ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUỐC HỌC NĂM 08-09

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bi 1: (3 im) a) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc : 3 3 13 4 3 1 = . b) Gii h phng trỡnh : 2 1 5 ( 2 1) 36 x y x x y + + = + + = Bi 2: (1,5 im) Cho phng trỡnh: 4 2 2 2 1 0x mx m + = . Tỡm giỏ tr m phng trỡnh cú bn nghim 1 2 3 4 , , ,x x x x sao cho: 1 2 3 4 x x x x< < < v ( ) 4 1 3 2 3x x x x = . Bi 3: (3 im) Cho ng trũn (O), ng kớnh AB. Gi C l trung im ca bỏn kớnh OB v (S) l ng trũn ng kớnh AC. Trờn ng trũn (O) ly hai im tựy ý phõn bit M, N khỏc A v B. Gi P, Q ln lt l giao im th hai ca AM v AN vi ng trũn (S). a) Chng minh rng ng thng MN song song vi ng thng PQ. b) V tip tuyn ME ca (S) vi E l tip im. Chng minh: 2 ME = MA MP ì . c) V tip tuyn NF ca (S) vi F l tip im. Chng minh: ME AM NF AN = . Bi 4: (1,5 im) Tỡm s t nhiờn cú bn ch s (vit trong h thp phõn) sao cho hai iu kin sau ng thi c tha món: (i) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc. (ii) Tng p + q ly giỏ tr nh nht, trong ú p l t s ca ch s hng chc v ch s hng n v cũn q l t s ca ch s hng nghỡn v ch s hng trm. Bi 5: (1 im) Mt tm bỡa dng tam giỏc vuụng cú di ba cnh l cỏc s nguyờn. Chng minh rng cú th ct tm bỡa thnh sỏu phn cú din tớch bng nhau v din tớch mi phn l s nguyờn. Ht SBD thớ sinh: . Ch ký GT1: Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 P N - THANG IM BI NI DUNG B.1 1.a ( ) ( ) 2 2 3 3 13 4 3 3 3 12 4 3 1 3 3 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 1 = + = = = + = = = + = 1.b iu kin y 0 . ( ) 2 2 1 36 1 6x x y x y+ + = + = . t 1u x= + , v y= ( 0, 0u v ), ta cú h 5 6 u v uv + = = Gii ra : u = 2 , v = 3 hoc u =3 , v = 2 Trng hp u = 2 , v = 3 cú : ( x = 1 ; y = 9 ) hoc ( x = 3 ; y = 9) Trng hp u = 3 , v = 2 cú : ( x = 2 ; y = 4 ) hoc ( x = 4 ; y = 4) H ó cho cú 4 nghim: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) . B.2 4 2 2 2 1 0x mx m + = (1) t : 2 t x= , ta cú : 2 2 2 1 0t mt m + = (2) ( 0t ) . ( ) 2 2 ' 2 1 1 0m m m = + = vi mi m . Vy (1) cú bn nghim phõn bit thỡ (2) luụn cú hai nghim dng phõn bit 1 2 ,t t . Tng ng vi: 1 ' 0, 2 1 0, 2 0 , 1 2 P m S m m m > = > = > > (3) Vi iu kin (3), phng trỡnh (2) cú 2 nghim dng 1 2 0 t t< < v phng trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit: 1 2 2 1 3 1 4 2 x t x t x t x t= < = < = < = Theo gi thit: ( ) 4 1 3 2 2 1 2 1 2 1 3 2 6 3 9x x x x t t t t t t = = = = (4) Theo định lí Vi-ét, ta có: 1 2 2t t m+ = và 1 2 2 1t t m= − (5) Từ (4) và (5) ta có: 1 10 2t m= và 2 1 9 2 1t m= − 2 1 2 5 9 50 25 0 ; 5 9 m m m m⇒ − + = ⇔ = = . Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán thì cần và đủ là: 5 9 m = và 5m = . 2 B.3 3.a + Hình vẽ · · 0 90 //CPA BMA CP BM= = ⇒ Do đó : AP AC AM AB = (1) + Tương tự: //CQ BN và AQ AC (2) AN AB = Từ (1) và (2): AP AQ AM AN = , Do đó //PQ MN 3.b + Hai tam giác MEP và MAE có : · · EMP AME= và · · PEM EAM= . Do đó chúng đồng dạng . + Suy ra: 2 ME MP ME MA MP MA ME = ⇒ = × 3.c + Tương tự ta cũng có: 2 NF NA NQ= × + Do đó: 2 2 ME MA MP NF NA NQ × = × + Nhưng ( // ) MP MA Do PQ MN NQ NA = + Từ đó: 2 2 2 2 ME AM ME AM NF AN NF AN = ⇒ = B. 4 Xét số tùy ý có 4 chữ số abcd mà 1 9a b c d ≤ < < < ≤ . (a, b, c, d là các số nguyên). Ta tìm giá trị nhỏ nhất của c a p q d b + = + Do b, c là số tự nhiên nên: 1c b c b > ⇒ ≥ + . Vì vậy : 1 1 9 b p q b + + ≥ + 1 1 1 1 7 2 9 9 9 9 9 b b p q b b + ≥ + + ≥ + × = 7 9 p q+ = trong trường hợp 1 1, 9, 1, 9 b c b d a b = + = = = Vậy số thỏa mãn các điều kiện của bài toán là: 1349 B.5 Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền. Ta có 2 2 2 a b c+ = ; a, b, c * ∈ N , diện tích tam giác ABC là 2 ab S = Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12. + Chứng minh 3abM Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì 2 2 a b+ chia 3 dư 2. Suy ra số chính phương 2 c chia 3 dư 2, vô lý. 3 + Chứng minh 4abM - Nếu a, b chẵn thì 4abM . - Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ. Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì 2 4c M , trong lúc 2 2 a b+ không thể chia hết cho 4. Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h ∈ N . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1b h k= + − + = ( ) ( ) 4 1h k h k− + + = ( ) ( ) ( ) 4 1 8 8h k h k k h k− − + + − M Suy ra 4bM . Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác này có diện tích bằng 12 ab là một số nguyên. Ghi chó: − Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. − §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn. 4 . Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thi n Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150. Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thi n Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 P N - THANG IM BI NI DUNG B.1