TOÁN TỔNG HỢP VỀ MŨ VÀ LÔGARIT

Câu 1: [2D2-7-4] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tìm tập nghiệm bất phương trình: 2 x2    ln x  B  2; 1  1;  A 1; 2 D 1; 2 C 1;  Lời giải Chọn B Điều kiện: x  x2   1  2   ln x  Khi đó: x   ln x    x 4 1   2  ln x      x  2  x  2 x2      x    2 Trường hợp :    1  x   HVN  x  ln x       x   x   2  x  2  1   2  x  1    x2    x  1  x    Trường hợp :   x  ln x   x  x     x2 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   2; 1  1;  Câu 2: [2D2-7-4] [THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp] Xét số thực dương a , b thỏa mãn log9 a  log 12 b  log 15  a  b  Mệnh đề đúng? A a   2;3 b B a   3;9  b C a   0;  b D a   9;16  b Lời giải Chọn C a  9t 1 log9 a  t    b  12t   Đặt log9 a  log 12 b  log 15  a  b   t  log 12 b  t log 15  a  b   t a  b  15t  3 t t    12  Thế 1   vào  3 ta 9t  12t  15t    +   =1    15   15  Dễ thấy   có nghiệm t  t t t t  12  12    12  9 Xét hàm số f  t     +    f   t     ln +   ln  0, t   15   15   15  15  15  15 Do hàm số f  t  nghịch biến Vậy t  nghiệm phương trình   a  91 a    0;2  Do t  nên  b  144 b Câu 3: [2D2-7-4] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM] Cho a số nguyên dương lớn thỏa   mãn 3log3  a  a  2log a Tìm phần nguyên log  2017a  A 14 B 22 C 16 D 19 Lời giải Chọn B Đặt t  a , t  , từ giả thiết ta có 3log3 1  t  t   2log t  f  t   log3 1  t  t   log t  f  t   3t  2t  3ln  ln 3 t   ln  ln 3 t  ln   ln t  t  ln t ln 2.ln  t  t  t  Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t  Xét g  t    3ln  2ln 3 t   2ln  2ln 3 t  2ln 8 4  Ta có g   t   3ln t  2ln t  t  3ln t  2ln  9 9  g t    t  2ln 3ln  Lập bảng biến thiên suy hàm số g  t  giảm khoảng 1;  Suy g  t   g 1  5ln  6ln   f   t   Suy hàm số f  t  giảm khoảng 1;  Nên t  nghiệm phương trình f  t   Suy f  t    f  t   f    t   a   a  4096 Nên số nguyên a lớn thỏa mãn giả thiết toán a  4095 Lúc log  2017a   22,97764311 Nên phần nguyên log  2017a  22 Câu 4: [2D2-7-4] [QUẢNG XƯƠNG I] Trong nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2  y (2 x  y )  Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B C D.9 Lời giải Chọn B Bất PT 2  x  y   log x2  y (2 x  y )    ( I ), 2  2 x  y  x  y 2  0  x  y  ( II )  2  0  x  y  x  y Xét T= 2x  y TH1: (x; y) thỏa mãn (II)  T  x  y  x  y  TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x  y  x  y  ( x  1)  ( y  x  y  2( x  1)  ( 2y  2 )  2   (22  ) ( x  1)  ( y  )   2  Suy : max T  )  Khi 2 9 9    ( x; y)  (2; ) 2 BÌNH LUẬN - Sử dụng tính chất hàm số logarit  a  y  log a b đồng biến a  nghịch biến  a    g  x     f  x   g  x  log a f  x   log a g  x     0  a   f  x      f  x   g  x  - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai số  a; b  ,  x; y  ax  by  a Dấu “=” xảy  b  x  y  a b  0 x y Câu 5: [2D2-7-4] (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018) Cho x , y số thực dương thỏa mãn log T 2x  y 1  x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y  x y A  C  B D Lời giải Chọn D 2x  y 1  x  y  log3  x  y  1  log  x  y   x  y x y  log3  x  y  1  log3  3x  y   x  y  Ta có log  log3  x  y  1  x  y   log3  3x  y   3x  y (*) Xét hàm số f  t   log3 t  t với t  Khi f   t     0, t  , suy hàm số f  t  liên tục đồng biến t ln  0;   Do *  x  y   3x  y  x  y   x   y 2 1      Xét T   x y 1 y y 1 y y y Vì x, y    y  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có T  3  3  3  y 1  y  y 1  y   x  1 y  x   Dấu "  " xảy  1  y  y   2 y   y y    Câu 6: [2D2-7-4] [CHUYÊN ĐHSP HN - 2017] Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu: “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau: Bàn cờ vua có 64 với thứ xin nhận hạt, thứ gấp đơi đầu, ô thứ lại gấp đôi ô thứ 2, … sau nhận số hạt thóc gấp đơi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô (từ ô thứ đến ô thứ n ) lớn triệu A 18 B 19 C 20 D 21 Lời giải Chọn C Bài toán dùng tổng n số hạng cấp số nhân Ta có: Sn  u1  u2   un   1.2  1.2   1.2 n 1 2n    2n  1 Sn  2n   106  n  log 106  1  19.93 Vậy n nhỏ thỏa yêu cầu 20 Câu 7: [2D2-7-4] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tính tích tất  x    x  x  nghiệm thực phương trình log   2  2x  A B C Lời giải Chọn D Điều kiện: x   x 1   x   x    PT:  log  2  2x  Đặt t  5 1 2x2  1  x  x  2x 2x 2x PT trở thành log2 t  2t  (2)   Xét hàm f  t   log2 t  2t t  hàm đồng biến nên:  2  f  t   f  2  t  (t/m) D Với t  x2    x  x   (t/m) Vậy x1 x2  (theo Viet ) 2x Câu 8: [2D2-7-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Cho cấp số cộng  an  , cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  b2  b1  ; hàm số f  x   x3  3x cho f  a2    f  a1  f  log b2    f  log b1  Số nguyên dương n nhỏ lớn cho bn  2018an là: A 16 B 15 C 17 D 18 Lời giải Chọn B Hàm số f  x   x3  3x có bảng biến thiên sau: Theo giả thiết   f  a2    f  a1   f  a2   f  a1      a2  a1  a2  a1    a1  a2  Từ suy  , f  x    x  Ta xét trường hợp:   a1   a2   f  a2      f  a2   2 a2    Nếu  a1  a2   a1   f  a1    f  a1      f  a2    Nếu  a1   a2  điều khơng thể  f  a1   Do xảy trường hợp a1  0; a2  Từ suy an  n  1 n  1 Tương b2  b1  nên log b2  log b1  , suy log b2  b    bn  2n 1  n  1  log a  b   1 Xét hàm số g  x   x  2018 x khoảng  0;   , ta có bảng biến thiên   2018   g  log ln      2018  log ln  11  Ta có  g 12   20120 nên số nguyên dương nhỏ n thỏa g  n  1    g 13  18042   g 14   11868  g 15  2498   n 1  15  n  16 (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho dãy số  un  có số hạng đầu u1  Câu 9: [2D2-7-4] thỏa mãn log22 (5u1 )  log22 (7u1 )  log 22  log 22 un 1  7un với n  Giá trị nhỏ n để un  1111111 C B A 11 D 10 Lời giải Chọn D Vì un 1  7un nên dễ thấy dãy số  un  cấp số nhân có cơng bội q  Ta có: log22 (5u1 )  log22 (7u1 )  log 22  log 22  (log2  log2 u1 )2  (log2  log2 u1 )2  log22  log 22  2log2 5.log2 u1  2log22 u1  2log 7.log u1  log u    log  log u1  log  u  ( L )  log 35u1   u1  35 Ta có: un  u1.7n1 un  1111111  n 1  1111111  n 1  35.1111111 35  n  log (35.1111111)  Mà n  * nên giá trị nhỏ trương hợp n  10 Câu 10: [2D2-7-4](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2018 - BTN) Cho a, b , c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức: P log bc a  log ac b A Pmin  20  3log ab c B Pmin  10 C Pmin  18 D Pmin  12 Lời giải Chọn A Ta có: P     2log a bc  2logb ac  8log c ab 2logbc a log b log ab c ac  2log a b  2log a c  2logb a  2logb c  8log c a  8log c b   2log a b  2logb a    2log a c  8log c a    2logb c  8log c b  Vì a, b , c số thực lớn nên: log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b  Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: P  2 log a b.2 log b a  2 log a c.8log c a  2 log b c.8log c b     20 a  b log a b  logb a   Dấu “=” xảy log a c  log c a  c  a  a  b  c  log c  log b  c  b c  b Vậy Pmin  20 Câu 11: [2D2-7-4] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] [2D2-0.0-4] Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2log a  log b  log  a  6b  Tìm giá trị lớn PMax ab  b biểu thức P  a  2ab  2b A PMax  PMax  C PMax  B PMax  D Lời giải Chọn C Ta có: 2log a  log b  log  a  6b   log a  log  ab  6b2   a  ab  6b2 a a a        3   b b b Do a, b dương nên  Đặt t  a  b a ,0  t  b Khi đó: P  ab  b t 1  2 a  2ab  2b t  2t  Xét hàm số f  t   Ta có: f   t   t 1 với  t  t  2t  2 t  2t t  2t  2 Suy f  t   f    Do PMax   0, t   0; 2 1 Vậy Max f  t   t  0;2   2 HẾT -Câu 12: [2D2-7-4] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tính tổng tất nghiệm phương trình e A 1853 B   sin  x    4  tan x thuộc đoạn  0;50  ? 2475 C Lời giải Chọn B Điều kiện: x    k , k  2671 D 2105 Phương trình e   sin  x    4  tan x  sin x  cos x   ln sin x  ln cos x  ln cos x  cos x  ln sin x  sin x    tan x    tan x    + Khi cos x  sin x  , xét hàm số f  t   ln t  t , tập  1;0  f  t    suy f   t   , t   1;0  t Nên hàm số f  t   ln t  t nghịch biến  1;0  Mà phương trình ln cos x  cos x  ln sin x  sin x có dạng f  cos x   f  sin x  Nên 1 ln cos x  cos x  ln sin x  sin x  cos x  sin x + Khi cos x  sin x  , xét hàm số f  t   ln t  t , tập  0;1 f  t    suy f   t   , t   0;1 t Nên hàm số f  t   ln t  t đồng biến  0;1 Mà phương trình ln cos x  cos x  ln sin x  sin x có dạng f  cos x   f  sin x  Nên  2 ln cos x  cos x  ln sin x  sin x  cos x  sin x    Từ 1   ta có cos x  sin x  sin  x     x   k , k  4  Do xét x   0;50  nên  Mà k    k  50   199 k 4  k  0;1; 2;3 ; 49 Vậy phương trình cho có nghiệm   ; 4 ;   2 ; ;   49 Dãy số 50 số hạng đầu liên tiếp cấp số cộng có số hạng đầu u1  công sai d   nên tổng nghiệm S50  50    2475   50  1        Câu 13: [2D2-7-4] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho phương trình    0 log81 x  x    log  m3  3m      Gọi S tập hợp tất giá trị m nguyên để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [6;8] Tính tổng bình phương tất phần tử tập S A 20 B 28 C 14 D 10   m3 3 m 1   x3 3 x 1  Lời giải Chọn B Ta có 2 Xét  m3 3 m 1 x3 3 x2 1    log81 x3  x      log3 x3  3x    hàm số f   t   2t ln 2.log t  2t   0 log   m  3m       x3 3 x 1   m3 3m2 1  f  t   2t.log3 t  log3 m3  3m2   với t  2; Ta có  0t  t ln Suy hàm số f  t  đồng biến  2;   Do phương trình tương đương với m3  3m2   x3  3x2  1 Vẽ đồ thị hàm số g  x   x3  3x  từ suy đồ thị g  x  đồ thị g  x  hình vẽ Từ đồ thị suy 1 có 6, 7,8 nghiệm   g  m   Từ đồ thị suy giá trị nguyên m 3, 2, 1, 0,1, 2,3 Vậy S  28 Câu 14: [2D2-7-4] (THPT Lê Q Đơn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Tìm tập hợp giá trị tham số m để phương trình (ẩn x ): 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 x2  A  1;   \ 0 B  0;   C \  1;1 D  1;   Lời giải Chọn A - ĐK : x  - Ta có : 3log2 x   m  3 3log2 x  m2    32log2 x   m  3 3log2 x  m2   (1) - Đặt t  3log x , t  Ta bất phương trình : t   m  3 t  m2   (2) Nhận thấy : (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương    2    m  3  (m  3)   t1  t2   m  3      m   t1t2  m   6m   m  1    m  1 (*) m   m  3 Khi : (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn : log x x t1.t2  m2   3log2 x1.3log2 xx  m   3log2 x1  log2 x2  m      m2  log x x Từ x1 x2   log  x1 x2        m    m   m  Kết hợp điều kiện (*) ta : m  1;   \ 0 Câu 15: [2D2-7-4] (Đồn Trí Dũng - Lần - 2017 - 2018) Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2  x  y    Tìm m để tồn cặp  x; y  cho x2  y  x  y   m  A 10 C 10 2 10 Lời giải Chọn C B 10 10 D 10 2 Ta có log x2  y2 2  x  y     x  y  x  y   1 Giả sử M  x; y  thỏa mãn pt 1 , tập hợp điểm M hình tròn  C1  tâm I  2;  bán kính R1  Các đáp án đề cho ứng với m  Nên dễ thấy x  y  x  y   m  phương trình đường tròn  C2  tâm J  1;1 bán kính R2  m Vậy để tồn cặp  x; y  thỏa đề khi  C1   C2  tiếp xúc  C1   C2   IJ  R  R  10  m   m     IJ  R1  R2  m  10     10   ... dành cho liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n (từ ô thứ đến ô thứ n ) lớn triệu A 18 B 19 C 20 D 21 Lời giải Chọn C Bài toán dùng tổng n số hạng cấp số nhân Ta có: Sn... trường hợp:   a1   a2   f  a2      f  a2   2 a2    Nếu  a1  a2   a1   f  a1    f  a1      f  a2    Nếu  a1   a2  điều  f  a1   Do xảy trường hợp. ..  0 log81 x  x    log  m3  3m      Gọi S tập hợp tất giá trị m ngun để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [6;8] Tính tổng bình phương tất phần tử tập S A 20 B 28 C 14 D 10