Huong dan on tap Toán kỹ thuật

Huong dan on tap Toán kỹ thuật...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

TS Nguyễn Văn Ý HƯỚNG DẪN ƠN TẬP TỐN KỸ THUẬT Câu  12i  ? a (2  3i ) b (2  3i ) c (3  2i ) d đáp án khác Câu Độ dài số phức  2i là: a 13 c  2i b d    Câu Số phức z  cos  i sin  viết dạng mũ là:  i 3  i a z  4e b z  4e c z  e Câu Thực phép tính i  2001 b i a i i 4 d z  e4  kết c 2i d Câu Thực phép tính 1  i  kết a 8 b i c d i3 Câu Acgument số phức icos  sin  , với a      3 :   2 c    b   d  1  i  Câu Thực phép tính   kết 1  i  a i b i c  i d Câu Phần thực phần ảo hàm phức w  z , với z  x  iy a u  x  y , v  xy b u  x  y , v  2 xy c u  x  y , v  2 xy d u  x  y , v  xy 1 Câu Phần thực phần ảo hàm phức w  Re   , với z  x  iy z a u  x ,v  x  y2 b u  x y ,v  2 x y x  y2 c u  x y ,v  2 x y x  y2 d u  x ,v  x  y2 2 2 Câu 10 Cho hàm phức f  z   z z Chọn phát biểu hàm f  z  a f  z  khơng có đạo hàm điểm mặt phẳng phức b f  z  có đạo hàm điểm nằm trục thực c f  z  có đạo hàm điểm z  d Ba đáp án cho sai  i  Câu 11 Cho hàm phức f (z )  e 2z Tính f      a 1  i b 1  i c  i d  i Câu 12 Tích phân  xdz , với C đoạn thẳng nối từ z  tới z   i có giá trị C a  i b  i c d Đáp án khác  xdz , với C Câu 13 Tích phân đường tròn z   R  R  0 theo chiều dương có C giá trị a iR b iR Câu 14 Tích phân a c cos z dz có giá trị là: z 2 z 1  c  b Câu 15 Tích phân d  2iR  z Re zdz , với d  C đoạn thẳng nối từ z  tới z  2i có giá trị C a 1  i b 1  i c  i d  i Câu 16 Kết sau sai: a e z   z z2 zn     , z   1! ! n! 2n 1 z z3 n z b sin z     (1)  , z   1! 3! (2n  1)! c   z  z   (1)n z n  , | z | 1z d   z  z  , z  1z Câu 17 Khai triển thành chuỗi Mac Laurin hàm phức f (z )  z 2e 3z là:  3n n 2 a  z ,| z |  n 0 n !  3n n 2 b  z ,| z | n 0 n !  c 3n n 2  n !z ,| z | n 0 d Đáp số khác Câu 18 Khai triển Mac Laurin hàm phức f (z )  c hz là:  z 2n , z  (2 n )! n 0 a   z 2n b  , z 1 n 0 (2n )!  z 2n c  , z 1 n 0 (2n )! d Đáp số khác Câu 19 Khai triển Laurent hàm phức f (z )  | z | là: a 1   z n  (  )  n 0 3n 1 z n 1  hình vành khăn (z  1)(z  3) b   z n  (  )  n 0 3n 1 z n 1  c   z n  (  )  n 0 3n 1 z n 1  d Đáp số khác Câu 20 Khai triển Taylor hàm số f (z )  3z  z quanh điểm z  là:   3 a  (z  1)  (z  1)2     (1)n  (z  1)n   2n 1    b  (z  1)  (z  1)2     (1)n  (z  1)n   2n 1  c   3  (z  1)  (z  1)2     (1)n  (z  1)n   2n 1  d Đáp số khác Câu 21 Điểm bất thường z  hàm số f (z )  z  2z  : z 2 a Cực điểm đơn b Điểm bất thường cốt yếu c Cực điểm cấp d Điểm bất thường bỏ Câu 22 Điểm bất thường z  hàm số f (z )  a Cực điểm đơn b Điểm bất thường cốt yếu : (z  1)(z  2) c Cực điểm cấp d Điểm bất thường bỏ Câu 23 Thặng dư hàm số z f (z )  e điểm z  là: a b -1 c d Đáp số khác Câu 24 Thặng dư hàm số f (z )   cos z z điểm z  là: a b c d Đáp số khác z2 Câu 25 Thặng dư hàm số f (z )  điểm z  là: z 2 a b c d Đáp số khác Câu 26 Thặng dư hàm số f (z )  cot z điểm z  là: a b c d Đáp số khác Câu 27 Tích phân z 2dz  (z  1)(z  3) , với C đường tròn | z | là: C a i b i c i d Đáp số khác Câu 28.Tích phân 3z   z (z  1)(z  2)dz , với C đường tròn đơn vị | z | C a b c i d Đáp số khác 2n , n  0, n   Câu 29: Biến đổi  dãy số x n   a X (z )  z , với z  z 2 b X (z )  z , với z  z 2 c X (z )  z , với z  z 2 d X (z )  z , với z  z 2 là: 1, n  Chọn phương án 0, n   Câu 30 Cho n   a  n   1, z   b  n   2, z   c  n   1,  z   d  n   1, z    n  n        , n   Câu 31 Biến đổi  dãy x n       0, n   a X (z )  2z 4z  , với z  2z  4z  b X (z )  2z 4z  , với z  2z  4z  c X (z )  2z 4z  , với z  2z  4z  d X (z )  2z 4z  , với z  2z  4z  n  3 Câu 32 Biến đổi  phía trái dãy số x n      a X (z )  b X (z )  c X (z )  3z , với z   3z 3z , với z   3z 3z , với z   3z d X (z )  3z , với z   3z Câu 33 Biến đổi 1 hàm phức X (z )  1 miền z  dãy  2z 2n , n  0, n   a x n   2n , n  0, n   b x n   2n , n  c x n   0, n   2n , n  d x n   0, n   Câu 34 Biến đổi 1 hàm phức X (z )  1 miền z  dãy  2z (1)n 2n , n  0, n   a x n   2n , n  b x n   0, n   (1)n 2n , n  c x n   0, n   2n , n  0, n   d x n   Câu 35 Biến đổi 1 hàm phức X (z )  z 2 miền  z  dãy 2z  7z  3n 1, n  a x n   n 2 , n   3n1, n  b x n   n 2 , n   3n 1, n  c x n   n 2 , n   3n1, n  d x n   n 2 , n   HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Giả sử p 12i = x + yi; x; y R: Khi 12i = (x + yi)2 y ) + i:2xy > < x2 36 = 2 x y = x2 , , 2xy = 12 > : y= x ( > < x = (loại) x + 5x2 36 = x = (nhận) , , 6 > y= : y= x x x=2 x= , _ y= y=3 , 12i = (x2 ĐS: (2 3i): p Chọn A p Câu j2 3ij = 22 + ( 3)2 = 13: Chọn A Câu Nhắc lại z = x + yi; x; y R: Khi Dạng lượng giác: z = r(cos ' + i sin '); r = jzj ; ' = arg z; Dạng mũ: z = rei' = rei('+k2 ) ; k Z; r = jzj ; ' = arg z: Chọn A Câu Ta có i2001 = (i2 )1000 :i = ( 1)1000 :i = i: Chọn A Câu Ta có p p p p (1 + i 3)3 = + 3i + 3(i 3)2 + (i 3)3 p p = + 3i 3i = 8: Chọn A Câu Ta có < z = i cos ' + sin ' = cos ' + i sin 2 : '< ) < ' 2 =) arg z = ': Chọn B Câu Ta có 1+i i = (1 + i)2 = i3 = i: Chọn A Câu Ta có w = z = (x + yi)2 = x2 u = Re w = x y + i:2xy u + iv; y ; v = Im w = 2xy: Chọn A Câu 9.Ta có z x yi x y = = + i: 2 x + yi x +y x +y x + y2 x w = Re = u + iv; z x + y2 x u = Re w = ; v = Im w = 0: x + y2 = ' ; Chọn A Câu 10.Ta có f (z) = 2z:z = 2(x2 + y ) u + iv; với u = Re f (z) = 2x + 2y ; v = Im f (z) = 0; @u @u @v @v = 4x; = 4y; = 0; = 0: @x @y @x @y Điều kiện Cauchy-Riemann thỏa mãn ( @u @v 4x = @x = @y , @u @v , 4y = = @y @x x=0 y=0 Vậy f (z) có đạo hàm (khả vi) z = 0: Chọn C Câu 11.Ta có f (z) = 2e2z ) f0 i i = 2e2 = 2ei: = 2(cos 2 + i sin ) = 3 p + i 3: Chọn A Câu 12.Ta có C OA : z = x + iy = 2t + i:t; t : ! 1; O(0; 0); A(2; 1): x = 2t; y = t; dz = (2 + i)dt Z I= 2t(2 + i)dt = (2 + i) t2 = + i: Chọn A Câu 13.Ta có C : z = + Reit = + R(cos t + i sin t) = + R cos t + iR sin t; t : ! : x = + R cos t; y = R sin t; dz = ( R sin t + iR cos t)dt Vậy I = Z = Z (2 + R cos t) ( R sin t + iR cos t)dt Z 2 2R sin t R sin t cos t dt + i Chọn A cos z Câu 14.Ta có f (z) = có điểm cực đơn z = z+2 Chọn A Câu 15.Ta có C AB : z = x + iy = (1 x=1 2R cos t + R2 cos2 t dt = + i R2 22 = D : jzj < 1; nên f (z) giải tích D: t) + i:2t; t : ! 1; A(1; 0); B(0; 2): t; y = 2t f (z) = z Re z = (x + yi)x = x2 + ixy = (1 với u = (1 t)2 ; v = 2t(1 t) = 2t t)2 + i:(1 2t2 : t)2t u + iv; Vậy Z I = udx C Z = Z vdy + i udy + vdx C Z (1 t)2 :2 + (2t 2t2 ):2 dt + i Z i 6t + 4t2 dt = + : dt + i t)2 ( 1) (1 (2t Z = 2t + 3t2 Chọn A Câu 16 Đáp án D Câu 17 Ta có 3z X (3z)n f (z) = z e =z : n=0 Chọn A Câu 18 Ta có ez + e f (z) = chz = X zn ez = n! n=0 X f (z) = z ;e n=0 = n=0 n! z n+2 ; jzj < 1: z ; = 1 X ( z)n X ( 1)n n = z ; n! n! n=0 1)n n 1+( n! n! X 3n 2t2 ):( 1) dt n=0 z = 1X k=0 2k X z 2n z = ; jzj < 1: (2k)! (2n)! n=0 Chọn A Câu 19 Ta có > < : z sin ! z 2z cos ! +1 jzj > = = 1 az 1 az az (1 az az (1 az 1) Câu 29 Ta có z (z 1)2 z z a z z a X(z) = Zfxn g = Miền hội tụ C = C [ f1g z z 1 1 )2 1 )2 ; jzj > 2: jzj > jaj jzj < jaj jzj > jaj jzj < jaj Chọn A Câu 30 Chọn A Câu 31 Ta có n ;n xn = un + ; với un = Zfun g = z z ) X(z) = Zfxn g = Chọn A Câu 32 Ta có xn = X jzj < với xn = Z 1 2z = +1 X với xn = Z X k= n n=0 jzj < ) X(z) = = +1 X 3z k ( 1) 0; n > 3z=4 3z ; n ;n n ;n = z X(z) = ) X(z) = 0; n < 4z 2z + ; jzj > : 4z 2z n n= hay jnj n ;n = 0; n < z Zfvn g = z ; jzj > ) X(z) = Z fxn g =