VẺ đẹp ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH – hệ PHƯƠNG TRÌNH

CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC LỜI GIỚI THIỆU Trước năm 2017 phương trình hay hệ phương trình vấn đề quen thuộc thường xuyên xuất kỳ thi đại học, THPT Quốc Gia hay kỳ thi học sinh giỏi với hàng trăm toán đưa đề thi thử, đề thi học sinh giỏi hay thảo luận diễn đàn Mặc dù từ năm 2017 trở vấn đề khơng giữ sức nóng trước giữ phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng phần khơng thể thiếu kỳ thi học sinh giỏi, Olympic Có thể thấy với mức độ quan trọng có nhiều tác giả đưa sách nói vấn đề kèm với nhiều dạng tốn có liên quan, hầu hết tất dạng viết phương pháp cách giải cụ thể Tuy nhiên với – người trải qua năm tháng học phổ thơng – thấy phương pháp đánh giá phương pháp mạnh hiệu để xử lý toán phức tạp anh chị, thầy ch÷ ø để viết thành số chuyên đề riêng phương pháp thân thấy chuyên đề hầu hết chưa thực sâu chưa có nhiều thống Chính lø cưng người bạn nảy ø tưởng viết sách để tổng hợp, sáng tạo tốn hay khó nhằm đưa đến cho bạn đọc nhìn, hướng việc giải tốn phương trình vơ tỷ Trong sách mục đích hướng tới đối tượng bạn học sinh lớp 10 học phương trình, hệ phương trình bạn ôn thi học sinh giỏi nên có số phần có trợ giúp máy tính cầm tay bạn tham khảo Cuốn sách viết nên khơng thể có cá nhân mà hồn thành mà cố gắng người bạn là: Nguyễn Mai Hoàng Anh – Lớp 10A1 – THPT Thực hành Cao Nguyên Đak Lak Nguyễn Trường Phát – THPT Marie Curie Bên cạnh xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô, anh chị góp ø, gi÷p biên soạn nên sách mà tiêu biểu là: Thầy Lã Duy Tiến – THPT Bình Minh – Ninh Bình Thầy Nguyễn Thế Quốc - Khánh Hòa – Thừa Thiên Huế Thầy Bùi Quý Minh – Giáo viên trường THPT Hồng Bàng – Hải Phòng Thầy Đào Văn Minh – GDNN - GDTX Kiến Xương - Thái Bình Thầy Lưu Thế Dũng – Giáo viên trường THPT Chuyên Sơn La Thầy Nguyễn Bá Long – Giáo viên trường THPT Như Thanh – Thanh Hóa Thầy Văn Huấn – Giáo viên trường DTNT – Hòa Bình Anh Bùi Thế Việt – Sinh viên Đại học FPT Thầy Mai Xuân Vinh – Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An 10 Thầy Lê Văn Đoàn – THPT An Hữu 11 Anh Nguyễn Minh Tuấn – THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Nội 12 Anh Trần Quốc Thịnh – Hà Nội 13 Thầy Nguyễn Minh Quân: Giáo viên trường THPT Trần Văn Bảy – Sóc Trăng 14 Thầy Phạm Hùng Hải: Giáo viên trường THPT Hoàng Hoa Thám – Đà Nẵng 15 Cô Nguyễn Thị Trang Trang: Giáo viên THPT Lê Qù Đơn – Thạch Hà – Hà Tĩnh 16 Bạn Phan Trọng Nghĩa – Đại học sư phạm TPHCM 17 Anh Hồ Xuân Hùng – Sinh viên đại học Bách Khoa Hà Nội 18 Bạn Trần Hằng Nga – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương 19 Thầy Nguyễn Tài Tuệ - THPT Nguyễn Khuyến 20 Bạn Lê Quốc Dũng – TPHCM 21 Cô Trần Cẩm Huyền – THPT Cẩm Phả - Quảng Ninh 22 Anh Hàn Đặng Phương Nam – Đại học y dược Thái Nguyên 23 Thầy Phạm Kim Chung – Administrator K2pi.net.vn 24 Thầy Nguyễn Hồng Duy – Administrator K2pi.net.vn Mình mong sách mang lại cho bạn học sinh học lớp 10, bạn ôn thi HSG kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm để xử lý tốn hay khó, đồng thời giúp thầy có tài liệu bổ ích để tham khảo đồng thời giúp ích cho cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặc dö cố gắng biên soạn cách chi tiết tỉ mỉ tránh khỏi sai sót định, mong bạn đọc bỏ qua góp ý trực tiếp cho nhóm tác giả qua địa NGUYỄN MINH TUẤN Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Hà Nội Email: tuangenk@gmail.com Phone: 0343763310 Cuối thay mặt nhóm tác giả cảm ơn bạn theo dõi sách này, chúc bạn học tập tốt đồng thời thành cô thành đạt cơng việc Nhóm tác giả Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Trường Phát – Nguyễn Mai Hoàng Anh MỤC LỤC PHẦN I KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VƠ NGHIỆM…… …1 I CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC VƠ NGHIỆM………………………… II CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC VƠ NGHIỆM………………………… III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỊNG MÁY ĐẶC BIỆT……………… IV CHỨNG MINH TRÊN KHOẢNG……………………………………………………6 V PHƯƠNG PHÁP DAC CHỨNG MINH TRÊN ĐOẠN…………………………… VI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN…………………………………… 13 PHẦN II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ……………………………………………………………… 34 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH…………………………………………… 34 PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG…………………………………………34 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÀM ĐƠN ĐIỆU……………………… 54 II CÁC BÀI TỐN HỆ PHƯƠNG TRÌNH…………………………………………….79 PHẦN III BẤT ĐẲNG THỨC ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ……………………………………………………………….112 CÁC BẤT ĐẲNG THÚC CẦN NHỚ I CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH………………………………………….…113 ĐÁNH GIÁ MIỀN NGHIỆM……………………………………………….… 113 ĐÁNH GIÁ THEO CỤM…………………………………………………… 121 KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN………………….… 127 II CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH…………………………………….…192 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………….267 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH PHẦN I KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VƠ NGHIỆM I CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC VƠ NGHIỆM Cách Sử dụng tính chất tam thức bậc 2 ax   Nền tảng: Ta phân tìch phương trënh ban đầu thành  x   m   f  x  đỵ f  x    tam thức bậc lớn với x  Ví dụ: Chứng minh phương trënh sau vï nghiệm x  x  3x  x   Giải  Bước 1: Đầu tiên ta biến đổi phương trënh theo tham số m sau: x  x  3x  x   x    11    x   m     2m  x    m  x   m      x Nhiều bạn đặt câu hỏi lại x   m Rất đơn giản, ta khai triển biểu 2 x x   thức  x   m  xuất x 2.x  x Hiểu bạn, khác 2   tách tương tự vậy, cỵ điều ta phải đưa nỵ dạng tổng qt: x  2ax  bx  cx  d  tách thành   11  Bước 2: Ta tính  theo tham số m:     m     2m    m     Bước 3: Ta thấy phương trënh ban đầu vơ nghiệm thë phương trình  11  2   2m  x    m  x   m       Phải vô nghiệm Để phương trënh vï nghiệm  11   2m   Dùng MODE ,nhập hàm sau vào máy:  11  F  X     X     2X    X    Start  10 End  10 Step  Sau đỵ ta tëm giá trị X làm F  X   & 11  2X  Nhìn vào bảng ta thấy nhiều giá trị làm F  X   , | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH nhiên ta phải chọn cho 11  2X  đỵ phải giá trị bé dễ rút gọn Với lì chọn X  hay m   Bước 4: Do biết m  nên phương trënh trở thành: 2 x  11   76  x  x  3x  x     x     x    0 2  11  11   x Nên phương trënh vï nghiệm! Cách Sử dụng đạo hàm Ta xét phương trënh tổng quát: x  ax  bx  cx  d   Bước 1: Đạo hàm vế trái: f '  x   4x  3ax  2bx  c  Bước 2: Giải phương trënh f '  x   Nếu : Phương trënh cỵ nghiệm thë điểm rơi tốn Phương trënh cỵ nhiều nghiệm thử xem nghiệm làm vế trái nhỏ  Bước 3: Tìm k cho: ax   + x  ax3  bx2  cx  d   x2   k   0x   a + k  x0  x0 Mục tiêu phương pháp tương tự phương pháp cỵ vài điểm tối ưu  Bước 4: Sau ta tëm k việc lấy : a   x  ax  bx  cx  d   x  x  k   mx  nx  p  0x    h  x   Do f  x   g  x   h  x  mà đỵ  nên f  x   Thế xong bài!  g  x   Ví dụ: Chứng minh f  x   x  x  x   0x  Giải  Bước 1: Đạo hàm vế trái f '  x   4x  2x   Bước 2: Giải phương trënh f '  x    x  x  0 8846461771  Bước 3: Tìm k: Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH a k  x0  x0  0.7825988  k  0.8    4  Bước 4: Ta lấy: x  x  x    x    x  x  1, 36  0x 5  Do đỵ phương trënh ban đầu vơ nghiệm! Nhanh chứ! Ví dụ: Chứng minh f  x   2x  x  2x  x   Giải  Bước 1: Đạo hàm: f '  x   8x  3x  4x   x  x  1  a Bước 2: Tìm k  x0  x0    3  Bước 3: Lấy f  x    x  x     x    Xong! 4  2 Ví dụ: Chứng minh f  x   4x  2x  2x  x  14  Giải  Bước 1: Đạo hàm f '  x   16x  6x  4x    x  x  0,7909677904  a Bước 2: Tìm k  x0  x0   2  1 7  87  Bước 3: Lấy f  x    x  x     x     0x 2 4 7  2 II CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC VÔ NGHIỆM Ta xét phương trënh tổng quát sau: f  x   x6  ax  bx  cx  dx  ex  f   a   Ta thêm bớt biểu thức:  x  x  mx  n      a a2    Lấy f  x    x3  x2  mx  n    b   2m  x       Giải phương trënh f '  x    x  x thỏa mãn f  x   f  x   m  a2  Tìm m thỏa mãn  , thïng thường ta cho b   2m  a b   2m    n   Tìm n thỏa mãn  a x0  x x0  mx  n   Khi tëm m,n toán coi giải quyết! Sau ví dụ để tìm hiểu rõ cách làm Ví dụ: Chứng minh f  x   x6  2x  x  4x  2x   Giải | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Ta có f '  x   6x  10x  4x  8x    x  x  0, 25219838  Lấy f  x    x3  x2  mx  n    2  2m  x4   Ta tìm m thỏa mãn 2  2m   m    Ta tìm n thỏa mãn x0  x0  x0  n   n    1   11 11  Lấy f  x    x  x  x     x  x    x  0 4   16 16   Vậy toán đượcgiải quyết! 2 Ví dụ: Chứng minh f  x   x6  2x  2x  4x  8x  2x  12  Giải  Ta có f '  x   6x  10x  8x  12x  16x    x  x  0, 115820665  Lấy f  x    x3  x2  mx  n    3  2m  x4   Ta tìm m thỏa mãn 3  2m   m  2  Ta tìm n thỏa mãn x0  x0  2x0  n   n   Để ý thấy f  x   11, 58  nhiều nên toán lỏng lẻo Do đỵ ta cỵ thể coi n  để tiện rút gọn máy tính  Lấy f  x    x3  x2  2x   x4  4x2  2x  12   Vậy toán giải hồn tồn III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỴNG MÁY ĐẶC BIỆT Phương pháp hữu ích cho dòng máy VINACAL 570es PLUS II CASIO 570VN – PLUS vë díng máy cỵ tình tình max tam thức bậc Đối với máy VINACAL ta bấm SHIFT 6 máy lên sau: Còn máy CASIO VN tích hợp chức giải phương trënh bậc Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH Nội dung Phương pháp dung tính chất tam thức bậc sau:Xét tam thức b    f  x   ax  bx  c ta ln có f  x   a  x    Tưởng chừng đơn giản lại 2a  4a  giúp ích nhiều! Ví dụ minh họa 3 Ví dụ: Chứng minh f  x   x  3x  3x  x   0x 16 Giải  Nếu quen với phương pháp thë cho kết khoả  Do tơi dùng máy VINACAL nên khởi động tình tëm max  Nhập vào máy    , máy cho kết quả:  3x  Vậy ta có x  3x  3x  x  x    2   Tiếp tục nhập Vậy ta có 3    ta lại kết quả: 4 16 3x 3 3 1  x  x  4 16  2  3 3 1  Vậy ta f  x   x  x     x    Bài toán giải quyết! 2 4 2  Nhanh chứ! Đấy bënh thường ta chiến ví dụ tiếp theo! Ví dụ: Chứng minh f  x   x  3x  3x  x  2x  x   Giải Nhập hệ số đầu vào máy ta kết quả: 3  Vậy có x  3x  3x  x  x    x 2  5 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhập vào máy hệ số kết quả: Vậy có  2 x  x  2x  x  x    x 4  3 3 Nhập vào máy hệ số cuối kết quả: Vậy có x x1 5  17 x   3 10  20 2 3  2 5  17  Vậy f  x   x  x    x  x     x     0x 2  3 3 10  20  Bây chiến nốt ví dụ cuối cùng! 14 Ví dụ: Chứng minh f  x   x8  x7  3x6  x  x  2x  3x  x   0x 3 3 Giải Chỉ cần bấm máy khoảng phút ta có kết đây: 2 2  26   176  39  489  88  119  f  x   x  x    x4  x    x x   x   3 13  39 176  176  489  489    Tự làm nhé! Cuối thử sức với sau Chứng minh: f  x   x12  2x11  18x 10  11x  18x  16x7  22x  17x  31x  10x  20x  10x  21  Chú ý rằng: Nếu bạn khơng có dòng máy tình b  thời gian tính  & Nhưng đừng ngại làm nhiều tiến 2a 4a Nếu bạn cỵ VINACAL hay VN PLUS thë đừng vội mừng, nhiều gặp phải hệ số xấu thë phải tính tay thơi máy tính khơng hiển thị được, Tiêu biểu bên cho, vui vẻ IV CHỨNG MINH TRÊN KHOẢNG Đầu tiên xét dạng tổng quát cho toán cỵ điểm rơi khïng chặt Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y   4x  2  4x  8x   Câu 86: Giải hệ phương trënh   40x  x  y 14x   x, y   Giải Đây đề khïng dễ, nhiên cần mẫn ta cỵ thể cỵ cách sau: Cách 1: Điều kiện: 14x  1; y  Ta có 4x  8x    2y 14x   y   4x     40x  x  Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta được: 4x  8x    2y 14x   8x  8x    2y 14x  1 8x     8x     y  14x  3  2  y   4x     40x  x    8x   2 2  y   4x     40x  x  Do đỵ dấu xảy khi: x  ;y  Đây nghiệm hệ Cách 2: Điều kiện: x  14 Với điều kiện thë phương trënh hai hiển nhiên y  Ta cỵ đánh giá sau đây: y  14x  40x  x  y 14x    y  80x  12x  2 Từ phương trënh (1) ta lại cỵ: Đồng thời  8x    y   4x    80x  12x    4x     48x  10x   4x  8x    1.1  32x  4x   Từ suy  48x  10x    Vậy hệ cho cỵ nghiệm x    32x  4x 32x2  4x    8x     x   y  ;y  Cách 3: Điều kiện: x  14  y  16x  8x   4x  8x   HPT cho đuược viết lại thành:  80x  2x  2y 14x  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 254 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH Cộng vế theo vế hai phương trënh ta được: y   y  14x  Ta có: VT  1  96x  20x      2y 14x   14x   96x  20x   4x  8x     96x  20x   4x  8x    1 1  8x    8x  1   8x     2 1  16x  8x     16x  8x    4x  8x    VP   1 3 Đẳng thức xảy  x; y    ;  8   x   16  2xy  y Câu 87: Giải hệ phương trënh:  x  y  9x  14xy  42  Giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có x  y  2.2 9x  14xy  42  9x  14xy  38   x  y   9x2  14xy  38  Ta có  x   2    16  2xy  y 2  y  4x  6xy  19   1    x  2x  2xy  y  15   1 Lấy      ta được: x  2x  4xy  2y     x2     x  y    x  y  2 2x  x   2y 3x  Câu 88: Giải hệ phương trënh:  2  y  2x  x   3 4x  x   Giải 1  x1  xy  1(*) Ta có (1)  12xy  xy  xy  xy  Điều kiện:  0  y     Từ phương trënh đầu hệ suy ra: xy  t  t  0; 1  12t   2t   t     t    2t  5t    Kết hợp với phương trënh thứ hai hệ ta được: t   0; 1  2t  5t    t   xy  1  ** Mặt khác sử dụng BĐT AM-GM ta có 3 4x  x    2x   x     2x  x  255 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Suy 4x  3x   2x  x   2x  4x     x     x   y  Vậy hệ phương trënh cỵ nghiệm nhất:  x; y    1;  (x  1)2  y  x(2x  1)  Câu 89: Giải hệ phương trënh:  2 3x  x   y x  x  Giải Điều kiện: x; y  (x  1)2  y  x(2x  1) (x  1)2  y  x(2x  1)  Ta có: HPT   2 2 6x  2x   2y x  x 5x  (x  1)  2y x  x 2x   4x   2x  2x   (x  1)2  y   2x  4x   2y  2x   2x  6x   2y  Mặt khác: 2.4x  (2x  1)  Kết hợp lại ta :  5x  3x   y   2x  6x   2y   (2x  1)2   x  y 2 1 3 Vậy nghiệm hệ phương trënh : (x; y)   ;  2       x    8x  2y   Câu 90: Giải hệ phương trënh:   y   9x  3x   Giải  y  Điều kiện:  9x  3x   Từ (1) ta cỵ: VP(1)  2y     2y   y    y  Mà y   9x  3x    9x  3x     9x  3x (từ(2)) Suy ra: x    8x  9x  3x  x    x  3x x  3x  0(*)  3 *  x      x  3x   t  (**) tương đương: x  3x  3x   x  6x  9x  9x  6x   Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 256 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH   3x2      3x     3x    x   Kết hợp  *  thấy x  thỏa mãn Khi đỵ: y   t/m    Vậy HPT cỵ nghiệm:  x; y    ; 1    x3  x   3xy   2y  2  Câu 91: Giải hệ phương trënh:  2x y   yx1  Giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 AM GM   x    6xy  x  4y    x    2x  y  x  4y  2 2  2  x  x y  2x  2xy  2x     2 y (y  x  1)  2x  y  xy  y  2x  Lấy      vế theo vế ta cỵ: x  y  x y  xy  2x  2xy  y  4x     x  y  xy(x  y)  (x  y)2  (x  2)2   x  y  x   (y  1)2  2xy   Câu 92: Giải hệ phương trënh:  y   8x  x    Giải Phương trënh đầu : x  6x  y  2y  2xy  11  1 AM  GM 1 2.3  8x  x    8x  x  3 2  3(y  1)  8x  x   x  8x  3y  6y     y2  Lấy      ta có: 2x  2y  2x  8y  2xy  14   (x  2)2  (y  3)2  (x  y  1)2   x   y  3    x    8x  2y   Câu 93: Giải hệ phương trënh:   y   9x  3x   Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x  1 1    8x  2.1  2y     257 | Chinh phục olympic toán   2y      2y  2 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x    8x  2y   1  1  y   2.1 9x  3x    x Lấy   cộng   : x  3x     y  2y   3 x  1.2x    x  (N)  x  x    2x   x    x   (L)  x Xét f  x   x  3x  2  9x  3x     9x  3x  2 2  9x  3x  y     x2  1     có f '  x   3x   1  f  x   f     Vế trái bất đẳng thức    3 Vậy x  ;y   y    2y  5x  x  Câu 94: Giải hệ phương trënh:  6  2y   x    Giải y  Điều kiện:  5 8  2y  5x  x   x  5x   2y  x  5x   x  Ta có: (y  1)2  Và  2y    2y  5x  x   x  5x  y   1 AM  GM 5 x  1   2x  5x  5x  2y    2 2  Lấy      ta được:  x  5x  5x      y    1  x   (x  2)  x  x      y     y   2 Thử lại thấy vï nghiệm  4x  4y   2y  Câu 95: Giải hệ phương trënh:  y  8x   2x    x 4xy  x Giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 258 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH 4x  VT  AM  GM  VP  2y  4y   2y x0 2    8x   2x     8x  2x   1 x x  2x  1 2       8x    2x    1   4 x   2x  x y y 1 1  4xy    x 4xy x 4xy x Vậy VP  VT Đẳng thức xảy x  1  ;y   x   3y  Câu 96: Giải hệ phương trënh:   y  xy  3x  Giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có AM  GM    3y   x  3y    1 y  xy  2.1  3x   12  ( 3x  )2  3x   y  xy  3x   2 x   2.2  3y   22  3y  Lấy      ta được: x  y  xy  3x  3y    (x  y)2 (x  y)2  (x  y)2  3(x  y)     (x  y  2)2   x  y  4 4 KĒ THUẬT TĂNG GIẢM SOS – HỒ XUÂN HÙNG  x3  y3  Câu 1: Giải hệ phương trënh  2 x y  x  y  x Giải  x3   y3   x    x  x    y    Ta có: HPT   2 2 x y  x  y  x    x   x  y  x   PT  1   x   y    x   y    x; y    1;  Ta có:    PT   x   y  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    1;   x3  y3   Câu 2: Giải hệ phương trënh  3  x  2y  x  y     x    Giải 259 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x3   y3     x    x  x    y   Ta có: HPT   3 2 2 x  x  2x   2y  x y  x    x    y  x  2y  PT  1   x   y    x   y    x; y    1;  Ta có:    PT   x   y  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    1;  Kĩ thuật đánh giá nhân tử:  x  x0   y  y0    Ở Phương trënh, giả sử x   ( x   ,  với x   ,   ) để đảm bảo đẳng thức: y    x  xo   y  y   ; y    x  x0   y  y    So sánh lượng  x  x0   y  y0  từ 2PT, chúng đối dấu, ta dùng PP nêu    x  x0  f  x , y    y  y0  f  x , y   Đưa HPT dạng     x  x0  f  x , y    y  y  f  x , y   Chứng minh f i  x , y   Kĩ thuật dựa sở: Khi HPT có nghiệm nhất, giả sử x tăng khoảng nhỏ, xem xét thay đổi tương ứng y phương trënh, thay đổi so với nghiệm không giống x thë ta suy chiều ngược so sánh  x  x0   y  y0  với số Thực chất kĩ thuật gọi sử dụng điều kiện có nghiệm tốn x  x  y   y  xy   x  y 2 Câu 3: Giải hệ phương trënh  3 2  x  y  2x  y  x  y  12 Giải Nhận xét:  PT  1 : Cho x   y    PT  2 : Cho x   y    Nghiệm HPT:  x, y    3,  Bài giải: Ta biến đổi sau:  x  xy  x  y  3xy  y Ta có: HPT   3  x  2x  2x     y  y  y    2 2    x    x  xy  y    y    x  y   2   x    x  x     y    y  y    PT  1   x    y      x    y      x; y    3;  Ta có:    PT  x  y        Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 260 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HỒNG ANH Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    3;  Hãy thử kiểm tra khả áp dụng nó: x x    y   y    x  y   Câu 4: Giải hệ phương trënh  17x  6y   x  y   Giải Phương trënh thứ hệ tương đương với: x2   x    y  4  y3 2  x   x  x    y   y   y      x  1  y  1    x  x3 2 y3 2    y  Khi đỵ x, y   17x  6y   x  y  Nếu x, y   17x  6y   x  y  Vậy x  y  nghiệm hệ phương trënh  x   x    y   y    2x   y  3y   y  Bài tập tương tự  26x  4y  17 x   y   84  Đ/s:  x; y    1;  Nhận xét: Lời giải cỵ thể hồn tồn hiểu theo nghĩa sau:  2 x   y   Câu 5: Giải hệ phương trënh    x  12x  y  19 Giải Điều kiện: x  4; y  Từ phương trënh thứ nhất, ta cỵ x    y      x  8 x4 1  y5 y1 2 Xét x   y  Khi đỵ: VT  x  12x  y   121  19  VP  Xét x   y  Khi đỵ: VT  x  12x  y   121  19  VP Do đỵ x  8; y  Thử lại thỏa mãn hệ Vậy hệ phương trënh cho cỵ nghiệm x  8; y  Nhận xét: Cách giải sau khái quát lên kĩ thuật – kĩ thuật tăng giảm trënh bày phần trước 261 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x  y  x  y  x  y  11 1 Câu 6: Giải hệ phương trënh  2 xy x   2y  y   Giải x  y  Điều kiện:   x0 Từ phương trënh (1), ta cỵ: PT    x  x   y  y  10  x  y     x    x  x     y    y  2y      x    x  x     y    y  2y    xy1 xy 1 0  x  1   y   xy 1 0     3   x  1  x2  x      y    y  2y   0     x  y  x  y        x    y    0. 3 Mặt khác, từ phương trënh (2), ta cỵ:    x x   2    0  (vì y  không y y y thỏa mãn hệ phương trënh)  x  Khi đỵ: 2 1  1  y y y2 Ta có: PT    x x      x2  x2    x x2   x 2 1 y  1 y   x    x x2    1 y 1 y  1 y2 y  1 y2 y  0  1 y2 y  1 y2 y 0   x  1  x        x  1    1  x x2    y     y  (Vì  x  1  x2   x x2   Kết hợp  3  x  ;  1 y       x  1        y      y y  1 y  y  )  1 y2 y 1 y ta có  x  10   y    Khi đỵ x  1 y  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 262 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HỒNG ANH Vậy hệ cỵ nghiệm  x; y    1;   x  y 2  12 x  y   4x  3y  37 Câu 7: Giải hệ phương trënh  2  y  12  10 y  x x y  5y  10 Giải x  y   Điều kiện:  y   x2   Ta có: x x y  5y  10  y  12  10 y  10  x   x  Ta có: PT     x  y   x     y      x     y    12   x y 6 1      12 12   x  3  x  y      y    x  y  16  0     x  y   x  y         x    y    0 Ta lại cỵ: PT    y  * 12 10  10  x x   y y     12  y  1  5    x x2      y  y            y3   x2   1    x  9   y  12 x x2     1  y  y y    4 **      x      x    y    0  y  Từ *  * *    x    y     x  3; y  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    3;  Câu 8: Giải phương trënh  5x   2x    4x   3x   Giải Điều kiện: x   2x   u  u 2 Đặt   u, v  0;    v 3  3x   v  263 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2  5x   u  v Ta biểu diễn  đồng thời: 2v  3u   4x   u  v  5  2  7 2 2  u  v  u   u  v  v  Khi đỵ ta cần giải hệ PT  5   5 2  2v  3u   Giải HPT ta sử dụng kĩ thuật tăng giảm:   u 3 10 u u       7 2  2a  7a  7a   10b 31 v  v v v HPT    2 3a  5b    u    3     v v  Ta cỵ: Từ PT    2a  10a  7a  10b  5b 15 15  2a  10a  7a   10b  5b  32 32  17 5   15 15     a   2a  a     b   10b2  b    8     17 15 15 a    a  10b2  b  0 8  1  Suy  a   b    0 *   4  Mà 2a  Lại cỵ: Từ     3   1   PT     a     b2      a   a     b   b    16   16   4   4    1  Suy  a   b    0 **   4  Từ *  **   1  suy  a   b     x   4  Vậy PT cho cỵ nghiệm x  x  x  3   y  3y Câu 9: Giải hệ phương trënh   x   y  8y Giải Điều kiện: x  , dễ dàng suy y  Đặt x   a  a   HPT cho trở thành:  y  3y    a   a 31  y  8y  9a   Tuy nhiên ta nhận thấy phương trënh: x, y cñng tăng cñng giảm Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 264 NGUYỄN MINH TUẤN – NGUYỄN TRƯỜNG PHÁT – NGUYỄN MAI HOÀNG ANH Vë ta sử dụng PT hệ cỵ chênh lệch tăng giảm:  Từ PT    y  8y   9a    y   y    a   mà y    y    a    0  * Ta có: 9.PT  1  2PT      y  3y    y  8y    a   a  18a   y  8y   y  3y  9a  27a  18a  18   y  8y   81  y  3y     y  8y   y  3y  9a  27a  18a  18  y  y    4y  13y  243    a    a  4a  4a     y  8y   y  3y ** Do a, y    y    a    0  Kết hợp  *   **  ,   a  1  y  1   a  y   x  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    4;  x  x  3   y  3y Bài tương tự Giải hệ phương trënh:   x   y  8y y x   5x    y  4y   Câu 10: Giải hệ phương trënh   x2  x   y3   Giải  x Điều kiện: Ta cỵ thể suy điều kiện:   y  2 Ta có: PT   : x  x   y   x  x   y     x   x    y3  y3     x    y      x    y    0 * Ta có: PT    2.PT    x   5x   y   y  4y       x   5x      y   y  4y   y y  2 4y  y  16y  x  6x  20x  33   y  2  x   5x  y   y  4y   x    x  3x  3x  11   y    4y  7y  2y   x   5x  265 | Chinh phục olympic toán  y   y  4y   y  2  Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH   x  3  4y  7y  2y  x  3x  3x  11 1  0  y     x   5x   y   y  4y   ** Do y  2  4y  7y  2y     x    y    o  Kết hợp  *   **  ,   x    y      x; y    3;  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    3;   x x  y  y x  y  xy Câu 11: Giải hệ phương trënh   x x   y y   x  y Giải Nhận xét: Nghiệm x  y  2, từ PT     x    y    Vậy ta cần chứng mënh từ PT     x    y    Điều đòng! Nhưng khïng dễ, khïng cần khỵ khăn khai thác thêm từ x  y  x   y Điều kiện: x  y  Ta có: PT   : x x   y y   x  y x    x1 1  y x x  2  y1 1   x1 1  y y  2 y1 1 0   x    y    mà x  y  x   y  1 Ta có: PT    x x  y  y x  y  xy  x x  y   x x  y  x  y  x  y    xy   xy  x x  y  x  y x  x  y x  y  xy  x xy  xy  xy   xy  x x  y  xy  x  y  y  x  y  y Mà y  y   x   x   y  Vậy HPT cỵ nghiệm  x; y    2;  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 266 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp hàm số chinh phục giải toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ – Nguyễn Đình Thành Cơng Bí chinh phục kỳ thi THPT Quốc Gia chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình – Phạm Bình Nguyên, Nguyễn Ngọc Duyệt Luyện siêu tư casio chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vơ tỷ - Đồn Trí Dũng, Hà Hữu Hải, Nguyễn Tấn Siêng, Hồ Xuân Trọng Tư logic tìm tỵi lời giải hệ phương trình – Mai Xuân Vinh Những điều cần biết luyện thi quốc gia kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình – Đặng Thành Nam Phương pháp đánh giá nhân tử giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình – Đồn Trí Dũng, Hà Hữu Hải Tuyển chọn 410 hệ phương trình hay đặc sắc – Nguyễn Minh Tuấn Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT – BPT – HPT đại số vô tỷ – Lê Văn Đoàn Phương pháp U V T W phân tích nhân tử phương trình vơ tỷ – Bùi Thế Việt 10 Sáng Tạo Và Giải Phương Trình, Hệ Phương Trình, Bất Phương Trình – Nguyễn Tài Chung 11 Phương trình hệ phương trình – Diễn đàn MathScope 12 Tuyển chọn tốn phương trình vơ tỷ - Đồn Quốc Việt 13 Tuyển chọn tốn phương trình đặc sắc – Diễn đàn K2pi Blog Chinh Phục Olympic Toán https://lovetoan.wordpress.com/ Email: tuangenk@gmail.com Blog chuyên chia sẻ tài liệu ơn học sinh giỏi mơn tốn với nhiều tài liệu chất thư viện tài liệu xây dựng đồ sộ Ngoài ấn phẩm bạn đọc bạn tìm hiểu thêm số ấn phẩm khác đăng miễn phí blog sau - Tham khảo thêm Bên cạnh blog chúng tơi bạn theo dõi trang fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học – Đây trang đăng free tài liệu liên quan tới tốn VDC, VD, Ơn Olympic, HSG… Cảm ơn người Tài liệu chia sẻ miễn phí ... PHẦN III BẤT ĐẲNG THỨC ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ……………………………………………………………….112 CÁC BẤT ĐẲNG THÚC CẦN NHỚ I CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH………………………………………….…113 ĐÁNH GIÁ MIỀN NGHIỆM……………………………………………….…... tëm giá trị X làm F  X   & 11  2X  Nhìn vào bảng ta thấy nhiều giá trị làm F  X   , | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG... Nhập hệ số đầu vào máy ta kết quả: 3  Vậy có x  3x  3x  x  x    x 2  5 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor VẺ ĐẸP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH