Bài tập về hình học tạo độ ppt

Viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR : Cm luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định 3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của Cm đi qua... Gọi M là giao

+ Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau

Gọi M (x ,y )0 0 0 là điểm cần tìm ⇒ =y k(x x ) y− 0 + 0 là đường thẳng (d) qua M0

2 0

m

x 11

(T ) (Ox)∩ = O(0,0) ; (T ) (Ox)∩ = A(8,0)

2 2

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi

0 (x )

g =0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

2 g

(C) tại M đi qua gốc toạ độ

| (x )

k y= =(x 1) (1)−

Do (T) vuông góc với đường thẳng y 1x 2

= − + ⇒ =k 3Khi đó 2

Cho hàm số y x2 3x 6

Gọi (T) QuaO là tiếp tuyến của (C)

Hệ số góc k

Cho hàm số y mx (m 1)x= 3− − 2−(m 2)x m 1 , (Cm)+ + −

1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1

2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Cho hàm số , đồ thị (C) Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

y= − +x 2x −

Gọi A(0,a) ∈Oy, (d) là đường thẳng qua A dạng : y kx a= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :

1 a 0 a 1

3

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)

Cho hàm số y x 3x= 3− 2+2; đồ thị (C)

1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy

2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y k(x 1)= − là tiếp tuyến của (C) khi hệ

2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y= − +3x

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :

(T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số y x4 3x2

a

, có đồ thị (C) 1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ x =M CMR hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình (x a) (x− 2 2 +2ax 3a+ 2 − =6) 0

2.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

2.Qũy tích trung điểm K

Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có

= − + + và giới hạn bởi 1 x≠ ≤ 3

B điểm cố định vuông góc nhau

y= − +x 2mx −2m+1

xĐiểm cố định A(-1,0) B(1,0) và y| = −4x3+4m

Gọi A(0,a) ∈Oy ⇒(d) qua A có phương trình y kx a= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ

2 2

4π

Gọi M(x0,y0) ∈ = ⇔y x M(x ,x )0 0 ⇒ tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng y k(x x ) x= − 0 + 0 (d)

Phương trình hoành độ của (d) và (C) kx kx0 x0 x 1 (1)

x 1

−

+Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép 2

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc

4π

tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45

2

(P) : y 2x= + −x 3

0

Gọi M(0,m) ∈Oy Phương trình qua M có hệ số góc k là y k= x m (d)+

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :

Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 450 khi 0 2 1

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4

Gọi (T) là đường thẳng QuaA(a,4) có dạng: y k(x a) 4

Có hệ số góc là k

⎧

⎨

⎩Và mọi đường thẳng (T1) và (T2) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :

y k (x a) 4 và y k (x a) 4= − + = − +

Do (T1) và (T2) tạo nhau 1 góc 450 khi 0 1 2

Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 450 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k1,k2 (k 1)≠

và thỏa mãn hệ thức (1)

2

k 04(a 2)k

Như vậy AIuur là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI

Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc

Cho hàm số y x2 3x 2

x

= Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) ∈ =x 1.Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y k(x 1) m= − +

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành

Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y k(x m)= −

(d) là tiếp tuyến (C) khi x32 3x2 k(x m) ( I )

Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và 1 2

Cho hàm số y x= 3−3x2+2 có đồ thị (C)

1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua A 23, 2

9

2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến vuông góc

1.Tiếp tuyến (C) qua A : y k x 23 2

2.Gọi A(a,-2) ∈ = −y 2

Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình y k(x a) 2= − −

Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là:

2 2

định tại 1 điểm cố định khi m: thay đổi

Gọi (x0,y0) là điểm cố định mà (Cm) đi qua khi 0

Điều kiện ∀ ≠m 0 ; x0 ≠m nên A(0,1) thỏa bài toán

Vậy A(0,1) là điểm cố định mà (Cm) đi qua

− < − ∨ > ∧ ≠ thỏa bài toán

Cho hàm số y x= 4 −4x3+3, có đồ thị là (C)

1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm

3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :

x −4x +8x m 0+ =

1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng y ax b= + (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x4−4x3+ =3 ax b+

Đồng nhất thức 2 vế 2 2

8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1)

-5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt -1 m = 4 2 nghiệm kép x = 1± 3

1.Với giá trị nào của m thì giao điểm của đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến ấy

2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định

3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua

2.Gọi đường thẳng cố định là y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm : (3m 1)x m2 m ax b

Những điểm mà (Cm) không qua là A(1,a) ; 2 a 10< <

Cho đường cong y 3x 4x= − 3 ; đồ thị (C)

1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)

2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng vuông góc nhau

1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x0 là hoành độ tiếp điểm , khi đó ta có : 3

2 0

2.Gọi A(a, 9a 8) y− + ∈ = −9x 8+ Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình :

y k(x a) 9a 8= − − + và x0 là hoành độ tiếp điểm khi hệ

Gọi (Cm) là đồ thị y f (x) x2 (1 2m)x m

2 2

(1 2m) 4( m) 0( 1) (1 2m)( 1) m 0

trong Viet của phương trình bậc hai

f x f x = −

phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm

1 2

1241

x x

x x a b

1 Xác định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B

2 Gọi M là giao điểm của (d) và trục Oy Tính theo m toạ độ của điểm N trên (d) thoả mãn hệ thức

NB = −MB

uuur uuur

uuur uuur

3 Tìm quỹ tích điểm N khi m thay đổi

1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):(m 1)x2 (5m 2)x 2m 14

m m

2

48

y y y

y y y

tiếp tuyến tới đồ thị (C)

góc của tiếp tuyến là k = 3

Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm M0(1,0)

Cho đường cong y= − +x3 3x+ tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong

Gọi M x( ,0)0 ∈Ox : Đường thẳng qua M có dạng y=k x( −x0);(t)

(t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến chung của y=x2−2x ; y=x3+2x− 4

Gọi y= ax+b là tiếp tuyến chung và giả sử x x1, 2 là hoành độ tiếp điểm Với y=x2− x2

x

a x

x

+

=

− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A (-6,5)

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k : y=k x( + +6) 5 , (d)

(d) là tiếp tuyến của đồ thị (C)

⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi m= ±4

1/ Định m nguyên để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2/ Với m= 2 Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương Viết phương trình tiếp tuyến

2:

x

−

=

−

− +

=

−

1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox

2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450

f m

buộc có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2 ( )

1 2

( )1

Từ (I) và (II) ⇒m2 = ⇒ = ± 5 thoả m< -2 Vm> 2 5 m

Vậy m= ± 5 thoả bài toán

y= − +x mx −m và đường thẳng : y= k(x+1)+1 Tìm điều kiện giữa k và m để cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau

x

=+ , a là tham số 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị khi : a= 3 ; S( )H =( )C , TCX x=1, x= 5 hoặc S( )H =( )C , TCX x= -3, x= -2 2/ Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu

1,(2)( 1)

2

⇔ + = − có nghiệm x≠ −1

2 ( 1)

C = ⇒ = ±C Khi đó có 2 tiếp tuyến :

y = -x – 3 ; y = -x + 3 Lần lượt tiếp xúc với (C) tại 1 5, 4 ; 2 1 10,

Gọi M(x0 , y0) là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ 1

Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)

Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:

k(x- x0) + y0 = x + 1 + 4

1

x− <=> (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – 3 = 0 (*)

Để (d) tiếp xúc (C) khi (*) có nghiệm kép

<=>

2 0

2 0

2

0

1( 1)

Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thị là (Cm)

1 Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thị (C) : y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt

A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

( 2 ) 192

Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :

Để (Cm) cắt y = 1 tại 3 điểm C(0,1) ; D và E khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=>

ta cần chứng minh f(x) ≥ <=> min g(x) ≥ ; 3 0 ∀x

* Nếu x – a ≥0 <=> x ≥m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – 3 có: