Tuyển tập hình học 9 professional

Tuyển tập Hình học Professional Lời nói đầu Ở tơi xin lan man tí: Đã thành viên HVA (Hacker Vietnam Association) REA (Reverse Engineering Association) lâu, tơi đọc nhiều viết đó, loạt tut ấn tượng tơi đọc OllyDbg tuts bác Trần Trung Kiên (kienmanowar —REA Moderator) Qua loạt tut học nhiều kiến thức, loạt tut bác Kiên vừa nhiều vừa hay, vơ bổ ích Bác khơng ngần ngại truyền thụ hết kiến thức cho người để xây dựng cộng đồng cracker Việt Nam lớn mạnh Do đó, với tinh thần “Học tập làm theo gương đạo đức Bác Kiên”, viết viết hệ bạn lớp năm sau lấy làm tham khảo Trong thời gian ôn thi, trọng tâm để thi vào trường chuyên, tơi sưu tầm số tốn hình học hay nên muốn chia sẻ với bạn Đây tất hay tất hay mà tơi có Tôi đánh giá gán cho chúng cấp độ khác nhau, giúp bạn dễ xác định Ngồi tơi có số kinh nghiệm muốn truyền đạt cho bạn có ý muốn thi vào trường chun, bạn nên tìm mua sách hay , sách thứ cần nhất, ví dụ “Những viên kim cương BĐT toán học” GS Trần Phương có ý định làm BĐT đề thi HSG , khuyến khích nên mua sách NXB Giáo Dục có nhiều sách tốt hơn; thường xuyên vào diễn đàn toán lớn Việt Nam VMF, mathscope, mathvn,… nơi bạn cần đến, violet violympic bạn cần hạn chế vào, hay Bản gốc viết dạng docx (Word 2007) nhận thấy nhiều bạn dùng Word 2003 nên convert doc cho bạn, không đẹp bằng, mong bạn thông cảm Chắc chắn viết tơi có nhiều thiếu sót, mong có ý kiến đóng góp bạn để học tập bổ sung vào viết lần update Mọi thắc mắc, ý kiến, tốn đóng góp,… bạn liên hệ với qua email anhsangtrang96@yahoo.com Các bạn muốn gửi mail hay tin nhắn Thân Tác giả ****************************** Chúng ta bắt đầu Level – Begin Hard Cho (O; R) điểm A cố định nằm ngồi đường tròn BC bán kính quay quanh O (ABC) cắt AO I AB, AC cắt (O) D E DE cắt AO K a) CMR: KECI nội tiếp b) Tìm vị trí BC để SABC đạt GTLN c) Tìm vị trí BC để bán kính (ABC) đạt GTNN Giải: a) ABIC nội tiếp ⇒ DBEC nội tiếp ⇒ Tứ giác DBKI có nội tiếp ⇒ Vì nhìn cạnh BK góc khơng đổi ⇒ DBKI hay (cùng phụ với ) mà ⇒ nên ⇒ KECI nội tiếp (đpcm) b) Kẻ AH ⊥ BC Vì mà BC khơng đổi nên: SABC lớn ⇔ AH lớn Mặt khác : AH ≤ AO; xảy đẳng thức ⇔ H≡ O ⇔ BC⊥OA Do đó: SABC lớn nhất⇔AH lớn nhất⇔BC⊥OA Vậy BC⊥OA SABC đạt GTLN c) Gọi F tâm (ABC) Kẻ FP⊥AI ABIC nội tiếp⇒OI.OA=OB.OC=R2⇒ không đổi ⇒AI=OI+OA không đổi ⇒ không đổi IF≥ IP (không đổi) Xảy đẳng thức ⇔ P≡ F ⇔ BC⊥OP (vì BC⊥OF) hay BC⊥OA Vậy BC⊥OA bán kính (ABC) đạt GTNN ^_^ Level – Begin Hard Cho (O) điểm A cố định nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) M điểm thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến M với (O) cắt AB, AC E, F BC cắt OE, OF P, Q Chứng minh tỉ số không đổi M chuyển động cung nhỏ BC Giải: Vì ∆ABC cân A(vì AB=AC)⇒ Vì tứ giác ABOC nội tiếp⇒ Vì OE tia phân giác ⇒ (E giao điểm hai tiếp tuyến M B (O) ) Tương tự ta có: , mà ⇒ hay Xét tứ giác OPFC có đỉnh O, C nhìn đoạn thẳng PF góc khơng đổi⇒OPFC nội tiếp⇒ (cùng chắn cung OC) (F giao điểm hai tiếp tuyến M C (O) ) ⇒ mà Vì ∆OPF vng P⇒ Xét ∆OPQ ∆OFE có : khơng đổi : góc chung (chứng minh trên) ⇒∆OPQ~∆OFE(g.g)⇒ khơng đổi (Tơi khơng biết tìm ký hiệu đồng dạng đâu cả, dùng lời thơ thiển nên dùng tạm dấu ‘~’ thay thế, mong bạn thông cảm dùm cho ) Vậy tỉ số không đổi M chuyển động cung nhỏ BC Level – Hard Cho (O) điểm P∈(O) cố định Vẽ tia Px, Py cắt (O) điểm A, B cho không đổi CMR quay quanh P mà cắt (O) điểm trực tâm H ∆PAB di chuyển đường cố định Giải: Gọi I trung điểm AB Kẻ đường kính PK (O) Vì chắn nửa đường tròn⇒ ⇒KA⊥AP KA⊥AP, BH⊥AP⇒KA//BH Tương tự : KB//AH KA//BH, KB//AH⇒AHBK hình bình hành⇒Trung điểm I AB đồng thời trung điểm KH Vì I trung điểm dây AB (O) ⇒ OI ⊥AB Vì không đổi mà chắn cung AB⇒AB không đổi⇒ OI không đổi Xét ∆KPH có O, I trung điểm KP, KH⇒ OI đường trung bình ∆KPH⇒ PH=2OI (khơng đổi) Vậy quay quanh A điểm H di chuyển đường tròn tâm P bán kính PH không đổi Note: Ở thấy OI không đổi I di chuyển đường tròn cố định, có tốn vậy, tốn update Level – Harder Cho (O;R) dây BC cố định Điểm A chuyển động cung lớn BC Gọi M trung điểm AC Kẻ MH⊥AB CMR: điểm H chuyển động đường cố định A chuyển động cung lớn BC Giải: Kẻ OD⊥BC⇒ D trung điểm BC Gọi I trung điểm OC Vì ⇒ M, D∈ (OC) hay M, D∈(I; ) Kéo dài HM cắt (I) K Vì DM đường trung bình ∆ABC ⇒MD//AB, mà Vì chắn cung DK (I) mà Mặt khác D, O, C cố định⇒ K cố định⇒ BK cố định Vì ⇒H∈(BK) cố định ⇒ ⇒DK đường kính (I) Vậy H chuyển động (BK) cố định Note: Bài Nâng cao phát triển Tốn tập hai, khơng đánh dấu tơi thấy khó Bây tơi xin trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT Phan Bội Châu (Nghệ An) năm học 2009-2010 Các khác tơi khơng trích vào, bạn muốn liên hệ với Level – Harder Cho ∆ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài cạnh BC Đường tròn (BC) cắt cạnh AB, AC M, N (AMN) (ABC) cắt đường thẳng AO I, K CMR: tứ giác BOIM nội tiếp BICK hình bình hành Giải: (Bài tơi, chưa có kiểm chứng xem hay sai, bạn kiểm tra cho ) Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp: AMIN nội tiếp ⇒ BMNC nội tiếp ⇒ Vì ⇒ mà ⇒ Tứ giác BOIM nội tiếp.(đpcm) Chứng minh tứ giác BICK hình bình hành: BOIM nội tiếp ⇒ , mà (∆MOB cân O) ⇒ Xét ∆ABO ∆IOB ta có: ⇒ Mặt khác: tứ giác ABKC nội tiếp⇒ , mà ⇒ Xét ∆IBO ∆KCO có: (chứng minh trên) OB=OC (giả thuyết) (đối đỉnh) ⇒∆IBO ~ ∆KCO (g.c.g) ⇒OI=OK⇒O trung điểm IK Xét tứ giác BICK có hai đường chéo BC, IK cắt trung điểm O đường ⇒ BICK hình bình hành.(đpcm) Note: Các bạn nhận thấy không sử dụng đến giả thuyết AO=BC, khơng lẽ giả thuyết thừa? Tơi vẽ lại hình mà AO≠ BC kết khơng đổi, xét khả năng: Có thể giả thuyết AO=BC tạo nhằm đảm bảo điều kiện chẳng hạn, ví dụ 0.5BC≤ AO≤ 1.5BC chăng? Cũng “giả thuyết ảo” người đề thêm vào nhằm đánh lạc hướng Tôi thấy khả cao! Do bạn phải ln tỉnh táo giải tốn Tơi có số kinh nghiệm giải tốn hình học muốn chia sẻ cho bạn sau: Một số giả thuyết cần thiết cho câu lại không cần thiết cho câu khác, “giả thuyết ảo” cần loại bỏ chúng, vẽ lại hình ln để toán trở nên gọn, dễ giải hơn, tốt phải “ tối giản” hình trước giải Nhưng biết giả thuyết vậy? Khi cố giải toán hồi lâu mà bạn làm để đụng chạm tới giả thuyết thử vẽ lại vài hình mà khơng có nó, xem hình có OK khơng, OK Bây lại trích từ đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2010-2011 (năm thi) với xén bớt câu b) cho gọn câu bạn học nhiều thay đổi tên vài điểm cho đẹp  OK, let’s go! Level – Harder Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm nằm cung BC không chứa A Gọi I K điểm đối xứng với M qua đường thẳng AB, AC CMR : I, H, K thẳng hàng Giải: Gọi AD, BE, CF đường cao ∆ABC Vì (cùng phụ I=SAB(M) )⇒ ) mà ⇒ (cùng chắn cung IB) Tương tự ta có: (cùng chắn cung AB), ⇒Tứ giác AHBI nội tiếp ( ⇒ ⇒ mà ⇒ I, H, K thẳng hàng.(đpcm) Đề ngắn, giải ngắn để nghĩ khơng đơn giản tí khơng?^_^ Bây nữa, khó đấy, bạn sẵn sàng GO! Level – Only Professional Cho (O) điểm A cố định nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) Kẻ cát tuyến AEF với (O) quay quanh A Kẻ EH⊥OB cắt BC M CMR: cát tuyến AEF quay quanh A cắt (O) điểm đường thẳng FM ln qua điểm cố định Trước hết cho bạn xem hình ban đầu nhé: Tơi gợi ý FM qua trung điểm AB cố định, bạn thử làm Nếu lâu không làm sang trang bên Good luck!^_^ Chắc bạn mệt mỏi rồi, không làm không nhé, có làm đâu Bài giải sau: Giải: Kéo dài EH cắt FB N Kẻ OK⊥EF ⇒ K trung điểm EF ⇒ OKAC nội tiếp⇒4 Xét tứ giác OKAC có điểm K, A, C, O thuộc đường tròn (1) Tương tự: điểm O, B, A, C thuộc đường tròn (2) Từ (1), (2)⇒ điểm A, B, C, K, O thuộc đường tròn⇒Tứ giác KBAC nội tiếp⇒ (cùng chắn cung BK) EH⊥OB, AB⊥OB⇒EH//AB⇒ (đồng vị)⇒ ⇒Tứ giác KMEC nội tiếp (có đỉnh C, E nhìn đoạn thẳng KM góc khơng đổi)⇒ (cùng chắn cung KC) Mặt khác, FBEC nội tiếp⇒ ⇒ (cùng chắn cung FC), mà ⇒BF//KM (có cặp góc đồng vị nhau) Xét ∆FNE có K trung điểm EF, KM//FN (M∈EN)⇒ M trung điểm EN Kéo dài FM cắt AB I Xét ∆FBI có MN//BI⇒ Ta có: (định lí Ta-lét) Tương tự ta có: mà MN=ME (M trung điểm NE)⇒AI=BI ⇒ I trung điểm AB Vì (O) điểm A cố định⇒ Tiếp tuyến AB cố định⇒ Trung điểm I AB cố định⇒FM qua trung điểm I AB cố định Vậy cát tuyến AEF quay quanh A FM ln qua trung điểm I AB cố định Đề ngắn mà giải dài đến trang lận, mệt quá… Thực điểm H chẳng có ích lợi ngồi việc giúp điểm E kẻ đường vng góc tới OB, hình bóng mờ nhạt… Chà, – cuối – level level nhỉ? Trời ơi, lên level cơ!  Nhưng đánh giá cá nhân mà  Level – Very very hard! Cho ∆ABC tam giác nội tiếp (O) Một đường thẳng d quay quanh A cắt tiếp tuyến B C (O) M, N Gọi E giao điểm thứ d (O) Gọi F giao điểm BN CM CMR: a) Tứ giác BEFM nội tiếp b) Khi d quay quanh A đường thẳng EF ln qua điểm cố định Bài không cho bạn xem hình ban đầu trước Lí do: chẳng ích lợi gì, hai hình giống nhau, không vẽ thêm đường phụ  Giải: a) Vì ∆ABC tam giác ⇒ OB⊥AC OB⊥AC, BM⊥OB⇒AC//BM⇒ có: Tương tự ta Xét ∆ABM ∆NCA có: ⇒∆ABM~∆NCA(g.g)⇒ Dễ dàng chứng minh Xét ∆BCN ∆MBC có: ⇒ (chứng minh ) (!?) (chứng minh trên) ⇒∆BCN~∆MBC(c.g.c)⇒ Xét ∆BCM ∆FBC ta có: ⇒ mà ⇒ chắn cung AB (O) mà ⇒ ⇒ Xét tứ giác BEFM có đỉnh E, F nhìn đoạn thẳng BM góc khơng đổi: ⇒ BEFM nội tiếp.(đpcm) b) Câu thơi, hình có gợi ý rồi, bạn tự làm lấy nhé! Tôi tin bạn làm Bài viết xin phép kết thúc - The End - Nghệ An, 21-6-2011 Nguyễn Đình Trí – xwhitelight HVA & REA Member ... Note: Bài Nâng cao phát triển Toán tập hai, khơng đánh dấu tơi thấy khó Bây tơi xin trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT Phan Bội Châu (Nghệ An) năm học 20 09- 2010 Các khác tơi khơng trích... thiếu sót, mong có ý kiến đóng góp bạn để học tập bổ sung vào viết lần update Mọi thắc mắc, ý kiến, tốn đóng góp,… bạn liên hệ với qua email anhsangtrang96@yahoo.com Các bạn muốn gửi mail hay tin... số kinh nghiệm giải tốn hình học muốn chia sẻ cho bạn sau: Một số giả thuyết cần thiết cho câu lại không cần thiết cho câu khác, “giả thuyết ảo” cần loại bỏ chúng, vẽ lại hình ln để tốn trở nên