THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Câu 1: [2H1-3-3] (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD  60 , AB hợp với đáy  ABCD  góc 30 Thể tích khới hộp a3 A a3 C 3a B a3 D Lời giải Chọn A B' C' D' A' a 3 B a C 1200 300 D A Ta có ABCD.ABCD hình hộp đứng nên cạnh bên vng góc với hai mặt đáy cạnh bên chiều cao hình hộp Đáy ABCD hình thoi với BAD  60 nên AB  BC  CD  DA  BD  a, AC  a Diện tích mặt đáy S ABCD  a2 (đvdt) AC.BD  2 Góc hợp AB với đáy  ABCD  BAB  30  BB  AB.tan 30  Vậy thể tích khới hộp V  a a a a3  (đvtt) Câu 2: [2H1-3-3] (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 3cm ; 30cm biết tổng diện tích mặt bên 480cm Tính thể tích V lăng trụ A V  2160cm3 B V  360cm3 C 720cm D V  1080cm Lời giải Chọn D Nửa chu vi đáy: p  37  13  30  40 Diện tích đáy là: S  40.(40  37).(40  13).(40  30)  180cm2 Gọi x độ dài chiều cao lăng trụ Vì mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật nên ta có: Sxq  13.x  37.x  30.x  480  x  Vậy thể tích lăng trụ là: V  6.180  1080cm3 Câu 3: [2H1-3-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có cạnh BC  2a, góc hai mặt phẳng  ABC   A ' BC  600 Biết diện tích tam giác A ' BC 2a Tính thể tích V khới lăng trụ ABC.A ' B ' C ' A V  3a V B V  a3 C V  2a a3 Lời giải Chọn B Gọi H hình chiếu A BC  AH  BC Ta có AA '  ( ABC )  AA '  BC AH  BC  BC  ( A ' AH )  (( ABC );( A ' BC ))  A ' HA  600 Diện tích A ' BC SA ' BC 2.SA ' BC 4a  A ' H BC  A ' H    2a BC 2a D sin A ' HA  AA '  AA '  sin 600.2a  a , A' H  AH  A ' H  A ' A2  4a  a   a  SABC  AH BC  a Vậy thể tích lăng trụ VABC A ' B 'C '  AA '.SABC  a 3.a  a3 Câu 4: [2H1-3-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AC  a , ACB  60 Đường thẳng BC tạo với  ACC A  góc 30 Tính thể tích V khối trụ ABC.ABC A V  a B V  a3 C V  3a D V  a3 Lời giải Chọn A Xét tam giác ABC vuông A ta có: tan 60o  AB a2  AB  a Khi SABC  AB AC  AC 2 Ta có hình chiếu vng góc cạnh BC mặt phẳng  ACC A  AC Khi góc BC A  30 Xét tam giác ABC vuông A ta có: tan 30  AB  AC   3a AC  Khi đó: CC   AC 2  AC  2a Vậy VABC ABC  CC .SABC  a3 Câu 5: [2H1-3-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB  , AC  , BAC  120o Giả sử D trung điểm cạnh CC BDA  90o Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A 15 B 15 C 15 D 15 Lời giải Chọn B BC  AB  AC  AB AC.cos BAC   BC  h2 h2 2   Đặt AA  h  BD   7, A B  h  1, A D   4 Do tam giác BDA vuông D nên AB2  BD2  AD2  h  Suy V  15 Câu 6: [2H1-3-3] (THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông C , ABC  60 , cạnh BC  a , đường chéo AB mặt bên  ABBA  tạo với mặt phẳng  BCC B  góc 30 Tính thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A a3 B a C Lời giải Chọn B a3 D a 3 Tam giác ABC vng C có ABC  60 ; BC  a suy AC  BC tan 600  a Khi : SABC  a2 AC.BC  2 Mặt khác: AC   BCC B  suy góc AB ' mặt phẳng  BCCB ABC  30 Tam giác ABC vng C có ABC  30 ; BC  a suy BC  AC  3a tan 30o Tam giác BBC vuông B có BC  a ; BC  3a  BB  2a Vậy VABC ABC   SABC BB  a3 Câu 7: [2H1-3-3] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy ABC cạnh a  biết SABC  Tính thể tích khối lăng trụ A B C D Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BC Ta có S A BC A M BC AM 2S A BC BC 2.8 Vì AM đường trung tuyến tam giác cạnh nên AM 2 Trong tam giác vng A AM ta có AA A M2 AM 16 12 Thể tích khới lăng trụ V S ABC AA 42 Câu 8: [2H1-3-3] Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy , diện tích tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ A B C D Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BC  BC  AM  BC  AM Vì   BC  AA S ABC   1 AM BC   AM   AM  2 AA  AM  AM  32  VABC ABC   SABC A ' A   3  22 3 Câu 9: [2H1-3-3] (THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp sớ nhân có cơng bội thể tích khới hộp 1728 Khi ba kích thước A 2; 4;8 B 8;16;32 C 3;4 3;8 6;12; 24 Lời giải Chọn D Gọi ba cạnh hình hộp có độ dài a; 2a; 4a D Thể tích khới hộp V  8a  1728  a  Câu 10: [2H1-3-3] (THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh AB , cạnh AA  a 10 Tính theo a tích khới lăng trụ ABC.ABC A V  a3 12 B V  3a3 C a3 D 3a3 Lời giải Chọn B H trung điểm AB AB  a nên AH  a Trong AAH có AH  AA2  AH  10a a 3a   4 Suy VABC ABC  a 3a 3a3  Câu 11: [2H1-3-3] (CHUYÊN SƠN LA) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , ACB  60 , BC  a, AA  2a Cạnh bên tạo với mặt phẳng  ABC  góc 30 Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A a3 B a3 C a3 D a 3 Lời giải Chọn C A' C' 2a B' A 30° 60° H C a B Trong tam giác ABC vuông B ta có: tan 60  Diện tích đáy: S ABC  AB  AB  BC  a BC a2 AB.BC  2 Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng  ABC  Góc cạnh bên AA đáy AAH  30 Trong tam giác vuông AHA ta có: AH  AA.sin 30  2a  a Thể tích lăng trụ là: V  AH S ABC  a a a3  2 Câu 12: [2H1-3-3] (THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vuông A , AC  a , ACB  60 Đường chéo BC mặt bên  BCCB tạo với mặt phẳng  AACC  góc 30 Tính thể tích khới lăng trụ theo a A a3 B 6a C Lời giải Chọn D a3 D a a2 Ta có ABC vng A, AC  a  AB  a  SABC  a.a  2 BC tạo với mặt phẳng  AACC  góc 30  BC A  30 Lại có ABC vuông A , suy AC  3a Từ AA   AC     AC   Vậy VABC ABC   AA.SABC  2a   AC    AC  2a a2  a3 Câu 13: [2H1-3-3] (THPT CHU VĂN AN) Cho hình lập phương ABCD ABCD có diện tích tam giác ACD a Tính thể tích V hình lập phương A V  3a C V  a B V  2a3 Lời giải Chọn B A' D' B' C' D A O B C Giả sử cạnh hình lập phương có độ dài x Ta có AC  x , OD  OD2  AA2  x D V  8a 1 x x2 Diện tích tam giác ACD S ACD  OD AC  x  2 2 Khi đó, ta có a  x2 x2  a2   xa 2 Vậy V  x3  2a3 Câu 14: [2H1-3-3] (TỐN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD tích G trọng tâm tam giác BCD Thể tích V khới chóp G.ABC ' A V  B V  C V  12 D V  18 Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BD theo tính chất trọng tâm G ta có GM  CM 1 1  VG ABC   VC ABC   VA BCC   AB CB.CC  3 3  1 AB.BC CC   VABCD ABC D  18 18 18 Câu 15: [2H1-3-3] (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN) Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a, b, c Thể tích khới hộp A V  B V  b  c  a  c  a  b  a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c  C V  abc D V  a  b  c Kẻ AH   ABC  , H   ABC  Khi góc AA mặt phẳng đáy góc AA AH AAH  30 Trong AAH vuông H , có AH  AA.sin AAH  a.sin 30  AH  Ta có VABC ABC a a3 a2 a  S ABC AH   VABC ABC  Câu 89: [2H1-3-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác cân, với AB  AC  a góc BAC  120 , cạnh bên AA  a Gọi I trung điểm CC Cosin góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABI  A 11 11 B 33 11 C 10 10 D Lời giải Chọn D B' a A' a C' I C B a A  1 Ta có BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  a  a  2.a.a     3a  2  BC  a 30 10 Xét tam giác vng BAB có AB  BB2  AB2  a  a  a Xét tam giác vng IAC có IA  IC  AC  a  a2 a  Xét tam giác vuông IBC có BI  BC 2  C I  3a  Xét tam giác IBA có BA2  IA2  2a   S IBA  a a 13  5a 13a   BI  IBA vuông A 4 1 a a 10 AB AI  a  2 Lại có S ABC  1 a2 AB AC.sin BAC  a.a  2 Gọi góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABI   Ta có ABC hình chiếu vng góc ABI mặt phẳng  ABC  Do S ABC a a 10 30  S IBA cos    cos   cos   4 10 Câu 90: [2H1-3-3] (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC ' B '  600 Tính thể tích V khới lăng trụ ABC A ' B ' C ' ? 2a 3 A V  a3 B V  3a3 C V  3a3 V Lời giải Chọn D D Z B' A' C' B A y C x Vì tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a nên AB  AC  a       Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  0;0;0  , C a 3;0;0 , B 0; a 3;0 , A  0;0; z   z        B 0; a 3; z ; BC  a 3; a 3;0 , BB   0; 0; z  VTPT  BCC B  là: n1     BC , BB  1;1;0  za    AC  a 3;0;0 , AB  0; a 3; z  VTPT mặt phẳng  BAC  là: n2   AC , AB  0;  z; a a 3 Vì góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC ' B '  600 nên:   cos 60  cos n1 , n2  z  z  3a    za Vậy thể tích khới lăng trụ ABC A ' B ' C ' là: V  3a3 AC AB AA  2 Câu 91: [2H1-3-3] (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Khi xây nhà, anh Tiến cần xây bể đựng nước mưa tích V   m3  dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây gạch xi măng Biết chi phí trung bình 1.000.000 đ/m2 nắp để diện tích nắp bể Tính chi phí thấp mà anh Tiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? hở khoảng hình vng có diện tích A 22000000 đ 21000000 đ B 20970000 đ C 20965000 đ D Lời giải Chọn D Gọi độ dài chiều rộng, chiều cao hình hộp là: x , h  m   Chiều dài hình hộp là: 3x Thể tích khới hộp chữ nhật là: V  x.3x.h   3x h  h  Diện tích khới hộp là: 2x.h  2.3x.h  2.x.3x  xh  x  x2 16  6x x Diện tích xung quanh phần xây gạch xi măng là: S 16 16 16 8 16  x  x   x  3 x  S  20,96593115 x x x x Tổng chi phí thấp mà anh Tiến phải trả là: 1000000.20,96593115  21000000 đ Câu 92: [2H1-3-3] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc đỉnh A lên  ABC  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM  2MA Biết khoảng cách a hai đường thẳng AM BC Tính thể tích V khới lăng trụ cho a3 A V  2a 3 V C V  B V  a Lời giải Chọn A 3a D B' C' A' I B C H N M K A B T N H P K A C M Kẻ MN // BC , N  AB HK  MN , HI  AK d  AM ; BC   d  BC ;  AMN    d  H ;  AMN    HI  HI  Kẻ AT // HK , AT  MN  P  HK  PT  Tam giác ABC vuông A  a 2 AT 1 a     HK  AT  2 AT AB AC 3a 3 Tam giác AHK vuông H  1       AH  a 2 AH HI HK a a a a3 Vậy thể tích khới lăng trụ cho là: V  AH S ABC  a .a.a  2 Câu 93: [2H1-3-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng A , ABC  30 Điểm M trung điểm cạnh AB , tam giác MAC cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC 24 2a3 A 72 3a3 C 24 3a3 B D 72 2a3 Lời giải Chọn D A' C' B' A C H M B Gọi H trung điểm MC  AH  MC   AH   ABC  Ta có  AMC    ABC     A MC    ABC   MC  MC  2a Tam giác MAC cạnh 2a    AH  3a  BC  x Đặt AC  x  , tam giác ABC vng A có ABC  30    AB  x Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến ta có CM  Suy S ABC  CA2  CB AB x  x 3x 4a   12a   x 4 1 12a 4a 24a AB AC   2 7 Do VABC ABC  AH S ABC  72a3 Câu 94: [2H1-3-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H điểm cạnh SD cho 5SH  3SD , mặt phẳng   qua B, H song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC E, F Tính tỉ sớ thể tích A 35 B VC BEHF VS ABCD C D 20 Lời giải Chọn D - Đặt VS ABCD  V - Trong tam giác SOD ta có: IS BO HD IS SI SE SF 1 3    IO BD HS IO SO SA SC V SH 3V - Ta có: S HBC    VS HBC  VS DBC SD 10 - Mặt khác: VC FHB CF 3V    VC FHB  VC SHB CS 40 - Mà: VC BEHF  2VC FHB  V 6V  C BEHF  40 VS ABCD 20 Câu 95: [2H1-3-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho lăng trụ ABCDABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O ABC  120 Các cạnh AA ; AB ; AD tạo với mặt đáy góc 45 Tính theo a thể tích V khới lăng trụ cho A a3 B 3a C 3a D a3 Lời giải Chọn A A' B' D' C' B A H D C ABCD hình thoi cạnh a , ABC  120  ABD cạnh a , SABD  S ABCD  a2 a2 Các cạnh AA ; AB ; AD tạo với mặt đáy góc 45 nên chóp AABD đỉnh A suy AH  a Suy VABCDABC D  AH S ABCD  a3 Câu 96: [2H1-3-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương cạnh 2a Tâm mặt hình lập phương đỉnh hình bát diện Tính tổng diện tích tất mặt hình bát diện A 3a B 3a C 3a Lời giải Chọn A D 3a B' A' D' C' O2 B A O1 C D Xét hình lập phương ABCDABCD cạnh 2a , gọi O1 , O2 tương ứng tâm 1 BC  2a  a O1 , O2 cạnh bát 2 diện có đỉnh tâm hình lập phương ABCDABCD ABCD ABBA suy ra: O1O2  Suy hình bát diện có tổng diện tích mặt là: S   a   3a (đvdt) Câu 97: [2H1-3-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Từ hình vng có cạnh người ta cắt bỏ tam giác vng cân tạo thành hình tơ đậm hình vẽ Sau người ta gập thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính thể tích lớn khối hộp A B 10 C Lời giải Chọn A Đặt kích thước cạnh hình vẽ D 11 y x Ta có x x y 2   x  y   y   x với  x  2   Thể tích khới hộp tạo thành V  x2 y  x  x   Ta có V   3x 2  x   x  2 Ta có bảng biến thiên Vậy: max V  x  2 , y  Câu 98: [2H1-3-3] (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho lăng trụ ABC.ABC có AB  3cm đường thẳng AB vng góc với đường thẳng BC Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A cm B 3cm3 C 27 cm 16 Lời giải Chọn A cm D A' C' B' N C A M B Gọi M trung điểm BC Suy AM   BCC B   AM  BC Mà BC  AB  BM  BC Đặt AB  a , AA  b Ta có tan BBC   cot BBM  Mà AB   AB2  AA2   a  a 2b a  b b a a2  3 a  2 Thể tích khới lăng trụ V  AA.S ABC   cm Câu 99: [2H1-3-3] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC Gọi M , N trung điểm BB CC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khới đa diện chứa đỉnh B V2 thể tích khới đa diện lại Tính tỉ sớ A V1  V2 B V1  V2 C Lời giải Chọn B V1  V2 V1 V2 D V1  V2 C' A' B' N M C A B Đặt thể tích khới lăng trụ ABC.ABC V , ta tích khới chóp V 2V A.ABC  thể tích khới chóp A.BCC B  3 Mặt khác thể tích khới chóp A.BCNM thể tích khới chóp A.BCNM nên V thể tích khới chóp A.BCNM 2V V V Vậy V1  , V2    3 V2 Câu 100: [2H1-3-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC Gọi M , N trung điểm BB CC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích khới đa diện chứa đỉnh B  V2 thể tích khới đa diện lại Tính tỉ sớ A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 Lời giải Chọn B A C B K M N A' B' C' V1 V2 D V1  V2 Gọi K trung điểm AA V , VABC KMN , VA.MNK thể tích khới lăng trụ ABC.ABC khới lăng trụ ABC.KMN thể tích khới chóp A.MNK Khi V2  VABC KMN  VA.MNK 1 1 1 Lại có VABC KMN  V ; VA.MNK  VABC KMN  V suy V2  V  V  V từ 6 V ta có V1  V  V  V Vậy  3 V2 Câu 101: [2H1-3-3] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA BC trụ ABC.ABC A V  V a3 B V  a3 a Tính thể tích V khối lăng C V  a3 24 a3 12 Lời giải Chọn D Gọi M trung điểm BC Vẽ MH  AA  H  BC  Ta có AM  BC , AG  BC  BC   AAG   BC  MH  d  AA, BC   MH D AH  AM  MH  3a 3a 3a   4 16 MH AG MH AG   tan GAH  AG   Ta có AH AG AH Vậy V  S ABC AG  a a a 3a a a a3  12 Câu 102: [2H1-3-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Hình lăng trụ đứng ABC.ABC có diện tích đáy , diện tích ba mặt bên 9, 18 10 Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A 11951 B 11951 C 11951 D 11951 Lời giải Chọn D A' B' C' x c B A b a C Đặt AA  x, AB  c , AC  b, BC  a  xc  18 c  2b   Ta có:  xb    10  xa  10  a  b  Ta lại có S ABC    p  p  a  p  b  p  c   , với p  37  37 10  37  37  b  b  b  b  b  b  2b   18  18  18  18  a  b  c 37  b 18 b 1296 11951 Suy x  11951 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.ABC : V  AA.S ABC  11951 ... AA A M2 AM 16 12 Thể tích khới lăng trụ V S ABC AA 42 Câu 8: [2H1-3-3] Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy , diện tích tam giác ABC Tính thể tích khới lăng trụ A B C D Lời... Vậy thể tích lăng trụ là: V  6.180  1080cm3 Câu 3: [2H1-3-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có cạnh BC  2a, góc hai mặt phẳng  ABC   A ' BC  600 Biết diện tích tam... [2H1-3-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG1) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB  , AC  , BAC  120o Giả sử D trung điểm cạnh CC BDA  90o Thể tích khới lăng trụ ABC.ABC A 15 B 15 C 15 D 15