Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất mặt hình vng cạnh a Các điểm M, N nằm AD’, DB cho AM = DN = x (0 < x < a) a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song song với mặt phẳng cố định b) Chứng minh x= MN // A’C Giải: a) Sử dụng định lí Ta-lét Gọi (P) mặt phẳng qua AD song song với mp(A’D’CB) (có (P) AD // A’D’) Gọi (Q) mặt phẳng qua M song song với mp(A’D’CB Giả sử (Q) cắt DB N’ Theo định lí Ta-lét ta có: (*) Vì mặt hình hộp hình vng cạnh a nên: AD′=DB=a Từ (*), ta có AM = DN’ ⇒ DN’ = DN ⇒ N’ ≡ N ⇒ MN ⊂ (Q) Mà (Q) // (A’D’CB) suy MN song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB) Sử dụng định lí Ta-lét đảo Từ giả thiết ta có: = Suy AD, MN D’B ln song song với mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo) Vậy MN song song với mặt phẳng (P), mà (P) song song với AD D’B Có thể chọn mặt phẳng mp(A’D’CB) b) Gọi O giao điểm DB AC Ta có: DN = x = = ⇒DN= DO Suy N trọng tâm tam giác ADC Chứng minh tương tự, ta có M trọng tâm tam giác A’AD Vậy CN A’M cắt I trung điểm AD Ta có: ⇒MN//A′C Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD Một mặt phẳng IJ cắt cạnh AD BC N M a) Cho trước điểm M, nêu cách dựng điểm N b) Gọi K giao điểm MN IJ Chứng minh K trung điểm MN Giải: a) Trường hợp M trung điểm BC Nối M với I cắt AC E Nối E với J cắt AD N, N điểm cần tìm Trường hợp M trung điểm BC Khi IM // AC (IJM) // AC Vậy mp(IJM) cắt mp(ACD) theo giao tuyến JN // AC b) Vì == nên qua IJ, AD, BC có ba mặt phẳng song song (định lí Ta-lét đảo) Ba mặt phẳng cắt hai đường thẳng AB NM điểm I, A, B K, N, M Vì I trung điểm AB nên K trung điểm MN (định lí Ta-lét)