TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA

27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học Diễn đàn Tốn học →  Tốn Trung học Phổ thơng và Thi Đại học →  Bất đẳng thức và cực trị Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Q́c Gia mơn Tốn năm 2016 Bắt đầu bởi Dinh Xuan Hung , 18­03­2016 ­ 21:13 Trang 1 / 11 Dinh Xuan Hung Đã gửi 18­03­2016 ­ 21:13 Topic này dùng để "Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Q́c Gia mơn Tốn năm 2016"    u cầ u : Khơng đăng q nhiều bài một lúc tránh lỗng topic.Tn thủ đúng quy định của VMF   Bài nào làm được sẽ được bơi đỏ trong Topic    (Đề  thi thử mơn Tốn lần 1 chun Hùng Vương Phú Thọ năm 2016)   Cho a, b, c > 0 và abc = 1.Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức: a P = (a + 1)(b + 1)bc + b (b + 1)(c + 1)ca + c 2 − a b − ab − a − (c + 1)(a + 1)ab   Quote   Dinh Xuan Hung : Ai biế t về  LaTeX thì có thể liên hệ với mình để cùng tổng hợp Topic này để nó sẽ là tài liệu phục vụ tớ t cho ơn thi THPQ 2017  Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 23­05­2016 ­ 17:46 ineX Đã gửi 18­03­2016 ­ 21:26 Bất đẳng thức thi Đại Học thường có dạng khá khơng đẹp mắt, nhưng cũng có một sớ bài đới xứng! Sau đây là một trong sớ đó: Bài 2: (Đề  thi thử mơn Tốn trường THPT Chun Bắc Giang) http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 1/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học   Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức:     a P = √ + √ b + c (a c b c + a + √ + b 2 + c ) + 2√ a + b ab + bc + ca Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18­03­2016 ­ 21:47 Dinh Xuan Hung Đã gửi 18­03­2016 ­ 21:47 Vào lúc 18 Tháng 3 2016 ­ 21:26, ineX đã nói: Bấ t đẳng thức thi Đại Học thường có dạng khá khơng đẹp mắt, nhưng cũng có một sớ bài đới xứng! Sau đây là một trong sớ đó: Bài 2: (Đề  thi thử mơn Tốn trường THPT Chun Bắc Giang)   Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức:     a P = √ + √ b + c (a c b c + a + √ + b 2 + c ) + 2√ a + b ab + bc + ca     2(a a P = ∑√ + √ b + c + b 2a + b + c 2(a + b √2 = − ab+bc+ca + c + √2 + c ) 2a + √ 2 2(a + √ = ∑√ ab + bc + ca (a + b + c) ≥ 2√2 2(a a ≥ 2√2 ∑ 2a(b + c) + b 2 + b 2 + c ) ab + bc + ca + c ) ab + bc + ca + √ + ab + bc + ca) (a + b + c) 2(a + b 2 + c ) ab + bc + ca − ab + bc + ca (a+b+c)2   http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 2/12 27/5/2016 Đặt t Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học (a + b + c) = , ta có: t ∈ [3; +∞) ab + bc + ca   √2 P = − t√ + √2t − = + √2t − t − t   Khảo sát hàm số  f (t) t√ = √2 + √2t − 4 trên [3; +∞), ta có: f (t) ≥ t −   P/s:Bạn ghi rõ năm ra nhé  Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18­03­2016 ­ 22:03 Dinh Xuan Hung Đã gửi 18­03­2016 ­ 21:59  ( Đề  lầ n 2­2016­ Chun Vĩnh phúc)   Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi là 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của :   T = 4 + a + b + b + c a + c − − a − b c    (Đề  thi thử Đại Học Vinh 2016)   Cho x, y, z là các sớ thực khơng âm thỏa mãn xy + yz + xz = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhấ t của :    2x P = + x 2y + + y z 2 + + z    (Đề  Lầ n 2­ 2016­Chuyên BẮC  NINH)   Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn : x + y + z = 1 . Tìm giá trị lơn nhấ t và nhỏ nhất của biểu thức:   http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… √ 3/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học T = 2√1 + x + √1 + y + √1 + z   P/s Mong mọi người vào thảo luận để Topic phá triển nhanh Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19­03­2016 ­ 16:49 ngocdz9apro Đã gửi 18­03­2016 ­ 22:28 Cho a,b,c>0 sao cho a + b + c ≤   Tìm Min P = (3 + + a )(3 + b + )(3 + c b + a ) c   Tìm a, b, n và ab n = 2007 ∈ N biế t a + b = − 1 với a,b lẻ ,b>a>1   Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn (x + 1) + (y + 2) + (z + 3) ≤ 2010  Tìm Min A = xy + y(z+1) +z(x­2) Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19­03­2016 ­ 22:45 tritanngo99 Đã gửi 18­03­2016 ­ 22:49 Bài 3:  Khơng mấ t tính tổng qt:  giả sử a ≥ b ≥ c ⇒ c ≤   ⇒ a + b ≥ a + c ≥ b + c   ⇒ T ≥ 3( − a + b ) c   12 => T ≥ − − c c   12 http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 4/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học Đặt f (c) 12 =  với 0 − − c < c ≤ c ;   Khảo sát hàm số  f(c) với 0 < c ≤  ta có f(c)=> 9;   => T=>9. Dấ u '=' xảy ra khi a    ok = b = c = Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19­03­2016 ­ 07:33 tritanngo99 Đã gửi 18­03­2016 ­ 23:19 Bài 5:  Áp dụng BDT quen thuộc: √y => . √y => T 2 + + √z + ≥ √(y + z) + + √z + ≥ √(1 − x) = 2√x + + √y + + √z 2 + (1 + 1) 2 + (1 + 1) + ≥ 2√x + + √(1 − x) + (1 + 1) = f (x) đến đây khảo sát f (x) với x>=0;  (f(x) đồng biến trên [0; + vô cùng ); => min(f(x))= + √(5) dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=0; y=z=1/2. ok Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19­03­2016 ­ 16:48  LaTeX quan1234 Đã gửi 19­03­2016 ­ 00:16 Câu 4 Câu đại học Vinh bị nhầm đề rồi, phải là  + x 2y 2x Ta có  + x + + y x + y z + + y z 2 + + z 2(2 + xy) + xy = 2y 2x = + 2 ≤ √(x2 + 2)(y + 2)(z + 2) √z + Vậy VT ≤ z + √z + 2 + z 2 http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 5/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học Đặt t = √z + 2, ta sẽ xét hàm f (t) = t + t − t ≤ f (2) = 2 Dinh Xuan Hung Đã gửi 19­03­2016 ­ 17:02 Trong Topic này LaTeX  các bạn đang sai khá nhiều . Chú ý các bài sai LaTeX sẽ bị khố mà khơng cần thơng báo trước    (Đề  thi thử ĐH mơn Tốn của SG&ĐT Vĩnh Phúc lần 2 năm 2016)   Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện a + b + c ≤ 1.Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức:    P = a ( b + c b + c c + a + a + b ) − √(ab + bc + ac) 3 − 2√3√abc   10  (Đề  thi thử chuyên HN Amesterdam năm 2016)   Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.Chứng minh rằng:   a b c + 2a − 18 + ≥ 2b − 2c − + ab + bc + ac Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 20­03­2016 ­ 09:48 Juliel Đã gửi 19­03­2016 ­ 22:00 Vào lúc 19 Tháng 3 2016 ­ 17:02, Dinh Xuan Hung đã nói:  (Đề  thi thử ĐH mơn Tốn của SG&ĐT Vĩnh Phúc lần 2 năm 2016)   Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện a + b + c ≤ 1.Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức:    P = a ( b + c b + c + a c + a + b ) − √(ab + bc + ac) 3 − 2√3√abc Lời giải : Ta có : http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 6/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học a b a + c ≥ − a a = 2 a(1 − a)(1 + a) Lại có : a(1 − a)(1 + a) = (1 − x) [(2 − √3) + (2 − √3)x] (√3 − 1) x (2 − √3)(√3 − 1) 2√ 3 ≤ [(1 − x) + (2 − √3) + (2 − √3)x + (√3 − 1)x] = 27(2 − √3)(√3 − 1) Suy ra : a b + c a ≥ 2 3√ ≥ a 2 a(1 − a)(1 + a) Hồn tồn tương tự với hai phân thức cịn lại, ta suy ra : a b + c c √3 c b + + a + a + b ≥ (a + b 2 + c ) Và cũng có : ab + bc + ca ≤ a a Do vậy nế u đặt t + b = √x 2 + c + y + b + c 2 ⇒ −√(ab + bc + ca) ≥ 3√ a b c + z 2 ≥ −√(a ⇒ −2√3√abc ≥ −2√a 2 + b + b + c + c ) ∈ (0, 1] thì : P ≥ √3t ′ − t f (t) = 2√3t − 3t − 2t = f (t) − < 0, ∀t ∈ (0, 1) Vậy f  nghịch biế n trên (0, 1]. Từ đó : f (t) ≥ f (1) = −3 + √3 Ta có :   M inP = −3 + √3, đạt được khi a = b = c = √3 Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 19­03­2016 ­ 22:08 tungteng532000 Đã gửi 19­03­2016 ­ 22:22 Vào lúc 18 Tháng 3 2016 ­ 21:13, Dinh Xuan Hung đã nói: Topic này dùng để "Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Q́c Gia mơn Tốn năm 2016"    http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 7/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học u cầ u : Khơng đăng q nhiều bài một lúc tránh lỗng topic.Tn thủ đúng quy định của VMF   Bài nào làm được sẽ được bơi đỏ trong Topic    (Đề  thi thử mơn Tốn lần 1 chun Hùng Vương Phú Thọ năm 2016)   Cho a, b, c > 0 và abc = 1.Tìm giá trị nhỏ nhấ t của biểu thức: a b P = c + (a + 1)(b + 1)bc − (b + 1)(c + 1)ca − a b − ab − a − (c + 1)(a + 1)ab Bạn ơi đề  bài dấ u cuối phải là dấu + a b P = c + 2 − a b − ab − a − + (a + 1)(b + 1)bc (b + 1)(c + 1)ca   (c + 1)(a + 1)ab Ta có: a b P = c + (b + 1)(c + 1)ca c + − (ab + 1)(a + 1) + (a + 1)(b + 1)bc b a = (c + 1)(a + 1)ab (a + 1)(b + 1) + − (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) Áp dụng bđt Holder, ta có: a (∑ )(∑(a + 1)(b + 1))(1 + + 1) ≥ (a + b + c) ⇒ ∑ (a + 1)(b + 1) (a + b + c) ≥ ≥ 3(ab + bc + ca + 2(a + b + c) + 3) t P ≥ t (a + 1)(b + 1) (a + b + c) Đặt a+b+c=t⇒ a (a + b + c) + 6(a + b + c) + t ≥ 3  −1 − ≥ ⇔ (t − 3)(4t + 6t + + 9t + 9) ≥ 0 (đúng)  Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19­03­2016 ­ 22:38  Thanks bạn đã góp ý cho mình tungteng532000 Đã gửi 19­03­2016 ­ 22:40 Vào lúc 18 Tháng 3 2016 ­ 22:28, ngocdz9apro đã nói: Cho a,b,c>0 sao cho a + b + c ≤   Tìm Min P = (3 + + a )(3 + b + b )(3 + c + a ) c     Áp dụng bđt Holder, ta có: 1 1 1 1 http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 8/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học P = (3 + + a )(3 + + b c b + a + b + c + ) 1 ) ≥ (3 + c ≥ (3 + )(3 + a + √abc ≥ (3 + + 2) ) 3 √abc = 343 a + b + c Đẳng thức xảy ra khi a=b=c= Dinh Xuan Hung 11 Đã gửi 19­03­2016 ­ 22:44  (Đề  thi thử ĐH lần thứ 16 của Vted)   Cho x, y, z là các số thực thoả mãn : x + y + z = 2.Tìm GTNN của biểu thức :   P = |x + y − z| + |y + z − x| + |z + x − y|   12  Cho a, b, c là các số thực thoả mãn ( a + b + c ) ≤ 4abc . Tìm GTLN của biểu thức: 2016   √a √b P = + b + √ca a + √bc √c + c + √ab   13  (Đề  thi thử ĐH THPT Nguyễn Khuyến ­ TPHCM)   Cho ba số  thực x, y, z thuộc đoạn (0; 4) và thỏa mãn x 1 + √16 − x2 √16 − y 3√2 + + y + z = 6√2.Chứng minh rằ ng: ≥ √16 − z Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04­05­2016 ­ 22:00  Update bài 13 tungteng532000 Đã gửi 19­03­2016 ­ 22:56 Vào lúc 19 Tháng 3 2016 ­ 17:02, Dinh Xuan Hung đã nói:     10  (Đề  thi thử chuyên HN Amesterdam năm 2016)   Cho a, b, c là các sớ thực khơng nhỏ hơn 1.Chứng minh rằng: http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 9/12 27/5/2016 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia mơn Tốn năm 2016 ­ Bất đẳng thức và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học   a b c + 2a − 18 + ≥ 2c − 2b − + ab + bc + ac Từ giả thiế t a,b,c ≥ ⇒ (a − 1)(b − 1) + (b − 1)(c − 1) + (c − 1)(a − 1) ≥ ⇔ ab + bc + ca ≥ 2(a + b + c) − 18 ⇒ ≤ + ab + bc + ca ≤ a + b + c Mặt khác đánh giá đại diện:  a + b c a ≤ a + ⇔ ≤ (a − 1)  (đúng)  2a − Bđt đc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 Bài viế t đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 19­03­2016 ­ 23:01 hangdiemdieuhoa1999 Đã gửi 21­03­2016 ­ 10:21 Vào lúc 19 Tháng 3 2016 ­ 22:44, Dinh Xuan Hung đã nói:   11  (Đề  thi thử ĐH lần thứ 16 của Vted)   Cho x, y, z là các số thực thoả mãn : x + y + z = 2.Tìm GTNN của biểu thức :   P = |x + y − z| + |y + z − x| + |z + x − y|     Mình xin phép chỉ trình bày ý tưởng: Đặt: |x + y − z| = a ,  |−x + y + z| = b , |x − y + z| = c Do đó ta cầ n tìm GTNN của P Ta lại tính các đại lượng ab = |a| + |b| + |c| + bc + ca và a + b + c khi đó tìm được GTNN của P BlackSelena Đã gửi 21­03­2016 ­ 15:36 Mình thì khơng phải loại giỏi bất đẳng thức nhưng 'đề thi Đại học' mà các bạn cứ Holder ầm ầm như thế này thì    ngocdz9apro Đã gửi 21­03­2016 ­ 17:33 http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t­trong­c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 10/12 ... http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t? ?trong? ?c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%8… 4/8 27/5/2016 Tổng? ?hợp? ?các bài BĐT? ?trong? ?các đề? ?thi? ?thử? ?THPT? ?Quốc? ?Gia? ?mơn Tốn năm 2016 ­ Trang 2 ­? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học 11 ⇒P≥   Đẳng? ?thức? ?xảy ra khi a=b=c=1... http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t? ?trong? ?c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%8… 3/9 27/5/2016 Tổng? ?hợp? ?các bài BĐT? ?trong? ?các đề? ?thi? ?thử? ?THPT? ?Quốc? ?Gia? ?mơn Tốn năm 2016 ­ Trang 3 ­? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học Bài 29: (Đề? ?thi? ?thử của sở GD­ ĐT Bắc Giang năm 2016)... http://diendantoanhoc.net/topic/155623­t%E1%BB%95ng­h%E1%BB%A3p­c%C3%A1c­b%C3%A0i­b%C4%91t? ?trong? ?c%C3%A1c­%C4%91%E1%BB%… 4/12 27/5/2016 Tổng? ?hợp? ?các bài BĐT? ?trong? ?các đề? ?thi? ?thử? ?THPT? ?Quốc? ?Gia? ?mơn Tốn năm 2016 ­? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?và cực trị ­ Diễn đàn Tốn học