ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU (Graph Ismorphism)

Khảo sát trên đồ thị đơn vô hướng. Đồ thị phải liên thông. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề. Cùng số đỉnh. Cùng số đỉnh bậc k, k nguyên dương  0. Cùng số cạnh. Cùng số thành phần. => Nếu hai đồ thị có ma trận kề (theo một thứ tự đỉnh nào đó) bằng nhau thì chúng đẳng cấu với nhau.

BÁO CÁO ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU (Graph Ismorphism) Ghi    Κ η ảο σ〈τ τρν η ướνγ Đồ τη ị πη ảι λιν Βι ểυ δι ễν đồ τη ị đồ τη ị đơν ϖ τηνγ β ằνγ µα τρ ậν κ ề Nhắc lại… Βι ểυ δι ễν đồ τη ị β ằνγ : Μα Τρ ậν Κ ề Χηο τη Γ = ( ς , Ε ) τρονγ ⌠ ς= {ϖ ,ϖ , …,ϖ ν } Μα τρ ν κ βι υ δι ν τη Γ λ◊ µα τρ ν χ⌠ κχη τη ướχ ν ξ ν đượχ ξ〈χ νη νη σαυ: α ιϕ = ν ếυ ( ϖ ι , ϖ ϕ) ∉ Ε ν υ ( ϖ ι , ϖ ϕ) ∈ Ε Ví dụ  Βι υ δι ν τη β νγ µα τρ ν κ ϖ η νγ σαυ Bậc đỉnh đồ thị  Β χ χ ủα đỉνη ϖ ∈ ς λ◊ σ ố χ ạνη λιν τηυ ộχ ϖ ớι ϖ, κ ηι ệυ λ◊ δεγ ( ϖ) Deg(5)=3 Song ánh (đơn ánh toàn ánh) Đơν 〈νη: φ: Ξ Ψ ∀ ξ, ξ∋ ∈ Ξ: φ ( ξ) = ηαψ ξ ≠ ξ∋ = > φ ( ξ) Το◊ν 〈νη: φ: Ξ Ψ ∀ ψ ∈ Ψ χ⌠ τ νη ấτ φ ( ξ) φ ( ξ∋) = > ξ = ξ∋ = φ ( ξ∋) µ ộτ ξ ∈ Ξ σαο χηο ψ = Σονγ 〈νη λ◊ µ ộτ 〈νη ξ ϖ ừα đơν 〈νη , ϖ α το◊ν 〈νη ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU Hai đồ thị G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) gọi đẳng cấu (Isomorphism) với tồn song ánh S sau: S: V1 V2 v1 v2 = S(v1) Sao cho: ∀ x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ⇔ (S(x), S(y)) ∈ E2 Và ∀ x, y ∈ V2 : (x, y) ∈ E2 ⇔ (S(x), S(y))∈ E1 Two Graph Isomorphism? Γ ραπη Γ ραπη C B D A E Ta có song ánh: A -> B -> C -> D -> E -> Graph Graph C B D A E Ta có song ánh: A -> B -> C -> D -> E -> Ta có song ánh: Với đỉnh lớn Với số số đỉnh(E,5) lớn (A,4); (B,2); (C,1); (D,3); số hốn vị số hoán vị Để χη ọν σονγ 〈νη νη τρν τη: lớn =>tìm hốn vị lớn =>tìm hốn vị − Τα γ ι ữ νγ υψν τη ứ τ ự χ〈χ đỉνη τρονγ thích hợp để thích để tạo tạo ς = {Α , Β, Χ, ∆, Ε hợp } song ánh song ánh − Τη τ χ〈χ νη τρονγ ς đượχ λ ấ ψ τ µ ộτ khó!!! ηο〈ν ϖ ị χ ủα đỉνη {1 ,là2 ,rất , khó!!! , }, ϖ ớι νη τη τα χ⌠ ! ηο〈ν ϖ − Σαυ đ⌠ λ ấψ τ ươνγ ứνγ χ〈χ đỉνη τρονγ ς ϖ◊ ς = > µ ộτ σονγ 〈νη γ ι ữα đồ τη ị Γ ϖ◊ Γ − Τµ µα τρ ậν κ ề χ α ηαι τη Γ ϖ◊ Γ τηεο τη τ νη νη τρν − Ν ếυ ηαι µα τρ ậν κ ề γ ι ốνγ νηαυ τη τα χ σονγ 〈νη χ ầν τµ Hai đồ thị đẳng cấu ta có:     Χνγ σ ố đỉ νη Đây Đây là những kiện cần Χνγ σ ố đỉ νη β ậχ κ, ∀ κđiều νγ υψν δ ươ νγ ≥ điều kiện cần để để hai hai đồ đồ thị thị đẳng đẳng cấu cấu!! Χνγ σ ố χ ạνη Χνγ σ ố τη◊νη πη ầν = > Ν ếυ ηαι đồ τη ị χ⌠ µα τρ ậν κ ề ( τηεο µ ộτ τη ứ τ ự đỉνη ν◊ο đ⌠) β ằνγ νηαυ τη χηνγ đẳνγ χ ấυ ϖ ớι νηαυ Nhưng đồ thị đẳng cấu với nhau? Kiểm tra tính đẳng cấu hai đồ thị Γ ραπη B A D Γ ραπη E F H G C Bài toán kiểm tra hai đồ thị đẳng cấu tốn khó (NP-Complete) Có nhiều thuật giải Chưa có thuật giải tối ưu!! Thuật toán kiểm tra hai đồ thị đẳng cấu   Χηο đồ τη ị Α ϖ◊ Β ⇑ τ ưởνγ : Ξψ δ ựνγ νη σαυ: ( γ ồµ ν đỉνη ) µ ộτ χψ τµ κι µ Root M={} M={(a1,b1)} M={(a1,b1),(a2,b2)}        ς ớι Μ λ◊ τ ậπ η ợπ χη ứα χ〈χ χ ặπ τ ươ νγ νγ Α ξΒ Ν ếυ Α ϖ◊ Β đẳ νγ χ ấυ τη:  M={(a1,b1),(a2,b2),…, (an,bn)}  M xác định song ánh Τ ạι µ ứχ ( Ροοτ) χ ủα χψ τη Μ = ∅ Τ ι µ χ χ α χψ τη Μ = {( α ,β 1) } ϖ ι ( α 1,β 1) χη ọν τ Ν χ〈χη χ⌠ τη ể χη ọν Τ ι µ χ χ α χψ τη Μ= {( α 1,β 1) , ( α 2,β 2) } ϖ ι ( α 2,β 2) χη ν τ ( Ν−1) χ〈χη χ⌠ τη χη ν … Τ ι µ χ Ν χ α χψ τη:  M={(a1,b1),(a2,b2),…, (an,bn)}  ΠΡΟΧΕ ∆ΥΡΕ Ματη( Σ)  IF M(S) cover all nodes THEN succeeds  ELSE Compute the set P of possible pairs can be chosen next  FOREACH p ∈ P  IF M+p is a feasible set of mapping  THEN  S’=New State(M+p)  Call Math(S’)  ENDIF  ENDFOREACH   ENDIF  Ε Ν∆ Thuật toán thực     Βαν đầ υ Μ= ∅ Τνη τ ậπ Π χ〈χ χ ặπ χ⌠ τη ể χη ọν τι ếπ τηεο ς ớι µ ỗι π ∈ Π , τα đư α π ϖ◊ο Μ ν υ Μ ∪ {π} τ ạο τη◊νη µ ộτ σονγ 〈νη γ ι ữα ηαι đồ τη ị χον ς◊ χ ứ τη ế τι ếπ τ ụχ… Ν υ τ π Μ χη ứα τ ấτ χ ả χ〈χ đỉ νη χ ủα ηαι đồ τη ị τη ηαι τη ν◊ψ đẳνγ χ ấυ THE END ... χηνγ đẳνγ χ ấυ ϖ ớι νηαυ Nhưng đồ thị đẳng cấu với nhau? Kiểm tra tính đẳng cấu hai đồ thị Γ ραπη B A D Γ ραπη E F H G C Bài toán kiểm tra hai đồ thị đẳng cấu toán khó (NP-Complete) Có nhiều... hai đồ đồ thị thị đẳng đẳng cấu cấu!! Χνγ σ ố χ ạνη Χνγ σ ố τη◊νη πη ầν = > Ν ếυ ηαι đồ τη ị χ⌠ µα τρ ậν κ ề ( τηεο µ ộτ τη ứ τ ự đỉνη ν◊ο đ⌠) β ằνγ νηαυ τη χηνγ đẳνγ χ ấυ ϖ ớι νηαυ Nhưng đồ. .. σαο χηο ψ = Σονγ 〈νη λ◊ µ ộτ 〈νη ξ ϖ ừα đơν 〈νη , ϖ α το◊ν 〈νη ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU Hai đồ thị G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) gọi đẳng cấu (Isomorphism) với tồn song ánh S sau: S: V1 V2 v1 v2 = S(v1)