TÍNH đơn điệu của hàm số

Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Thế hàm số đơn điệu? Cho hàm số y = f(x) xác định miền D  f(x) gọi đồng biến (hoặc tăng) D x1 , x2  D : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  f(x) gọi nghịch biến (hoặc giảm) D x1 , x2  D : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Tính đồng biến hay nghịch biến hàm số gọi chung tính đơn điệu hàm số Có thể hiểu đơn giản, hàm số đồng biến hàm số mà x f(x) tăng giảm, hàm số nghịch biến hàm số mà x tăng f(x) giảm ngược lại Ví dụ: - Hàm số y = 2x hàm số đồng biến x tăng y tăng, x giảm y giảm - Hàm số y = -x hàm số nghịch biến x tăng y giảm, x giảm y tăng Đồ thị hàm số đơn điệu: * Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng (a;b) đồ thị khoảng (a;b) đường lên từ trái sang phải Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 * Nếu hàm số f(x) nghịch biến khoảng (a;b) đồ thị khoảng (a;b) đường xuống từ trái sang phải Ví dụ: Cho đồ thị hàm số hình vẽ: Nhìn vào đồ thị ta thấy: - Với x < x > đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, hàm số đồng biến khoảng: (-∞;0), (2;+∞) - Với x ∈ (0;2) đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Định lý tính đơn điệu hàm số: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D  Hàm số đồng biến D  y’≥ ∀ x ∈ D y’ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Hàm số nghịch biến D  y’≤ ∀ x ∈ D y’ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Như để xét tính đơn điệu hàm số ta cần xét dấu đạo hàm hay nói cách khác ta cần giải bất phương trình y’≥ y’≤ Lưu ý: Hàm phân thức bậc dạng y  ax  b xét tính đơn điệu khơng xét cx  d dấu Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   x3  x2  x  Tập xác định: D = R y '  3x2  12 x  y '   x  (1;3) nên hàm số đồng biến (1;3) y '   x  (;1)  (3; ) nên hàm số nghịch biến khoảng: (-∞;1), (3;+∞) II CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ: Nhắc lại định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai: f ( x)  ax2  bx  c (a≠0) - Nếu ∆ < f(x) dấu với a, ∀x ∈ R - Nếu ∆ = f(x) ln dấu với a, ∀x ≠ - Nếu ∆ > phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2, ta có: b a + Trong khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a (“trong trái”) + Ngoài khoảng nghiệm f(x) dấu với a (“ngồi cùng”) Một số trƣờng hợp so sánh nghiệm tam thức bậc với số Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Cho tam thức bậc f ( x)  ax2  bx  c (a≠0) ***) So sánh với số bất kỳ:  0   s  x1  x2  d   d   ( x1  d )( x2  d )   0   s  d  x1  x2   d   ( x1  d )( x2  d )   x1  d  x2  a f (d )  ***) So sánh với số 0:    0  b  x1  x2    s   (2 nghiệm âm) a  c   P  a     0  b   x1  x2   s   (2 nghiệm dương) a  c   P  a   x1   x2  ac  (2 nghiệm trái dấu) Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ tốn lập đƣợc m Gỉa sử ta cần tìm điều kiện tham số m để g(x,m)≥0 g(x,m)≤0 ∀x ∈ (a;b) Trong trường hợp tách tham số m vế độc lập với x (thường m có bậc 1), ta có bất phương trình tương đương sau: Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925  g ( x)  m, x  (a; b)  m  max g ( x)  g ( x)  m, x  (a; b)  m  g ( x) 2019 ( a ;b ) ( a ;b ) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp III CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP 1.Tìm khoảng đơn điệu hàm số tập xác định Phƣơng pháp chung  Bước 1: Tìm tập xác định  Bước 2: Tính đạo hàm  Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019  Bước 4: Kết luận khoảng đơn điệu hàm số dựa bảng xét dấu bước Một số ví dụ minh họa Bài tốn 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   x4  x2  Lời giải Tập xác định: D = R y '  4 x3  x  4 x( x  2)  x0 y'    x   Lập bảng xét dấu y’: x -∞ y’ - + 0 - +∞ + - Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu y’ ta thấy: Hàm số cho đồng biến khoảng: (-∞;- ), (0; ), nghịch biến khoảng: (- ;0), ( ;+∞) Lưu ý: Phải kết luận hàm số đồng biến khoảng: (-∞;- ), (0; không kết luận hàm số đồng biến (-∞;- )U(0; Bài tốn 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  ) 2) x 3 2x  Lời giải Tập xác định: D = R\{-2} y'  10  0, x  D (2 x  4)2 Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định: (-∞;-2), (2;+∞) Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  x3  x2 Lời giải Tập xác định: D = R y '  x  12 x  x( x  2) x  y'    x  Đến ta lập bảng xét dấu y’ đơn giản ta dùng định lý dấu tam thức bậc hai để suy dấu y’ Từ ta kết luận: Hàm số đồng biến khoảng: (-∞;0), (2;+∞), hàm số nghịch biến (0;2) Bài tốn 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y   x2  x  x2 Lời giải Tập xác định: D = R\{-2} y'   x2  x  ( x  2)  x 1 y'     x  5 Lập bảng xét dấu y’: Dựa vào bảng xét dấu ta kết luận: Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Hàm số đồng biến khoảng: (-5;-2), (-2;1) Hàm số nghịch biến khoảng: (-∞;-5), (1;+∞) Bài toán 5: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  x  x Lời giải Tập xác định: D = (-∞;0] U [2;+∞) Ta có: y '  x 1 x2  2x , y '   x  1 D Bảng xét dấu y’: Dựa vào bảng xét dấu ta kết luận: Hàm số đồng biến (2;+∞), nghịch biến (-∞;0) Bài toán 6: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  x  sinx, x [0;  ] Bài giải Bài tốn cho sẵn khoảng để xét tính đơn điệu hàm số xác định khoảng y '   cos x  0, x [0;  ] Do hàm số cho đồng biến [0;  ] Bài tốn 7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  x  x  Lời giải Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Tìm giá trị tham số m để hàm số đơn điệu khoảng Phƣơng pháp: Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai để biện luận nghiệm bất phương trình sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ cô lập tham số m Một số ví dụ minh họa Bài tốn 1: Tìm m để hàm số y  x3  3x2  3(m  2) x  3m 1 đồng biến R Lời giải Tập xác định: D = R y '  3x2  x  3(m  2) Để hàm số đồng biến R Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019  y '  0, x  R  3x  x  3(m  2)  0, x  R  x  x  m   0, x  R Đây tam thức bậc hai với hệ số a = >0, để y '  0, x  R điều kiện là:  '    m    m  1 Vậy với m  1 hàm số cho đồng biến R Từ toán ta rút kết luận để giải nhanh với hàm số bậc sau: Cho hàm số y  ax3  bx2  cx  d  y '  3ax2  2bx  c  a0 Hàm số đồng biến R    y '   a0  y '  Hàm số nghịch biến R   Bài toán 2: Cho hàm số y  mx  , tìm m để hàm số nghịch biến khoảng xác x  m 1 định Lời giải Tập xác định: D = R\{m-1} y'  m2  m  ( x  m  1)2 Để hàm số nghịch biến khoảng xác định y’ < (Lƣu ý với hàm phân thức bậc không đƣợc xét dấu bằng)   m  1 m2  m    m2  m     ( x  m  1) m2 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page 10 Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Kết luận: m ∈ (-∞;-1) U (2;+∞) Bài toán 3: Cho hàm số y  x3  3x2  mx  Tìm m để hàm số đồng biến (-∞;0) Bài giải Tập xác định: D = R y '  3x  x  m Hàm số đồng biến (-∞;0)  y '  0, x  (;0)  3x2  x  m  0, x  (;0) Đến ta làm theo cách sau: Cách 1: Dùng tam thức bậc hai Hệ số a = > 0,  '   3m TH1:  '    3m   m  3 Khi y '  0, x  R  y '  0, x  (;0)  hàm số nghịch biến (-∞;0)  m ≤ -3 thỏa mãn điều kiện đề TH2: ∆’ >  m > -3 Khi phương trình y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2) Vì a > nên y’ ≥ ∀ x ∈ (-∞;x1) U (x2;+∞) hay hàm số đồng biến khoảng (-∞;x1) (x2;+∞) Để hàm số đồng biến (-∞;0) ta phải có khoảng (-∞;0) nằm trọn khoảng (-∞;x1) (x2;+∞), thuộc khoảng (-∞;x1) ≤ x1 < x2  2  S    x1  x2     m   vô nghiệm P    Kết hợp trường hợp ta có: m ≤ -3 thỏa mãn ycbt Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page 11 Chuyên đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019 Cách 2: Ta thấy m có bậc biểu thức y’ cô lập m Hàm số đồng biến (-∞;0)  y '  0, x  (;0)  3x2  x  m  0, x  (;0)  g ( x)  3x  x  m, x  (;0)  m  g ( x) (  ;0) Ta có: g ( x)  3x2  x  3( x2  x  1)   3( x  1)2   3  g ( x)  3 ( ;0) Vậy m ≤ -3 thỏa mãn ycbt Nhận xét: Cả cách làm cho kết giống cách ngắn gọn chia nhiều trường hợp Như tốn lập m ta ưu tiên dùng cách thứ Khi học đến chương sau em học cách tìm min, max hàm số đạo hàm nên không cần lo lắng việc phải biến đổi đánh Bài toán 4: Cho hàm số y  x3  3(2m  1) x2  6m(m  1) x  Tìm m để hàm số đồng biến (2;+∞) Bài giải: Tập xác định: D = R Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Trung tâm Luyện thi Gia sư Thành Đạt – www.fb.com/luyenthi.thanhdat68 Page 12 ... thị hàm số đường lên từ trái sang phải, hàm số đồng biến khoảng: (-∞;0), (2;+∞) - Với x ∈ (0;2) đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Định lý tính đơn điệu. .. đề hàm số luyện thi THPT Quốc gia – Phƣơng Nam – 0975.481.925 2019  Bước 4: Kết luận khoảng đơn điệu hàm số dựa bảng xét dấu bước Một số ví dụ minh họa Bài tốn 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số. .. lý tính đơn điệu hàm số: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D  Hàm số đồng biến D  y’≥ ∀ x ∈ D y’ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D  Hàm số nghịch biến D  y’≤ ∀ x ∈ D y’ = xảy số hữu hạn điểm