm tất cả những tam giác vuông mà có độ dài các cạnh là một số nguyên dương và diện tích của chúng bằng chu vi . Hết 1 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1991 - 1992 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 2: Bài 1: Phân tích biểu thức sau ra thừa số: a) x 3 (x 2 - 7) 2 – 36x. b) CMR x 3 (x 2 - 7) 2 – 36x 210. Bài 2: Chứng minh rằng: a) 4 545 + 545 4 là hợp số. b) n n – n 2 + n –1 (n - 1) 2 Bài 3: Tính tổng sau : a) n n aaaaS +++++= .1 32 b) + + + + + + + + = 1999 1000 1 . 3 1000 1. 2 1000 1. 1 1000 1 1000 1999 1 . 3 1999 1. 2 1999 1. 1 1999 1 A Bài 4: Giải phương trình sau: a) x x xx x 11 1 1 − =−−− b) xx x x −=−− − 123 23 2 Bài 5: Giải hệ phương trình: a) =+ =++ 4 282 22 yx xyyx b) =+ =+ 35 30 yyxx xyyx Bài 6: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) (R>R’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của (O’) tại B cắt (O) tại C và tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại D. CMR a) AB 2 = AC.AD ; b) AD AC BD BC = 2 2 ; c) 'R R BD BC = Hết 2 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1992 - 1993 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 3: Bài 1: Cho =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 cba cba cba Tính giá trò của biểu thức: 350020052004 cbaP ++= Bài 2: Chứng minh rằng: a) .77 33 41 38 36 +=A b) .N400 4 7 . 3 7 2 77 ∈∀++++ k k Bài 3: Tìm dư trong phép chia : 15 15 15 cho 49. Bài 4:a) Chứng minh rằng : 2003 4 .444 = A không là số chính phương. b) Giải phương trình: ( ) . 2 1 200420032 zyxxyx ++=−+++− Bài 5:a) Chứng minh rằng: 15 15 25 125 − − = A là một hợp số b) Giải phương trình: = =++ =++ 10 17 8 xyz yzxzxy zyx Bài 6: Cho tam giác ABC với AB = BC và góc ABC = 80 0 . Ta lấy một điểm I ở trong tam giác ấy sao cho góc IAC = 80 0 và góc AIC = 30 0 . Hãy tính góc AIB. 3 Hết UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1993 - 1994 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 4: Bài 1: Tính tổng: S n = 1 1 1 1 + + + .+ 1.2.3 2.3.4 2.3.4 n(n +1)(n+ 2) (n 1 ≥ ) Bài 2: Rút gọn + + + + + + + + = 4 1 2005 . 4 1 6 4 1 4 4 1 2 4 1 2004 . 4 1 5 4 1 3 4 1 1 4444 4444 S Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. ( ) ( ) .) ) 77 7 555 5 yxyxb zyxzyxa −−+ −−−++ Bài 4: Giải phương trình sau: ( ) 1 1 11 ) . 3 1 ) 22 23 = + − =−− x x b xxx a Bài 5: Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít; nếu chỉ có thêm một can 11 lít và một can 6 lít để không? Bài 6: Qua điểm O tùy ý trong tam giác ABC ta vẽ các đường thẳng DE; FK; MN tương ứng song song với AB; AC; BC sao cho F và M nằm trên AB; E và K nằm trên BC ; N và D nằm trên AC. Chứng minh rằng .1 =++ CA CN BC BE AB AF Hết 4 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1994 - 1995 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 5 : Bài 1: Rút gọn biểu thức: 222222 333333 caacbccbabba caacbccbabba E −+−+− −+−+− = Bài 2: Chứng minh rằng tổng : A = 512 5 24 7 12120 2345 nnnnn ++++ là một số nguyên với mọi giá trò nguyên của n. Bài 3: Thay hai dấu sao ** bằng hai chữ số sao cho số gồm 5 chữ số **517 chia hết cả cho 6, 7 và 9. Bài 4: Giải phương trrình: =−+ =−+ =−+ xyzzyx xyzyxz xyzxzy a) =− + =− =+ + 2 3 2 2 432 2 2 3 ) y yx zy z yx b Bài 5: Giải phương trình: 1168143) =−−++−−+ xxxxa 4 191 4 1 3) 2 2 + −= + x x x xb Bài 6 : Cho BE và CF là hai đường phân giác trong của tam giácABC và O là giao điểm của chúng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là tại A là : COBO. = CFBE. 2 1 Hết 5 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1995 - 1996 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 6: Bài 1: Chứng minh rằng đa thức: x 9 999 + x 8 888 + x 7 777 + … + x 1 111 +1 x 9 + x 8 + x 7 + … + x 1 +1 Bài 2: Chứng minh rằng: .13 222 333 333 222) .13 70 3 70 2) + + b a Bài 3: Giải phương trình: 5 715 8 65 ) − = + xx a 42 6 32 2 22 1 ) 222 +− = +− + +− xxxxxx b Bài 4: a) Tính tổng sau: S n = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 c) CMR: S n = 2 2 )1( + nn (Bằng quy nạp). Bài 5: Với giá trò nào của a thì đa thức f(x) g(x) a)f(x) = x 3 – (2a+1)x 2 + x 2 7 + a 2 – 4 và g(x) = x –2. b) f(x) = x 4 – (a-1)(a+1)x 3 +(a+1) x 2 – 3(a+1)x –7 và g(x) = x –1. Bài 6: Cho ABC ∆ có AB = c; BC = a; AC = b còn x; y; z là độ dài các đường phân giác của các góc đối diện với cạnh đó. Chứng minh : cbazyx 111111 ++>++ Hết UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1996 - 1997 6 (Đề chính thức) MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ7: Bài 1 : a) Chứng minh : S = n 2 +3n – 38 không chia hết cho 49, Nn ∈∀ b) Giả sử ),( 1319 1 . 3 1 2 1 1 Zqp q p ∈+−+−= Chứng minh rằng p 1979. Bài 2 :a) Cho các số khác không a,b thỏa mãn =++− =−+− 01153 01753 23 23 bbb aaa Hãy tính : a + b = ? b) Rút gọn biểu thức : 2 số Chữ n 222 .222 .222222 ++++= S Bài 3 : Giải phương trình : a) 22 4 2 12 4 1 2 1 − − = − + + − + x x x x x x b) xxxx 4342 32 +=++ Bài 4 : Giải hệ phương trình: a) −=− −=− −=− 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 4 4 xz zy yx b) = + − − = + + + 0 3 3 3 2 2 yx xy y yx yx x Bài 5 : Xác đònh đa thức dư của phép chia đa thức : P(x) = x +x 3 +x 9 +x 27 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 2 – 1. Bài 6 : Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r. Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn tâm O, song song với ba cạnh của tam giác. Tìm gía trò nhỏ nhất của biểu thức : S SSS 321 ++ 7 A B C S 1 S 2 S 3 O . UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1997 - 1998 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 8: Bài 1 : Dãy số x1, x2, x3, … xn được xác đònh như sau: x 1 = 2 . x n+1 = 1 1 + − n n x x với n = 1, 2, 3, … Tính x 2004 Bài 2 : Cho .1; 1 22 44 =+ + =+ yx bab y a x Chứng minh rằng: 10001000 2000 1000 2000 22 )( 1 ) ) bab y a x b aybxa + =+ = Bài 3 : Chứng minh rằng : a) .12n5121 4 n 8 n 12 n +=∀+−− k b) Nn nnnn ∈∀+−− 2027077188892902 Bài 4 : Giải phương trình : a) 4 3 10 2 6 = − + − xx b) .20042004 24 =++ xx Bài 5 : Tính tổng sau : . 2001.1999 1000 . 7.5 3 5.3 2 3.1 1 2222 ++++=S Bài 6 : Cho đường tròn (O;R) và dâu cung AB. Qua trung điểm I của AB vẽ hai dây cung CD và EF. Các đường thẳng CE và DF cắt AB tại M và N. Chứng minh rằng IM = IN. Hết 8 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1998 - 1999 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 9: Bài 1 : a) Tính P = 2000 1999 2000 1999 19991 2 2 2 +++ c) Chứng minh rằng 222 )( 1 )( 1 )( 1 accbba − + − + − là một số hữu tỉ. Bài 2 :a) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì 46 n + 296.13 n 1947 b) Tìm số dư trong phép chia 109 345 cho 14. Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của y = 1 34 2 + + x x . Bài 4 : Chứng minh rằng số N sau đây là số chính phương : N = 150 .01.11 .111 01994 11995 + số số là số chính phương. Bài 5 : Giảsử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 – ax +1 = 0. Tính : S 7 = x 1 7 +x 2 7 theo a. Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại B, trên tia đối của tia BA, lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳnng vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại A ở E. Chứng minh rằng : Tam giác BDE cân. Hết 9 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THIHỌCSINHGIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1999 - 2000 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài 180 phút) ĐỀ 10: Bài 1 : a) Tìm các chữ số a, b, c sao cho 115221 cab b) Tìm n để n 4 + n +1 là số nguyên tố. Bài 2 :a) Chứng minh rằng 1099 9 9 9 99 − b) Chứng minh rằng : 0.7 ( ) 701970 681968 37 − là số nguyên. Bài 3 : Số nào lớn hơn : a) 6666666669 6666666664 5555555557 5555555553 hay b) 11995 11995 1997 1996 + + và 11995 11995 1995 1994 + + Bài 4 : Tìm nghiệm dương của hệ phương trình : a) =++ =++ =++ 4 18 6 222 zyx zyx zyx b) −=+ −=+ −=+ 14 14 14 yxz xzy zyx Bài 5 : Giải phương trình : a) 33332 yx −=− . b) x x xx x 11 1 1 − =−−− Bài 6 : Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc bốc cạnh hình vuông. a) Chứng minh rằng : S ABCD = )( 4 QMPQNPMN AC +++ b) Xác đònh vò trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Hết . 10 . E. Chứng minh rằng : Tam giác BDE cân. Hết 9 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1999 -. Hết 1 UBND HUYỆN CÁT TIÊN PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN (Đề chính thức) KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm 1991 - 1992 MÔN : TOÁN LỚP : 9 (Thời gian làm bài