Nội dung khảo bài toán 12

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THĂNG LONG NỘI DUNG KHẢO BÀI TOÁN 12 LƯU HÀNH NỘI BỘ Mục lục I GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I ÔN TẬP ĐẠO HÀM II ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ III BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ IV TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ V CÂU HỎI KHẢO BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA II MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM III PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM IV QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ V MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP VI CÂU HỎI KHẢO BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN II THUẬT TỐN TÌM GTLN, GTNN III CÂU HỎI KHẢO BÀI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG II THUẬT TỐN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG III CÂU HỎI KHẢO BÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ I ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA II ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG III ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN IV CÂU HỎI KHẢO BÀI SỰ TƯƠNG GIAO I TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ II SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH III CÂU HỎI KHẢO BÀI BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ I Đồ thị hàm số y = |f (x)| II Đồ thị hàm số y = f (|x|) III Đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x) 6 7 9 9 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 16 HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠ-GA-RÍT LŨY THỪA I ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA II CÔNG THỨC III SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ IV CÂU HỎI KHẢO BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA 17 17 17 17 17 17 18 Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC I ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA II ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA III KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA IV CÂU HỎI KHẢO BÀI LƠ-GA-RÍT I ĐỊNH NGHĨA LƠ-GA-RÍT II CƠNG THỨC LƠ-GA-RÍT III CÂU HỎI KHẢO BÀI HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠ-GA-RÍT I HÀM SỐ MŨ II HÀM SỐ LƠ-GA-RÍT III BÀI TOÁN LÃI SUẤT IV CÂU HỎI KHẢO BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH LƠ-GA-RÍT I PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠ-GA-RÍT CƠ BẢN II PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ IV CÂU HỎI KHẢO BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠ-GA-RÍT I BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠ-GA-RÍT CƠ BẢN II PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ IV CÂU HỎI KHẢO BÀI NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM I KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN I CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG II THỂ TÍCH 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 21 22 24 24 24 24 25 25 25 25 25 26 26 27 27 27 28 28 28 29 29 29 30 SỐ PHỨC SỐ PHỨC I ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC II HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU III BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC IV SỐ PHỨC LIÊN HỢP V MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC I PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC II PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC PHÉP CHIA SỐ PHỨC I ĐỊNH NGHĨA II CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC III TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM II CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC III ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C 32 32 32 32 32 33 33 33 33 34 35 35 35 35 35 35 35 35 Trường THPT Thăng Long II MỤC LỤC HÌNH HỌC 12 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN I KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN II PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN III CÂU HỎI KHẢO BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN I KHỐI ĐA DIỆN LỒI II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU III CÂU HỎI KHẢO BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I THỂ TÍCH KHỐI CHĨP II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ III ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ IV CÂU HỎI KHẢO BÀI 36 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 40 41 43 KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU KHỐI NÓN I KHÁI NIỆM HÌNH NĨN II CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN III DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NĨN IV CÂU HỎI KHẢO BÀI KHỐI TRỤ I KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ II CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ III DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ IV CÂU HỎI KHẢO BÀI KHỐI CẦU I KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU II DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU IV CÂU HỎI KHẢO BÀI 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 46 46 46 46 47 48 48 48 48 49 49 49 50 51 52 52 52 53 53 53 53 53 53 54 54 ĐỀU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z II TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ III HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, IV TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG V TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG VI QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ VII CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT V HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG II PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT IV PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÉC-TƠ HIỆU Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC V HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG KHOẢNG CÁCH I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG II KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU IV KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU V KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VI KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM I HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG II ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG III HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG IV ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG V ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC III VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU GÓC I GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG III GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 54 54 54 54 54 54 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 56 56 57 57 57 57 58 58 58 58 58 58 Phần I GIẢI TÍCH 12 Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM §1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I ÔN TẬP ĐẠO HÀM Đạo hàm số hàm số sơ cấp a) (c) = c số b) (xn ) = nxn−1 n số cho trước √ c) ( x) = √ x d) (sin x) = cos x e) (cos x) = − sin x f) (tan x) = g) (cot x) = − cos2 x sin2 x Công thức đạo hàm mở rộng a) (un ) = nun−1 · u n số cho trước √ u b) ( u) = √ u c) (sin u) = u · cos u d) (cos u) = −u · sin u e) (tan u) = u cos2 u f) (cot u) = − u sin2 u Quy tắc tính đạo hàm a) (k · u) = k · u k số cho trước b) (u + v) = u + v c) (u − v) = u − v d) (u · v) = u · v + u · v u v e) = u ·v−u·v v2 Cơng thức tính nhanh đạo hàm a) x c) ax + b cx + d =− x2 = ad − bc (cx + d)2 b) u d) ax2 + bx + c a x2 + b x + c =− u u2 = (ab − a b)x2 + 2(ac − a c)x + (bc − b (a x2 + b x + c )2 Trường THPT Thăng Long II CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ Điều kiện có nghĩa biểu thức a) Biểu thức dạng c) Biểu thức dạng f (x) có điều kiện g(x) = g(x) f (x) g(x) b) Biểu thức dạng có điều kiện g(x) > f (x) có điều kiện f (x) ≥ d) Biểu thức chứa tan α có điều kiện α = π + kπ e) Biểu thức chứa cot α có điều kiện α = kπ Các bước tìm tập xác định hàm số a) Tìm điều kiện có nghĩa cho hàm số b) Giải điều kiện c) Kết luận tập xác định Chú ý a) Trường hợp hàm số khơng có điều kiện xác định, nghĩa hàm số có tập xác định R b) Các hàm đa thức có tập xác định R III BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Các bước lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) gồm a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính y , giải phương trình y = tìm nghiệm x c) Vẽ bảng biến thiên IV TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa tính đồng biến, tính nghịch biến hàm số Cho hàm số y = f (x) liên tục D Khi đó, a) Hàm số y = f (x) đồng biến D với a, b ∈ D mà a < b f (a) < f (b) b) Hàm số y = f (x) nghịch biến D với a, b ∈ D mà a < b f (a) > f (b) Mối quan hệ tính đồng biến, nghịch biến hàm số với đạo hàm Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm D Khi đó, a) Hàm số y = f (x) đồng biến D f (x) > với x ∈ D b) Hàm số y = f (x) nghịch biến D f (x) < với x ∈ D Chú ý Nếu biết chắn hàm số y = f (x) hàm biến (hàm biến hàm có dạng ax + b ) y= cx + d a) Hàm số y = f (x) đồng biến D f (x) ≥ với x ∈ D b) Hàm số y = f (x) đồng biến D f (x) ≤ với x ∈ D Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tính đồng biến, nghịch biến hàm số bậc ba Hàm số bậc ba hàm số có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) có tính chất sau a) Nếu y = có nghiệm kép vơ nghiệm hàm số đồng biến (khi a > 0) nghịch biến (khi a < 0) R b) Nếu y = có nghiệm hàm số khơng thể đồng biến nghịch biến R Lúc này, muốn xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số nên dựa vào bảng biến thiên c) Hàm số đồng biến R ⇔ a>0 ∆≤0 d) Hàm số nghịch biến R ⇔ a c) Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ ad − bc <  ad − bc > d) Hàm số đồng biến khoảng (m; n) ⇔ − d ∈ / (m; n) c  ad − bc < e) Hàm số nghịch biến khoảng (m; n) ⇔ − d ∈ / (m; n) c V CÂU HỎI KHẢO BÀI Câu Viết lại công thức đạo hàm hàm số sơ cấp? Câu Viết lại công thức đạo hàm mở rộng? Câu Viết lại quy tắc tính đạo hàm? Câu Viết lại cơng thức tính nhanh đạo hàm? Câu Nêu lại điều kiện xác định hàm số học? Câu Có bước để tìm tập xác định hàm số? Là bước nào? Câu Các hàm số ln có tập xác định tập R? Câu Nêu lại bước lập bảng biến thiên hàm số y = f (x)? Câu Dựa vào định nghĩa tính đồng biến củ hàm số, nói “Hàm số y = f (x) đồng biến biến D” có nghĩa là? Câu 10 Dựa vào định nghĩa tính đồng biến củ hàm số, nói “Hàm số y = f (x) nghịch biến tập D” có nghĩa là? Câu 11 Mối liên hệ tính đồng biến hàm số y = f (x) tập D với đạo hàm gì? Câu 12 Mối liên hệ tính đồng biến hàm số y = f (x) tập D với đạo hàm gì? Câu 13 Nếu biết hàm số y = f (x) khơng phải hàm biến điều kiện để hàm số y = f (x) đồng biến (a; b) gì? Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Câu 14 Nếu biết hàm số y = f (x) hàm biến điều kiện để hàm số y = f (x) nghịch biến (a; b) gì? Câu 15 Trong ba hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm biến), hàm số (không thể) đồng biến (hoặc nghịch biến) R? Điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) R gì? ax + b Câu 16 Điều kiện để hàm số y = (ad − bc = 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) khoảng xác định cx + d gì? ax + b Câu 17 Điều kiện để hàm số y = (ad − bc = 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) tập (s; t) gì? cx + d §2 I CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (a; b) (a −∞, b +∞) a) Nếu tồn h > cho f (x) < f (x0 ) với x ∈ (x0 − h; x0 + h) x = x0 ta nói hàm số đạt cực đại x0 b) Nếu tồn h > cho f (x) > f (x0 ) với x ∈ (x0 − h; x0 + h) x = x0 ta nói hàm số đạt cực tiểu x0 II MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM Cho hàm số y = f (x) liên tục (a; b) x0 ∈ (a; b) Khi đó, a) Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 f (x0 ) = b) Nếu f (x) > với x ∈ (a; x0 ) f (x) < với x ∈ (x0 ; b) hàm số đạt cực đại x0 c) Nếu f (x0 ) = f (x0 ) < hàm số y = f (x) đạt cực đại x0 d) Nếu f (x) < với x ∈ (a; x0 ) f (x) > với x ∈ (x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0 e) Nếu III f (x0 ) = f (x0 ) > hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x0 PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM a) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) hàm số x0 b) Giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu, cực trị) hàm số f (x0 ) c) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) đồ thị hàm số (x0 ; f (x0 )) IV QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ Quy tắc a) Vẽ bảng biến thiên hàm số b) Kết luận Quy tắc a) Tính y = f (x), y = f (x) b) Giải phương trình y = tìm nghiệm x0 c) Tính f (x0 ) (a) Nếu f (x0 ) > hàm số đạt cực tiểu x0 (b) Nếu f (x0 ) < hàm số đạt cực đại x0 Chương KHỐI NĨN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU §1 I KHỐI NĨN KHÁI NIỆM HÌNH NĨN O Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OM I tạo thành hình gọi hình nón tròn xoay, gọi tắt hình nón I II M CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NĨN O • r bán kính đường tròn đáy • h chiều cao hình nón • l đường sinh hình nón h I III DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NĨN Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π · r · l Diện tích tồn phần hình nón Stp = π · r · l + π · r2 44 l r M Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU Thể tích khối nón V = IV · π · r2 · h CÂU HỎI KHẢO BÀI Câu Cho tam giác OIM vuông I, nêu cách tạo hình nón? Nêu yếu tố hình nón? Câu Nêu cơng thức tính diện tích hình nón? Câu Nêu cơng thức tính thể tích khối nón? §2 I KHỐI TRỤ KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ Cho hình chữ nhật AOO D quay xung quanh cạnh OO , đường gấp khúc OADO tạo thành hình gọi hình trụ tròn xoay hay gọi tắt hình trụ II D O A O CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ • l đường sinh hình trụ D O • r bán kính đường tròn đáy hình trụ l h • h chiều cao hình trụ A III DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π · r · l Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π · r · l + 2π · r2 Thể tích khối trụ V = π · r2 · h IV CÂU HỎI KHẢO BÀI Câu Nêu cách tạo hình trụ từ hình chữ nhật OO DA? Nêu yếu tố hình trụ? Câu Nêu cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ? Câu Nêu cơng thức tính thể tích khối trụ? 45 r O Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU §3 I KHỐI CẦU KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU r bán kính hình cầu r II DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU Diện tích hình cầu S = 4π · r2 Thể tích khối cầu V = III π · r3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R, d khoảng cách từ tâm O đến (P ) So sánh Vị trí tương đối dR (P ) (S) không cắt P 46 R d H r M Trường THPT Thăng Long IV CHƯƠNG KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU CÂU HỎI KHẢO BÀI Câu Nêu cơng thức tính diện tích hình cầu? Nêu cơng thức tính thể tích khối cầu? Câu Mơ tả vị trí tương đối khối cầu với mặt phẳng? 47 Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z I z zM Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ba tia Ox, Oy Oz đơi vng góc hình vẽ bên • Các véc-tơ i, j, k véc-tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz • |i| = 1, |j| = 1, |k| = → − i • i · j = 0, i · k = 0, j · k = xM • i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) II → − k O x TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ Cho A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; yB ; zB ) C(xC ; yC ; zC ) a) a = (a1 ; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 · i + a2 · j + a3 · k −−→ b) M (x; y; z) ⇔ OM = x · i + y · j + z · k • M ≡ O ⇒ x = y = z = −→ M (0; 0; 0) • M ∈ (Oxy) ⇒ z = −→ M (x; y; 0) • M ∈ (Oxz) ⇒ y = −→ M (x; 0; z) • M ∈ (Oyz) ⇒ x = −→ M (0; y; z) • M ∈ Ox ⇒ y = z = −→ M (x; 0; 0) • M ∈ Oy ⇒ x = z = −→ M (0; y; 0) • M ∈ Oz ⇒ x = y = −→ M (0; 0; z) −−→ c) AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) d) M trung điểm đoạn AB, ta có xM = e) G trọng tâm xA + xB yA + yB zA + zB ; yM = ; zM = 2 ABC, ta có xG = xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC ; yG = ; zG = 3 48 M yM → − j y Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN −−→ −−→ f) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k = 0), nghĩa M A = k M B, toa độ điểm M xM = III xA − kxB yA − kyB zA − kzB ; yM = ; zM = 1−k 1−k 1−k HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU Cho hai véc-tơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi đó,   a1 = b1 a) a = b ⇔ a2 = b2 (hoành = hoành; tung = tung; cao = cao)   a3 = b3 b) a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) c) a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) d) k · a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) e) ma ± nb = (ma1 ± nb1 ; ma2 ± nb2 ; ma3 ± nb3 ) IV TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG a) a · b = |a| · |b| cos(a, b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 b) |a| = c) AB = a21 + a22 + a23 (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 d) cos(a, b) = a·b |a| · |b| = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 e) a⊥b ⇔ a · b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = V TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG a) [a, b] = a ∧ b = a2 b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) b) [a, b] = −[b, a] c) [a, b]⊥a; [a, b]⊥b d) [a, b] = |a| · b · sin(a, b) e) a phương b ⇔ [a, b] = ⇔ a2 a3 a1 = = (nếu b1 b2 b3 = 0) b1 b2 b3 f) a, b, c đồng phẳng ⇔ [a, b] · c = −−→ −→ −−→ −→ g) A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC ⇔ AB, AC = −−→ −→ −−→ h) A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD = i) Diện tích tam giác ABC S ABC = −−→ −→ AB, AC B C A D 49 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN j) Thể tích khối hộp ABCD.A B C D VABCD.A B C D −−→ −−→ −−→ AB, AD · AA = C B A D C B A D k) Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C VABC.A B = C B −−→ −→ −−→ AB, AC · AA C A B C A l) Thể tích khối tứ diện SABC VSABC = −→ −→ −→ SA, SB · SC S A C B VI QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) Khi đó, Hai véc-tơ vng góc a⊥b ⇔ a · b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = Chú ý −−→ −→ • Tam giác ABC vng A ⇔ AB⊥AC = • Đường thẳng d⊥(ABC) ⇔ d⊥AB d⊥AC Hai véc-tơ phương a phương b ⇔ a, b = ⇔ a1 a2 a3 = = (nếu b1 b2 b3 = 0) b1 b2 b3 Chú ý −−→ −→ • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương với AC −−→ −→ • A, B, C ba đỉnh tam giác ⇔ A, B, C không thẳng hàng ⇔ AB AC không phương ⇔ −−→ −→ a1 a2 a3 AB, AC = ⇔ Hai ba tỉ lệ , , khác (b1 b2 b3 = 0) b1 b2 b3 −−→ −−→ • ABCD hình thang có hai đáy AB CD ⇔ AB phương với DC 50 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hai véc-tơ       ma1 = nb1 a1 = kb1 a1 = b1 a = b ⇔ a2 = b2 ; a = k b ⇔ a2 = kb2 ; ma = nb ⇔ ma2 = nb2       ma3 = nb3 a3 = kb3 a = b3 −−→ −−→ −−→ −−→ Chú ý ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC AD = BC Góc cos(a, b) = a·b |a| · |b| = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 Chú ý • Gọi φ góc hai đường thẳng AC BD Khi −−→ −−→ |AB · CD| cos φ = AB · CD • Góc A tam giác ABC tính cơng thức cos A = −−→ −→ AB · AC AB · AC Ba véc-tơ đồng phẳng Ba véc-tơ a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b · c = Chú ý −−→ −→ −−→ • A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔ A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD = −−→ −→ −−→ • A, B, C, D lập thành tứ giác ⇔ A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD = VII CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN Trung điểm đoạn thẳng  xA + xB   xM =     yA + yB Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB yM =      zM = zA + zB 2 Các điểm đặc biệt tam giác Cho tam giác ABC, số điểm đặc biệt tam giác xác định sau  xA + xB + xC   xG =     −−→ −→ −−→ −−→ yA + yB + yC • Trọng tâm G ABC ⇔ OG = OA + OB + OC = ⇔ yG =  3     zG = zA + zB + zC −−→ −−→  AH⊥BC   −−→ −→ • H trực tâm ABC ⇔ BH⊥AC   − − → − − → − →  AH · AB, AC = 51 Trường THPT Thăng Long • A chân đường cao CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN −−→ −→ AA ⊥− BC ABC ⇔ −−→ −→ BA = k − BC • D chân đường phân giác góc A −−→ AB −−→ DC ABC ⇔ DB = − AC −−→ AB −−→ ABC ⇔ EB = EC AC − → −→ −→ ABC ⇔ a · IA + b · IB + c · IC = a = BC, b = AC c = AB • E chân đường phân giác ngồi góc A • I tâm đường tròn nội tiếp Các điểm đặc biệt tứ diện Cho tứ diện ABCD, số điểm đặc biệt thường gặp  xA + xB + xC + xD   xG =     yA + yB + yC + yD • G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ yG =      zG = zA + zB + zC + zD −−→ −−→  AH⊥BC   −−→ −−→ • H hình chiếu A lên (BCD) ⇔ BH⊥BD   − − → − − → − − →  BH · BC, BD = §2 I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG • Véc-tơ n = gọi véc-tơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (α) giá vng góc với (α) n = a, b b n a • Nếu hai véc-tơ a, b (khác không phương với nhau) có giá song song nằm (α) a, b gọi cặp véc-tơ phương (α) Khi đó, (α) có véc-tơ pháp tuyến n = a, b II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG • Phương trình tổng quát mặt phẳng có dạng ax + by + cz + d = a2 + b2 + c2 = 0, véc-tơ n = (a; b; c) véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng • Mặt phẳng (α) qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = (a; b; c) có phương trình (α) : a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 52 Trường THPT Thăng Long III CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN z Mặt phẳng qua ba điểm A(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; b; 0) ∈ Oy, C(0; 0; c) ∈ Oz (a, b, c = 0) Phương trình mặt phẳng có dạng C x y z + + = a b c O B y A x IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT a) (α) : ax + by + d = −→ (α) c) (α) : ax + d = −→ (α) b) (α) : ax + by = −→ (α) ⊃ Oz Oz d) (α) : ax = −→ (α) ≡ (Oyz) (Oyz) e) (α) : ax + by + cz = −→ (α) qua gốc tọa độ Các trường hợp lại tương tự V HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cho hai mặt phẳng (α) tổng quát (β) mặt phẳng (α) : ax + by + cz + d = Khi đó, mặt phẳng (β) có phương trình ax + by + cz + d = d = d §3 I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG • Véc-tơ a = gọi véc-tơ phương (VTCP) đường thẳng d giá phương (song song trùng) với d → − b → − a d • Nếu hai véc-tơ u, v (khác 0, có giá vng góc với d khơng phương với nhau) đường thẳng d có véc-tơ phương a = [u, v] II PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có véc-tơ phương a = (a; b; c), có phương trình tham số   x = x0 + at y = y0 + bt (t ∈ R)   z = z0 + ct 53 Trường THPT Thăng Long III CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT   x = t • Đường thẳng x Ox có phương trình tham số y =   z =   x = • Đường thẳng y Oy có phương trình tham số y = t   z =   x = • Đường thẳng z Oz có phương trình tham số y =   z = t IV PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Nếu đường thẳng d qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có véc-tơ phương a = (a; b; c) (abc = 0) phương trình tắc d x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c V HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG   x = x0 + a1 t Nếu d : y = y0 + a2 t d   z = z0 + a3 t VI d d có véc-tơ phương ud = (a1 ; a2 ; a3 ) ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu đường thẳng d⊥(P ) (P ) : ax + by + cz + d = ud = (a; b; c) véc-tơ phương d §4 I KHOẢNG CÁCH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = tính cơng thức d(M, (P )) = II |ax0 + by0 + cz0 + d| √ a2 + b2 + c2 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG   x = x1 + at Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng ∆ : y = y1 + bt tính cơng thức   z = z1 + ct −−−→ M M1 , u d(M, ∆) = |u| M1 (x1 ; y1 ; z1 ) điểm tùy ý đường thẳng ∆, véc-tơ u véc-tơ phương đường thẳng ∆ III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU Hai mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0, (Q) : ax + by + cz + d = song song với Khoảng cách (P ) (Q) tính cơng thức |d − d | d((P ), (Q)) = √ a + b2 + c2 54 Trường THPT Thăng Long IV CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU Cho hai đường thẳng • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a; b; c) • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a ; b ; c ) song song Khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆ khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng ∆ V KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cho hai đường thẳng • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a; b; c) • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a ; b ; c ) chéo Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng d d tính cơng thức −−−→ u, u · M M d(∆, ∆ ) = u, u VI KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG Cho đường thẳng mặt phẳng • đường thẳng ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u = (a; b; c) • mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = song song Khoảng cách ∆ (P ) khoảng cách từ M (x0 ; y0 ; z0 ) đến (P ) §5 I TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp Tìm hình chiếu điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) lên mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0, thực theo bước • Gọi d đường thẳng qua điểm M vng góc với (P ), viết phương trình đường thẳng d • Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) • Kết luận tọa độ hình chiếu II ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG Giả sử H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (α) M đối xứng với M qua (α) Khi đó, H trung điểm đoạn M M III HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG   x = x1 + at Phương pháp Tìm hình chiếu điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) lên đường thẳng d : y = y1 + bt , thực theo bước   z = z1 + ct • Gọi (P ) mặt phẳng qua điểm M vng góc với d, viết phương trình mặt phẳng (P ) • Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) • Kết luận tọa độ hình chiếu 55 Trường THPT Thăng Long IV CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Giả sử H hình chiếu điểm M lên đường thẳng ∆ M đối xứng với M qua ∆ Khi đó, H trung điểm đoạn M M V ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM Giả sử M đối xứng với M qua điểm I Khi đó, I trung điểm đoạn M M §6 I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU • Mặt cầu (S) tâm điểm I(a; b; c), bán kính R có bán kính (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I R M • Phương trình x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình mặt cầu điều kiện a2 + b2 + c2 − d > thỏa mãn Khi điều kiện thỏa mãn, √ phương trình phương trình mặt cầu có tâm điểm I(a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC Giả sử mặt cầu (S) có tâm điểm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng (α) : mx + ny + pz + r = Khi đó, phương trình mặt cầu (S) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 R = d(I, (α)) = III |ma + nb + pc + r| m2 + n2 + p2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC   x = x0 + mt Giả sử mặt cầu (S) có tâm điểm I(a; b; c) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : y = y0 + nt Khi đó, phương trình   z = z0 + pt mặt cầu (S) (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 −−→ IM , u R = d(I, ∆) = , điểm M (x0 ; y0 ; z0 ), u = (m; n; p) |u| 56 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §7 I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cách Cho hai mặt phẳng (α) : ax + by + cz + d = (α ) : a x + b y + c z + d = (a b c d = 0) Khi • Nếu b c d a = = = (α) a b c d • Nếu a b c d = = = (α) ≡ (α ) a b c d (α ) • Các trường hợp lại (α) cắt (α ) Cách Cho hai mặt phẳng (α) qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận n = (a; b; c) làm VTPT; (α ) qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận n = (a ; b ; c ) làm VTPT Khi • Nếu n, n = (α) cắt (α ) • Nếu n, n = M ∈ (α ) (α) ≡ (α ) • Nếu n, n = M ∈ / (α ) (α) II (α ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có véc-tơ phương u = (a; b; c) • ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) có véc-tơ phương u = (a ; b ; c ) Khi đó, • Nếu u, u = ∆ ∆ cắt chéo −−−→ – Nếu u, u · M M = ∆ ∆ chéo −−−→ – Nếu u, u · M M = ∆ ∆ cắt • Nếu u, u = ∆ ∆ song song trùng −−−→ – Nếu u, M M = ∆ ∆ song song −−−→ – Nếu u, M M = ∆ ∆ trùng III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R mặt cầu (S ) tâm I bán kính R Khi đó, • R + R = II (S) (S ) tiếp xúc (tiếp xúc ngồi) • |R − R | = II (S) (S ) tiếp xúc (tiếp xúc trong) • R + R < II (S) (S ) khơng có điểm chung • R + R > II (S) (S ) cắt 57 Trường THPT Thăng Long IV CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   x = x0 + at     x = x0 + at y = y + bt Cho đường thẳng ∆ : y = y0 + bt mặt phẳng (α) : mx+ny+pz+r = Xét hệ phương trình   z = z0 + ct    z = z0 + ct  mx + ny + pz + r = Khi đó, • Nếu hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) ∆ cắt (α) điểm M (x; y; z) • Nếu hệ phương trình vơ nghiệm ∆ (α) • Nếu hệ phương trình có vơ số nghiệm ∆ ⊂ (α) V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R mặt phẳng (α) Khi đó, • Nếu d(I, (α)) = R (α) tiếp xúc (S) • Nếu d(I, (α)) > R (α) (S) khơng có điểm chung • Nếu d(I, (α)) < R (α) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn tâm I (I hình chiếu I lên (α)) bán kính r = R2 − d2 (I, (α)) §8 I GĨC GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng (α) có VTPT n = (a; b; c) mặt phẳng (α ) có VTPT n = (a ; b ; c ) Khi đó, góc φ (α) (α ) tính cơng thức cos φ = II |n · n | |n| · |n | =√ |aa + bb + cc | √ a2 + b2 + c2 a + b + c GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) đường thẳng ∆ có VTCP u = (a ; b ; c ) Khi đó, góc φ ∆ ∆ tính công thức cos φ = III |u · u | |u| · |u | =√ a2 |aa + bb + cc | √ + b2 + c2 a + b + c GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng (α) có VTPT n = (a; b; c) đường thẳng ∆ có VTCP u = (a ; b ; c ) Khi đó, góc φ (α) ∆ tính công thức sin φ = |n · u| |aa + bb + cc | √ =√ |n| · |u| a + b2 + c2 a + b + c 58 ... yêu cầu toán Chú ý Thuật toán xét giải phương trình cô lập x m III CÂU HỎI KHẢO BÀI Câu Phát biểu nêu thuật toán dạng tốn tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số? Câu Phát biểu nêu thuật toán đếm... HỎI KHẢO BÀI SỰ TƯƠNG GIAO I TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ II SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH III CÂU HỎI KHẢO BÀI... II HÀM SỐ LƠ-GA-RÍT III BÀI TOÁN LÃI SUẤT IV CÂU HỎI KHẢO BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHƯƠNG TRÌNH