luận văn thạc sỹ chuỗi fourier

Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Chương Kiến thức chuẩn bị Chuỗi Fourier 1.1 Không gian Lp [- ; ] Định nghĩa 1.1.1 Lp [- ;  ] (1  p  ) lớp tất hàm f :[   ;  ]   khả 1/ p   p tích Lebesgue cho   f ( x ) dx       Ta biết Lp [- ;  ] không gian Banach với chuẩn 1/ p f p   p    f ( x) dx     Đặc biệt L2 [- ;  ] không gian Hilbert với tích vơ hướng  f , g  2 Ký hiệu   f ( x) g ( x) dx  en :[   ;  ]   xác định công thức en ( x )  einx , n   Rõ ràng en  L2 [   ;  ] en , em   2  1 nÕu n  m i ( n m ) x e dx    nÕu n  m   Vậy en : n   hệ trực chuẩn L2 [- ;  ] 1.2 Chuỗi Fourier Giả sử f  L [   ;  ] Xét hàm f :    cho f (n)  2 Định nghĩa 1.2.1 f (n)   f ( x)e inx dx    f (n)einx gọi hệ số Fourier thứ n n  chuỗi Fourier f Luận văn Thạc sĩ  Để NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Aneinx chuỗi Fourier f ta viết f   n    An einx n  Nhận xét 1.2.2 Trường hợp riêng với f  L2 [   ;  ], đó:  +) f (n)   f , en  f    f , en en n  p  f (n)en , p   +) Nếu ta ký hiệu S p ( f )  p  Span en :  p  n  p n  p p hình chiếu trực giao f lên p   f , en en  S p ( f ) Bởi định lý n  p 2 2 2 Pythagore ta có: S p ( f )  f  S p ( f )  f p  Từ ta suy f (n)  S ( f )  f p n  p 2 , p   Đây bất đẳng thức Bessel quen thuộc Trong phần sau thấy  đẳng thức f (n)  f  2 với f  L2 [   ;  ] n  1.3 Định lý Fejer hệ Định lý 1.3.1 (Fejer) Giả sử f :    hàm liên tục tuần hoàn với chu kì 2 Với số tự nhiên p đặt Cp ( f )    p0 hội tụ Khi dãy C p ( f ) S0 ( f )    S p ( f ) p 1 f  Chứng minh p Xét D p (t )   eint , t   Do (eit  1) D p (t )  ei( p1)t  eipt n  p nên Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 sin( p  )t cos( p  1)t  cos pt  i sin( p  1)t  sin pt  D p (t )   t (1  cos t )  i sin t sin Ta có  p S p ( f )( x)   f ( n)einx  2 n  p p f (t )  e  in ( x t ) n  p  dt  2   f ( x  t ) D p (t )dt  C p ( f )( x)  2   f ( x  t ) K p (t ) dt ,  K p (t )  D0 (t )    D p (t ) p 1 t sin    sin( p  )t 2  1  cos( p  1)t  t p  1  cos t ( p  1)sin Từ đẳng thức suy K p (t ) có tính chất sau: i) K p (t )  0, K p (t )  K p (t ) 2 ii) K p (t )    K p (t )dt   với    t   p  1  cos  Đặt M  max f ( x) Do tính liên tục f [   ;  ] nên   có   x    (0;  ) để f ( x)  f ( y )   ( x, y )  [   ;  ]2 : x  y   Sử dụng i) ta có (1.1) C p ( f )( x )  f ( x )  2   [f ( x  t )  f ( x)]K p (t )dt  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011     2M      K p (t )dt   M  K p (t )dt   K p (t ) dt  M  K p (t ) dt ]   2         Theo ii)  K p (t ) dt  p   nên có số nguyên dương N cho   (1.2) 2M  p  N : K p (t ) dt     Từ (1.1) (1.2) dẫn tới x  , p  N : C p ( f )( x)  f ( x)     p0 hội tụ Điều chứng tỏ dãy C p ( f ) f   Hệ 1.3.2 Tập tất đa thức lượng giác chu kì 2 trù mật không gian Lp [- ;  ] Chứng minh Gọi  tập tất đa thức lượng giác có chu kì 2 Lấy f  Lp [- ;  ]   tùy ý Bởi tập hàm số liên tục [   ;  ] trù mật Lp [- ;  ] nên có g :[   ;  ]   liên tục thỏa mãn g f (1.3) p   Ta thác triển g thành hàm g1 liên tục  tuần hồn với chu kì 2 Áp dụng định lý Fejer có P  hội tụ tới g1  g [   ;  ] Vậy x  [   ;  ] : P ( x )  g ( x)   Suy (1.4) Pg p    2     1/ p  P ( x )  g ( x) dx    p  Tổ hợp (1.3) (1.4) ta thu P f p  Pg p  g f p    Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  Như  trù mật Lp [- ;  ] Hệ 1.3.3 Với hàm f  L1[   ;  ] ta có lim f ( n)  n  Thật vậy, cho   Theo Hệ 1.3.2 có P  để P  f   Khi n đủ lớn  (phụ thuộc vào bậc P )  P( x)e  inx dx   Suy với n đủ lớn ta có f ( n)  2    f ( x )  P( x ) e  inx dx  P  f    Do f (n)  n    1.4 Sự hội tụ trung bình bình phương-Đẳng thức Parseval   p 0 Định lý 1.4.1 (Parseval) Với hàm f  L2 [   ;  ] , dãy tổng riêng S p ( f ) hội tụ trung bình bình phương tới f , nghĩa lim S p ( f )  f p  0 Chứng minh Cho   Áp dụng Hệ 1.3.2 tồn đa thức lượng giác P  thỏa mãn P f (1.5)  Với số tự nhiên p, đặt p  Span en :  p  n  p , ta nhận thấy   Span en : n     p p Vậy phải tồn số tự nhiên để P N N Mặt khác S p ( f ) hình chiếu trực giao f lên không gian p nên h p :  h, S p ( f )  f   Đặc biệt (1.6)  P  S p ( f ), S p ( f )  f   0, p  N Kết hợp (1.5) với (1.6) ta Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 2  P f Vậy p  N : S p ( f )  f 2 2 2  P  Sp( f )  Sp( f )  f   Nói cách khác ta có lim S p ( f )  f p  0  Định lý chứng minh Hệ 1.4.2 (Đẳng thức Parseval) Với hàm f  L2 [   ;  ] ta có  f (n )  2  n   f ( x ) dx   Chứng minh   p 0 hội tụ tới f không gian L2 [   ;  ] Bởi Từ Định lý 1.4.1, dãy S p ( f ) ánh xạ 2 2 : L2 [   ;  ]   liên tục nên S p ( f )  f p   Nhưng p Sp( f )   f (n)e n n  p p   f (n) n  p Vậy phải có   n  f (n)  2   f ( x ) dx   Đẳng thức Parseval chứng minh 1.5 Sự hội tụ định lý Riesz-Fischer  Như biết chuỗi Fourier  f (n)einx hàm f chưa n  hội tụ hội tụ tổng khác f Trong mục ta đưa  điều kiện đủ hội tụ  f (n)einx n  10 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.1 Giả sử f :    hàm tuần hồn với chu kì 2 cho tồn số M  0,  thỏa mãn  f ( x)  f ( y )  M x  y , ( x, y )   Khi chuỗi Fourier f hội tụ  có tổng f Chứng minh Với h   cố định, xét  :    xác định  (t )  f (t  h)  f (t  h) Từ giả thiết suy  hàm liên tục  tuần hoàn với chu kì 2 Ta có n  ,  (n)  2   [f (t  h)  f (t  h)]e  int dt   2  h  f (u )e  in ( u h )   h du  2  h  f (v)e  in ( v h ) dv  h  f ( n).einh  f (n).e  inh  2i f (n)sin(nh) Áp dụng đẳng thức Parseval vào  thu (1.7) 2     2  f (t  h)  f (t  h) dt  4  f (n)  f ( n)  sin ( nh)  n 1  Mặt khác từ giả thiết ta suy ra:  f (t  h)  f (t  h)  M 2h (1.8) Với N số nguyên dương tùy ý, chọn h   Khi ta có bất đẳng thức sau 4N sin (nh)  , n   N  1,,2 N  (1.9) Từ (1.7), (1.8) (1.9) dẫn tới 2N  f ( n)  n  N 1 A   2N   f ( n)  f ( n)  sin nh  M 2h     4   n  N 1  M 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2 1 11  dt  A.N 2 , Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 1/2 2N 2N 2 f ( n)       n  N 1  n N 1  p 1  Đặc biệt với số tự nhiên p : 1/2  2N     f ( n)   n N 1  f ( n)  A p   A N  p 2   Từ với số tự n  1 nhiên q ta có 2q 1 f ( n)   q A  n 2 Do   nên chuỗi  p 2   p 0 p       2  hội tụ có tổng Như    p 0   1 22  p 2   p 0 với m  m  f (n)  n2 Vậy  f ( n) hội tụ  n 1 A  1 22 f ( n) hội tụ Suy n 1   f (n)einx hội tụ n    Gọi S ( x)   f (n)einx , x   Do tính hội tụ ta có S liên tục  n  S (n)  f (n), n   Cuối áp dụng đẳng thức Parseval vào hàm S  f ta Sf 2    ( S  f )(n) 0 hay S  f n  Vậy chuỗi Fourier f hội tụ tới   Hệ 1.5.2 Nếu f :    hàm tuần hồn với chu kì 2 thuộc vào lớp C1    chuỗi Fourier f hội tụ  12 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.3 ( Riesz-Fischer) Giả sử   an an  dãy số phức thỏa mãn điều kiện   Khi tồn hàm f  L2 [   ;  ] cho f (k )  ak với số tự n 0 nhiên k Chứng minh n Với số tự nhiên n đặt S n   ak ek , ek :   ;    , ek ( x )  eikx Do k 0 ek : k   hệ trực chuẩn không gian Hilbert L2 [   ;  ] nên với n  m ta có Sn  Sm 2  am 1em 1    anen 2 n   ak k  m1  Vì  an   nên từ ta suy S n  dãy Cauchy L2 [   ;  ] Vậy phải n 0 tồn f  L2 [   ;  ] để lim Sn  f n  Cố định số tự nhiên k Do  S n , ek   ak với n  k f (k )   f , ek  nên f ( k )  a   f , e    S , e   f  S e k k n k n k  Sn  f , n  k Cho n   ta thu f (k )  ak , định lý chứng minh Hàm chỉnh hình biến 2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f xác định miền D   z  D Giới hạn lim h 0 f ( z  h)  f ( z ) , z hD h tồn gọi đạo hàm phức f z , ký hiệu f ' ( z ) 13  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định nghĩa 2.1.2 Cho hàm số f xác định miền D   z0  D Nếu có r  cho f ' ( z ) tồn với z  D ( z0 ; r ) f gọi chỉnh hình z0 , D ( z0 ; r )   z   : z  z0  r Nếu f chỉnh hình điểm thuộc D ta nói f chỉnh hình D 2.2 Cơng thức tích phân Cauchy Định lý 2.2.1 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên) Nếu f chỉnh hình miền đơn liên D với chu tuyến trơn khúc   D ta có:  f dz  Chứng minh Trường hợp riêng:   P , P đa giác mà P  D Bằng cách chia P thành hữu hạn tam giác, ta đưa chứng minh  f dz  với  tam giác thỏa mãn   D Đặt M   f dz , chia  thành bốn tam giác đường trung bình Gọi  k (k  1,4) biên tam giác nhỏ thu được, ta có:  f dz    k 1 f dz k Suy tồn tam giác, kí hiệu 1 cho  f dz  ta nhận dãy tam giác  n  có tính chất sau: i)  n1   n , n  p (  n )  ii)  f dz  n p , với p chu vi  2n M , n  4n 14 M Lặp lại trình Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Như với đa thức Q mà F  Q  U ta có W ( F  Q )  W ( f  ( z   )Q )  Áp dụng Bổ đề 1.2 cho hàm F với p  ta U F ( z ) dz  Do với    \ U ta có f ( z) U z   dz  Áp dụng Hệ 5.2.2 –Chương suy f thác triển chỉnh hình lên U  Thác triển phân hình Trước hết ta chứng minh điều kiện thác triển phân hình hàm trơn U dựa vào nguyên lý argument Định lý 2.1 Điều kiện cần đủ để hàm f  C  (U ) thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U tồn số tự nhiên N cho W ( Pf  Q)   N với cặp đa thức P, Q thỏa mãn Pf  Q  U Để chứng minh định lý cần hai bổ đề sau: Bổ đề 2.2 Giả sử A tập khác rỗng   : A   ánh xạ Lipschitz Khi A có độ đo Lebesgue khơng ( A) có độ đo Lebesgue không Chứng minh Bổ đề 2.2 Gọi u, v tương ứng phần thực phần ảo  Ta có u , v : A   Do  Lipschitz nên u, v Lipschitz Vậy phải tồn số L  để với ( z ,  )  A  A ta có: u ( z )  u ( )  L z   Xét hàm u :    xác định x   , u ( x)  inf u ( a)  L x  a : a  A 40 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Do với a  A , ánh xạ x  u (a )  L x  a L  Lipschitz nên u Lipschitz Rõ ràng u  u A Tương tự ta thấy v có mở rộng Lipschitz v :     :    Giả sử M  số thỏa mãn Vậy  có mở rộng Lipschitz  (2.1)  ( z)    ( )  M z   , ( z ,  )    Với   tùy ý  Bởi A có độ đo Lebesgue khơng nên tồn dãy hình vng  Pn n1 phủ A cho  (2.2)  Pn n 1   , Pn diện tích Pn 2M Gọi cn độ dài cạnh Pn cn độ dài đường chéo Pn Sử dụng (2.1)  ( P )  Q , với Q hình vng cạnh M c suy  n n n n   ( A) theo (2.2) Như Qn n1 dãy hình vng phủ    Qn n 1  2M   cn2  2M n 1   Pn  n 1  ( A) có độ đo Lebesgue không Điều dẫn tới  ( A)    Bổ đề 2.3 Giả sử m số nguyên dương cho trước  : U   hàm thỏa mãn   C  (U )  A(U ) Nếu  không đồng khơng U ln tìm    cho z m    U W ( z m   )  m Chứng minh Bổ đề 2.3 Gọi  thác triển chỉnh hình  lên U Trường hợp 1:  ( z )  với z  U Theo nguyên lý argument W ( z m ) số khơng điểm hàm z m U 41 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Vậy: W ( z m )=W ( z m )  m Như trường hợp ta chọn   Trường hợp 2: Tồn z  U để  ( z )  , nghĩa  H (U ) với H hàm xác định bởi: H : U  , H ( z )  z m ( z ), z  U Bởi z m liên tục U  khơng đồng không U nên z m không đồng không U Gọi  bội không điểm z  z m U Rõ ràng   m Sử dụng Hệ 2.4.4 nguyên lý argument, tồn r  (0; 1)   cho đĩa mở D (0; r ) hàm z m   có  khơng điểm    Mặt khác H  C  (U ) nên theo Bổ đề 2.2 suy H (U ) có độ đo Lebesgue khơng Do đó: D (0;  )  H (U ) z   H (U ) Vậy phải có    :     để z m    U đồng thời z m   có  khơng điểm D (0; r )  U Áp dụng nguyên lý argument cho hàm chỉnh hình z m   ta được: W ( z m   )=W ( z m   )    m Như Bổ đề 2.3 chứng minh hoàn toàn  Chứng minh Định lý 2.1 Điều kiện cần Giả sử f có thác triển phân hình lên U f với số cực N Xét cặp đa thức P, Q thỏa mãn Pf  Q  U 42 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Gọi 0 ,  p tương ứng số không điểm ( kể bội ) số cực điểm (kể bội) P f  Q U Khi  p  N Theo nguyên lý argument: W ( Pf  Q)  W ( P f  Q)  0   p   p   N Điều kiện đủ Ta xét N  N  chứng minh Định lý 1.1 Áp dụng Mệnh đề 5.2.5-Chương có đa thức khác không P với bậc không vượt N cho:  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  ( N )  Pf (2.3) Để chứng minh f thác triển phân hình lên U ta chứng minh Pf thác triển chỉnh hình lên U , nghĩa ta chứng minh Pf  A(U ) ( Định lý 5.2.4-Chương ) Xác định hàm G , H U bởi:  (0)  Pf  (1) z  Pf  (2) z   G ( z )  Pf  (1) z  Pf  (2) z  Pf  ( 3) z   H ( z )  Pf ( z  U ) Vì Pf  C  (U ) nên chuỗi Fourier Pf hội tụ  (Hệ 1.5.2-Chương 1) Vậy U ta có Pf  G  H với G , H  C  (U )  A(U ) Do (2.3) nên  ( N  1) z N 1  Pf  ( N  2) z N     z N 1 ( z ), z  U , H ( z )  Pf   C  (U )  A(U ) Giả sử  không đồng không U Áp dụng Bổ đề 2.3 có    cho z N 1    U W ( z N 1   )  N  Điều dẫn tới 43 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 W ( Pf  G   )  W ( z N 1   )  W ( z N 1   )   N  Xấp xỉ hàm G   đa thức Q ta thu Pf  Q  U đồng thời W ( Pf  Q )   N  Điều trái với giả thiết Định lý 2.1 Vậy   U Pf  G  A(U ) Theo Định lý 5.2.4-Chương ta có f thác triển phân hình lên U hàm thác triển  có nhiều nhất N cực điểm Từ chứng minh Điều kiện đủ thấy điểm mấu chốt Pf có dạng Pf  G  H với G  A(U ) H  C  (U )  A(U ) , mở rộng Định lý 2.1 tới kết sau Định lý 2.4 Giả sử f : U   thỏa mãn f  G  H U với G  A(U ) H  C  (U )  A(U ) Nếu tồn số nguyên dương N cho với cặp đa thức P, Q mà Pf  Q  U ta có W ( Pf  Q)   N f thác triển phân hình lên U hàm thác triển có nhiều N cực Chứng minh Gọi P đa thức khác không bậc không vượt N thỏa mãn điều kiện (2.4)  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  ( N )  Pf Trên U ta có Pf  PG  PH Do PH  C  (U ) nên nhờ tính hội tụ chuỗi Fourier PH  ta viết PH  F  H1 U ; với F , H1  C  (U )  A(U ) Vậy Pf  PG  F  H1  G1  H1 , G1  PG  F  A(U ), H1  C  (U )  A(U ) 44 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Suy với số nguyên n :   ( n)  G  ( n)  H Pf 1 (n)  (n)  0, n  (do G  A(U ) ) Kết hợp Theo Định lý 5.2.1-Chương ta có G 1 với (2.4) ta thu được:    H1 ( 1)  H1 ( 2)    H1 (  N )  Do  (1)  H  (2)    H  (N )  H 1 (2.5) Mặt khác H1  C  (U )  A(U ) nên:  H1 ( z )   H1 (n) z n  H1 (0)  H1(1) z  H1 (2) z   , z  U n  Do (2.5) ta có:  (0)  H  ( N  1) z N 1  H  ( N  2) z N     H  (0)  z N 1 ( z ) H1 ( z )  H 1 1 với   C  (U )  A(U ) Vậy U có đẳng thức  (0)  z N 1 Pf  G1  H Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.1 ta thu   U Suy ra:  (0)  A(U ) Pf  G1  H Từ Định lý 5.2.4-Chương 1, ta có f thác triển phân hình lên U hàm thác triển  có nhiều N cực Trước tới kết tổng quát ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.5 Giả sử hàm f : U   liên tục N số nguyên dương cho W ( Pf  Q)   N với cặp đa thức P, Q mà Pf  Q  U Khi tồn 45 Luận văn Thạc sĩ 2N số phức  j  NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 N 1 j 1 , j  N  thỏa mãn : f ( N  k )  N 1   j f (k  j  1) j 1 j  N 1 với k nguyên dương Chứng minh Cố định số tự nhiên m , xét phiếm hàm tuyến tính  ,  j :  m1   xác định bởi: x  ( x0 , x1,, xm )   m1 , 1 ( x )  x0 f (1)  x1 f (2)    xm f (1  m)  ( x)  x f ( 2)  x f ( 3)    x f (2  m) m   N ( x )  x0 f ( N )  x1 f (  N  1)    xm f (  N  m)  ( x)  x f (  N  2)  x f ( N  3)    x f ( N  m  2) N 2 m   N 1 ( x)  x0 f (2 N  1)  x1 f (2 N  2)    xm f ( 2 N  m  1)  ( x)  x0 f (  N  1)  x1 f (  N  2)    xm f (  N  m  1) Trước hết ta chứng minh N 1 (2.6)  Ker  j  Ker  j 1 j  N 1 Giả sử ngược lại N 1  Ker  j  Ker  j 1 j  N 1 Vậy phải có x  ( a0 , a1 ,, am )   m1 cho 46 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  j ( x )  0, j  1, N  ( j  N  1)    ( x )  (2.7) Đặt F ( z )  ( a0  a1 z    am z m ) f ( z ), z  U gọi   Ak eik chuỗi Fourier k  hàm z N 1F Ta có: Ak  2   (a0  a1e i    ameim ) f (ei )ei ( N 1k ) d   a0 f ( k  N  1)  a1 f ( k  N  2)    am f ( k  N  m  1) Cụ thể AN  a0 f ( 1)  a1 f ( 2)    am f ( 1  m)  1 ( x )  A1  a0 f (  N )  a1 f ( N  1)    am f (  N  m)   N ( x  ) A  a f ( N  2)  a f (  N  3)    a f (  N  m  2)   1 m N 2 ( x )  A N  a0 f ( 2 N  1)  a1 f (2 N  2)    am f (2 N  m  1)  2 N 1 ( x ) A0  a0 f ( N  1)  a1 f ( N  2)    am f ( N  m  1)   ( x ) Theo điều kiện (2.7) ta có  A1  A2    AN  A0    A1  A2    A N  Áp dụng Nhận xét 1.3, tồn đa thức Q thỏa mãn F  Q  U đồng thời W ( F  Q)   N  Đặt P ( z )  a0  a1z    am z m , z  U Ta có Pf  Q  U W ( Pf  Q)   N  , điều trái với giả thiết Bổ đề 47 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Vậy (2.6) chứng minh Suy  tổ hợp tuyến tính 2N phiếm hàm N 1  j , tức tồn 2N số phức  j  , j  N  cho x  ( x0 , x1,, xm )   m1 j 1 có  ( x)  11 ( x )    N N ( x )  N 2 N 2 ( x )    2 N 12 N 1 ( x) Một cách tương đương: với ( x0 , x1 ,, xm )   m1 , đẳng thức sau x0 f (  N  1)  x1 f (  N  2)    xm f ( N  m  1)  1  x0 f (1)  x1 f ( 2)    xm f ( 1  m)    2  x0 f (2)  x1 f (3)    xm f (2  m)     N  x0 f (  N )  x1 f ( N  1)    xm f ( N  m)    N   x0 f ( N  2)  x1 f (  N  3)    xm f (  N  m  2)     2 N 1  x0 f (2 N  1)  x1 f (2 N  2)    xm f ( 2 N  m  1)  Hệ f ( N  1)   f ( 1)     f (  N )   f ( N  2)      N N 2 N 1 f ( 2 N  1) f ( N  2)   f ( 2)     f ( N  1)   f ( N  3)     f ( 2 N  2) N N 2 N 1  f ( N  m  1)  1 f ( 1  m)    N f ( N  m)  N  f ( N  m  2)    2 N 1 f ( 2 N  m  1) Do m số tự nhiên tùy ý nên với k nguyên dương ta có: f ( N  k )  N 1   j f (k  j  1) j 1 j  N 1  Như Bổ đề 2.5 chứng minh Kết sau mục đích luận văn 48 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 2.6 Điều kiện cần đủ để hàm liên tục F : U   thác triển phân hình lên U tồn số tự nhiên N cho W ( PF  Q)   N với cặp đa thức P, Q thỏa mãn PF  Q  U Chứng minh Điều kiện cần: Tương tự chứng minh Định lý 2.1 Điều kiện đủ: Ta xét N  N  chứng minh Định lý 1.1 Đặt (2.8)  ( N  1) z  F  ( N  2) z   , z  U ( z )  F  N 1 Ta có  chỉnh hình U   ( n)  F n     ( n)   nên   H (Định F n  lý 4.1.2-Chương 1) Ta chứng minh  phân thức chỉnh hình lân cận U Thật vậy, theo Bổ đề 2.3:  ( N  k )  F N 1   ( k  j  1), k  1, j F j 1 j  N 1 nên  (1)     F      ( z )  z 1 F N (  N )   N  F (  N  2)    2 N 1 F ( 2 N  1)    (2)     F      z  1 F N (  N  1)   N  F ( N  3)    2 N 1 F ( 2 N  2)    Bằng cách nhóm  j ta (2.9)  ( 1) z  F  (2) z    ( z )  1  F    ( 2) z  F  ( 3) z    2  F     ( N ) z  F  ( N  1) z    N  F    (  N  2) z  F  (  N  3) z    N   F     ( 2 N  1) z  F  (2 N  2) z    2 N 1  F   49 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Xét đa thức P1 ,  , PN , PN  , , P2 N 1 xác định U bởi: (2.10)  ( 1) z  F  (2) z    F  ( N ) z N P1 ( z )  F  (2) z  F  ( 3) z    F  (  N ) z N 1 P ( z)  F   ( N ) z PN ( z )  F  (  N  1) z P ( z)  F ( z U ) N 2  ( N  1) z  F  (  N  2) z PN 3 ( z )  F   (  N  1) z  F  ( N  2) z    F  ( 2 N ) z N P2 N 1 ( z )  F Từ (2.8), (2.9) (2.10) ta suy ra:  ( z )  1  P1 ( z )  z N  ( z )   2  P2 ( z )  z N 1 ( z )    N  PN ( z )  z ( z )   N   ( z )  PN  ( z )  z 1  N 3   ( z )  PN 3 ( z )  z 2    2 N 1   ( z )  P2 N 1 ( z ) z  N Đưa ( z ) vế ta thu    ( z ) 1  1z N  2 z N 1    N z  N  z 1  N 3 z 2    2 N 1 z  N     1P1 ( z )  2 P2 ( z )   N PN ( z )  N 2 z 1PN 2 ( z )    2 N 1 z  N P2 N 1 ( z )  Đẳng thức dẫn tới: tồn đa thức R ( z ), S ( z ) khơng có nhân tử chung cho  ( z )  R( z ) , z  U Bởi   H nên Hệ 4.2.3-Chương cho phép ta S ( z) kết luận  phân thức chỉnh hình lân cận U Đặt:  (1) z  F  (2) z    F  (  N ) z N  z N  ( z ) H ( z)  F Vậy H phân thức chỉnh hình lân cận U Ta có với z  U 50 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  (1)  F  ( 2)    F  ( N )   ( z ) H ( z)  F z z zN zN  ( 1)  F  (2)   F z z2 Bằng cách tính hệ số Fourier H ta  H (n)  2  2   1    F (1) ei  F (2) e2i  e  in d     F (1)e  i ( n1)   ( 2)e i ( n 2)  d F  Do với số nguyên âm n :   (n) H (n)  F   ( n)  F  ( n)  H Đặt G  F  H Vậy G liên tục U G ( n)  với số nguyên âm n Từ Định lý 5.2.1-Chương 1, ta có G  A(U ) Như F  G  H, với G  A(U ) H phân thức chỉnh hình lân cận U , đặc biệt H  C  (U )  A(U ) Áp dụng Định lý 2.4 ta suy F thác triển phân hình lên U hàm thác triển có nhiều N cực Định lý chứng minh 51  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 KẾT LUẬN Các kết cho đặc trưng đơn giản để hàm liên tục U thác triển phân hình lên U Ta nhận thấy Định lý 2.1 2.4 cần xét Q lớp tất đa thức có bậc khơng vượt số nguyên dương N Định lý 2.6 P, Q phải có bậc lớn tùy ý Đặc biệt Định lý 1.1 khơng Q có bậc bị chặn Mệnh đề sau Mệnh đề 2.7 Đối với số nguyên dương n0 cho trước, tồn hàm liên tục f : U   cho W ( f  Q )  với đa thức Q có bậc khơng vượt n0 , f  Q  U f khơng thể thác triển chỉnh hình lên U Chứng minh Lấy n  n0  a   : a  , xét hàm f : U   cho a f ( z)  z n  , z U z Giả sử Q đa thức tùy ý có bậc không vượt n0 , f  Q  U Gọi 0 ,  p tương ứng số không điểm số cực điểm (kể bội) hàm f  Q U ,  p  Ta có 0 số không điểm U đa thức: Q1 ( z )  z n1  zQ ( z )  a Do bậc đa thức zQ ( z ) không vượt n0  nên z n1 số hạng có bậc cao Q1 Sử dụng định lý Viet cho đa thức, suy tích mơdul khơng điểm Q1 a  Vậy phải có khơng điểm thuộc U , nghĩa 0  Áp dụng nguyên lý argument: W ( f  Q )  0   p     Rõ ràng f liên tục U khơng thể thác triển chỉnh hình lên U 52  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Cuối câu hỏi đặt là: Định lý 2.6 (với N  ) ta chọn P  Định lý 1.1 hay khơng ? Nói cách khác f hàm liên tục U có số nguyên dương N để W ( f  Q )   N với đa thức Q thỏa mãn f  Q  U , liệu f có thác triển phân hình lên U ? Câu hỏi để mở trường hợp đơn giản Định lý 2.1 mà f  C  (U ) 53 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, Nhà xuất Giáo dục, Hà nội Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, Hà nội Tiếng Anh Josip Globevnik (2008), “Meromorphic extendibility and the argument principle”, Publ.Mat, 52, 171-188 LarsV Ahlfors (1966), Complex analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey (2001), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, New York Thomas Ransford (1995), Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge Univ press, Cambridge W Rudin (1964), Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York W Rudin (1974), Real and Complex Analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York 54 ... văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 sin( p  )t cos( p  1)t  cos pt  i sin( p  1)t  sin pt  D p (t )   t (1  cos t )  i sin t sin Ta có  p S p ( f )( x)   f ( n)einx... ) K p (t ) dt ,  K p (t )  D0 (t )    D p (t ) p 1 t sin    sin( p  )t 2  1  cos( p  1)t  t p  1  cos t ( p  1)sin Từ đẳng thức suy K p (t ) có tính chất sau: i) K p (t ) ... n).einh  f (n).e  inh  2i f (n)sin(nh) Áp dụng đẳng thức Parseval vào  thu (1.7) 2     2  f (t  h)  f (t  h) dt  4  f (n)  f ( n)  sin ( nh)  n 1  Mặt khác từ giả thiết