Tích phân là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học, cao đẳng và nay là kì thi THPT Quốc Gia. Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 các phương pháp tính tích phân và một số ứng dụng của phép tính tích phân trong toán học và trong thực tế, góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM − TÍCH PHÂN Giáo viên: VŨ THỊ KIM TÍNH Trường: THPT Bến Tre (Tổng số tiết dạy: 42 tiết = 14 buổi) Mở đầu: Tích phân chun đề quan trọng chương trình tốn 12, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học, cao đẳng kì thi THPT Quốc Gia Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 phương pháp tính tích phân số ứng dụng phép tính tích phân tốn học thực tế, góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập Chuyên đề đã: + Hệ thống ngắn gọn kiến thức vi phân, nguyên hàm tích phân + Đưa phương pháp tính tích phân: Tích phân đổi biến số, phần, tích phân hàm số hữu tỷ, vơ tỷ, tích phân hàm lượng giác, hàm siêu việt + Giới thiệu ứng dụng tích phân tốn học thực tế: Tính diện tích, thể tích + Cung cấp tập phong phú số lượng, đa dạng dạng tốn tích phân + Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kỹ giải toán Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM Số tiết dạy: 12 tiết (4 buổi) A Mục tiêu dạy: Kiến thức: + Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số + Biết tính chất nguyên hàm Kỹ năng: + Tìm nguyên hàm số hàm số dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần B KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Vi phân: Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x∈(a; b) Cho số gia ∆x x cho x + ∆x∈(a; b) Ta gọi tích f ’(x).∆x y’(x).∆x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia ∆x Ký hiệu: dy df(x) Vậy: dy = y’∆x df(x) = f ’(x).∆x Ta có: hàm số y = x thì: dy = dx = x’.∆x = ∆x Vậy dy = y’.dx df(x) = f ’(x)dx 2.Các hệ thức thường dùng: dx = d(x + C) kdx = d(kx + C) xdx = dx x n dx = − 1− d ( x n+1 + C ) n +1 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG ( e kx dx = cosx.dx = d(sin x + C) sinx.dx = − d(cos x + C) dx cos x dx = d (tan x + C ) sin x d e kx + C k ) dx = d (ln | x | +C ) x = d (cot x + C ) II Nguyên hàm: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng ( a; b ) nếu: ∀x∈(a; b) ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay khoảng ( a; b ) đoạn [ a; b ] ta phải có thêm điều kiện: F ' ( a + ) = f (a ); F ' (b − ) = f (b) Định lí: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) ta có: + ∀C = const, F(x) + C nguyên hàm f(x) khoảng + Ngược lại nguyên hàm hàm số f(x) (a; b) viết dạng: F(x) + C , C = const Kí hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) ∫ f ( x)dx đọc họ nguyên hàm hàm số f ( x ) Vậy ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Trong F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) C số tùy ý Ta có ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F ( x) = f ( x) và: ' +) Dấu ∫ gọi dấu tích phân +) Biểu thức f ( x )dx gọi biểu thức dấu tích phân vi phân nguyên hàm f ( x ) Các tính chất: 1/ ( ∫ f ( x)dx ) ' = f ( x) 2/ ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx 3/ ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ f ( x)dx 4/ ∫ f (t )dt = F (t ) + C ⇒ ∫ f (u( x)).u '( x)dx = F (u( x)) + C 4.Bảng nguyên hàm bản: − 2− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp ∫ dx = x + C ∫ du = u + C xα +1 ∫ x dx = α + + C ( α ≠ 1) uα +1 ∫ u du = α + + C ( α ≠ 1) α ∫ α dx = ln x + C ( x ≠ ) x ∫ e dx = e x x ∫ du = ln u + C ( u ≠ ) u ∫ e du = e +C u u +C ax ∫ a dx = ln a + C ( < a ≠ 1) au ∫ a du = ln a + C ( < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C x ∫ cos x ∫ sin x u dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin u u du = tan u + C du = − cot u + C Chú ý: Để làm tốt phần tích phân học sinh phải vận dụng tốt công thức nguyên hàm sau: α +1 α xα +1 ( ax + b ) α + C ; ∫ ( ax + b ) = +C ∫ x dx = uα +1 α + a α + α + C ( α ≠ −1) ⇒ 1) ∫ u du = α +1 du = u + C ; du = − + C ; du = − +C α ∫ ∫ ∫ u u u ( α − 1) uα −1 dx ∫ x = ln x + C du 2) ∫ = ln u + C ( u ≠ ) → u dx = ln ax + b + C ∫ ax + b a x ax a dx = + C ; ∫ eu du = eu + C u ∫ a u ln a + C ( < a ≠ 1) ⇒ 3) ∫ a du = ln a e x du = e x + C ; e ax +b du = e ax +b + C ∫ ∫ a sinx dx = − cosx + C ∫ 4) ∫ sin udu = − cos u + C ⇒ ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a − 3− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG cosx dx = sinx + C ∫ cos udu = sin u + C ⇒ 5) ∫ ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a dx = − cotx + C ∫ sin x 6) ∫ du = − cot u + C ⇒ 1 sin u ∫ dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = tanx + C ∫ cos x 7) ∫ du = tan u + C ⇒ 1 cos u ∫ dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 8) du 1 u−a = − du = ln ÷ ∫ u − a 2a ∫ u − a u + a 2a u + a + C Sự tồn nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] có nguyên hàm đoạn C CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUN HÀM: SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN I Phương pháp chung: Đưa nguyên hàm bản: 1) Kiến thức sử dụng: +) Các tính chất nguyên hàm +) Bảng nguyên hàm − 4− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG +) Các phép biến đổi đại số ∫ f ( x)dx 2) Phương pháp: Tính Ta biến đổi, phân tích, tách hàm số f ( x ) ta thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi hàm số f ( x ) = α1 f1 ( x) + α f ( x ) + + α n f n ( x) Với f i ( x) có nguyên hàm bảng công thức α i số Bước 2: Tính ∫ f ( x)dx = ∫ α f ( x)dx + ∫ α f ( x )dx + + ∫ α n f n ( x)dx 1 3) Ví dụ phép biến đổi đại số ( + Với f ( x ) = x − ) viết lại f ( x ) = x − x + x2 − x + viết lại f ( x ) = x − + x −1 x −1 1 − + Với f ( x ) = viết lại f ( x ) = x − 5x + x −3 x−2 1 + Với f ( x ) = viết lại f ( x ) = + 2x − 2x + 2x + + + 2x + Với f ( x ) = ( ( + Với f ( x ) = x − 3x ) ) viết lại f ( x ) = x − 2.6 x + x 4) Bài tập Bài Tính nguyên hàm sau (Sử dụng bảng nguyên hàm): Tính nguyên hàm Đáp án 5x2 − x+C I1 = ∫ ( x − 1) dx I1 = ∫ ( x − 1) dx = 1 I = ∫ x − x + ÷dx x 1 I = ∫ x − x + ÷dx = ∫ x 2dx − ∫ xdx + ∫ dx x x 1 = x3 − x + ln x + C I3 = ∫ ( ) x + x dx x>0 I3 = ∫ ( 1 x + x dx = ∫ x + x ÷dx = x + x + C ÷ ) I4 = ∫ e x + ÷dx cos x I4 = ∫ e x + dx = e x + tan x + C ÷ cos x I5 = ∫ − 1÷dx cos x I5 = ∫ − 1÷dx = tan x − x + C cos x ( ) I = ∫ e x − dx ( ) I = ∫ e x − dx = e x − x + C − 5− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I = ∫ ( − sin x ) dx I = ∫ ( − sin x ) dx = x + cos x + C Bài Tính nguyên hàm sau (Biến đổi đưa nguyên hàm bản): I1 = ∫ ( x + 3) dx = ∫ ( x + 12 x + ) dx 2 I1 = ∫ ( x + 3) dx = I2 = ∫ ( ) x −1 x + 6x2 + 9x + C x I2 = ∫ dx ( ) x −1 dx = ∫ x − x +1 dx x x 1 = ∫ 1 − + ÷dx = x − x + ln x + C x x (2 x5 + 3x) I3 = ∫ dx x4 e− x I = ∫ e 1 + dx cos x ÷ ÷ x x10 + 12 x + x dx = dx ÷ ∫ ÷ x4 x = ∫ x + 12 x + ÷dx = x − + x3 + C x x I3 = ∫ (2 x5 + x) I4 = ∫ e x + dx = e x + tan x + C ÷ cos x I = ∫ sin x.cos xdx I = ∫ (− sin x + sin x)dx = cos x − sin x + C I = ∫ tan xdx I6 = ∫ − 1÷dx = tan x − x + C cos x I = ∫ sin x dx I7 = ∫ − cos x 1 dx = x − sin x + C 2 Bài tập tự luyện: Tính nguyên hàm I1 = ∫ I2 = ∫ ( x − 1) x2 ( Đáp án dx ) x + x + x dx ĐS: I1 = x3 − 2x − + C x ĐS: I = 33 44 x + x + x +C ( x > 0) I3 = ∫ x3 − x 2 + x − x3 dx ĐS: I = 3x − ln x − − 6− + +C x 2x CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I4 = ∫ ( x − 1) dx x ĐS: I = x − x + ln x + C I5 = ∫ − ÷dx x x ( ĐS: I = x − 33 x + C ) ( I = ∫ e x − e − x dx ) I = ∫ e x − dx = e x − x + C x x I = ∫ sin − cos ÷ dx 2 I = ∫ ( − sin x ) dx = x + cos x + C I8 = ∫ cot xdx I8 = ∫ cot xdx = − cot x − x + C Bài Tính nguyên hàm sau ( Đổi vi phân): Tính nguyên hàm Đáp án 1 ( x + 3) d ( x + ) = ( x + 3) + C ∫ I1 = ∫ ( x + 3) dx I1 = I = ∫ cos x.s inxdx I = − ∫ cos x d ( cos x ) = − cos5 x + C I3 = ∫ I4 = ∫ 2e x I3 = ∫ dx x e +1 ( ln x + 1) dx x I4 = x e +1 ( ) ( ) d e x + = ln e x + + C 1 ( ln x + 1) d ( ln x + 1) = ( ln x + 1) + C ∫ Bài tập tự luyện: I1 = ∫ ( x + 3) 2015 I1 = ∫ ( x + 3) dx I4 = ∫ ex x (e + 1) I3 = ∫ dx + ln x dx x tan x cos x x (e + 1) 2016 d (e x + 1) = − I = ∫ + ln x d (1 + ln x) = I = ∫ tan xdx I6 = ∫ ( x + 3) 2016 + C d ( x + 3) = I = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x + C I = ∫ sin x.cosxdx I3 = ∫ 2015 x (e + 1) +C ( + ln x ) + C I = ∫ tan xdx = −ln cosx + C I6 = ∫ dx tan x cos x Bài Tính nguyên hàm sau( Tổng hợp): Tính nguyên hàm − dx = − ∫ Đáp án 7− d ( cos x) cos x = 3cos3 x +C CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I1 = ∫ ( 4x + 4x + 2x +1 ) dx dx x+9 − x I2 = ∫ I3 = ∫ I2 = ∫ dx I3 = x − 4x + I4 = ∫ x ( − x ) I1 = ∫ x + + ÷dx = x + x + ln x + + C 2x +1 2015 dx dx x+9 + x 12 =∫ dx = 93 x+9 − x ( x + 9) + 3 x ÷+ C 1 x −3 − +C ÷ = ln ∫ x − x −1 x −1 I4 = ∫ ( − x ) 2002 dx − ∫ ( − x ) 2003 dx = − ( − x ) 2003 + ( − x ) 2004 + C 2003 2004 Bài tập tự luyện: I1 = ∫ dx x + + x −3 I2 = ∫ dx I3 = ∫ 1+ e 5∫ I2 = ∫ x 2x − 5x + 2015 ( ) x + + x − dx = dx 1+ e x =∫ 1+ ex − ex 1+ e x 15 ( x + ) + ( x − 3) + C dx = x − ln + e x + C x−2 I3 = ∫ − +C ÷dx = ln 2x − x − 2x − dx I4 = ∫ x ( − x ) I1 = dx I = ∫ ( x − + 1) ( − x ) 2015 2017 2016 1− x) 1− x) ( ( dx = − +C 2017 2016 II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: A Phương pháp đổi biến dạng 1 Định lí: a Nếu ∫ f ( x)dx = F ( x ) + C u = ϕ( x) hàm số có đạo hàm ∫ f (u )du = F (u ) + C b Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = ϕ(t) ϕ(t) với đạo hàm ϕ' (t) hàm số liên tục, ta ∫ f ( x) = ∫ f ϕ ( t ) .ϕ ( t ) dt ' Phương pháp thực hiện: Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng tìm nguyên hàm hàm số f(x) thực theo bước sau: Bước 1: Đặt x = ϕ(t) , ϕ(t) hàm số mà ta chọ cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ' (t) dt Bước 3: Biểu thị f ( x ) dx theo t dt Giả sử f ( x ) dx = g (t )dt Bước 4: Khi ∫ f ( x ) dx = ∫ g (t )dt − 8− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Lưu ý: Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng Dấu hiệu Dấu hiệu 1: a2 − x2 Dấu hiệu 2: x − a Dấu hiệu 3: a + x Cách chọn π π x = a sin t − ≤ t ≤ x = a cos t ≤ t ≤ π a π π x = sin t t ∈ − ; \ { 0} a π t ∈ [ 0; π] \ x = cos t 2 π π x = a tan t − < t < x = a cot t < t < π Bài tập: Tính nguyên hàm sau: I1 = ∫ − x dx (Dấu hiệu 1) I2 = ∫ 1 ⇒ I1 = ∫ cos t = t + sin 2t ÷+ C 2 dx (1− x ) (Dấu hiệu 1) I3 = ∫ π π Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt , t ∈ − ; 2 dx ( 1+ x ) (Dấu hiệu 3) π π dt x ⇒ I2 = ∫ = tan t + C = +C cos t − x2 Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt , t ∈ − ; ÷ 2 π π Đặt x = tan t , t ∈ − ; ÷⇒ dx = 2 dx x + 2x + cos t dt I = ∫ cos tdt = sin t + C = tan t cos t + C = tan t I4 = ∫ I4 = ∫ (Dấu hiệu 3) I4 = ∫ 1 + tan t +C = dx ( x + 1) + 2 x + x2 +C π π ; ÷ 2 , đặt x + = tan t , t ∈ − cos t cos t cos t dt = ∫ = − ∫ − ÷dt cost − sin t −1 + sin t + sin t sin t − = − ln +C sin t + − 9− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG I5 = ∫ dx + x2 (Dấu hiệu 3) I6 = ∫ HD: Đặt x = tan t ∫ ĐS: I = dt =t + C Đặt x = dx x x2 − (Dấu hiệu 2) cos t ⇒ t = − dt sin t sin t ⇒ I = − ∫ dt = −t + C Bài tập tự luyện: I1 = ∫ HD: Đặt x = 2sin t ĐS: I1 = 2t + C dx 4− x (Dấu hiệu 1) I = ∫ x − x dx 1 8 HD: Đặt x = tan t dx ( 1+ x ) 1 ( t + sin 2t ) + t + sin 4t ÷+ C 8 ĐS: I = (Dấu hiệu 3) I = ∫ x3 + x dx (Dấu hiệu 3) I5 = ∫ ĐS: I = t − sin 4t ÷+ C (Dấu hiệu 1) I3 = ∫ HD: Đặt x = sin t dx x + x +1 HD: Đặt x = tan t tan t − cos t I4 = ∫ dt = − ∫ d ( cost ) cos3 t cos t ĐS: 1 = − +C 5cos5 t 3cos3 t I5 = ∫ dx x + x +1 (Dấu hiệu 3) ĐS: I = =∫ dx tan t HD: Đặt x + = x + + 2 ÷ 2 t +C B Phương pháp đổi biến dạng 2: Định lí: Nếu ∫ f ( u ) du = F (u) + C u = u( x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: ∫ f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C ' − 10 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Chú ý: tích phân có dạng: ∫ f ( x, ) π π + ∫ f ( x, a + x ) dx , đặt x = atan t , với t ∈ − ; ÷ 2 a π π + ∫ f ( x, x − a ) dx , đặt x = , với t ∈ − ; sin t 2 + π π a − x dx , đặt x = asin t, với t ∈ − ; ; x = acos t với ≤ t ≤ π 2 2 2 x = sin t 2 x dx ∫ − x2 x = 2sin t ∫x − x dx ∫ x = tan t dx ( x2 + 1 − x2 ∫ x6 2 I5 = ∫ ) HD: Đặt x = sin t dx HD: Đặt x = tan t dx x + x2 Bài 2: Tính tích phân (Đổi biến dạng 2): ∫ −1 + x2 dx x dx x + +1 ∫ dx ∫ 1+ x ∫ dx x x +1 Đặt t = + x Đặt t = x + Đặt t = x Đặt t = + x Đặt t = 3x + x ∫ 3x + dx − 39 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG x3 ∫ 1+ x4 + dx x +1 dx x −1 ∫ x+ Đặt t = x + Đặt x − = t ⇒ x = t2 + 1; dx = 2tdt Đưa tích phân cho tính tích phân: ∫ (t + 2)2tdt 1 2t + 2 = 2∫ t − + ÷dt = (t − 2t ) + ln(t + t + 1) t + t +1 t + t +1 0 = 2ln3 − X TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT: I Phương pháp: − Đưa nguyên hàm − Sử dụng phương pháp đổi biến số − Sử dụng phương pháp tích phân phần II Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính tích phân (Đưa nguyên hàm bản): ln I1 = ∫ x e −e 1 I2 = ∫ −x (e x + 1) dx e ln dx x HD: I1 = ∫ e x dx e 2x 2x HD: I = ∫ e 1 −1 + 2e x + 1 dx = ∫ e x + + x x e e 0 1 = − ÷dx ∫ x x x x e ( e + 1) e e + 0 dx I3 = ∫ ∫ e2 x + e x dx Bài 2: Tính tích phân ( Đổi biến) I1 = ∫ I2 = ∫ dx 22 x + dx e2 x + I3 = ∫ Đặt t = e 2x x dx 2x +1 e e + ln xdx 2x I4 = ∫ 1 t −1 Đặt t = e x ĐS: I1 = − ln − ln 2 t +1 1 e2 x I = ∫ 1 − x ÷dx e + ÷ Đặt t = + e x Đặt t = + ln x − 40 − ÷dx CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG ln e x dx ∫ I5 = ex +1 ln ∫ I6 = Đặt t = + e x ex +1 Đặt t = + e x dx Bài 3: Tính tích phân sau ( Từng phần): e I1 = ∫ ( x π I2 = ∫ e 2x sin x.dx ∫ π I5 = ∫ I6 = ∫ u = cos x 20 2x dv = e dx u = lnx HD: Đặt dv = xdx e I = ∫ x ln x.dx I4 = π HD: I = e x ( − cos x ) dx Đặt ∫ ) u = ln x + HD: Đặt dv = dx x ln( x + 1) dx ( u = ln x + x + ln x + + x dx HD: Đặt dv = dx ( ln(cos x) cos x dx ( x + 1)e x dx ( x + 1) ) ) u = ln ( cos x ) HD: Đặt dx dv = cos x HD: t = x +1 Đặt I6 = ∫ Đưa (t − 2t + 1)et −1dt t2 1 = ∫ et −1 − et −1 + 2 et −1 ÷dt = e − − J1 + J t t 1 Tính J1 − −e + + J Vậy J = XI LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a Nếu f(x) liên tục , hàm lẻ [−a; a] ∫ f ( x )dx = −a − 41 − tính CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CM: I = ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx Xét J = 0 ∫ f ( x )dx −a a a a a 0 Đặt x = −t ⇒ J = − ∫ f (−t )dt = ∫ f (−t )dt = − ∫ f (t )dt = − ∫ f ( x)dx ⇒ ĐPCM a ∫ Nếu f(x) liên tục, hàm chẵn [−a; a] thì: −a Nếu f(x) liên tục [0; 1] thì: π π 0 a f ( x )dx = ∫ f ( x) dx ∫ f (sin x)dx = ∫ f (cos x)dx π −x HD: Đặt t = π π π Nếu f(x) liên tục [0; 1] thì: ∫ xf (sin x)dx = ∫ f (sin x)dx 20 HD: Đặt x = π − t Chú ý: Có thể mở rộng cận từ α tới π − α Bài tập áp dụng: Tìm nguyên hàm sau: I1 = 1− x ∫ cos x.ln + x ÷ dx − 1− x ÷ liên tục 1+ x Hàm số y = f(x) = cos x.ln Xét f(−x) + f(x) = ⇒ f(−x) = − f(x) ⇒ f(x) hàm lẻ ĐS: I1 = ( Dạng 1) ∫ ln ( x + I2 = ) x + dx −2 ) ( HD: Hàm f ( x ) = ln x + x + hàm số lẻ ĐS: I = ( Dạng 1) 1− x I = ∫ x ln ÷dx 1+ x − 1− x ÷ hàm số lẻ 1+ x HD: Hàm f ( x ) = x ln ĐS: I = ( Dạng 1) I4 = π ∫ − π sin x dx + cos x 1 − ; sin x HD: Hàm f ( x ) = hàm số lẻ + cos x ĐS: I = ( Dạng 1) − 42 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG π I5 = ∫ sin x dx sin x + cos x ( Dạng 3) π − x ⇒ dt = − dx HD: Đặt π π x = 0⇒ t = ,x = ⇒ t = 2 t= π ĐS: I = dx = π ∫ π I6 = ∫ sin x 3 sin x + cos x ( Dạng 3) dx π − x ⇒ dt = − dx HD: Đặt π π x = 0⇒ t = ,x = ⇒ t = 2 t= π ĐS: I = dx = π ∫ π I8 = ∫ x.sin xdx HD: Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt x = 0⇒ t =π,x =π ⇒ t = ( Dạng 4) ĐS: I8 = π ∫ ( π − t ) sin π tdt ⇒ I8 = ∫ π sin tdt Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ( Số tiết dạy: tiết = buổi) A Mục tiêu dạy: Kiến thức: + Biết cơng thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân Kỹ năng: + Tính diện tích số hình phẳng, thể tích số khối nhờ tích phân B Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y = f(x), x = a, x = b trục hồnh S = ò f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] − 43 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e Ox Giải Do ln x ³ " x Î [ 1; e] nên e S= e ò ln x dx = ò ln xdx = x ( ln x 1) e = 1 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x - 3, x = 0, x = Ox Giải: Bảng xét dấu x 0 - y S=- + ò( - x + 4x - 3) dx + ò ( - x2 + 4x - 3) dx 1 æ x3 ỉ x3 2 ÷ ÷ ç =- ç + 2x + 3x + + 2x + 3x = ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ÷ è ø ø1 Vậy S = (đvdt) Diện tích hình phẳng Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng b giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b S = ò f(x) - g(x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x ) = g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm S = ò( f(x) - g(x) ) dx a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc [ a; b ] giả sử α a S= ò( f(x) a b g(x) ) dx + ò( f(x) - g(x) ) dx a ù Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) đoạn é ëa; b û dựa vào bảng xét − 44 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG dấu để tính tích phân Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng b giới hạn đường y = f(x), y = g(x) S = ò f(x) - g(x) dx Trong a, b a nghiệm nhỏ lớn phương trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b ) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) tìm giá trị α , β b Bước Tính S = ò f(x) - g(x) dx trường hợp a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = Giải Đặt h(x) = (x3 + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) - + S=- ò( x - 6x + 11x - 6) dx + ò ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx 1 ỉx4 ỉx4 11x2 11x2 3 ữ ỗ =- ỗ 2x + 6x + 2x + - 6x ÷ = ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố4 ứ0 ố ø1 2 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 Giải Đặt h(x) = (x3 + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = Û x = Ú x = Ú x = Lập bảng xét dấu ta được: S= ò( x ò( x - 6x + 11x - 6) dx - 6x2 + 11x - 6) dx 2 ổx4 11x2 =ỗ 2x + - 6x ữ ữ ữ ỗ ố4 ứ ổx4 11x2 ỗ - 2x3 + - 6x ữ = ữ ữ ỗ ố4 ứ2 2 − 45 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Vậy S = (đvdt) Chú ý: Nếu đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) khơng nghiệm ta có b thể dùng cơng thức b ò f(x) - ò [ f(x) - g(x) dx = a g(x) ] dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3, y = 4x Giải Ta có x3 = 4x Û x = - Ú x = Ú x = 2 ổx4 ổx4 ỗ ị S = ò ( x - 4x ) dx + ò ( x - 4x ) dx = ỗ - 2x2 ữ + - 2x2 ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ÷ = è4 ø- è4 ø - 3 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - x + trục hồnh Giải Ta có x2 - x + = Û t2 - 4t + = 0, t = x ³ ét = Û ê êt = Û ë éx = ê êx = Û ë Þ S= éx = ±1 ê êx = ±3 ë òx - - x + dx = 2ò x2 - 4x + dx é1 = 2ê êò ( x - 4x + 3) dx + ê0 ë ù ò ( x2 - 4x + 3) dx úú ú û éỉx3 ỉx3 2 ữ ữ ỗ = ờỗ 2x + 3x + 2x + 3x ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ è ø è ø 3 ë Vậy S = ù 16 ú= ú û 16 (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - 4x + y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - 4x + = x + ìï ïï Û ïí ïï ïï ỵ x + 3³ éx = éx2 - 4x + = x + Û ê ê êx = ë êx2 - 4x + = - x - ê ë Bảng xét dấu x − 46 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG + x2 - 4x + Þ S= – + ò( x - 5x ) dx + ò ( - x + 3x - 6) dx + ò ( x2 - 5x ) dx 3 ỉx3 5x2 ỉ- x3 ỉx3 5x2 3x2 109 ÷ ÷ ÷ ç ç = ç + + 6x + = ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ố3 ø1 è ø0 è 2 ø3 Vậy S = 109 (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 - , y = x + Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + Û t2 - = t + 5, t = x ³ ìï ïï Û ïí ïï ïï ỵ t= x ³ ét2 - = t + Û ê êt2 - = - t - ê ë Þ S= ïì t = x ³ Û x = ±3 íï ïï t = ỵ ò x - 1- - ( x + 5) dx = 2ò x2 - - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x – x2 - 1 Þ S=2 + ò( - x - x - 4) dx + ò ( x2 - x - 6) dx 1 ổ- x3 x2 ổx3 x2 73 ữ ỗ =2ỗ 4x + - 6x ữ = ữ ữ ç ÷ ÷ ç è ø0 è ø1 2 Vậy S = 73 (đvdt) Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) C Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường ù y = f(x) ³ 0, " x Ỵ é ëa;b û, y = , x = a x = b (a < b) quay quanh trục Ox b V = pò f 2(x)dx a − 47 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = sin x , trục hoành hai đường x = 0, x = π Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox b Giải: Áp dụng công thức V = pò f 2(x)dx , a p p p p2 ta có V = pò sin xdx = ò( - cos2x ) = ( dvtt ) 20 2 Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x2 + y2 = R quay quanh Ox Giải Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R Û x = ±R Phương trình (C) : x2 + y2 = R Û y2 = R - x2 R R R ổ2 x3 4pR ữ ị V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx = 2p ỗ R x = ữ ỗ ữ ố ứ 3 - R Vậy V = 4pR (đvtt) Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x) , x = a x = b (a < b, f(x) ³ 0,g(x) ³ " x Ỵ [ a; b ]) quay quanh b trục Ox V = pò f 2(x) - g2(x) dx a Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường (p1) : y = - x2 , (p2) : y = x2 + quay quanh Ox Giải: Hoành độ giao điểm nghiệm pt: − x = x + ⇔ x = ±1 ⇒ V = 24π ∫ ( − x ) dx = 16π (dvtt ) Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường (p) : y = 2x2 , (d) : y = 2x + quay quanh Ox Giải: Hoành độ giao điểm nghiệm pt: x = x + ⇔ x − x + = ⇒ x = −1 ∨ x = 288 ⇒ V = π ∫ ( x + ) − x dx = π (dvtt ) Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải − 48 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG ìx³ éx = ê Û êx = ïï x4 = x ë ỵ ï Hồnh độ giao điểm ïí 1 Þ V = pò x - x dx = p ò ( x4 - x ) dx = p 0 ( x - x ) = 3p 10 3p (đvtt) 10 Vậy V = BÀI TẬP DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ I.DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2x + có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn x +1 Bài 1( TN - 2005) : Cho hàm số y = trục tung, trục hoành đồ thị (C ) Bài ( TN – 2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ex, y = đường thẳng x = { } Bài Tính S = ( p ) : y = − x + x;( d ) : y = x { ) } ( x Bài Tính S = y = ( e + 1) x; y = + e x { } Bài Tính S = ( p ) : y = x − x + 3;( d ) : y = x + { } Bài Tính S = y = x − x + ; y = x + x2 x S = y = − ; y = Bài Tính 4 Bài Tính S = y = ln x ; y = 0; x = 1; x = e x II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Bài ( TN – 2004): Cho hàm số y= x3 -x2 có đồ thị (C) Tinh thể tích vật thể vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng y=0,x=0,x=3 quay quanh trục 0x Bài 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y 2= e x ,y=0,x=0,x=1 quay quanh trục 0x Bài 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x y=sin cosx,y=0,x=0,x= π quay quanh 0x − 49 − CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Bài4:Tính thể tích tròn xoay phần mặt phẳng giới hạn đường cong y=x y= x quay quanh trục 0x Bài Tính V = { (H) : y = x ln x; y = 0; x = e, ( H ) qqOx} { } x sinx; y = 0;0 ≤ x ≤ π , qqOx Bài Tính V = y = Bài 7:Cho hàm số y= 3x + có đồ thị (C ) gọi (D) hình phẳng giới hạn (C),trục 2x + hồnh,trụctung đường thẳng x=2 1/tính diện tích (D) 2/Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh cho (D) quay vòng quanh 0x III.Hướng dẫn tóm tắt 1.Diện tích hình phẳng Bài Ta có S= ∫ − 2x +1 dx = x +1 2x +1 dx = − ln 2(dvdt ) x +1 ∫ − ∫ Bài 2: Ta có S= e x − dx = e + 2ln2 -4 ln (dvdt ) e Bài ĐS: S = − 1(dvdt ) Bài ĐS: S = (dvdt ) 109 ( dvdt ) Bài ĐS: S = Bài ĐS: S = Bài ĐS: S = 2π + 4 ÷(dvdt ) 3 2.Thể tích vật thể: 81 1 Bài 1: Ta có: V= π ∫ x − x ÷ dx = π (dvtt ) 35 03 x Bài 2: Ta có V= π ∫ e dx = 2π (dvtt ) π 2 π2 π x Bài 3: Ta có V= π sin cosx dx = − ÷ ∫0 − 50 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Bài 4: Ta có V= π ∫ x − x dx Bài ĐS: V = ( π 5e3 − 27 ) (dvtt ) π3 Bài ĐS: V = ( dvdt ) Bài 7: a) S= 3x + ∫ x + dx 3x + b) V= π ∫ ÷ dx x + 0 ĐỀ THI TÍCH PHÂN TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY (2003-2015) Năm thi 1) KD – 2003 Câu hỏi Đáp án I =1 I = ∫ x − x dx 2) KB – 2003 − 2sin x I =∫ dx + sin x 3) KA – 2003 I= ∫ 4) KD – 2004 I = ln 2 π I = ln dx x x2 + I = 3ln − I = ∫ ln( x − x )dx 5) KB – 2004 e 116 135 x dx x −1 1+ I= 11 − ln π I = e+ 6) KA – 2004 7) KD – 2005 + 3ln x ln x dx x I= I =∫ I =∫ I = ∫ (esin x + cos x ) cos xdx π −1 8) KB – 2005 I = 2ln − π sin x.cos x dx + cos x I =∫ − 51 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 9) KA – 2005 10) KD – 2006 π I= sin x + sin x I =∫ dx + 3cos x − 3e I= I = ∫ ( x − 2)e x dx 11) KB – 2006 ln I= ∫e ln 12) KA – 2006 dx + 2e − x − π I =∫ 13) KD – 2007 x 34 27 I = ln sin x cos x + 4sin x dx I= I= 5e − 32 e I = ∫ x ln xdx ( ) 14) KB – 2007 V = { ( H ) : y = x ln x, y = 0, x = e ( H ) qqOx}π 5e3 − V= (dvtt ) 27 15) KA – 2007 S = y = ( e + 1) x, y = + e x x { ( ) } S= e − 1(dvdt ) 16) KD – 2008 I =∫ I= − ln 16 17) KB – 2008 π sin x − ÷dx 4 I =∫ sin x + 2(1 + sin x + cos x) I= 1− ÷ 2 + ÷ I= −10 − ln(2 − 3) 27 18) KA – 2008 19) KD – 2009 20) KB – 2009 21) KA – 2009 ln x dx x3 π π tan x I =∫ dx cos x I = ln(e3 − 1) − ln(e − 1) − dx x e −1 I =∫ 3 + ln x dx ( x + 1) I =∫ π I = ∫ (cos x − 1) cos xdx I= − ln 3 + ln − ln 4 I= π − 15 e 22) KD-2010 3 I = ∫ x − ÷ln xdx x 1 23) KB-2010 I =∫ e 24) KA-2010 I =∫ I = e2 − ln x dx x(ln x + 2) I = ln − x + e x + x2e x dx + 2e x 1 + 2e I = + ln 3 − 52 − CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 25) KD – 2011 I =∫ 26) KB – 2011 27) KA – 2011 I = 5ln π π I = 3+ + x sin x I =∫ dx cos x I =∫ 28) KD - 2012 4x −1 dx 2x +1 + x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x I= 2π − ln(2 + 3) π +4 π + ln ÷ ÷ π2 I= + 32 π I = ∫ x ( + sin x ) dx 29) KB - 2012 I =∫ 30) KA - 2012 x3 dx x + 3x + I = ln − ln 2 + ln ( x + 1) dx x2 I =∫ I= ( x + 1) dx x2 + 31) KD - 2013 I =∫ 32) KB - 2013 I = ∫ x − x dx I = + ln I= 33) KA - 2013 I =∫ 34) TN – 2014 2 + ln − ln 3 x2 −1 ln x.dx x2 2 −1 I = ln − 2 I =0 I = ∫ ( − xe x ) dx 35) CĐ - 2014 36) KD - 2014 + ln 2 I= x + ln x I =∫ dx x I= π I = ∫ ( x + 1) sin x.dx I = + ln 37) KB - 2014 x + 3x + I =∫ dx x2 + x 38) KA - 2014 S = y = x − x + 3, y = x + 39) QG - 2015 { } I = ∫ ( x − 3) e x dx − 53 − S = (dvdt ) I = − 3e ... ∫ f (u( x)).u '( x)dx = F (u( x)) + C 4.Bảng nguyên hàm bản: − 2− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp ∫ dx = x + C ∫ du = u + C xα +1 ∫... Các tính chất nguyên hàm +) Bảng nguyên hàm − 4− CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG +) Các phép biến đổi đại số ∫ f ( x)dx 2) Phương pháp: Tính Ta biến đổi, phân tích, tách hàm số f (... ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Số 1: Hàm lơgarit Số 2: Hàm lũy thừa Số 3: Hàm lượng giác Số 4: Hàm số mũ ∫ +) nguyên hàm vdu xác định dễ dàng so với ∫ f ( x)dx 5.Bài tập: Tích nguyên hàm