Đềthi tuyển sinh năm 2007 2008 Bài 1 : Cho biểu thức P = + ++ + 3x 4x2x x. 2x 5 1 với x 0 và x 4 1/ Rút gọn P. 2/ Tìm x để P > 1 Bài 2 : Cho phơng trình x 2 2(m + 1)x + m 4 = 0 (1), (m là tham số). 1/ Giải phơng trình (1) với m = -5. 2/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi m. 3/ Tìm m để 21 xx đạt GTNN (x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2/). Bài 3 : Cho (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O), (E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB; các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF vơi các đờng thẳng OM và OH. 1/ Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn. 2/ Chứng minh : OH.OI = OK.OM 3/ Chứng minh IA, IB là các tiếp tuyến của (O). Bài 4 : Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 để x + y là số nguyên. Hớng dẫn Bài 1 : 1/ P = 2x 4x . 2/ P = 1 khi 0 x < 4. Bài 2 :1/ Khi m = -5, ta có pt x 2 + 8x - 9 = 0 x 1 = 1, x 2 = -9. 2/ Có = [-(m + 1)] 2 1.(m 4) = m 2 + 2m + 1 m + 4 = m 2 + m + 5 = (m + 2 1 ) 2 + 4 19 >0 PT luôn có 2 n o p/b với mọi m. 3/ N o của pt là x 1 = m + 5mm 2 ++ , x 2 = m - 5mm 2 ++ 5mmm5mmmxx 22 21 ++++++= = 5mm2 2 ++ = 2 5mm 2 ++ Có m 2 + m + 5 = (m + 2 1 ) 2 + 4 19 4 19 5mm 2 ++ 2 19 2 5mm 2 ++ 19 . Vậy GTNN của 21 xx là 19 khi m = -1. Bài 3 : K O A M I B E F H 1/ 5 điểm M, E, O, H, F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO. 2/ OHM ~ OKI (g.g) OI OM OK OH = OH.OI = OM.OK 3/ Có MEO ~ EKO (g.g) OK OE OE MO = MO.OK = OE 2 Mà OE = OA nên MO.OK = OA 2 OK OA OA MO = MOA ~ AOK (c.g.c) OMA = OAK. Mà OMA = OIK (cmt) OAK = OIK Tứ giác IAKO nt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp ) OAI = OKI = 90 0 (2 góc nt cùng chắn cung OI của (IAKO)) OA IA IA là tt của (O). Lại có OAI = OBI = 90 0 IB là tt của (O). Bài 4 : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 (1) Cách 1 : Đặt x + y = t (t Z) y = t x y 2 = t 2 2xt + x 2 ta đợc pt : x 2 +2(t 2 2tx + x 2 ) +2x(t x) 5x 5(t x) + 6 = 0. x 2 +2t 2 4tx + 2x 2 + 2xt 2x 2 5x 5t + 5x + 6 = 0 x 2 - 2xt + 2t 2 5t + 6 = 0 (*) Có ' = (-t) 2 -1.(2t 2 5t + 6) = t 2 2t 2 + 5t 6 = -t 2 + 5t 6 Để (1) có n o (x; y) thì (*) có n o x. Để (*) có n o x thì ' 0 hay -t 2 + 5t 6 0 t 2 - 5t + 6 0 (t - 3)(t - 2) 0 2 t 3 pt (*) có n o x 1, 2 = t 6t5t 2 + Mà t Z nên t {3; 2}. - Với t = 3 thì x = 3 y = 0. - Với t = 2 thì x = 2 y = 0. Vậy với (x = 3; y = 0), (x = 2; y = 0) thì x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số nguyên. Cách 2 : x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 (x + y) 2 5(x + y) + 6 + y 2 = 0, (x + y 3)(x + y 2) + y 2 = 0. - Nếu y = 0 thì = = 02x 03x = = 2x 3x - Nếu y 0 thì y 2 0, khi đó : (x + y 3)(x + y 2) + y 2 = 0 (x + y 3)(x + y 2) < 0 <+ >+ >+ <+ 02yx 03yx 02yx 03yx <+ >+ >+ <+ 2yx 3yx 2yx 3yx <+< líôV 3yx2 Vì x + y Z nên không có số nguyên nào thoả mãn lớn hơn 2 và nhỏ hơn 3. Do đó không có cặp số (x; y) nào thoả mãn 2 < x + y < 3. Vậy với (x = 2; y = 0), (x = 3; y = 0) thì x 2 + 2y 2 + 2xy 5x 5y = -6 và x + y là số nguyên. . Đề thi tuyển sinh năm 2007 2008 Bài 1 : Cho biểu thức P = + ++