Ma trận chuẩn tắc Một số điều kiện cần và đủ

Lớp các ma trận chuẩn tắc chứa các lớp ma trận quen thuộc và quan trọng trong toán học như: lớp các ma trận unitatrực giao, lớp các ma trận Hermitephản Hermite, ldots. Các lớp ma trận này không những có nhiều tính chất toán học đẹp đẽ mà còn được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác của toán học và một số bài toán kỹ thuật như: xử lý tín hiệu, phương trình đạo hàm riêng, một số bài toán tối ưu,... Vì vậy các ma trận chuẩn tắc xuất hiện phổ biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN ĐÌNH NGUYÊN

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO MA TRẬN CHUẨN TẮC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

Bình Định, năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Lời mở đầu i

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Giá trị riêng và véc tơ riêng 1

1.2 Không gian véc tơ Euclide 2

1.3 Một số ma trận đặc biệt 3

1.3.1 Ma trận trực giao, ma trận unita 3

1.3.2 Ma trận đối xứng, ma trận Hermite 4

1.4 Một số phân tích ma trận 5

1.4.1 Phân tích cực của ma trận 5

1.4.2 Phân tích Schur của ma trận 5

1.4.3 Phân tích giá trị suy biến 6

Chương 2 Điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc 7

2.1 Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc tổng quát 7

2.2 Một số điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc khả nghịch 25

Kết luận 26

kỹ thuật như: xử lý tín hiệu, phương trình đạo hàm riêng, một số bài toántối ưu, Vì vậy các ma trận chuẩn tắc xuất hiện phổ biến không nhữngtrong đại số mà còn nhiều lĩnh vực khác Năm 1987, một danh sách 70 điềukiện tương đương của ma trận chuẩn tắc được công bố trong [1] bởi Grone,Johnson, Sa, Wolkowicz Hơn một thập kỷ sau, L Elsner và Kh D Ikramov

đã bổ sung thêm 20 điều kiện trong [2] Mục đích của Luận văn là tìm hiểu

và trình bày các chứng minh chi tiết hơn các các kết quả trong 2 tài liệu trên.Luận văn được trình bày thành hai chương

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho cácchứng minh trong chương sau như: giá trị riêng, không gian véc tơ Euclide vàmột số kết quả liên quan; bên cạnh đó chúng tôi nhắc lại một số lớp ma trậnquen thuộc như ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma trận nửa xác địnhdương,

Chương 2 trình bày các điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc.Đây là nội dung chính của Luận văn Trong chương này chúng tôi tìm hiểu và

hệ thống lại các điều kiện tương đương cho ma trận chuẩn tắc từ [1, 2] Hơnnữa, chúng tôi cũng trình bày lại một cách chi tiết hơn các chứng minh tronghai tài liệu này

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy TS

Lê Thanh Hiếu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Người đã tận

tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình làm Luận văn.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể quý thầy cô giáotrong khoa Toán, Đại học Quy Nhơn đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt thờigian học tập tại khoa Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chânthành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và thực hiện Luận văn.

Mặc dù Luận văn này được thực hiện với sự nỗ lực, cố gắng của bản thân,song do thời gian nghiên cứu không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên sẽkhông tránh khỏi những sai sót nhất định Tôi rất mong nhận được sự góp ý

và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảmơn!

Quy Nhơn, ngày 24 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Đình Nguyên

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cầnthiết cho việc chứng minh các kết quả chính trong luận văn Các kết quả trongchương này có thể tìm thấy trong [3]

Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A ∈ Cn×n và W là một không gian véc tơ concủa Cn Ta gọi W là một không gian con ổn định đối với A (hay A-ổn định)nếu A(W ) ⊆ W , nghĩa là Aw ∈ W với mọi w ∈ W

Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A ∈ Cn×n Phần tử λ ∈ C được gọi là mộtgiá trị riêng của A nếu tồn tại một véc tơ x ∈ Cn, x 6= 0 sao cho

Ta gọi det(A − λI) là đa thức đặc trưng của ma trận A và ký hiệu là

pA(λ) = det(A − λI)

Mệnh đề 1.4 Cho ma trận A ∈ Cn×n Giả sử λ1, λ2, , λm ∈ C là các giátrị riêng khác nhau từng đôi một của A, và e1, e2, , em là các véc tơ riêngtương ứng với chúng Khi đó hệ các véc tơ e1, e2, , em là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.5 Cho V là không gian véc tơ trên C Một tích vô hướng trên

iii) hku, vi = khu, vi

iv) hu, ui ≥ 0 và hu, ui = 0 khi và chỉ khi u = 0

Một không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ trên đó đã chomột tích vô hướng

Ví dụ 1.6 Với mọi x, y ∈ Cn, công thức hx, yi = y∗x, trong đó y∗ = yt, xácđịnh một tích vô hướng trên Cn Ta gọi tích vô hướng này là tích vô hướngchính tắc trên Cn

Tương tự ta cũng có thể định nghĩa một tích vô hướng chính tắc trênR-không gian véc tơ Euclide Rn bởi công thức: hx, yi = ytx, ∀x, y ∈ Rn.Giả sử E là một không gian véc tơ Euclide Với x ∈ E, chuẩn (hay độ dài)của x được định nghĩa là số thực kxk =phx, xi

Định nghĩa 1.7 Cho E là một không gian véc tơ Euclide Hai véc tơ x, y ∈ Eđược gọi là trực giao nếu hx, yi = 0

Ta gọi hệ véc tơ e1, e2, , ek ∈ E là

(i) trực giao nếu chúng đôi một trực giao, nghĩa là hei, eji = 0 với mọi i 6= j

(ii) trực chuẩn nếu nó trực giao và keik = 1 với mọi i = 1, , k.

Mệnh đề 1.8 Cho E là một không gian véc tơ Euclide và e1, e2, , ek ∈ E

là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính Khi đó hệ véc tơ

Mệnh đề 1.9 Cho E là một không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều và F

là một không gian véc tơ con của E Ký hiệu

F⊥ = {x ∈ E| hx, yi = 0 với mọi y ∈ F }

Khi đó F⊥ là một không gian véc tơ con của E và E = F ⊕ F⊥

Ta gọi F⊥ là phần bù trực giao của không gian véc tơ con F

(c) Hệ các véc tơ cột của U là trực chuẩn

(d) Hệ các véc tơ dòng của U là trực chuẩn

1.3.2 Ma trận đối xứng, ma trận Hermite

Định nghĩa 1.12 Ma trận thực A được gọi là đối xứng nếu A = At

Ma trận phức A được gọi là Hermite nếu A∗ = A, trong đó A∗ = At.Định nghĩa 1.13 Ma trận Hermite A ∈ Cn×n được gọi là nửa xác địnhdương nếu x∗Ax ≥ 0 với mọi x ∈ Cn

Định lý 1.14 [3, Theorem 7.2.1] Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

(a) A là nửa xác định dương

(b) Mọi giá trị riêng của A đều không âm

(c) Tồn tại ma trận unita U và các số thực không âm λ1, , λn sao cho

A = U diag(λ1, , λn)U∗, trong đó diag(λ1, , λn) là ma trận đườngchéo với các phần tử chéo là các λi

Định lý 1.15 [3, Theorem 7.2.6] Cho ma trận A ∈ Cn×n nửa xác định dương

và số nguyên k > 1 Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận nửa xác định dương

B sao cho Bk = A

Chứng minh Vì A nửa xác định dương nên tồn tại ma trận unita U và các

số thực không âm λ1, , λn sao cho A = U diag(λ1, , λn)U∗ Đặt B =

U diag(√k

λ1, , √k

λn)U∗ Khi đó B nửa xác định dương và Bk = A

Giả sử C là một ma trận nửa xác định dương sao cho Ck = A Ta sẽ chứngminh C = B Vì C nửa xác định dương nên C = V diag(µ1, , µn)V∗, trong

đó V là ma trận unita và µi ≥ 0 ∀ i = 1, , n Do đó U diag(λ1, , λn)U∗ =

V diag(µk1, , µkn)V∗ Từ đó suy ra

V∗U diag(λ1, , λn) = diag(µk1, , µkn)V∗U

Đặt W = V∗U = [wij] Khi đó W diag(λ1, , λn) = diag(µk1, , µkn)W Do

đó wijλj = µkiwij với mọi i, j = 1, , n Từ đó suy ra wij√k

λj = µiwij vớimọi i, j = 1, , n Do đó W diag(√k

λ1, , √k

λn) = diag(µ1, , µn)W Vìvậy U diag(√k

λ1, , √k

λn)U∗ = V diag(µ1, , µn)V∗, tức là B = C

Ma trận B thỏa mãn điều kiện Bk = A được gọi là căn bậc k của ma trận

A và được ký hiệu bởi A1/k.

1.4 Một số phân tích ma trận

1.4.1 Phân tích cực của ma trận

Định lý 1.16 [3, Lemma 7.3.3]Cho A ∈ Cn×n Khi đó A có thể biểu diễnđược dưới dạng A = P U = U Q, ở đó P, Q ∈ Cn×n là các ma trận nửa xácđịnh dương và U ∈ Cn×n là ma trận unita

Phân tích trên đây được gọi là phân tích cực của ma trận A

1.4.2 Phân tích Schur của ma trận

Định lý 1.17 [3, Theorem 2.3.1] Cho A ∈ Cn×n có n giá trị riêng là

λ1, λ2, , λn Khi đó tồn tại ma trận unita U ∈ Cn×n sao cho U∗AU =

T = [tij] là ma trận tam giác trên với các phần tử nằm trên đường chéo chính

tii = λi, i = 1, , n

Chứng minh Giả sử x1 ∈ Cnlà một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ1sao cho kx1k = 1 Bổ sung thêm n − 1 véc tơ y2, , yn để hệ x1, y2, , yn làmột cơ sở của Cn Dùng thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ta được một

cơ sở trực chuẩn x1, z2, , zn của Cn Đặt U1 =hx1 z2 · · · zn

i

∈ Cn×n.Khi đó U1 là ma trận unita và ta có

Khi đó ma trận A1 ∈ C(n−1)×(n−1) có các giá trị riêng là λ2, , λn.Thật vậy, ta có det (A − λIn) = det U1∗.det (A − λIn).det U1

Cn×nlà ma trận unita và U∗AU là ma trận tam giác trên có đường chéo chính

là các giá trị riêng của A

1.4.3 Phân tích giá trị suy biến

Định nghĩa 1.18 Cho ma trận A ∈ Cm×n Số thực không âm σ được gọi làmột giá trị suy biến của A nếu σ2 là một giá trị riêng của A∗A

Định lý 1.19 [3, Theorem 2.6.3] Cho ma trận A ∈ Cm×n với các giá trị suybiến dương σ1, , σr Khi đó tồn tại một ma trận unita U ∈ Cm×m và matrận unita V ∈ Cn×n Sao cho

Chương 2

Điều kiện tương đương cho

ma trận chuẩn tắc

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số điều kiện tương đương để một

ma trận vuông phức là ma trận chuẩn tắc Các kết quả này được trích từ haibài báo [1, 2] Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày các điều kiện tương đươngcho hai lớp ma trận chuẩn tắc tổng quát (Định lý 2.1) và ma trận chuẩn tắckhả nghịch (Định lý 2.3)

chuẩn tắc tổng quát

Định lý 2.1 [1, 2] Cho ma trận A ∈ Cn×n Khi đó các mệnh đề sau là tươngđương

1 A chuẩn tắc

2 p(A) chuẩn tắc với p là một đa thức bất kỳ

3 Tồn tại ma trận unita U sao cho U∗AU là ma trận chuẩn tắc

4 Nếu U là ma trận unita sao cho U∗AU = B =

"

B11 B12

0 B22

#, với B11

là ma trận vuông, thì B12 = 0

5 Nếu W ⊆ Cn là một không gian con A-ổn định của Cn thì W⊥ cũngvậy

6 Nếu x là một véc tơ riêng của A thì x⊥ là không gian con A-ổn địnhcủa Cn.

7 Tồn tại ma trận unita U sao cho U∗AU = D là ma trận đường chéo

8 Tồn tại đa thức p sao cho A∗ = p(A)

9 Nếu AB = BA thì A∗B = BA∗ (với B ∈ Cn×n)

10 Nếu x là một véc tơ riêng của A thì x cũng là một véc tơ riêng của A∗

11 Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của Cn bao gồm các véc tơ riêng của A

12 A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính với nhau và 2 véc tơ riêng ứngvới 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao

13 Tồn tại λ1, , λn ∈ C sao cho A có thể biểu diễn dưới dạng

25 Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của H.

26 Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của K

27 Mọi véc tơ riêng của H đều là véc tơ riêng của K (với điều kiện cácgiá trị riêng của H phân biệt)

28 Mọi véc tơ riêng của K đều là véc tơ riêng của H (với điều kiện cácgiá trị riêng của K phân biệt)

29 Mọi véc tơ riêng của H đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện cácgiá trị riêng của H phân biệt)

30 Mọi véc tơ riêng của K đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện cácgiá trị riêng của K phân biệt)

(Từ đây trở đi, giả sử A = V P là biểu diễn cực của A trong đó V là

ma trận unita, P nửa xác định dương)

37 Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của V (với điều kiện các giátrị riêng của A phân biệt).

38 Mọi véc tơ riêng của P đều là véc tơ riêng của A (với điều kiện các giátrị riêng của P phân biệt)

39 Mọi véc tơ riêng của A đều là véc tơ riêng của P (với điều kiện các giátrị riêng của A phân biệt)

45 Các giá trị suy biến của A là |λ1|, , |λn|

46 Nếu σ1 ≥ · · · ≥ σn là các giá trị suy biến của A, λ1, , λn là các giátrị riêng của A, và |λ1| ≥ · · · ≥ |λn|, thì

σ1 σk = |λ1 λk| , với mọi k = 1, , n

47 Nếu U là một ma trận unita và diag(U∗AU ) = (λ1, , λn) thì U∗AU

là ma trận đường chéo

48 hAx, Ayi = hA∗x, A∗yi, ∀x, y ∈ Cn

49 hAx, Axi = hA∗x, A∗xi, ∀x ∈ Cn

50 kAxk = kA∗xk, ∀x ∈ Cn

51 Tồn tại ma trận unita U sao cho A∗ = U A

52 |A|=|A∗|, với |A|=(A∗A)1/2.

53 A∗2A2 = (A∗A)2

54 tr(A∗2A2) = tr (A∗A)2
.

55 A giao hoán với AA∗− A∗A

56 A giao hoán với A∗A (hoặc AA∗)

Ngược lại, giả sử p(A) là ma trận chuẩn tắc với mọi đa thức p Đặt P (x) =

x Khi đó P (A) = A là ma trận chuẩn tắc

(1) ⇔ (3) Giả sử A chuẩn tắc Khi đó U∗AU chuẩn tắc với U là ma trậnunita bất kỳ Thật vậy, ta có (U∗AU )∗ = U∗A∗(U∗)∗ = U∗A∗U Do đó

(U∗AU )∗(U∗AU ) = U∗A∗AU,(U∗AU )(U∗AU )∗ = U∗AA∗U

Vì AA∗ = A∗A nên (U∗AU )∗(U∗AU ) = (U∗AU )(U∗AU )∗, tức là U∗AUchuẩn tắc

Ngược lại, giả sử tồn tại ma trận unita U sao cho U∗AU chuẩn tắc Khi đó

U∗cũng là ma trận unita Do đó, theo chứng minh trên ta có (U∗)∗(U∗AU )U∗ =

A là ma trận chuẩn tắc

là ma trận unita, B11 là ma trận vuông và B12 = [βij] Áp dụng điều kiện (3)

Vì BB∗ = B∗B nên B11B11∗ +B12B12∗ = B11∗ B11 Do đó tr(B11B11∗ +B12B12∗ ) =tr(B11∗ B11) Từ đó suy ra tr(B11B11∗ )+tr(B12B12∗ ) = tr(B11∗ B11) Vì tr(B11B11∗ ) =tr(B11∗ B11) nên tr(B12B12∗ ) = 0 Mà tr(B12B12∗ ) = P |βij|2 nên ta suy ra

B12 = 0

(4) ⇒ (5) Giả sử W là một không gian con A-ổn định của Cn và dim W =

m ≤ n Khi đó, vì W ⊕W⊥ = Cn nên tồn tại một cơ sở trực chuẩn {u1, , un}của Cn mà trong đó {u1, , um} là cơ sở của W và {um+1, , un} là cơ sởcủa W⊥ Đặt U = hu1 u2 un

i

∈ Cn×n Khi đó U có các véc tơ cộttạo thành một hệ trực chuẩn nên U là ma trận unita Đặt B = U∗AU = [bij].Khi đó ta có

Tức là bij = u∗iAuj với i, j = 1, , n Vì W là không gian con A-ổn định của

Cn nên Auj ∈ W với mọi j = 1, , m Do đó ∀ i = m + 1, n, j = 1, m, bij =

Auj ∈ W⊥ với mọi j = m + 1, , n Mà hệ véc tơ um+1, , un là một cơ sởcủa W⊥ cho nên A(W⊥) ⊆ W⊥ Vậy W⊥ cũng là một không gian con A-ổnđịnh của Cn.

(5) ⇒ (6) Giả sử x là một véc tơ riêng của A Khi đó W = hxi là mộtkhông gian con A-ổn định của Cn Do đó W⊥ = x⊥ cũng là một không giancon A-ổn định của Cn

(6) ⇒ (7) Theo định lý biểu diễn Schur, tồn tại ma trận unita U =h

u1 u2 · · · un

isao cho

Khi đó Au1 = λ1u1 và tij = u∗iAuj ∀i, j = 1, n Vì u1 là một véc tơ riêng của

A nên u⊥1 = hu2, , uni là không gian con A-ổn định của Cn Do đó, ∀j > 1,

Vì AU = U T nên ta suy ra được Au2 = λ2u2 Tức là u2 là một véc tơ riêngcủa A ứng với giá trị riêng λ2 Do đó, u⊥2 = hu1, u3, , uni là không gian conA-ổn định của Cn Vì vậy với mọi j > 2, t2j = u∗2(Auj) = 0 Từ đó suy ra T

Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra u3, u4, , un lần lượt là các véc tơ riêngcủa A ứng với các giá trị riêng λ3, λ4, , λn và T = U∗AU là ma trận đườngchéo

(7) ⇒ (8) Giả sử U∗AU = D = diag(λ1, λ2, , λn) Khi đó A = U DU∗,

A∗ = U D∗U∗ Theo bài toán nội suy Lagrange thì tồn tại đa thức p có bậcnhỏ hơn n sao cho p(λi) = λi ∀ i = 1, n Giả sử p(x) =

m

P

i=0

cixi, m ≤ n − 1.Khi đó p(D) = diag p(λ1), , p(λn)
= diag(λ1, , λn) = D∗ Từ đó suy ra

(1) ⇔ (10) Giả sử A chuẩn tắc và x là một véc tơ riêng của A ứng với giátrị riêng λ Khi đó ta có (A − λI)x = 0 và A − λI cũng là ma trận chuẩn tắc

với U là ma trận unita Khi đó, mọi véc tơ riêng của T cũng là véc tơ riêngcủa T∗ Thật vậy, giả sử x là một véc tơ riêng của T ứng với giá trị riêng λ

Khi đó T x = λx, nghĩa là U∗AU x = λx Từ đó suy ra A(U x) = λ(U x) Vì

x 6= 0 nên U x 6= 0 Do đó U x là một véc tơ riêng của A Khi đó U x cũng

là véc tơ riêng của A∗ nên tồn tại µ ∈ C sao cho A∗(U x) = µ(U x) Do đó(U∗A∗U )x = µx, tức là T∗x = µx Vì vậy x cũng là một véc tơ riêng của T∗.Bây giờ, ta chứng minh T là ma trận đường chéo Đặt ei = [0, , 1, 0, , 0]t

∈ Cn, (trong đó 1 ở vị trí thứ i), với i = 1, , n Khi đó

.0

.o

.0

.0

Vì vậy tồn tại µ2 ∈ C sao cho T∗e2 = µ2e2 Từ đó suy ra

.0

Cứ tiếp tục như vậy, ta suy ra e3, , en lần lượt là các véc tơ riêng của T và

T là ma trận đường chéo Vì vậy theo (7) thì A là ma trận chuẩn tắc

(7) ⇔ (11) Giả sử tồn tại ma trận unita U = [u1 · · · un] (trong đó ui làcột thứ i của U ) và λ1, , λn ∈ C sao cho U∗AU = diag(λ1, , λn) Khi

đó AU = U.diag(λ1, , λn) Từ đó suy ra Aui = λiui, ∀i = 1, , n Do

đó, ui là véc tơ riêng của A ∀i = 1, n Mặt khác, vì U là ma trận unita nên

u1, , un là một hệ véc tơ trực chuẩn Vì vậy các véc tơ riêng u1, , un của

A tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Cn

Ngược lại, giả sử ma trận A có n véc tơ riêng u1, , un tạo thành một cơ

sở trực chuẩn của Cn Khi đó U = [u1 · · · un] là ma trận unita và U∗AU =[u∗iAuj] là ma trận đường chéo

(12) ⇔ (11) Giả sử A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính với nhau và 2véc tơ riêng ứng với 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau Giả sử nvéc tơ đó là

u11, , u1k1, u21, , u2k2, , um1, , umkm (2.3)trong đó k1+ .+km = n và ui1, , uiki ∈ WA,λi∀ i = 1, m; λi 6= λj với i 6= j.Với mỗi i = 1, , n, áp dụng thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Schmidt cho

hệ véc tơ ui1, , uiki ta thu được ki véc tơ vi1, , viki ∈ WA,λi Vì 2 véc tơriêng bất kỳ trong hệ (2.3) ứng với 2 giá trị riêng phân biệt thì trực giao nên

hệ n véc tơ

v11, , v1k , v21, , v2k , , vm1, , vmk (2.4)