bai tap hinh hoc 9 cuc hay 96573

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: góc DEA=ACB. 3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN. 5. Chứng tỏ: AM 2 =AE.AB. Bài 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1.Tứ giác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp. 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) Bài 3: Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 1. C/m BADC nội tiếp. 2. BC cắt (O) ở E.Cm:MR là phân giác của góc AED. 3. C/m CA là phân giác của góc BCS. Bài 4: Cho ABC có góc A=90 o .Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB nội tiếp. 2. C/m ME là phân giác của góc AED. 3. C/m: Góc ASM=ACD. 4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DEAC. TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - 4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF. Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1/C/m MFEC nội tiếp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ. 4/C/m góc PQM=90 o . Bài 7:Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp.Xác đònh tâm I của đường tròn này. 2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. 3. C/m GEFB nội tiếp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD.Có nhận xét gì về I và F Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m BDCO nội tiếp. 2. C/m: DC 2 =DE.DF. 3. C/m:DOIC nội tiếp. 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE. Bài 9:Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H.Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM 3. C/m Mn là phân giác của góc BMQ. 4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác đònh vò trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trò lớn nhất. Gợi ý 4: Ta có 2S MAN =MQ.AN 2S MBN =MP.BN. 2S MAN + 2S MBN = MQ.AN+MP.BN Ta lại có: 2S MAN + 2S MBN =2(S MAN + S MBN )=2S AMBN =2. 2 MNAB  =AB.MN Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đổi nên tích AB.MN lớn nhất MN lớn nhấtMN là đường kính M là điểm chính giữa cung AB. TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ĐT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) .Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. Onthionline.net Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường thẳng BO, CO cắt đường tròn E F 1) Chứng minh AF//BE 2) Gọi M điểm đoạn AE (M khác A , E) Đường thẳng FM cắt BE kéo dài N, OM cắt AN G Chứng minh: a) AF2 = AM ON b) Tứ giác AGEO nội tiếp (Nhờ thầy, cô giải hộ câu c) a Tứ giác AFOE high thoi => góc AFM = góc FNO, góc FAM = góc ONF => tam giác AFM đồng dạng với tam giác ONF => AF.OF = AM.ON => AF2 = AM.ON (AF = OF) 2.b Xét tam giác MAO tam giác AON có góc MAO = góc AON = 600 (1) mà theo câu a: AF2 = AM.ON =>AO2 = AM.ON (AF = AO) => AO/AM = ON/OA (2) Từ (1) (2) => tam giác MAO đồng dạng với tam giác AON  góc AOG = góc ANO = > tam giác AOG đồng dạng với ANO  góc AGO = góc AON = 600  góc AGO = góc AEO = 600  AGEO nội tiếp Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ; Â là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . INH THANH V 01269485636 THCS TN HNG 1 Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 9 Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4.Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. 2.Chứng minh COD = 90 0 . 3.Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 5.Chứng minh MN AB. 6.Xác định vị trí của M để Bài kiểm tra chơng III I Mục tiêu: - Qua tiết kiểm tra ôn lại cho học sinh nội dung kiến thức cơ bản của chơng. - Rèn luyện tinh thần tự giác tích cực học tập và tính nghiêm túc thực hiện trong khi làm bài cúng nh rèn luyện tính trung thực. - Qua bài kiểm tra này giúp GV thu đợc thông tin ngợc để có biện pháp điều chỉnh trong những phần sau. II, Ma trận: Chủ đề chính Mức độ cần đạt Tổng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng TN TL TN TL TN TL Tỉ số giữa hai đoạn thẳng, định lí Ta - let trong tam giac 2 1.0 2 1.0 Tam giác đồng dạng, Tính chất đ- ờng phân giác 3 1.125 1 0.5 1 1.0 1 2.0 6 4.625 ứng dụng của hai tam giác đồng dạng 1 0.375 1 0.5 1 0.5 1 2.0 4 3.375 Tổng 4 1.5 4 2.0 1 1.0 1 0.5 2 4.0 12 9.0 ( Tổng điểm có cả 1.0 đ vẽ hình và viết GT, KL) III. Đề bài: A. Phần trặc nghiệm (4 điểm ): ( Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời em cho là đúng từ câu 1 đến câu 5) Câu 1. Biết tỉ số giữa hai đoạn thẩngB và CD bằng 7 3 , CD = 14 cm. Độ dài của AB là: A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm Câu 2. Trong hình bên, biết PP ' // QQ ' , x OP = 4 cm, PQ = 5 cm và P ' Q ' = 5 cm. Q ' Số đo của đoạn thẳng OP ' là: 5 A. 3 10 cm B. 4,8 cm P ' C. 7,5 cm D. 3 cm O 4 P 6 Q y Câu 3. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có Ab = 3 cm, BC = 5 cm, AD là tia phân giác của góc BAC (D BC). Thế thì DC BD bằng. A. 3 5 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 4 Câu 4. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giac MNP theo tỉ số đồng dạng là 3 1 . Khi đó: A. S ABC = 9.S MNP B. S MNP = 3.S ABC C. S ABC = 3.S MNP D. S MNP = 9. S ABC Câu 5. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số k. biết chu vi của tam giác ABC là 4 m, chu vi của tam giác Dè là 16 m. Khi đó tỉ số k là bao nhiêu? A. k = 2 1 B. k = 4 1 C. k = 2 D. k = 4 Câu 6. Điền dấu x vào ô thích hợp: Khẳng định Đúng Sai Hai tam giác có hai cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ thì đồng dạng với nhau. Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giac đồng dạng thì bằng bình phơng tỉ số đồng dạng. Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau. Hai tam giác cân có một góc bằng nhau thì đồng dạng. B. Phần tự luận ( 6 điểm ): Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Từ B kẻ tia Bx song song với AC (tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa C, bờ AB). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N. a. Chứng minh ABC NMB b. Chng minh AM MN AC AB = c. Từ N kẻ NP vuông góc với AC (P AC ), NP cắt BC tại I. Tính độ dài các đoạn thẳng BI, IC, NI, IP. IV. Đáp án: Mối câu từ 1 đến 5: 0.5 đ, câu 6: 1.5 đ Câu 1 2 3 4 5 Phơng án C A C D B Câu 6: Đ, S, S, Đ Câu 7: - Vẽ hình, viết GT và KL: 1 đ - Câu a - 1 đ - Câu b - 2 đ - Câu c - 2 đ HD: a. ABC NMB (g.g) b. Từ câu a => AM MN MC MB = . Do AM là tia phân giác của góc BAC => AC AB AC MB = vậy => AM MN AC AB = c. Từ PC // BN => cmICcmIP BC IC PN IP BN PC IB IC IN IP 5,2;5,1 4 1 3 1 ===>===>=== Onthionline.net Bài (4 điểm) Cho tam giác cân DEF (DE = DF) Trên cạnh EF lấy hai điểm I, K cho EI = FK Chứng minh DI = DK Bài (6điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 1200 , phân giác AD Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB AC cắt AB ; AC E F Trên EB FC lấy điểm K I cho EK = FI a) Chứng minh ∆DEF b) Chứng minh ∆DIK cân c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA M Chứng minh ∆MAC Tính AD theo CM = m CF = n Bài làm ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………… ĐÁP ÁN Bài kiểm tra chơng III I Mục tiêu: - Qua tiết kiểm tra ôn lại cho học sinh nội dung kiến thức cơ bản của chơng. - Rèn luyện tinh thần tự giác tích cực học tập và tính nghiêm túc thực hiện trong khi làm bài cúng nh rèn luyện tính trung thực. - Qua bài kiểm tra này giúp GV thu đợc thông tin ngợc để có biện pháp điều chỉnh trong những phần sau. II, Ma trận: Chủ đề chính Mức độ cần đạt Tổng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng TN TL TN TL TN TL Tỉ số giữa hai đoạn thẳng, định lí Ta - let trong tam giac 2 1.0 2 1.0 Tam giác đồng dạng, Tính chất đ- ờng phân giác 3 1.125 1 0.5 1 1.0 1 2.0 6 4.625 ứng dụng của hai tam giác đồng dạng 1 0.375 1 0.5 1 0.5 1 2.0 4 3.375 Tổng 4 1.5 4 2.0 1 1.0 1 0.5 2 4.0 12 9.0 ( Tổng điểm có cả 1.0 đ vẽ hình và viết GT, KL) III. Đề bài: A. Phần trặc nghiệm (4 điểm ): ( Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời em cho là đúng từ câu 1 đến câu 5) Câu 1. Biết tỉ số giữa hai đoạn thẩngB và CD bằng 7 3 , CD = 14 cm. Độ dài của AB là: A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm Câu 2. Trong hình bên, biết PP ' // QQ ' , x OP = 4 cm, PQ = 5 cm và P ' Q ' = 5 cm. Q ' Số đo của đoạn thẳng OP ' là: 5 A. 3 10 cm B. 4,8 cm P ' C. 7,5 cm D. 3 cm O 4 P 6 Q y Câu 3. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có Ab = 3 cm, BC = 5 cm, AD là tia phân giác của góc BAC (D BC). Thế thì DC BD bằng. A. 3 5 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 4 Câu 4. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giac MNP theo tỉ số đồng dạng là 3 1 . Khi đó: A. S ABC = 9.S MNP B. S MNP = 3.S ABC C. S ABC = 3.S MNP D. S MNP = 9. S ABC Câu 5. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số k. biết chu vi của tam giác ABC là 4 m, chu vi của tam giác Dè là 16 m. Khi đó tỉ số k là bao nhiêu? A. k = 2 1 B. k = 4 1 C. k = 2 D. k = 4 Câu 6. Điền dấu x vào ô thích hợp: Khẳng định Đúng Sai Hai tam giác có hai cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ thì đồng dạng với nhau. Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giac đồng dạng thì bằng bình phơng tỉ số đồng dạng. Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau. Hai tam giác cân có một góc bằng nhau thì đồng dạng. B. Phần tự luận ( 6 điểm ): Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Từ B kẻ tia Bx song song với AC (tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa C, bờ AB). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N. a. Chứng minh ABC NMB b. Chng minh AM MN AC AB = c. Từ N kẻ NP vuông góc với AC (P AC ), NP cắt BC tại I. Tính độ dài các đoạn thẳng BI, IC, NI, IP. IV. Đáp án: Mối câu từ 1 đến 5: 0.5 đ, câu 6: 1.5 đ Câu 1 2 3 4 5 Phơng án C A C D B Câu 6: Đ, S, S, Đ Câu 7: - Vẽ hình, viết GT và KL: 1 đ - Câu a - 1 đ - Câu b - 2 đ - Câu c - 2 đ HD: a. ABC NMB (g.g) b. Từ câu a => AM MN MC MB = . Do AM là tia phân giác của góc BAC => AC AB AC MB = vậy => AM MN AC AB = c. Từ PC // BN => cmICcmIP BC IC PN IP BN PC IB IC IN IP 5,2;5,1 4 1 3 1 ===>===>=== Onthionline.net Câu Cho tam giác ABC có AD phân giác Đờng thẳng a song song với MI BD BC cắt AB AD AC lần lợt M, I, N Chứng minh: = NI CD Câu Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Có AB = cm AC = 12 cm Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC) a, Tính độ dài đoạn thẳng BD, CD, DE b, Tính diện tích tam giác ABD ACD Kỡ I Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng trung tuyn AM. Gi I l trung im ca AC, K l im i xng vi M qua im I. a. T giỏc AMCK l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? b.T giỏc AKMB l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? c. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC t giỏc AMCK l hỡnh vuụng ?2. Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN . K là giao điểm BN với CD a. c/m MDKB là hình thang b. Tứ giác PMQN là hình gì? chứng minh ? c. Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông ? Câu 7: Cho hình thoi ABCD. Chứng minh các đờng chéo AC; BD là MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho · COD = 90 0 . a/ Chứng minh CD = AC + BD b/ Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC (Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996) Giải: a/ Chứng minh CD = AC + BD Nối CO cắt DB tại E. Xét ∆ ACO và ∆ BOE có: · · OAC OBE= ( = 90 0 ); · · AOC BOE= (đđ); OA = OB (gt) => ∆ ACO = ∆ BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE ∆ DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên ∆ DCE cân tại D => CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC => CD = AC + BD b/ Chứng minh MN//AC: Vì ∆ DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA => ∆ ACO = ∆ MCO (ch,cgv) => MC = CA Tương tự: ∆ ODM = ∆ ODB => MC = CA Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên AN AC ND BD = (hệ quả đònh lý Talet) Hay AN CM ND MD = => MN//AC Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC (Đề thi HSG quận 1, 95 – 96) Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK = EC 2 và DK = KC Vậy tam giác KDC cân tại K => ¶ ¶ 1 2 D C= Mà ¶ ¶ 1 2 C C= (gt) => ¶ ¶ ¶ 1 1 2 D C C= = Ta có: · ¶ ¶ 1 2 DKB D C= + = ¶ ¶ 1 2 C C+ = · ACB (góc ngoài tại đỉnh K của ∆ DCK) => · · DKB DBC= (do ∆ ABC cân tại A) => ∆ DBK cân tại D => BD = DK = EC/2 Bài 3: Cho ∆ ABC có µ A = 30 0 . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 (Đề thi HSG quận 6, 97 – 98) Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax sao cho · xAC = 60 0 Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC => ∆ AEC đều Ta có: · · · BAE BAC CAE= + = 30 0 + 60 0 = 90 0 ∆ ABE vuông tại A cho ta: BE 2 = BA 2 + AE 2 Hay BE 2 = AB 2 + AC 2 (1) Mặt khác: · · · BCE BCA ACE= + = · BCA + 60 0 => · · BCE ACD= Xét ∆ ACD và ∆ ECB có: · · BCE ACD= ; AC = CE; CD = CB => ∆ ACD = ∆ ECB (c-g-c) => DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB 2 + AC 2 A BO C D N M E A B C K D 1 1 2 E A B D C x E Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B ≠ A; B ≠ C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC. c/ Tìm vò trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trò lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo m. (Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001) Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE Ta có ∆ ABE = ∆ DBC (c-g-c) => CD = AE Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có: · · AEB DEF= (đđ) và · · EAB BDC= ( ∆ ABE = ∆ DBC) => · · · · AEB EAB DEF BDC+ = + Mà · · AEB EAB+ = 90 0 => · · DEF BDC+ = 90 0 => · DFE = 90 0 hay AE ⊥ CD tại F b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC ∆ AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC) => MM’ là đường trung bình của ∆ AEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của ∆ BCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang I là trung điểm của MN; I I’//MM’//NN’ => I I’ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ => I I’ = MM' NN' BC AB AC m 2 4 4 4 + + = = = (không đổi) c/ Vì ∆ ABE’ = ∆ DBC nên S ABE = S DBC => S ABE + S DBC = 2S ABE 2S ABE = 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi) nên tích Onthionline.net MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC (2011 - 2012) µ = 1200 ; B µ = 1000 , C µ −D µ = 200 Tính góc C D Bài 1: Tứ giác ABCD