Đề thi thử ĐH 08 ĐHSP1

BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Đề số: Họ tên: Lớp: Trường: Ngày: Câu 1: Cho hàm số 2 x x 2 y x 2 + − = − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số, từ đó suy ra đồ thị (C’) của hàm số 2 x x 2 y x 2 + − = − . 2. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Câu 2: 1. Giải phương trình: sinxcotg5x 1 cos9x = . 2. Nhận dạng tam giác ABC, biết: ( ) A B atgB btgA a b tg 2 + + = + . Câu 3: 1. Giải phương trình: ( ) ( ) x x x cos72 cos36 3.2 − + = o o . 2. Giải hệ phương trình 3 y 2 8x y xy 2  + =  + + =  3 x Câu 4: 1. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số y cos2x = . 2. Tính tích phân: 2 2 4 4 4cos x dx 1 sin x π π + ∫ . Câu 5: 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d 1 : 2x – 3y – 1 = 0 và d 2 : 3x + 2y + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 1) và tạo với d 1 , d 2 một tam giác cân đỉnh I là giao của d 1 , d 2 . 2. Cho mặt cầu đường kính SS'. Gọi H là điểm trên SS' sao cho SH = 2HS’, (P) là mặt phẳng qua H và vuông góc với SS'. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn (C). Chứng minh rằng SABC là tứ diện đều. ----------------------------- Hết ---------------------------- Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 1 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá LỜI GIẢI Câu I: Cho (C m ): y = x 3 + 2(m – 1)x 2 + (m 2 – 4m + 1)x – 2(m 2 + 1). 1. Khảo sát khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 đồng thời ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + . Giải: 1. Khi = 0, ta có y = x 3 – 2x 2 + x – 2. • TXĐ: D = ¡ . • SBT: y’ = 3x 2 – 4x + 1; y’ = 0 ⇔ 1 x 3 = hoặc x = 1. Hàm số đồng biến trong khoảng 1 ; 3   −∞  ÷   và ( ) 1;+∞ ; nghịch biến trong khoảng 1 ;1 3    ÷   Điểm cực đại của đồ thị 1 50 A ; 3 27   −  ÷   ; điểm cực tiểu B(1; –2). Giới hạn vô cực x x lim y ; lim y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ . Bảng biến thiên Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 2 - –2 50 27 − −∞ +∞ y’ – 0 + 0 – x 1 y y x O 1 3 –2 1 (h.1) (C) 50 27 − BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá • Đồ thị: (h.1). 1. Hàm số có cực trị tại x 1 , x 2 ⇔ phương trình y’(x) = 3x 2 + 4(m – 1)x + m 2 – 4m +1 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ' 0 ⇔ ∆ > ⇔ 4(m – 1) 2 – 3(m 2 – 4m + 1) > 0 ⇔ m 2 + 4m + 1) > 0 m 2 3⇔ < − − hoặc m 2 3> − + (*). Khi đó áp dụng Viet đối với (1) suy ra thoả mãn yêu cầu: ( ) 1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 m 1 m 1 0 x x 0 x x x x m 1 x x 2 x x 2 m 4m 5 0 m 5 =  − = + =   + +  ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = −    = − − =    =  Kết hợp (*) suy ra thoả mãn yêu cầu bài toán khi chỉ khi: m = 1 hoặc m = 5. Câu II: Giải các phương trình: 1. 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos 3 4x = 0. 2. 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + . Giải: 1. Ta có: 8cos 3 4x = ( ) 4cos4x 1 cos8x 4cos4x 2cos12x 2cos 4x 6cos4x 2cos12x+ = + + = + . 2cos13x + 3cos3x + 3cos5x – 8cosx cos 3 4x = 0 ⇔ 2cos(12x + x) + 6cos4xcosx – cosx(6cos4x + 2cos12x) = 0 ⇔ – sin12xsinx = 0 ⇔ sin12x = 0 ⇔ x = k 12 π . 2. Cách 1: t 2x 3,t 0= + > (*). Phương trình trở thành: 4t 2 – 4xt + x 2 – 9 = 0 ⇔ x 3 t 2 ± = . Kết hợp (*) ta được: ( ) ( ) 2 2 x 3 0 x 3 2 2x 3 x 3 x 7 2 13 x 14x 3 0 4 2x 3 x 3 − >  >   + = − ⇔ ⇔ ⇔ = +   − − = + = −    . Hoặc: ( ) ( ) 2 2 x 3 0 x 3 2 2x 3 x 3 x 1 x 2x 3 0 4 2x 3 x 3 + >  > −   + = + ⇔ ⇔ ⇔ = −   − − = + = +    hoặc x 3= . Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 7 2 13= + ; x 1= − hoặc x 3= . 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 3 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Cách 2: 2 9 x 4 2x 3 4x 2x 3 − + − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x 3 0 2x 3 0 4 2x 3 4x 2x 3 x 9 0 2 2x 3 x 9 0 + > + >     ⇔ ⇔   + − + + − = + − − =     ( ) ( ) 2x 3 0 2 2x 3 x 3 2 2x 3 x 3 0 + >   ⇔  + − − + − + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 x x 2 2 x 1 4 2x 3 x 3 x 2x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 7 2 13 x 14x 3 0 4 2x 3 x 3     > − > −       = −        + = + − − =  ⇔ ⇔ ⇔ =       > >     = +       − − = + = −       . Câu III: 1. Tính: 3 dx I 2 3 sin x cos x π π = + − ∫ . 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ( ) 3 2 f x x 6x 9x 3= − + − trên đoạn [– 1; 4]. Giải: 1. 2 3 3 3 3 dx 1 dx 1 dx 1 dx I x 2 2 4 2 3 sin x cos x 3 1 1 cos x sin 1 sin x cosx 3 2 6 2 2 π π π π π π π π = = = = π π     + − − + + + −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 3 x 2d 1 1 x 1 1 2 6 cotg x 4 2 2 6 2 3 3 3 sin 2 6 π π π π π   +  ÷ π π π       = = − + = + =  ÷  ÷ π       +  ÷   ∫ . Cách 2: 3 3 3 dx 1 dx 1 dx I 2 2 2 3 sin x cos x 3 1 1 sin x 1 sin x cos x 6 2 2 π π π π π π = = = π   + − + − + −  ÷   ∫ ∫ ∫ 2 2 3 3 1 dx 1 dx x 2 4 x x sin sin cos 2 6 2 12 2 12 π π π π = = π    π π      +  ÷ − + −  ÷  ÷           ∫ ∫ =…. 2. Gọi ( ) ( ) 3 2 2 g x x 6x 9x 3;g ' x 3x 12x 9= − + − = − + , g’x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3. Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 4 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút). Biên soạn & trình bày lời giải: Ngô Xuân Ái. Trường THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá Ta lại có g(– 1) < 0, g(1) > 0, g(3) < 0 và g(4) > 0; suy ra g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 thoả mãn – 1 < x 1 < 1 < x 2 < 3 < x 3 < 4. Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): Suy ra: [ ] ( ) ( ) 1;4 max f x f 1 19; − = − = [ ] ( ) ( ) i 1;4 min f x f x 0 − = = . Trong đó: x i (i = 1,2, 3) là nghiệm của g(x) = 0. Câu IV: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có ( ) A 1; 3− − , trọng tâm ( ) G 4; 2− và đường trung trực của AB có phương trình 3x + 2y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Phương trình AB: 2(x + 1) – 3(y + 3) = 0. Toạ độ trung điểm D của AB thoả mãn hệ: Gọi C(x; y) ta có CD 3GD= uuur uuur Phương trình trung trực của AC Toạ độ tâm I(x; y) đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC thoả mãn hệ: Bán kính của (C) là IA = Phương trình (C): Câu V: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0) và D(0; 0; m), m > 0. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên AD và BD. a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa CE và CF. b) Tìm m để · ECF 45= o . 2. Giải hệ phương trình 2 2 xy 2 6 x 2 3y 2xy  − = −   + =   Giải: 1. Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 5 - g’(x) 0 0 x – 1 x 1 1 x 2 3 x 3 4 1 0 0 0 1 3 19 f(x) G C d A B D . 3 4x 2x 3 − + − = + Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 3 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút) ⇔ x = 1 hoặc x = 3. Created by Mr Ai. THI THỬ ĐẠI HỌC khối A lần 1. KHỐI CHUYÊN ĐHSP1 – HÀ NỘI . - 4 - BỘ ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút).