Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Trịnh Hồng Ngọc Tốn CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1: Giải hệ phương trình 1) 2) 3) 5) 6) 7) Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 4) �x y 3 � �3 � �4 x y x 8) � Giải hệ phương trình sau phương pháp thích hợp 2x 3y x y m � � 5x y 2) x y 3) � x y 2 1) x y 5 x 11 y x y 4 4) 10 x 11 y 31 5) x y 1) 4) 7) 8) x y 4 6) x y 3 Hệ 1: Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ 2) 3) 5) 6) x y 2 1 9) x y Hệ 2: Giải biện luận hệ phương trình �x y m � x my � Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a)x = y = nghiệm hệ (1) Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = Bài tập 2: Cho hệ phương trình �x y k � 2x y k � (1) b)Hệ (1) vô nghiệm Trịnh Hồng Ngọc Toán Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm x = – y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k �x y � x my � Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) 1.Giải hệ phương trình (1) m = –7 2.Xác định giá trị m để: a) x = – y = nghiệm hệ (1) b)Hệ (1) vơ nghiệm 3.Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Bài tập 4: Cho hệ phương trình mx y 1 � � 2x y � (1) Giải hệ phương trình (1) m = 2 y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Bài tập : Cho hệ phương trình �x y � 2x 3y m � (1) 1.Giải hệ phương trình (1) m = –1 Bài tập 6: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa �x � �y x y 3m � � x y 2m � �x � �y Với giá trị m hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 2mx y � � Bài tập 7: Cho hệ phương trình : �mx y (1) Xác định giá trị m để hệ (1): a)Có nghiệm tìm nghiệm theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = mx y m � � 2 x y m ( m tham số) (I) Tính giá trị tham số m để hệ Bài tập : Cho hệ phương trình : � phương trình (I) có nghiệm tính nghiệm theo m Hệ 3: Xác định tham số để hệ có nghiệm cho trước Bài 1:Tìm m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: Bài 2: a) Tìm m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + Bài 3: Trịnh Hồng Ngọc Toán a) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) b) Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) Bài 4: a) Tìm m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy b) Định m để đường thẳng sau đồng quy b1)2x – y = m ( d1 ) x - y = 2m ( d ); mx – (m – 1)y = 2m – 1( d3 ) b2) mx + y = m2 + 1( d1 ) (m +2)x – (3m + 5)y = m – ( d ) (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2( d3 ) Bài 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước thỏa mãn hệ thức: 2x + y+ =3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Giải hệ phương trình sau: �x y xy �x y �2 �3 x y xy 13 x y 133 a � b � �2 x �x y y � � 2( x 1) 3( y 2) 5( x y ) 17 � �x x � � 4( x 3) ( y 2) y x d � y y e � c � x xy y x � � 2 y xy x y � 2( x 1) 3( y 2) 5( x y ) 17 � � 4( x 3) ( y 2) y x f � Bài 2: Giải biện luận hệ phương trình sau: 1) 2) 3) Bài 3: Cho hệ phương trình (m tham số) a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > Trịnh Hồng Ngọc Toán c) Với giá trị m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương Bài 4: Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm góc phần tư thứ IV c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho hệ phương trình a) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < b) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 6: Cho hệ phương trình: a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - Bài 7: Cho hệ phương trình: Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức Bài 9: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) c) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ II mặt phẳng tọa độ Oxy d) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = Hệ 4: Giải toán cách lập hệ phương Dạng 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài Hai ô tô khởi hành từ A đến B dài 100 km, Ơ tơ thứ nhanh tơ thứ hai 10 km /h nên đến B trước ô tơ thứ hai 30 phút Tính vận tốc ô tô Bài Một ô tô tải chạy từ A đến B dài 200 km Sau 30 phút tắc xi chạy từ B A, hai ô tô gặp quãng đường AB Tính vận tốc xe biết tơ tải chạy chậm tắc xi 10 km/h Bài Một ca nô xuôi khúc sông dài từ A đến B dài 120 km , ngược dòng từ B A hết Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dịng nước km/h Bài Một ca nô xuôi khúc sông dài từ A đến B dài 120 km , ngược dòng 78km Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dịng nước km/h thời gian xi nhiều thời gian ngược Bài Một ca nơ xi dịng từ A đến B Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B, sau 24 km ca nô quay lại gặp bè nứa D cách A km Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dòng nước 4km/h Bài Một ô tô quãng đường 150 km với vận tốc dự định Khi quãng đường xe hỏng phải dừng lại sửa 15 phút Để kịp định ô tô phải tăng thêm 10 km/ h đoạn đường cịn lại Tính vận tốc dự định ô tô Bài Xe máy ô tô khởi hành từ A đến B Vận tốc xe máy 30 km/h ô tô 45 km/h Sau quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm km/h đoạn đường cịn lại Tính qng đường AB biết tơ đến sớm xe máy 20 phút Bài Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B Bài Một người đibxe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14 km/h đến B sớm vận tốc giảm km/h đến B muộ Tính quãng đường AB, vận tốc thời gian dự định Bài 10 Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngược chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h (có vận tốc dòng nước) vận tốc dòng nước km/h Trịnh Hồng Ngọc Toán Dạng 2: TOÁN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG Bài Một đội xe cần chuyên chở 360 hàng Nếu bớt xe xe phải chở thêm Hỏi đội có xe? Bài Một đội xe cần chở 350 hàng Khi làm việc có hai xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 20 hết số hàng cần chở Hỏi số xe lúc đầu đội? Bài Một đội máy cày phải cày 280 Khi thực đội điều thêm máy Do đó, máy cày 10 tổng diện tích cày thêm 20 nữa.Tính số máy ban đầu Bài Một đội xe cần chở 168 thóc thêm xe xe chở nhẹ tổng số thóc tăng 12 Tính số xe ban đầu Bài Một đội sản xuất cần sản xuất số sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, số người trực tiếp sản xuất giảm người Do vậy, để hồn thành kế hoạch, người cịn lại phải tăng suất 25% Tính số người lúc ban đầu Bài Một xí nghiệp đóng giày dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Do cải tiến kĩ thuật nên ngày vượt mức kế hoạch 6000 đôi giày Do đố, hoàn thành kế hoạch 24 ngày mà cịn vượt mức 104.000 đơi Tính số giày phải làm theo kế hoạch? Bài Trong dịp tổ chức tham quan, 180 HS khối lớp tham gia Người ta dự tính, dùng xe lớn chở lượt hết số HS phải điều dùng xe nhỏ xe Biết xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ Tính số xe lớn? Dạng 3: TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC Bài Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vịi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể Bài Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hoàn thành Bài 3: đội công nhân làm công việc 4h xong Nếu đội làm xong cơng việc đội cần thời gian so với đội 6h Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu? Bài 4: tổ cơng nhân làm chung cơng việc tronh 12h hồn thành cơng việc định Ban đầu họ làm chung 4h họ điều tổ đi, tổ làm nốt 10h Hỏi tổ làm xong cơng việc Bài 5: người thợ làm cơng việc 6h xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ làm 6h hồn thành 25% cơng việc Hỏi mối người tự làm xong cơng việc? Bài 6: vịi nước chảy 5h50ph đầy bể Nếu chảy riêng vời thứ chảy nhanh vòi 4h Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể Bài 7: vòi chảy vào bể 1h48ph Nếu chảy riêng vịi thứ nhanh vịi thứ 1h30ph Hỏi chảy riêng vịi đầy bể? Bài 8: vòi chảy đầy bể 1h30ph Nếu mở vịi 15ph, khóa lại mở vịi 20ph bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Dạng 4: TOÁN TỈ LỆ PHÂN CHIA Trịnh Hồng Ngọc Toán 1 Bài 1: 12 người ăn 12 bánh Mỗi người đàn ông ăn chiếc, người phụ nữ ăn trẻ em ăn Hỏi có đàn ơng, phụ nữ trẻ em? Bài 2: Có 45 người gồm luật sư, bác sĩ Tính số luật sư bác sĩ biết tuổi trung bình luật sư 50 bác sĩ 35 Biết tuổi trung bình tất 40 Bài Một phịng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế Bài Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10 Bài Hai lớp 9A 9B có tổng cộng 70 HS chuyển HS từ lớp 9A sang lớp 9B số HS hai lớp Tính số HS lớp Bài Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75 m Tính diện tích ruộng Bài 7: Dự định phát 280 sách cho học sinh lớp Nhưng học sinh vắng mặt nên học sinh nhận nhiều 12 Hỏi dự định phát cho học sinh? TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: Cho đường tròn tâm O, dây cung CD Qua O vẽ OH vng góc CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn M Chứng minh MD tiếp tuyến (O) Bài 2: Cho đường trịn tâm O, điểm M nằm ngồi O Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB Gọi H giao điểm OM với AB Chứng minh OM vng góc AB HA=HB Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ Ax vng góc AB, By vng góc AB phía so với nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt Ãx, By C D Chứng minh: AC+BD=CD Bài 4: Cho đường trịn tâm O đường kính R=5cm Từ điểm M nằm O vẽ tiếp tuyến MA, MB cho MA vng góc MB M a) Tính MA, MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C, D Tính CD � Bài 5: Cho đường tròn tâm O, từ M nằm O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cho AMB 60 Biết chu vi tam giác MAB 18cm Tính cung AB Bài 6: Cho đường trịn tâm O từ điểm M nằm ngồi O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB Kéo dài OB đoạn � 1� BMI AMI BI=OB Chứng minh Bài 7: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, vẽ dây AC kéo dài AC đoạn CD=AC Trịnh Hồng Ngọc Toán a) Chứng minh tam giác ABD cân � b) Xác định vị trí điểm C để BD tiếp tuyến đường tròn B tính DAB Bài 8: Cho tam giác ABC vng A Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (d) tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắ (d) theo thứ tự D E � a) Tính DOE b) Chứng minh DE=BD+CE c) Chứng minh: BD.CE= R d) Chứng minh: BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE Bài 9:Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) Gọi I trung điểm CD CMR: điểm M, A, O, I, B nằm đường tròn CUNG VÀ DÂY CUNG Bài 1: Cho (O;5cm) điểm M cho OM=10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo Bài 2: Cho tam giác ABC đều, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BC, DE, EC Bài 3: Cho đường tròn tâm (O;R) (O;r) với R>r Điểm M nằm (O;R), qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O;r) cắt (O;R) A B (A nằm M B), cắt (O;R) C D ( C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD Bài 4: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây AC BD song song Qua O vẽ � � đường vng góc AC M BD N So sánh AC BD Bài 5: Cho đường tròn tâm O, dây AB cố định Điểm M thuộc đường tròn tâm O điểm I chia đường gấp khúc AMB thành phần Chứng minh I đường tròn cố định � AMB � ANB Bài 6: Cho đường tròn (O) dây AB chia đường trịn thành hai cung thỏa mãn a) Tính số đo cung AB b) Chứng minh khoảng cách từ O đến AB GÓC TRONG NỘI TIẾP Trịnh Hồng Ngọc Tốn Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính OA OB vng góc Lấy C thuộc đường tròn tâm O cho sd � AC � Tính góc tam giác ABC sd BC Bài 2: Cho tam giác ABC cân A có số đo 50 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H � � � Tính số đo cung AD, DH , HC Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB vng góc với dây cung CD E Chứng minh CD AE.BE GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Bài 1: Cho đường tròn tâm O điểm A, B, C (O) Cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A M So sánh � � góc AMB, ACB Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R Đường kính AB vng góc CD Điểm I nằm cung AC cho tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M để IC=CM � a) Tính AOI b) Tính OM GĨC TRONG VÀ GĨC NGỒI ĐƯỜNG TRỊN � � Bài 1: Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm (O) cho số đo cung sau: AB 40 , CD 120 Gọi I giao điểm AC biến đổi M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB Bài 2: Cho đường trịn tâm O, từ M ngồi O vẽ cát tuyến MAC MBD cho góc CMD có số đo 40 Gọi � E giao điểm AD BC Biết AEB 70 Tính số đo cung AB CD Bài 3: Cho đường trịn tâm O, từ M nằm ngồi đường tròn vẽ cát tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC qua O ( B � � � nằm M C) Đường trịn đường kính MB gặp MA E Chứng minh ANC BmA BkE LUYỆN TẬP VỀ CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC’ Bài 1: Cho A điểm cố định đường tròn tâm O M điểm di động đường tròn N giao điểm Am đường cố điịnh BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tieeos tam giác OMN cố định Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn (O) đường tròn đường kinh BC cắt AB, AC theo thứ tự D E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh: � � � a) AI⊥BC, b) IDE IAE c) BAC 60 chứng minh tam giác DOE Bài 3: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng Ax với bờ AB Phân giác góc Acx cắt đường trịn E, cắt BC D Chứng minh:’ a) Tam giác ABD cân c)) H giao AC BE Chứng minh DH⊥AB b) BE cắt Ax K Chứng minh từ giác AKDH hình thoi Bài : Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường trịn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định Hướng dẫn chứng minh :Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP Trịnh Hồng Ngọc Tốn Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD a)Chứng minh : AI BC b)Chứng minh : c)Cho góc BAC = 60 Chứng minh tam giác DOE tam giác Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường trịn E , cắt BC D Chứng minh : a) Tam giác ABD cân b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi Từ tập câu hỏi khác : - Chứng minh OE AC - Tìm vị trí C cung AB để ABD Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh : a) R = b) R = VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: Cho (O) (O’) bán kính 5cm cắt A B Biết OO’=8cm Tính dây cung AB Bài 2: Cho đường tròn (O;R) (O’;R’) cắt A B với R>R’.Vẽ đường kính AOC đường kính AO’D Chứng minh B, D, C thẳng hang Bài 3: Cho đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA=AN Đường vuông góc với MN A cắt OO’ I Chứng minh I trùng điểm OO’ Bài 4: Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến trung A Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ M Bài 5: Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc với M Hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với (O’’;R’’) E F Tính bán kính R’ biết chu vi tam giác OO’O’’ 22 Bài 6: Cho hai đường tròn đồng tâm Đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB = CD tiếp xúc với đường trịn nhỏ M N AB vng góc CD I Tính bán kính đường trịn IA = 3cm IB = cm Bài : Cho hai đường tròn ( O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D ( O ) ; E ( O’) Gọi M giao điểm BD CE a) Tính số đo góc DAE b) b)Tứ giác ADME hình ? c) c)Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Bài 8: Cho hai đường tròn (O; 20cm) (O’; 15cm) cắt A B Biết AB = 24cm O O’ nằm hai phía so với dây chung AB Vẽ đường kính AC đường trịn (O) đường kính AD đường trịn (O’) Trịnh Hồng Ngọc Tốn a)CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng b)Tính độ dài đoạn OO’ c)Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) (E, F tiếp điểm) CMR: Đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng EF Bài 9: Cho hai đường tròn ( O) (O’) tiếp xúc A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D ( O ) ; E ( O’) Gọi M giao điểm BD CE a)Tính số đo góc DAE b)Tứ giác ADME hình ? c)Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Với tập hỏi : CMR : góc OFO’ góc vng DE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OFO’ Các tia AD AE cắt (O) (O’) H ; K Chứng minh : SAHK = SADE c)Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn TỨ GIÁC NỘI TIẾP Bài 1: cho tam giác ABC có AB>AC Vẽ đường cao AH, BK, CF cắt trực tâm I Nối HK, KF, FH Nêu tên tứ giác có hình Bài 2: Góc xOy nhỏ 90 Lấy A, B thuộc Ox cho OA=2, OB=6 Lấy C, D thuộc Oy cho OC=3, OD=4 Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Bài 3: Cho A thuộc (O) Từ M tiếp tuyến A vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh AMIO nội tiếp Bài 4: Cho (O) đường kính AB M điểm tiếp tuyến xBy AM cắt (O) C, D thuộc BM Nối AD cắt (O) I Chứng minh CIDM tứ giác nội tiếp Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A AB=5, AC= , H thuộc BC kẻ đường cao AH Đường tròn (A, HA) cắt AB D, Ac E Chứng minh CEBD nội tiếp Bài 6: Cho (O) đường kính AB, từ A, B kẻ Ax vng góc AB, By vng góc BA Vẽ tiếp tuyến x’My’ M cắt Ax C By D OC cắt AM I OD cắt BM K Chứng minh CIKD nội tiếp Bài 7: Cho (O) đường kính Ab Vẽ bán kính OC vng góc Ab Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi M trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn E, cắt Bx D Chứng minh MODE nội tiếp Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE a) Chứng minh BEDC nội tiếp b) Chứng minh AD.AC=AE.AB Trịnh Hồng Ngọc Toán b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc ; 7 Gọi A( ) B(2; 1) a)Viết phương trình đường thẳng AB b)Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – Bài tập 4: Cho hàm số y = x có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (D) Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm – Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) �x A xB � 11 y yB Gọi A điểm �(P) B điểm �(D) cho � A Xác định tọa độ A B Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số b) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hồnh cho MA + MB nhỏ Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + Vẽ (P) (D) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vng Trịnh Hồng Ngọc Tốn CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ tính giá trị biểu thức: 2 Tổng bình phương nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S2 – 2P 1 x1 x2 S x x x x P 2 Tổng nghịch đảo nghiệm: x12 x22 S2 2P 1 2 x x ( x x ) P2 2 Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: 2 Bình phương hiệu nghiệm: (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 = S2 – 4P 3 Tổng lập phương nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2(x1 x2 ) = S3 – 3PS Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: Trịnh Hồng Ngọc Toán 1 x x2 b) 3 a) x x c) (x1 x2 ) d) x1 x2 Ví dụ tìm hệ thức khơng phụ thuộc m: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Ví dụ tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28 2 +1 b = – Ví dụ 2:Cho hai số a = Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm – 2 Giả sử x1, x2 nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = Bài tập :Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài tập :Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 2 Gọi x , x hai nghiệm (1) Tính A = x1 x2 theo m 2 Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc m 2 Tìm m để x1 x2 = 10 Trịnh Hồng Ngọc Toán Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương nghiệm pt (1) 11 Bài tập 10 : Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) (1) b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép tính nghiệm kép c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải phương trình sau : a / 2x d / x 3x b / 3x 5x e / x 3x 2x Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x mx m (1) a/ Giải phương trình với m = - 2 3 b/ Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tính x1 x ; x1 x theo m 2 c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1 x d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = c / 2x 3x x2 f/ 3 x 5 2 x Trịnh Hồng Ngọc Toán e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị m LUYỆN TẬP Bài Giải phương trình : a / x 5x b / x 29x 100 c / x 3x x d /11x 8x 18x 8x x x Bài Cho phương trình x2 + px - = có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau : a / x1 x 2 b / x12 x 2 (1) Bài Cho phương trình : x 3y 2xy 2x 10y e / 4x a/ Tìm nghiệm (x; y) phương trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10 b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) (x k 3) � x 2(k 3)x 3k � (1) � � Bài Cho phương trình : a/ Giải phương trình (1) k = b/ Tìm giá trị k để phương trình (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm Bài Giải phương trình : a / x 2x x 2x b / 6x 15x 2x 5x c / 8x 8x 12x 12x 2( 2x 2x 1) 2 Bài Cho phương trình ẩn x, tham số t : x 2(t 1)x t (1) a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiệm tích hai nghiệm (1) Bài Cho phương trình ẩn x, tham số m : mx 5x (m 5) a/ Giải phương trình (1) m = b/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị biểu thức A 16x1x 3(x12 x 22 ) Tìm m để A = 2 Bài Cho phương trình ẩn x, tham số m : (m 3)x 2(m 3m)x m 12 a/ Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (1) 2 b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm số nguyên m lớn cho x1 x số nguyên LUYỆN TẬP Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x 2( m 3) x 2m (1) a/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m 1 m b/ Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Hãy tìm m để x1 x2 Trịnh Hồng Ngọc Bài Cho a Toán 1 ;b 2 2 a/ Hãy tính : a b ab b/ Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 a b ; x2 b 1 a 1 Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x 3mx 3m (1) a/ Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ? b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có nghiệm trình x1 Khi tìm nghiệm x2 phương Bài � a b � a b P� : � ab b a ab � � � �a b b a Cho biểu thức (với a 0, b 0, a �b ) a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính số trị biểu thức P biết a b hai nghiệm phương trình x2 8x 2 Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x x m (1) a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm số âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = Bài Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a tham số) : x 3x a (1) x ax (2) a/ Giải phương trình (1) (2) trường hợp a = -1 b/ Chứng minh với giá trị a hai phương trình ln có hai phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2 Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x (m n) x (m n ) (1) a/ Giải phương trình (1) m = n = b/ Chứng minh với giá trị m, n phương trình (1) ln có nghiệm c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x x Bài 6.Cho phương trình : x 2(m 1) x 2m Trịnh Hồng Ngọc a/ Giải phương trình Tốn m b/ Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm 2 Bài Cho phương trình bậc hai : x 2( m 1) x m 3m (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2 b/ Tìm giá trị m thỏa mãn x1 x2 12 (Trong x1 , x2 hai nghiệm phương trình) ? Bài Cho hai phương trình : x x 2m (1) a/ Giải hai phương trình với m = - x x 2m 10 (2) b/ Tìm giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phương trình có nghiệm b x1 x2 x , x a Bài a/ Chứng minh : Nếu phương trình bậc hai ax bx c có hai nghiệm c x1.x2 a b/ Tìm hai số biết tổng chúng tích chúng - 2 c/ Tìm số nguyên a để phương trình x ax a có nghiệm Bài 10 Cho phương trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Giải phương trình với m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phân biệt Bài 11 Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 3) Với x1, x2 nghiệm (1) Tính theo m giá trị biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bài 12 Cho phương trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - = (1) 1) Giải phương trình (1) m = -1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương 2 Bài 13 Cho phương trình bậc hai x 2(2m 1) x 3m (x ẩn) (1) a/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Hãy tìm m để x1 x2 2 S Bài 14 Cho phương trình x2 - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 Tính giá trị biểu thức : Bài 15 Cho phương trình : ( m 1) x 2( m 1) x m (1) (m tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = x2 x1 x1 x2 Trịnh Hồng Ngọc Toán 1 x x2 b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài tập1: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải số lớn số ban đầu 682 Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số Bài tập 3: Giải tốn sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số 10; tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho Bài tập 4: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 144m Tính kích thước hình chữ nhật Bài tập 5: Giải tốn sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m chiều rộng giảm 5m diện tích tăng thêm 50m2 Tính diện tích khu vườn ban đầu Bài tập 6: Giải toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kich thước Bài tập 7: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính diện tích sân trường Bài tập 8: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm Tình hai cạnh góc vng tam giác Bài tập 9: Cho tam giác vng có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài cạnh góc vng Bài tập 10:Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ vòi thứ hai bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? Bài tập11: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 20 phút đầy bể Nếu để vịi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút 15 thể tích bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? Bài tập 12: Giải tốn sau cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau 4 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau bể nước Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? Bài tập13: Giải toán sau cách lập phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể? Trịnh Hồng Ngọc Toán Bài tập 14: Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 27 phút Tính vận tốc xe Bài tập 15: Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B 44 phút Tính vận tốc xe LUYỆN TẬP Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh góc COD = 900 AB Chứng minh AC BD = Chứng minh OC // BM Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Chứng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường trịn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Trịnh Hồng Ngọc Toán Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi � � Chứng minh ABD DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đươn vng góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : BD BM 1.Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA EB với nửa đường tròn (I), (K) Chứng minh EC = MN Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn Trịnh Hồng Ngọc Tốn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường trịn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, GChứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH PQ Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B) ; đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đường trịn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB Nối CD, Kẻ BI vng góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến (O’) Bài 20 Cho đường trịn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằngTứ giác MDGC nội tiếp Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O’) Bài 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) QChứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chứng minh AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bài 22 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H KChứng minh BHCD tứ giác nội tiếp Tính góc CHK Chứng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? Trịnh Hồng Ngọc Toán Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền ngồi tam giác ABC hình vng ABHK, ACDEChứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, CM: FBC tam giác vuông cân Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh điểm B, K, E, M, C nằm đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường trịn cắt BA BC D EChứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đường tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp Chứng minh MI = MH.MK Chứng minh PQ MI Bài 26 Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB � � Chứng minh Tứ giác ABOC nội tiếp BAO BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Bài 27 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 28 BC dây cung đường tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy HChứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA’ Gọi A1 trung điểm EF, Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn Bài 29 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh AM phân giác góc OAH � � � � � Giả sử B C Chứng minh OAH B C � � Cho BAC = 600 OAH = 200 Tính: � � a) B, C tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R Bài 30 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R Vẽ đường kính CD (O; R); gọi H giao điểm ba đường cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH Tính AH theo R Bài 31 Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh MN di động , trung điểm I MN nằm đường tròn cố định Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đường Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi tam giác AMN Trịnh Hồng Ngọc Tốn Bài 32 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M Chứng minh OM BC Chứng minh MC2 = MI.MA Kẻ đường kính MN, tia phân giác góc B C cắt đường thẳng AN P Q Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q thuộc đường tròn Bài 33 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiều cao AH = Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’Tính bán kính đường trịn (O) Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ hình gì? Tại sao? Kẻ AK CC’ tứ giác AKHC hình gì? Tại sao? Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi tam giác ABC Bài 34 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN EChứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC Chứng minh AE AC – AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài 35 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, BE, CF, AC Chứng minh Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhật Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 36 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B (O), C (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I Chứng minh tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp � Chứng minh BAC = 900 Tính số đo góc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm Bài 37 Cho hai đường trịn (O) ; (O’) tiếp xúc ngồi A, BC tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’) Tiếp tuyến chung A cắ tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm O’M AC Chứng minh Chứng minh tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp Tứ giác AEMF hình chữ nhật ME.MO = MF.MO’ OO’ tiếp tuyến đường trịn đường kính BC BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ Bài 38 Cho đường trịn (O) đường kính BC, dấy AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF Hãy xác định vị trí tương đối đường tròn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? Chứng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn Bài 39 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm M kẻ tiếp tuyến MP cắt By N Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB Chứng minh AM BN = R2 S MON R S Tính tỉ số APB AM = Trịnh Hồng Ngọc Tốn Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quanh cạnh AB sinh Bài 40 Cho tam giác ABC , O trung điển BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E � cho DOE = 600 Chứng minh tích BD CE không đổi Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE Bài 41 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C cắt AC, AB D E Chứng minhBD2 = AD.CD Tứ giác BCDE nội tiếp BC song song với DE Bài 42 Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gọi E giao điểm AC BMChứng minh tứ giác MNCE nội tiếp Chứng minh NE AB Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đường tròn (B; BA) Bài 44 AB AC hai tiếp tuyến đường trịn tâm O bán kính R ( B, C tiếp điểm ) Vẽ CH vuông góc AB H, cắt (O) E cắt OA DChứng minh CO = CD Chứng minh tứ giác OBCD hình thoi Gọi M trung điểm CE, Bm cắt OH I Chứng minh I trung điểm OH Tiếp tuyến E với (O) cắt AC K Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng ... (1) theo m Bài tập 4: Cho hệ phương trình mx y 1 � � 2x y � (1) Giải hệ phương trình (1) m = 2 y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Bài tập. .. ghế Bài Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90 % Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10 Bài Hai lớp 9A 9B... minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét điểm E , K ,C LUYỆN GIẢI CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ � Bài 1: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán