1. Cho hai s a v b khỏc 0 th a món : 1/a + 1/b = 1/2 Ch ng minh ph ng trỡnh n x sau luụn cú nghi m : (x 2 + ax + b)(x 2 + bx + a) = 0. 2 2 2 2 0 (*) ( )( ) 0 0 (**) x ax b x ax b x bx a x bx a + + = + + + + = + + = (*) 4b 2 = , Để PT có nghiệm 2 2 1 1 4 0 4 2 a b a b a b (3) (**) 2 4b a = Để PT có nghiệm thì 2 1 1 4 0 2 b a b a (4) Cộng 3 với 4 ta có: 1 1 1 1 2 2 a b a b + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 4 4 8 4 2 2 a b a b a b + + + ữ (luôn luôn đúng với mọi a, b) 2Cho phơng trình: x 2 -( 2m + 1)x + m 2 + m - 6= 0 (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm. b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 3 2 3 1 xx =50 Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ( ) <+=+ >+= ++= 012 06 06412 21 2 21 2 2 mxx mmxx mmm 3 2 1 0)3)(2( 025 < < >+ >= m m mm b. Giải phơng trình: ( ) 50)3(2 3 3 =+ mm = + = =+=++ 2 51 2 51 0150)733(5 2 1 22 m m mmmm 3. Cho phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x 1 , x 2 Chứng minh: a,Phơng trình ct 2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t 1 và t 2 . b,Chứng minh: x 1 + x 2 + t 1 + t 2 4 a. Vì x 1 là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 nên ax 1 2 + bx 1 + c =0. . Vì x 1 > 0 => c. .0 1 . 1 1 2 1 =++ a x b x Chứng tỏ 1 1 x là một nghiệm dơng của phơng trình: ct 2 + bt + a = 0; t 1 = 1 1 x Vì x 2 là nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 => ax 2 2 + bx 2 + c =0 vì x 2 > 0 nên c. 0 1 . 1 2 2 2 =+ + a x b x điều này chứng tỏ 2 1 x là một nghiệm dơng của phơng trình ct 2 + bt + a = 0 ; t 2 = 2 1 x Vậy nếu phơng trình: ax 2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x 1 ; x 2 thì phơng trình : ct 2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t 1 ; t 2 . t 1 = 1 1 x ; t 2 = 2 1 x b. Do x 1 ; x 1 ; t 1 ; t 2 đều là những nghiệm dơng nên t 1 + x 1 = 1 1 x + x 1 2 t 2 + x 2 = 2 1 x + x 2 2 Do đó x 1 + x 2 + t 1 + t 2 4 4. Giải hệ phơng trình : =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx ( ) ( ) =++ =++ =++ 327 )2(1 111 19 xzyzxy zyx zyx ĐKXĐ : .0,0,0 zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 81 2 81 81 2 27 2( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x x y x y y z y z x y z z x z x + + = + + + + + = + + = + + + + = + + = + + + + + + = + + = = = = = = = = = Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. 5. Cho Rzyx ,, thỏa mãn : zyxzyx ++ =++ 1111 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = 4 3 + (x 8 - y 8 )(y 9 + z 9 )(z 10 - x 10 ) . Từ : zyxzyx ++ =++ 1111 => 0 1111 = ++ ++ zyxzyx => ( ) 0 = ++ ++ + + zyxz zzyx xy yx ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0)( 0 )( 0 11 2 =+++ = ++ +++ + = ++ ++ xzzyyx zyxxyz xyzzyzx yx zyxzxy yz Ta có : x 8 y 8 = (x + y)(x-y)(x 2 +y 2 )(x 4 + y 4 ).= y 9 + z 9 = (y + z)(y 8 y 7 z + y 6 z 2 - + z 8 ) z 10 - x 10 = (z + x)(z 4 z 3 x + z 2 x 2 zx 3 + x 4 )(z 5 - x 5 ) Vậy M = 4 3 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 3 6. 1) Giải phơng trình: 2x 4 - 11 x 3 + 19x 2 - 11 x + 2 = 0 2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y 1)A = (n + 1) 4 + n 4 + 1 = (n 2 + 2n + 1) 2 - n 2 + (n 4 + n 2 + 1) = (n 2 + 3n + 1)(n 2 + n + 1) + (n 2 + n + 1)(n 2 - n + 1) = (n 2 + n + 1)(2n 2 + 2n + 2) = 2(n 2 + n + 1) 2 Vậy A chia hết cho 1 số chính phơng khác 1 với mọi số nguyên dơng n. 2) Do A > 0 nên A lớn nhất A 2 lớn nhất. Xét A 2 = ( x + y ) 2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1) Ta có: 2 yx + xy (Bất đẳng thức Cô si)=> 1 > 2 xy (2) Từ (1) và (2) suy ra: A 2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2 Max A 2 = 2 <=> x = y = 2 1 , max A = 2 <=> x = y = 2 1 7. Cho biểu thức : 2 2 5 4 2014M x x y xy y= + + + .Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2007M x y x y= + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 1 2007 2 4 M x y y = + + + Do ( ) 2 1 0y và( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 x y + ,x y 2007M min 2007 2; 1M x y = = = 8. Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + Ta có : 2 2 1 1 0; 0 2 2 a b ữ ữ a , b > 0 1 1 0; 0 4 4 a a b b + + 1 1 ( ) ( ) 0 4 4 a a b b + + + a , b > 0 1 0 2 a b a b + + + > Mặt khác 2 0a b ab+ > Nhân từng vế ta có : ( ) ( ) ( ) 1 2 2 a b a b ab a b + + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + 9 Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD 2 = AB . AC - BD . DC Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABCV Gọi E là giao điểm của AD và (O) d e c b a Ta có: ABD CED:V V (g.g) . . BD AD AB ED BD CD ED CD = = ( ) 2 . . . . AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD = = Lại có : ( ) .ABD AEC g g:V V 2 . . . . AB AD AB AC AE AD AE AC AD AB AC BD CD = = = 10. Cho phơng trình 2x 2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn: 3x 1 - 4x 2 = 11 Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thì > 0<=> (2m - 1) 2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: = = =+ 114x3x 2 1m .xx 2 12m xx 21 21 21 = = = 11 8m-26 77m 4 7 4m-13 3 8m-26 77m x 7 4m-13 x 1 1 Giải phơng trình 11 8m-26 77m 4 7 4m-13 3 = ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x 1 + x 2 = 11 11. : a) Xác định x R để biểu thức :A = xx xx + + 1 1 1 2 2 Là một số tự nhiên b. Cho biểu thức: P = 22 2 12 ++ + ++ + ++ zzx z yyz y xxy x Biết x.y.z = 4 , tính P . a.A = xxxxx xxxx xx xx 2)1(1 )1).(1( 1 1 22 22 2 2 =+++= +++ ++ + A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = 2 k (trong đó k Z và k 0 ) b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và 2 = xyz Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta đợc: P = 1 2 2 2( 2 22 = ++ ++ = ++ + ++ + ++ xxy xyx xyxz z xxy xy xxy x (1đ) 1 = P vì P > 0 12. Tính giá trị của biểu thức: A = 53 1 + + 75 1 + + 97 1 + + .+ 9997 1 + B = 35 + 335 + 3335 + . + 399 35 .3333 số 1) A = 53 1 + + 75 1 + + 97 1 + + .+ 9997 1 + = 2 1 ( 35 + 57 + 79 + .+ 9799 ) = 2 1 ( 399 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + . + 399 35 .3333 số = =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ .+333 .33) = 198 + 3 1 ( 99+999+9999+ .+999 .99) 198 + 3 1 ( 10 2 -1 +10 3 - 1+10 4 - 1+ +10 100 1) = 198 33 + B = 27 1010 2101 +165 13 1)ứng minh : (ab+cd) 2 (a 2 +c 2 )( b 2 +d 2 ) 2) dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x 2 + 4y 2 1) Ta có : (ab+cd) 2 (a 2 +c 2 )( b 2 +d 2 ) <=> a 2 b 2 +2abcd+c 2 d 2 a 2 b 2 + a 2 d 2 +c 2 b 2 +c 2 d 2 <=> 0 a 2 d 2 - 2cbcd+c 2 b 2 <=> 0 (ad - bc) 2 (đpcm ) Dấu = xãy ra khi ad=bc. 2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có : 5 2 = (x+4y) 2 = (x. + 4y) (x 2 + y 2 ) )161( + => x 2 + y 2 17 25 => 4x 2 + 4y 2 17 100 dấu = xãy ra khi x= 17 5 , y = 17 20 14. Cho P = x xx + 1 34 2 Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. Để P xác định thì : x 2 -4x+3 0 và 1-x >0 Từ 1-x > 0 => x < 1 Mặt khác : x 2 -4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có : (x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0 Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa. Với x < 1 Ta có : P = x xx + 1 34 2 = x x xx = 3 1 )3)(1( 15.cho pt 01 2 =+ mmxx a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m . b. Gọi 21 , xx là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt. ( ) 12 32 21 2 2 2 1 21 +++ + = xxxx xx P cm m 0 B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: = =+ 1 21 21 mxx mxx 2 12 2 + + = m m P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn. 11 2 2 1 1 2 1 == == mGTNN mGTLN P c b a I C B A 2 2 15. Cho 1,1 yx Chứng minh. xy yx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Chuyển vế quy đồng ta đợc. bđt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1111 22 ++ + ++ xyy yxy xyx xyx ( ) ( ) 01 2 xyyx đúng vì 1 xy 16.Cho biểu thức D = + + + + ab ba ab ba 11 : ++ + ab abba 1 2 1 a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a = 32 2 c) Tìm giá trị lớn nhất của D a) - Điều kiện xác định của D là 1 0 0 ab b a - Rút gọn D D = + ab aba 1 22 : ++ ab abba 1 D = 1 2 + a a b) a = 13)13( 1 32(2 32 2 2 +=+= + = + a Vậy D = 34 232 1 32 2 322 = + + c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 112 + Daa Vậy giá trị của D là 1 17. Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, )90( 0 == A Chứng minh rằng AI = cb Cosbc + 2 .2 (Cho Sin2 CosSin2 = ) + ; 2 . 2 1 cSinAIS ABI = + ; 2 . 2 1 bSinAIS AIC = + ; 2 1 bcSinS ABC = AICABIABC SSS += cb bcCos cbSin bcSin AI cbAISinbcSin + = + = += 2 2 )( 2 )( 2 18 Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 x 3 + y 4 . Chứng minh: Ta có (y 2 - y) + 2 0 2y 3 y 4 + y 2 (x 3 + y 2 ) + (x 2 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mà x 3 + y 4 x 2 + y 3 do đó x 3 + y 3 x 2 + y 2 (1) + Ta có: x(x - 1) 2 0: y(y + 1)(y - 1) 2 0 x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 0 x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y 0 (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) (x + y) + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x 2 + y 2 x + y (2) và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y 3 -1) 0 x 3 - x 2 - x + 1 + y 4 - y - y 3 + 1 0 (x + y) + (x 2 + y 3 ) 2 + (x 3 + y 4 ) mà x 2 + y 3 x 3 + y 4 x + y 2 Từ (1) (2) và (3) ta có: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 19. a. Cho các số x, y, z dơng thoã mãn x 1 + y 1 + z 1 = 4 Chứng ming rằng: zyx ++ 2 1 + zyx ++ 2 1 + zyx 2 1 ++ 1 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 2 20062 x xx + (với x 0 ) a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có( ) (*) 2 22 yx ba y b x a + + + <-->(a 2 y + b 2 x)(x + y) ( ) xyba 2 + a 2 y 2 + a 2 xy + b 2 x 2 + b 2 xy a 2 xy + 2abxy + b 2 xy a 2 y 2 + b 2 x 2 2abxy a 2 y 2 2abxy + b 2 x 2 0 (ay - bx) 2 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0 Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay a b x y = áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2x y z x y z x y x z x y x z + + + ữ ữ ữ ữ ữ = + = + + + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 4 16x y x z x y z ữ ữ ữ ữ + + + = + + ữ Tơng tự 1 1 1 2 1 2 16x y z x y z + + ữ + + 1 1 1 1 2 2 16x y z x y z + + ữ + + Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 16 16 16 1 4 4 4 4 1 1 1 1 .4 1 16 16 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + + ữ ữ ữ + + + + + + + + + + = ữ ữ Vì 1 1 1 4 x y z + + = ( ) 2 2 2 2006 0 x x B x x + = Ta có: x xx B x xx B 2006 20062006.22006 20062 22 2 2 + = + = ( ) ( ) 2006 2005 2006 2005200620052006 2 2 2 2 2 + + + = x x x xx B Vì (x - 2006) 2 0 với mọi x x 2 > 0 với mọi x khác 0 ( ) 2 2 2006 2005 2005 0 2006 2006 2006 2006 x B B khix x = = 20. : a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình 3x 2 +10 xy + 8y 2 =96 b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3 a. 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96 <--> 3x 2 + 4xy + 6xy + 8y 2 = 96 <--> (3x 2 + 6xy) + (4xy + 8y 2 ) = 96 <--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 <--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y 3 mà 96 = 2 5 . 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn do đó =+ =+ 2443 62 yx yx Hệ PT này vô nghiệm Hoặc =+ =+ 1643 62 yx yx = = 1 4 y x Hoặc =+ =+ 1243 82 yx yx Hệ PT vô nghiệm Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1) b. ta có /A/ = /-A/ AA Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ 3/3//20082005/ =+ xx (1) mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3) (3) sảy ra khi và chỉ khi = = = = 2007 2006 0/2007/ 0/2006/ y x y x 21. Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn: 0 111 =++ cba ; Hãy tính P = 222 b ac a bc c ac ++ Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0) x = -(y + z) x 3 + y 3 + z 3 3 xyz = -(y + z) 3 + y 3 3xyz -( y 3 + 3y 2 z +3 y 2 z 2 + z 3 ) + y 3 + z 3 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 Từ x 3 + y 3 + z 3 3xyz = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz 1/ a 3 + 1/ b 3 + 1/ c 3 3 1/ a 3 .1/ b 3 .1/ c 3 = 3/abc Do đó P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = abc (1/a 3 + 1/b 3 + 1/c 3 ) = abc.3/abc = 3 nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thì P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = 3 22. Cho các số dơng a, b, c Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < ac c cb b ba a Ta có: cba a ++ < ab a + < cba ca ++ + (1) cba b ++ < cb b + < cba ab ++ + (2) cba c ++ < ac c + < cba bc ++ + (3) Cộng từng vế (1),(2),(3) : 1 < ba a + + cb b + + ac c + < 2 . nhất đó Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2007M x y x y= + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 1. (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mà x 3 + y 4 x 2 + y 3 do đó x 3 + y 3 x 2 + y 2 (1 ) + Ta có: x(x - 1) 2 0: y(y + 1)(y - 1) 2 0 x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y