Ma trận chuẩn tắc Một số điều kiện cần và đủ

Lớp các ma trận chuẩn tắc chứa các lớp ma trận quen thuộc và quan trọng trong toán học như: lớp các ma trận unitatrực giao, lớp các ma trận Hermitephản Hermite, ldots. Các lớp ma trận này không những có nhiều tính chất toán học đẹp đẽ mà còn được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác của toán học và một số bài toán kỹ thuật như: xử lý tín hiệu, phương trình đạo hàm riêng, một số bài toán tối ưu,... Vì vậy các ma trận chuẩn tắc xuất hiện phổ biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐÌNH NGUYÊN MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO MA TRẬN CHUẨN TẮC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM TỐN Bình Định, năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐÌNH NGUYÊN MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO MA TRẬN CHUẨN TẮC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Người hướng dẫn khoa học: Bình Định, năm 2016 Đại số - Hình học TS Lê Thanh Hiếu Mục lục Lời mở đầu i Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giá trị riêng véc tơ riêng 1.2 Không gian véc tơ Euclide 1.3 Một số ma trận đặc biệt 1.3.1 Ma trận trực giao, ma trận unita 1.3.2 Ma trận đối xứng, ma trận Hermite 1.4 Một số phân tích ma trận 1.4.1 Phân tích cực ma trận 1.4.2 Phân tích Schur ma trận 1.4.3 Phân tích giá trị suy biến Chương Điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc 5 2.1 Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc tổng quát 2.2 Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc khả nghịch 25 Kết luận 26 i Lời mở đầu Một ma trận vuông phức gọi chuẩn tắc A∗ A = AA∗ , t A∗ = A ma trận chuyển vị liên hợp A Lớp ma trận chuẩn tắc chứa lớp ma trận quen thuộc quan trọng toán học như: lớp ma trận unita/trực giao, lớp ma trận Hermite/phản Hermite, Các lớp ma trận khơng có nhiều tính chất tốn học đẹp đẽ mà ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác toán học số toán kỹ thuật như: xử lý tín hiệu, phương trình đạo hàm riêng, số tốn tối ưu, Vì ma trận chuẩn tắc xuất phổ biến đại số mà nhiều lĩnh vực khác Năm 1987, danh sách 70 điều kiện tương đương ma trận chuẩn tắc công bố [1] Grone, Johnson, Sa, Wolkowicz Hơn thập kỷ sau, L Elsner Kh D Ikramov bổ sung thêm 20 điều kiện [2] Mục đích Luận văn tìm hiểu trình bày chứng minh chi tiết các kết tài liệu Luận văn trình bày thành hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chứng minh chương sau như: giá trị riêng, không gian véc tơ Euclide số kết liên quan; bên cạnh chúng tơi nhắc lại số lớp ma trận quen thuộc ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma trận nửa xác định dương, Chương trình bày điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc Đây nội dung Luận văn Trong chương chúng tơi tìm hiểu hệ thống lại điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc từ [1, 2] Hơn nữa, chúng tơi trình bày lại cách chi tiết chứng minh hai tài liệu Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Người tận ii tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình làm Luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể q thầy giáo khoa Tốn, Đại học Quy Nhơn dạy bảo tơi tận tình suốt thời gian học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực Luận văn Mặc dù Luận văn thực với nỗ lực, cố gắng thân, song thời gian nghiên cứu khơng nhiều kiến thức hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót định Tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Quy Nhơn, ngày 24 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Đình Nguyên Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm kết cần thiết cho việc chứng minh kết luận văn Các kết chương tìm thấy [3] 1.1 Giá trị riêng véc tơ riêng Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A ∈ Cn×n W khơng gian véc tơ Cn Ta gọi W không gian ổn định A (hay A-ổn định) A(W ) ⊆ W , nghĩa Aw ∈ W với w ∈ W Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Phần tử λ ∈ C gọi giá trị riêng A tồn véc tơ x ∈ Cn , x = cho Ax = λx Khi ta gọi x véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ Tập hợp {x ∈ Cn |Ax = λx} không gian véc tơ Cn Không gian gọi không gian riêng A ứng với giá trị riêng λ ký hiệu WA,λ Tập hợp tất giá trị riêng A gọi phổ A, ký hiệu δ(A) Định lý 1.3 Phần tử λ ∈ C giá trị riêng A det(A − λI) = Ta gọi det(A − λI) đa thức đặc trưng ma trận A ký hiệu pA (λ) = det(A − λI) Mệnh đề 1.4 Cho ma trận A ∈ Cn×n Giả sử λ1 , λ2 , , λm ∈ C giá trị riêng khác đôi A, e1 , e2 , , em véc tơ riêng tương ứng với chúng Khi hệ véc tơ e1 , e2 , , em độc lập tuyến tính 1.2 Khơng gian véc tơ Euclide Định nghĩa 1.5 Cho V không gian véc tơ C Một tích vơ hướng V ánh xạ , : V × V →C (u, v) → u, v thỏa mãn điều kiện sau: với u, v, w ∈ V , k ∈ C, i) u, v = v, u ii) u + v, w = u, w + v, w iii) ku, v = k u, v iv) u, u ≥ u, u = u = Một không gian véc tơ Euclide không gian véc tơ cho tích vơ hướng Ví dụ 1.6 Với x, y ∈ Cn , cơng thức x, y = y ∗ x, y ∗ = y t , xác định tích vơ hướng Cn Ta gọi tích vơ hướng tích vơ hướng tắc Cn Tương tự ta định nghĩa tích vơ hướng tắc R-khơng gian véc tơ Euclide Rn công thức: x, y = y t x, ∀x, y ∈ Rn Giả sử E không gian véc tơ Euclide Với x ∈ E, chuẩn (hay độ dài) x định nghĩa số thực x = x, x Định nghĩa 1.7 Cho E không gian véc tơ Euclide Hai véc tơ x, y ∈ E gọi trực giao x, y = Ta gọi hệ véc tơ e1 , e2 , , ek ∈ E (i) trực giao chúng đôi trực giao, nghĩa ei , ej = với i = j (ii) trực chuẩn trực giao ei = với i = 1, , k Mệnh đề 1.8 Cho E không gian véc tơ Euclide e1 , e2 , , ek ∈ E hệ véc tơ độc lập tuyến tính Khi hệ véc tơ u1 = e1 , u2 = e2 − e2 , u1 u1 u1 , ··· k−1 uk = ek − ek , ui i=1 ui ui trực giao (và độc lập tuyến tính) E Hơn nữa, khơng gian véc tơ sinh hai hệ véc tơ e1 , , ek u1 , , uk trùng Ta gọi quy trình chuyển hệ véc tơ e1 , , ek thành hệ trực giao u1 , , uk thuật tốn trực giao hóa Gram-Schmidt Mệnh đề 1.9 Cho E không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều F không gian véc tơ E Ký hiệu F ⊥ = {x ∈ E| x, y = với y ∈ F } Khi F ⊥ không gian véc tơ E E = F ⊕ F ⊥ Ta gọi F ⊥ phần bù trực giao không gian véc tơ F 1.3 Một số ma trận đặc biệt 1.3.1 Ma trận trực giao, ma trận unita Định nghĩa 1.10 Ma trận U ∈ Cn×n gọi unita ( t ư., trực giao) U ∗ U = In (t ư., U t U = In ) Định lý 1.11 [3, Theorem 2.1.4] Cho ma trận U ∈ Cn×n Các mệnh đề sau tương đương: (a) U ma trận unita (b) U ∗ ma trận unita (c) Hệ véc tơ cột U trực chuẩn (d) Hệ véc tơ dòng U trực chuẩn 1.3.2 Ma trận đối xứng, ma trận Hermite Định nghĩa 1.12 Ma trận thực A gọi đối xứng A = At t Ma trận phức A gọi Hermite A∗ = A, A∗ = A Định nghĩa 1.13 Ma trận Hermite A ∈ Cn×n gọi nửa xác định dương x∗ Ax ≥ với x ∈ Cn Định lý 1.14 [3, Theorem 7.2.1] Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi mệnh đề sau tương đương: (a) A nửa xác định dương (b) Mọi giá trị riêng A không âm (c) Tồn ma trận unita U số thực không âm λ1 , , λn cho A = U diag(λ1 , , λn )U ∗ , diag(λ1 , , λn ) ma trận đường chéo với phần tử chéo λi Định lý 1.15 [3, Theorem 7.2.6] Cho ma trận A ∈ Cn×n nửa xác định dương số nguyên k > Khi tồn ma trận nửa xác định dương B cho B k = A Chứng minh Vì A nửa xác định dương nên tồn ma trận unita U số thực không âm λ1 , , λn cho A = U diag(λ1 , , λn )U ∗ Đặt B = √ √ U diag( k λ1 , , k λn )U ∗ Khi B nửa xác định dương B k = A Giả sử C ma trận nửa xác định dương cho C k = A Ta chứng minh C = B Vì C nửa xác định dương nên C = V diag(µ1 , , µn )V ∗ , V ma trận unita µi ≥ ∀ i = 1, , n Do U diag(λ1 , , λn )U ∗ = V diag(µk1 , , µkn )V ∗ Từ suy V ∗ U diag(λ1 , , λn ) = diag(µk1 , , µkn )V ∗ U Đặt W = V ∗ U = [wij ] Khi W diag(λ1 , , λn ) = diag(µk1 , , µkn )W Do √ wij λj = µki wij với i, j = 1, , n Từ suy wij k λj = µi wij với √ √ i, j = 1, , n Do W diag( k λ1 , , k λn ) = diag(µ1 , , µn )W Vì √ √ U diag( k λ1 , , k λn )U ∗ = V diag(µ1 , , µn )V ∗ , tức B = C Ma trận B thỏa mãn điều kiện B k = A gọi bậc k ma trận A ký hiệu A /k 1.4 Một số phân tích ma trận 1.4.1 Phân tích cực ma trận Định lý 1.16 [3, Lemma 7.3.3]Cho A ∈ Cn×n Khi A biểu diễn dạng A = P U = U Q, P, Q ∈ Cn×n ma trận nửa xác định dương U ∈ Cn×n ma trận unita Phân tích gọi phân tích cực ma trận A 1.4.2 Phân tích Schur ma trận Định lý 1.17 [3, Theorem 2.3.1] Cho A ∈ Cn×n có n giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn Khi tồn ma trận unita U ∈ Cn×n cho U ∗ AU = T = [tij ] ma trận tam giác với phần tử nằm đường chéo tii = λi , i = 1, , n Chứng minh Giả sử x1 ∈ Cn véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ1 cho x1 = Bổ sung thêm n − véc tơ y2 , , yn để hệ x1 , y2 , , yn sở Cn Dùng thuật tốn trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ta sở trực chuẩn x1 , z2 , , zn Cn Đặt U1 = x1 z2 · · · zn ∈ Cn×n Khi U1 ma trận unita ta có U1∗ AU1 = U1∗ Ax1 Az2 · · · Azn  ∗ x1  ∗  z2   =   λ1 x1 Az2 · · · Azn . zn∗   λ1 x∗1 x1 x∗1 Az2 · · · x∗1 Azn     λ1 z2∗ x1   =    A1 λ1 zn∗ x1 = λ1 ∗ A1 Khi ma trận A1 ∈ C(n−1)×(n−1) có giá trị riêng λ2 , , λn Thật vậy, ta có det (A − λIn ) = det U1∗ det (A − λIn ).det U1 13 B11 B12 , B11 ∈ Cm×m B22 Khi đó, từ (4) suy B12 = Tức bij = 0, ∀ i = 1, m, j = m + 1, n Với j ∈ {m + 1, m + 2, , n}, ta có u∗i (Auj ) = bij = ∀ i = 1, m Do Auj ∈ W ⊥ với j = m + 1, , n Mà hệ véc tơ um+1 , , un sở W ⊥ A(W ⊥ ) ⊆ W ⊥ Vậy W ⊥ không gian A-ổn định Cn (5) ⇒ (6) Giả sử x véc tơ riêng A Khi W = x không gian A-ổn định Cn Do W ⊥ = x⊥ không gian A-ổn định Cn (6) ⇒ (7) Theo định lý biểu diễn Schur, tồn ma trận unita U = u1 u2 · · · un cho u∗i (Auj ) = Nghĩa B có dạng B =  λ1  T = U ∗ AU =   ∗    = [tij ]  λn Khi Au1 = λ1 u1 tij = u∗i Auj ∀i, j = 1, n Vì u1 véc tơ riêng n A nên u⊥ = u2 , , un không gian A-ổn định C Do đó, ∀j > 1, t1j = u∗1 (Auj ) = Từ suy T có dạng   λ1 · · ·   λ2 ∗ ∗   T = U ∗ AU =    ∗  0 · · · λn Vì AU = U T nên ta suy Au2 = λ2 u2 Tức u2 véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ2 Do đó, u⊥ = u1 , u3 , , un không gian A-ổn định Cn Vì với j > 2, t2j = u∗2 (Auj ) = Từ suy T có dạng   λ1 0 ··· 0 λ ···      0 λ3 ∗ ∗  T = U ∗ AU =       ∗ 0 · · · λn Cứ tiếp tục vậy, ta suy u3 , u4 , , un véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ3 , λ4 , , λn T = U ∗ AU ma trận đường chéo 14 (7) ⇒ (8) Giả sử U ∗ AU = D = diag(λ1 , λ2 , , λn ) Khi A = U DU ∗ , A∗ = U D∗ U ∗ Theo tốn nội suy Lagrange tồn đa thức p có bậc m nhỏ n cho p(λi ) = λi ∀ i = 1, n Giả sử p(x) = ci xi , m ≤ n − i=0 Khi p(D) = diag p(λ1 ), , p(λn ) = diag(λ1 , , λn ) = D∗ Từ suy m m ci U D i U ∗ ∗ i ∗ ci (U DU ) = p(A) = p(U DU ) = i=0 i=0 m ci Di =U U ∗ = U.p(D).U ∗ = U D∗ U ∗ = A∗ i=o (8) ⇒ (9) Giả sử tồn đa thức p cho p(A) = A∗ tồn B ∈ Cn×n cho AB = BA Khi đó, quy nạp ta chứng minh Ai B = BAi với i ∈ N Do p(A)B = Bp(A) Tức A∗ B = BA∗ (9) ⇒ (1) Chọn B = A Khi AB = A2 = BA Do A∗ B = BA∗ , nghĩa A∗ A = AA∗ Vậy A chuẩn tắc (1) ⇔ (10) Giả sử A chuẩn tắc x véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ Khi ta có (A − λI)x = A − λI ma trận chuẩn tắc Từ suy (A∗ − λI)x 2 = (A − λI)∗ x ∗ = (A − λI)∗ x (A − λI)∗ x = x∗ (A − λI)(A − λI)∗ x = x∗ (A − λI)∗ (A − λI)x ∗ = (A − λI)x = (A − λI)x (A − λI)x = Vì (A∗ − λI)x = 0, x véc tơ riêng A∗ ứng với giá trị riêng λ Ngược lại, giả sử A có biểu diễn Schur   t11 t12 · · · t1n    t22 · · · t2n  ∗ T = U AU =    ,   0 · · · tnn với U ma trận unita Khi đó, véc tơ riêng T véc tơ riêng T ∗ Thật vậy, giả sử x véc tơ riêng T ứng với giá trị riêng λ 15 Khi T x = λx, nghĩa U ∗ AU x = λx Từ suy A(U x) = λ(U x) Vì x = nên U x = Do U x véc tơ riêng A Khi U x véc tơ riêng A∗ nên tồn µ ∈ C cho A∗ (U x) = µ(U x) Do (U ∗ A∗ U )x = µx, tức T ∗ x = µx Vì x véc tơ riêng T ∗ Bây giờ, ta chứng minh T ma trận đường chéo Đặt ei = [0, , 1, 0, , 0]t ∈ Cn , (trong vị trí thứ i), với i = 1, , n Khi   t11   0  T e1 =    = t11 e1   Nghĩa e1 véc tơ riêng T Do e1 véc tơ riêng T ∗ Vì tồn µ1 ∈ C cho T ∗ e1 = µ1 e1 Khi     µ1 t11     0  t12     = µ e = T ∗ e1 =  1 .   .   o t1n Từ suy t12 = t13 = = t1n = T có dạng  t11   t22 T =   0 Do t12 = t13 = = t1n = Khi ··· ∗ ···   ∗    ∗  tnn Từ suy     0 1 t     22      0   T e2 = T    =   = t22 e2     .   0 Nghĩa e2 véc tơ riêng T Do e2 véc tơ riêng T ∗ 16 Vì tồn µ2 ∈ C cho T ∗ e2 = µ2 e2 Từ suy     0 µ  t   2  22      t23  = µ2 e2 =   T ∗ e2 =          .   t2n Do đó, t23 = t24 = = t2n = 0, nghĩa T có dạng  t11 0 t 22   ∗ 0 T = U AU =     0 t23 = t24 = = t2n = Khi 0 t33 ··· ··· ∗ 0 ∗ ··· tnn        ∗  Cứ tiếp tục vậy, ta suy e3 , , en véc tơ riêng T T ma trận đường chéo Vì theo (7) A ma trận chuẩn tắc (7) ⇔ (11) Giả sử tồn ma trận unita U = [u1 · · · un ] (trong ui cột thứ i U ) λ1 , , λn ∈ C cho U ∗ AU = diag(λ1 , , λn ) Khi AU = U.diag(λ1 , , λn ) Từ suy Aui = λi ui , ∀i = 1, , n Do đó, ui véc tơ riêng A ∀i = 1, n Mặt khác, U ma trận unita nên u1 , , un hệ véc tơ trực chuẩn Vì véc tơ riêng u1 , , un A tạo thành sở trực chuẩn Cn Ngược lại, giả sử ma trận A có n véc tơ riêng u1 , , un tạo thành sở trực chuẩn Cn Khi U = [u1 · · · un ] ma trận unita U ∗ AU = [u∗i Auj ] ma trận đường chéo (12) ⇔ (11) Giả sử A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính với véc tơ riêng ứng với giá trị riêng phân biệt trực giao với Giả sử n véc tơ u11 , , u1k1 , u21 , , u2k2 , , um1 , , umkm (2.3) k1 + .+km = n ui1 , , uiki ∈ WA,λi ∀ i = 1, m; λi = λj với i = j Với i = 1, , n, áp dụng thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cho hệ véc tơ ui1 , , uiki ta thu ki véc tơ vi1 , , viki ∈ WA,λi Vì véc tơ riêng hệ (2.3) ứng với giá trị riêng phân biệt trực giao nên hệ n véc tơ v11 , , v1k1 , v21 , , v2k2 , , vm1 , , vmkm (2.4) 17 trực giao Vì hệ (2.4) hệ véc tơ riêng A tạo thành sở trực chuẩn Cn Chiều ngược lại hiển nhiên n (13) ⇒ (1) Giả sử A biểu diễn dạng A = Khi A∗ = n i=1 λi Ei∗ = λi Ei (2.1) i=1 n λi Ei Từ suy i=1 n ∗ n |λi |2 Ei , λi λj Ei Ej = AA = i,j=1 i=1 n n ∗ A A= |λi |2 Ei λi λj Ej Ei = i,j=1 i=1 Do A chuẩn tắc (7) ⇒ (13) Giả sử U ∗ AU = diag(λ1 , , λn ), U = [u1 · · · un ] ma trận unita Khi A = U.diag(λ1 , , λn ).U ∗ = λ1 u1 u∗1 + · · · + λn un u∗n Đặt Ei = ui u∗i , i = 1, , n Khi Ei2 = Ei = Ei∗ n ∀i = 1, n, Ei Ej = với i = j i=1 Ei = u1 u∗1 + · · · + un u∗n = U U ∗ = In (14) ⇒ (1) Tương tự (13) ⇒ (1) (7) ⇒ (14) Giả sử U ∗ AU = diag(λ1 Ik1 , , λm Ikm ), λ1 , , λm giá trị riêng khác đôi A U ma trận unita Đặt Di ma trận đường chéo nhận từ ma trận diag(λ1 Ik1 , , λm Ikm ) cách thay λi = λj = với j = i Khi ma trận Pi = U Di U ∗ thỏa mãn điều kiện (14) (15) ⇒ (1) Giả sử tồn ma trận chuẩn tắc B có giá trị riêng phân biệt cho AB = BA Khi theo điều kiện (7) tồn ma trận unita V cho B = V T V ∗ với T = diag(t1 , · · · , tn ) ti giá trị riêng phân biệt B, i = 1, , n Vì AB = BA nên AV T V ∗ = V T V ∗ A Do V ∗ AV T = T V ∗ AV Đặt W = V ∗ AV = [wij ] Khi W T = T W Từ suy wij tj = ti wij ∀i, j = 1, n Do wij ti − tj = ∀i, j = 1, n Mà ti = tj ∀ i = j nên wij = ∀ i = j Do V ∗ AV = W ma trận đường chéo Vì vậy, theo điều kiện (7) A chuẩn tắc (1) ⇒ (16) Giả sử A chuẩn tắc Khi tồn ma trận unita U cho A = U DU ∗ , D ma trận đường chéo Đặt C = U.diag(1, 2, , n).U ∗ Khi C ma trận Hermite có giá trị riêng phân biệt AC = CA (16) ⇒ (15) Hiển nhiên ma trận Hermite ma trận chuẩn tắc 18 (17) ⇔ (1) Nếu A chuẩn tắc A∗ A − AA∗ = ma trận nửa xác định dương Ngược lại, giả sử A∗ A − AA∗ ma trận nửa xác định dương Khi A∗ A − AA∗ có giá trị riêng µ1 , µn số thực khơng âm Do tr(A∗ A − AA∗ ) = n µi ≥ Vì A∗ A − AA∗ = nên tr(A∗ A − AA∗ ) = i=1 ∗ ∗ tr(A A) − tr(AA ) = Từ suy giá trị riêng µi = ∀ i = 1, n Vì A∗ A − AA∗ = 0, nghĩa A chuẩn tắc (18) ⇔ (1) Ta có (A + A∗ )(A − A∗ ) = (A + A∗ A − AA∗ − A∗ ), KH = (A − A∗ )(A + A∗ ) = (A2 − A∗ A + AA∗ − A∗ ) HK = Từ suy HK = KH AA∗ = A∗ A (19) ⇔ (1) Ta có AH = 1 A(A + A∗ ) = (A2 + AA∗ ), 2 1 (A + A∗ )A = (A2 + A∗ A) 2 Vì AH = HA AA∗ = A∗ A (20) ⇔ (1) Ta có HA = 1 A(A + A∗ ) + (A + A∗ )A∗ 2 = A + AA∗ + A∗ , 2 2H = (A + A∗ )2 1 1 = A2 + AA∗ + A∗ A + A∗ 2 2 AH + HA∗ = Vì AH + HA∗ = 2H AA∗ = A∗ A (21) ⇔ (1) Ta có AK = 1 A(A − A∗ ) = (A2 − AA∗ ), 2 KA = 1 (A − A∗ )A = (A2 − A∗ A) 2 19 Vì AK = KA AA∗ = A∗ A (22) ⇔ (1) Ta có 1 A(A − A∗ ) − (A − A∗ )A∗ 2 1 = A2 − AA∗ + A∗ , 2 2K = (A − A∗ )2 1 1 = A2 − AA∗ − A∗ A + A∗ 2 2 AK − KA∗ = Vì AK − KA∗ = 2K AA∗ = A∗ A Nếu H khả nghịch (23) ⇔ (20) Trong trường hợp K khả nghịch (24) ⇔ (22) (25) ⇔ (10) Giả sử véc tơ riêng A véc tơ riêng H Lấy x = véc tơ riêng A Khi tồn λ, µ ∈ C cho A + A∗ Ax = λx Hx = µx Từ suy x = µx Do (A + A∗ )x = 2µx Vì A∗ x = 2µx − Ax = (2µ − λ)x, nghĩa x véc tơ riêng A∗ Ngược lại, giả sử véc tơ riêng A véc tơ riêng A∗ Lấy x = véc tơ riêng A Khi tồn λ, µ ∈ C cho Ax = A + A∗ 1 λx A∗ x = µx Từ suy Hx = x = (Ax + A∗ x) = (λ + µ)x 2 Nghĩa x véc tơ riêng H (26) ⇔ (10) Chứng minh tương tự (27) ⇔ (18) Giả sử giá trị riêng H phân biệt HK = KH Lấy x = véc tơ riêng H Khi tồn λ ∈ C cho Hx = λx Từ suy H(Kx) = K(Hx) = λ(Kx) Do Kx ∈ WH,λ Mà giá trị riêng H phân biệt nên dim WH,λ = Vì tồn µ ∈ C cho Kx = µx, tức x véc tơ riêng K Ngược lại, giả sử H có n giá trị riêng phân biệt λ1 , , λn véc tơ riêng H véc tơ riêng K Lấy véc tơ riêng p1 , , pn tương ứng với giá trị riêng λ1 , , λn H Khi hệ véc tơ p1 , , pn độc lập tuyến tính Do ma trận P = [p1 · · · pn ] khả nghịch Mặt khác, p1 , , pn véc tơ riêng K nên tồn µ1 , , µn ∈ C cho Kpi = µi pi ∀ i = 1, n Khi ta có KHP = KHp1 · · · KHpn = K(Hp1 ) · · · K(Hpn ) 20 = λ1 Kp1 · · · λn Kpn = λ1 µ1 p1 · · · λn µn pn , HKP = HKp1 · · · HKpn = H(Kp1 ) · · · H(Kpn ) = µ1 Hp1 · · · µn Hpn = µ1 λ1 p1 · · · µn λn pn Do KHP = HKP Mà P khả nghịch nên KH = HK Từ chứng minh ta rút nhận xét sau Nhận xét 2.2 Cho A, B ∈ Cn×n A có giá trị riêng phân biệt Khi đó, A B giao hoán véc tơ riêng A véc tơ riêng B Dùng nhận xét trên, ta có (28) ⇔ (18); (29) ⇔ (19) (30) ⇔ (21) (31) ⇔ (1) Giả sử A có biểu diễn cực A = V P , V ma trận unita P ma trận nửa xác định dương Giả sử V P = P V Khi A∗ A = P ∗ V ∗ V P = P ∗ P = P , AA∗ = V P P ∗ V ∗ = V P V ∗ = P V V ∗ = P Do A∗ A = AA∗ Ngược lại, giả sử A∗ A = AA∗ Khi P = V P V ∗ Từ suy (V P V ∗ )2 = V P V ∗ = P Tức V P V ∗ P bậc P Mặt khác, P nửa xác định dương nên P V P V ∗ nửa xác định dương Do đó, theo Định lý 1.15 bậc P Vì V P V ∗ = P , V P = P V (32) ⇔ (31) Vì V khả nghịch nên V P = P V V V P = V P V , tức V A = AV (33) ⇔ (31) Giả sử V P = P V Khi V P P = P V P , tức AP = P A Ngược lại, giả sử AP = P A, tức V P P = P V P Nếu P khả nghịch V P = P V Nếu P khơng khả nghịch ta viết P dạng P = U∗ D 0 U, U ∈ Cn×n unita D ∈ Cr×r (r < n) ma trận đường chéo xác định dương Khi đó, V P P = P V P nên VU ∗ D2 0 D U = U∗ 0 D UV U∗ 0 U Từ suy UV U ∗ D2 0 D = 0 D UV U∗ 0 21 Đặt W = U V U ∗ Khi D2 W 0 D = 0 W1 W3 Viết W lại dạng W = W D 0 D W 0 W2 với W1 ∈ Cr×r Khi W4 D2 0 D W 0 W1 D = W3 D DW1 D = 0 , 0 Từ suy W1 D2 = DW1 D W3 D2 = Vì D khả nghịch nên W1 D = DW1 W3 = Mà W ma trận unita nên suy W2 = Do ta có W D 0 D = 0 W UV U∗ D 0 D = 0 U V U ∗ Tức Từ suy V U∗ D 0 D U = U∗ 0 U V Vì V P = P V Từ Nhận xét 2.2 ta có (34) ⇔ (31) ⇔ (35), (36) ⇔ (32) ⇔ (37) (38) ⇔ (33) ⇔ (39) (40) ⇔ (7) Giả sử A có biểu diễn Schur A = U T U ∗ , U ma trận unita, T = [tij ] ma trận tam giác tii = λi , i = 1, , n giá trị riêng A Khi tr(A∗ A) = tr(U T ∗ T U ∗ ) = tr(T ∗ T ) Ta có tr(T ∗ T ) = n i,j=1 |tij |2 = n i=1 |tij |2 Do tr(A∗ A) = |λi |2 + i