Bài giảng: Tập hợp (Đại số 10)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ − TẬP HỢP §2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. 2 Đ2 tập hợp và các phép toán trên tập hợp Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một cấu trúc cơ bản từ đó xây dựng lên các cấu trúc khác, đó là tập hợp. Lí thuyết tập hợp đợc nhà toán học ngời Đức Canto (Georg Cantor, 1845 - 1918) sáng lập vào năm 1872. Ngày nay, lí thuyết tập hợp là cơ sở để xây dựng nên bộ môn toán học rời rạc. bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Các tập hợp đợc dùng để nhóm các đối tợng lại với nhau. Thông thờng, các phần tử trong một tập hợp có các tính chất tơng tự nhau. Ví dụ , tất cả các học sinh vừa mới nhập trờng lập nên một tập hợp, tất cả các nghiệm của một phơng trình tạo nên một tập hợp, . Hoạt động: Hãy cho ví dụ về tập hợp. Ngời ta thờng dùng các chữ hoa để kí hiệu các tập hợp. Các chữ N, Z, Q, I, R in đậm đã đợc sử dụng để kí hiệu cho các tập hợp số . Để chỉ rằng a là một phần tử của tập hợp A (hay gọi tắt là: tập A), ta kí hiệu aA (đọc là: a thuộc tập A). Còn nếu b không phải là phần tử của tập hợp A ta kí hiệu b A (đọc là: b không thuộc tập A ). Cách mô tả tập hợp Có nhiều cách mô tả một tập hợp, tuy nhiên ta thờng sử dụng hai cách sau: a. Liệt kê các phần tử của tập hợp Thí dụ 1: Tập hợp X gồm các số nguyên, dơng, chẵn nhỏ hơn 11, đợc viết: X = {2, 4, 6, 8, 10}. Hoạt động: Viết tập hợp Y gồm các nghiệm của phơng trình x 2 3x + 2 = 0. Chú ý: Khi mô tả tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, ta quy ớc: 1. Mỗi phần tử của tập hợp chỉ đợc liệt kê một lần, ví dụ tập hợp các chữ cái của dòng chữ " Hiên ngang " là A = {h, i, ê, n, g, a}. 2. Không cần quan tâm tới thứ tự các phần tử liệt kê, ví dụ tập A cũng có thể đợc viết A = {a, g, h, i, n, ê}. 3. Nếu qui luật liệt kê rõ ràng, ta chỉ cần liệt kê một số 3 phần tử đầu tiên và sau đó sẽ dùng các dấu chấm chấm " .", ví dụ tập hợp các số nguyên dơng bé hơn 82 có thể đợc kí hiệu bởi {1, 2, 3, ., 81}. b. Chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của tập hợp : để chỉ rằng tập hợp X gồm tất cả các phần tử có tính chất P, ta viết: X ={x | x có tính chất P}. Thí dụ 2: Tập hợp X gồm các số nguyên, dơng, nhỏ hơn 10, đợc viết : X = {x | x là số nguyên, dơng, nhỏ hơn 10} hoặc X = {xZ | 0 < x < 10} hoặc X = {xZ | 1 x 9}. Trong trờng hợp này, nếu sử dụng phơng pháp liệt kê ta đợc: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hoạt động: Viết tập hợp Y gồm các số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 9 bằng cách liệt kê các phần tử của nó và bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của nó. Chú ý: Ta thờng sử dụng cách mô tả tính chất đặc trng để mô tả các tập hợp khi không thể liệt kê hết tất cả các phần tử của tập hợp đó. Thí dụ 3: Tập hợp A các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8, đợc viết A = {xR | 1 < x < 8}. Tập rỗng Ta đã thấy, một tập hợp cần có phần tử tạo nên tập hợp ấy. Tuy nhiên, tập hợp gồm các nghiệm thực của phơng trình x 2 + 1 = 0 không chứa phần tử nào. Tập hợp nh vậy đợc gọi là tập rỗng, kí hiệu . Hoạt động: Định nghĩa tập rỗng và cho ví dụ. 2. Tập con và tập hợp bằng nahu Với hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {0, 1, 2, 3, 5}. Câu hỏi Trả lời Nhận xét gì về các phần tử của tập A với các phần tử của tập B ? Mọi mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B. Khi đó, ta gọi A là một tập hợp con (hay gọi tắt là tập con) của B, và kí hiệu A B hoặc B A ( đọc là tập B chứa tập A). Vậy: AB xA xB. Hoạt động: Định nghĩa tập con và chỉ ra một tập con của tập các học sinh lớp 10. Nhận xét quan trọng: Từ định nghĩa trên, ta thấy AA, tức là mỗi tập hợp là tập con của chính nó. Ta quy ớc là tập con của mọi tập hợp, tức là A với mọi tập A. 4 Tập hợp gồm các tập con của A kí hiệu là P(A). Hoạt động: 1. Liệt kê tất cả các tập con của tập X = {a, b, c}, từ đó hãy nêu ra một thuật toán để có thể liệt kê hết đợc các tập con của một tập hợp cho trớc. 2. Nếu AB và BC có thể suy ra đợc AC không ? Và nếu đợc thì đó đợc gọi là tính chất gì ? 3. Tập A khác rỗng có ít nhất bao nhiêu tập con ? Tập A gồm n phần tử có bao nhiêu tập con ? Để minh hoạ trực quan khái niệm tập con, ngời ta sử dụng hình vẽ nh trên Hình 1. Hình 1 đợc gọi là biểu đồ Ven ứng với khái niệm tập con. Hai tập hợp A và B đợc gọi là bằng nhau và kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Nh vậy, A = B khi và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B (tức là AB), và mọi phần tử của B đều là phần tử của A ((tức là BA)). Vậy: A = B AB và BA. Nếu hai tập A và B không bằng nhau đợc gọi là khác nhau, kí hiệu A B. Hoạt động: 1. Chỉ ra các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp: A = {1, 2, 4}, B = {4, 1, 2}, C = {1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4}. 2. Nếu A = B và B = C có thể suy ra đợc A = C không ? Và nếu đợc thì đó đợc gọi là tính chất gì ? 3. Các phép toán tập hợp Định nghĩa: Hợp của hai tập A và B đợc kí hiệu AB, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Nh vậy: AB = {x | xA hoặc xB}. Biểu đồ Ven cho trên Hình 2, phần gạch thẳng biểu diễn hợp của hai tập A và B. Thí dụ 4: Với hai tập hợp A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}, ta đợc: AB = {1, 2, 3, 5}. Hoạt động: 1. Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập AB. 2. Tập A, B có phải là tập con của tập AB không ? 3. Tìm các tập C sao cho AC = A. 4. Hai tập AB và BA có bằng nhau không ? 5 B A AB B A AB Hình 1 Hình 2 B A Và nếu có thì đó đợc gọi là tính chất gì ? Nêu định nghĩa của tập ABC. Định nghĩa: Giao của hai tập A và B đợc kí hiệu AB, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Nh vậy: AB = {x | xA và xB}. Biểu đồ Ven cho trên Hình 3, phần gạch thẳng biểu diễn giao của hai tập A và B. Hai tập hợp đợc gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập rỗng. Hoạt động: Hãy vẽ biểu đồ Ven minh hoạ hai tập rời nhau. Thí dụ 5: Tập X gồm các học sinh học thi khối A và tập Y gồm các học sinh học thi khối D, ta đợc XY gồm các học sinh học thi môn toán. Hoạt động: 1. Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập XY. 2. Trong các tập X, Y, XY, hãy xem tập nào là tập con của tập nào. 3. Tìm các tập T sao cho XT = X. 4. Hai tập XY và YX có bằng nhau không ? Và nếu có thì đó đợc gọi là tính chất gì ? 5. Nêu định nghĩa của XYT. Định nghĩa: Hiệu của A và B đợc kí hiệu A - B, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc A nhng không thuộc B. Nh vậy: A - B = {x | xA và xB}. Biểu đồ Ven cho trên Hình 4, phần gạch thẳng biểu diễn hiệu của A và B. Thí dụ 6: Với hai tập hợp A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}, ta đợc: A - B = {5} và B A = {2}. Hoạt động: 1. Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập A B. 2. Phép hiệu hai tập hợp có tính chất giao hoán không ? 3. Tập A B là tập con của A hay B ? Tìm các tập C sao cho A C = . Chú ý: Trong trờng hợp B A, hiệu A\B đợc gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là C A B. Hoạt động: Hãy vẽ biểu đồ Ven minh hoạ khái niệm phần bù. 6 B A A B Hình 3 B A Hình 4 4. Các hằng đẳng thức tập hợp Bảng sau liệt kê các hằng đẳng thức tập hợp quan trọng nhất: Hằng đẳng thức Tên gọi A = A AA = A, với A A Luật đồng nhất A = AA = A, với A A Luật nuốt AA = A AA = A Luật luỹ đẳng AB = BA AB = BA Luật giao hoán A(BC) = (AB)C A(BC) = (AB) C Luật kết hợp A(BC) = (AB) (AC) A(BC) = (AB) (AC) Luật phân phối 5. Các tập số thờng dùng Ta có: Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, ., n, .}. Tập hợp các số nguyên Z = {0, 1, 2, ., n, .}. Tập hợp các số hữu tỉ Q = { n m | m, n Z, n 0}. Tập hợp các số thực R = {x| x hữu tỉ hoặc vô tỉ}. Với quy ớc R = (, +), ta cũng có: R + = [0, + ), R = (, 0], R * = R\{0}. Trên trục số, ta có: Tập hợp Cách viết Biểu diễn trên trục số Tập R {xR} Khoảng (a; b) {xR | a < x < b} Đoạn [a; b] {xR | a x b } Nửa khoảng [a; b) {xR | a x < b } Nửa khoảng (a; b] {xR | a < x b } 7 x a ////////( )//////// b x a ////////[ ]//////// b x a ////////[ )//////// b x a ////////( ]//////// b x 0 | N R Q Z Hình 5 Khoảng (-; a) {xR | x < a } Nửa khoảng (-; a] {xR | x a } Khoảng (a; +) {xR | x > a } Nửa khoảng [a; + ) {xR | x a } bài tập lần 1 bài tập lần 1 Bài tập 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: a. A = {x Ă (2x x 2 )(2x 2 3x 2) = 0}. b. B = {n Ơ 3 < n 2 < 30}. Bài tập 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trng cho các phân tử của nó: a. A = {2, 3, 5, 7}. b. B = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. b. C = {5, 0, 5, 10, 15}. Bài tập 3. Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trờng em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng anh của trờng em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: a. AB. b. A\ B. c. AB. d. B \ A. Bài tập 4. a. Cho A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3}. Tìm hai tập hợp (A \ B) (B \ A) và (A B) \ (A B). Hai tập hợp nhận đợc là bằng nhau hay khác nhau? b. Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, B = {1, 2, 4, 6, 8, 9} và C = {3, 4, 5, 6, 7}. Hãy tìm A (B \ C) và (A B) \ C. Hai tập hợp nhận đợc bằng nhau hay khác nhau? Bài tập 5. Cho hai nửa khoảng A = (0; 2], B = [1; 4). Tìm C R (A B) và C R (A B). Bài tập 6. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}. Liệt kê tất cả các phần tử của A có: a. Ba phần tử. b. Hai phần tử. c. Không quá một phần tử. Bài tập 7. Tìm tập hợp A và B, biết: = = = A \ B {1; 5; 7; 8} B \ A {2; 10} A B {3; 6; 9} . Bài tập 8. Cho hai đoạn A = [a; a + 2] và B = [b; b + 1]. Các số a, b cần thoả mãn điều kiện gì để A B ? Bài tập 9. Xét xem hai tập hợp sau có bằng nhau không? 8 x a ////////( x )//////// a x a ////////[ x ]//////// a A = {x Ă (x 1)(x 2)(x 3) = 0} và B = {5, 3, 1} Bài tập 10.Chứng minh rằng A\ (BC) = (A\B)(A\C). Bài tập 11.Chứng minh rằng P(AB) = P(A)P(B). Bài tập 12.Cho hai tập: A = {x  | x là bội của 3 và 4}, B = {x  | x là bội của 12}, Chứng minh rằng A = B. Bài tập 13.Cho các tập hợp: A = {n  n = 2k, k  } B là tập hợp các số nguyên có chữ số tận cùng là 1, 2, 4, 6, 8. C = {n  n = 2k 2, k  } D = {n  n = 3k + 1, k  } Chứng minh rằng A = B, A = C và A D. Giỏo ỏn in t ca bi ging ny giỏ: 750.000. 1. Liờn h thy Lấ HNG C qua in thoi 0936546689 2. Bn gi tin v: Lấ HNG C S ti khon: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN 0 & PTNT Tõy H 3. 3 ngy sau bn s nhn c Giỏo ỏn in t qua email. LUễN L NHNG GAT BN SNG TO TRONG TIT DY 9 bài giảng nâng cao bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết 1. tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học Để chỉ rằng a là một phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu a A Còn nếu b không phải là phần tử của tập hợp A ta kí hiệu b A Có hai cách xác định tập hợp: Cách 1: Liệt kê các phần tử của nó : tập hợp X gồm các phần tử x, y, z . ta viết: X ={x; y; z; .} Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của nó : để chỉ rằng tập hợp X gồm tất cả các phần tử có tính chất P, ta viết: X ={x | x có thuộc tính P} Tập rỗng là tập không có phần tử nào, ký hiệu là . 2. Tập con và tập hợp bằng nhau 2.1. Tập con Tập A đợc gọi là tập con của tập B và kí hiệu là A B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Từ định nghĩa. ta có: A B x A x B. 10 B A A B B A A B . (2x x 2 )(2x 2 3x 2) = 0}. 12 A B A AB E A C A E b. B = {n Ơ 3 < n 2 < 30}. Giải a. Ta có: (2x x 2 )(2x 2 3x 2) = 0 2 2 2x x 0 2x 3x 2. suy ra n = 2k 2 = 2( k 1). Đặt k' = k 1 Z, khi đó: n = 2k', k' Z n A. c. Ta có 2 A, nhng 2 D vì nếu 2 D thì ta phải có 2 = 3k + 1